Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny

Rachunek wariacyjny

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Wariacje funkcji i funkcjonału 2Ekstremum funkcjonału 3Równanie Eulera-Lagrange'a 4Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ

Punktem wyjścia rachunku wariacyjnego jest pewien obrany funkcjonał L, którego argumentami są funkcje specyficzne dla danego problemu. Funkcjonał L ma zwykle postać całki oznaczonej po pewnym przedziale dla funkcji podcałkowej zależącego od argumentu x:

$L[y]=\int _{a}^{b}F(x,y(x),y^{'}(x))dx\;$

(17.1)

Funkcjonał w rachunku wariacyjnym jest zazwyczaj nieliniowy, tzn. spełnia nierówność:

$L[py_{1}+qy_{2}]\neq pL[y_{1}]+qL[y_{2}]\;$

(17.2)

Funkcjonał napisanej wedle we wzoru (17.1) nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla podkreślenia faktów i dla uniknięcia nieporozumień nawias kwadratowy po L jest oznaczeniem, że mamy do czynienia z funkcjonałem, w której to w nawiasie występuje funkcja y, której to szukamy w rachunku wariacyjnym.

Wariacje funkcji i funkcjonału

Wariacja funkcjonału funkcji y będziemy umownie oznaczać przez δy i nazywamy tą wielkość jako różnicę funkcji y₁ i funkcji y, to oznaczamy matematycznie:

$\delta y=y_{1}-y\;$

(17.3)

Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to, że maksymalna wartość (17.3) modułu z wielkości (17.3) przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co piszemy:

$||\delta y||=\operatorname {max} |y_{1}(x)-y(x)|<<1\;$

(17.4)

Wariację funkcjonału L, czyli δy definiujemy podobnie jak w przypadku różniczki funkcji df wedle sposobu:

$L[y+\delta y]-L[y]=\delta L[y,\delta y]+0(\delta y)\;$

(17.5)

Ostatni człon oznacza resztę, która jest małą wielkością wyższego rzędu, ze względu na przyrost funkcji y

Ekstremum funkcjonału

Funkcjonał uzyskuje minimum dla funkcji y_o, jeśli funkcjonał funkcji y, czyli L[y] jest większy niż funkcjonał funkcji dla naszej wspomnianej funkcji y_o, czyli L[y_o]:

$L[y]\geq L[y_{o}]\;$

(17.6)

Analogicznie również definiujemy maksimum naszego badanego tutaj funkcjonału. Warunkiem koniecznym istnienia funcjonału jest znikanie funkcjonału L dla tutaj funkcji szukanej y, otrzymujemy:

$\delta L[y_{0},\delta y_{0}]=0\;$

(17.7)

Równanie Eulera-Lagrange'a

Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji y_o i dalej weźmy funkcję y, która różni się od funkcji y₀ niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=y_o+δy Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b, jest równa zero, co matematycznie δy(a)=δy(b)=0 na końcach, w których liczymy naszą całkę (17.1), zatem wariacje δy' i δy są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y^'(x)| i |y₀(x)|, co matematycznie piszemy je dla x∈(a,b) równaniami:

$|\delta y(x)|<<|y_{0}(x)|\;$

(17.8)

$|\delta y^{'}(x)|<<|y^{'}(x)|\;$

(17.9)

Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem zmiennych δy i δy' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia:

$F(x,y,y^{'})=F(x,y_{0},y_{0}^{'})+{{\partial F} \over {\partial y}}\delta y+{{\partial F} \over {\partial y^{'}}}\delta y^{'}\;$

(17.10)

Funkcję (17.10) wstawiamy do funkcjonału określonego w punkcie (17.1) i w drugiej całce dokonujemy całkowania poprzez części względem argumentu x, i zakładając, że wariacja funkcji y jest równa zero w naszych punktach, zatem na podstawie tego:

$\delta L=\int _{a}^{b}{{\partial F} \over {\partial y}}\delta ydx+\int _{a}^{b}{{\partial F} \over {\partial y^{'}}}\delta y^{'}dx=\int _{a}^{b}{{\partial F} \over {\partial y}}\delta ydx+\left({{\partial F} \over {\partial y^{'}}}\right)\delta y(x){\Bigg |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{{d} \over {dx}}{{\partial F} \over {\partial y^{'}}}\delta ydx\;$

(17.11)

Drugi wyraz w przeprowadzonych obliczeniach (17.11) znika na podstawie warunku granicznego na końcach przedziału (a,b), dla której wariacja funkcji y znika. Szukamy taką funkcję y dla której wariacja δ L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y, zatem na podstawie tego możemy napisać:

$0=\delta L=\int _{a}^{b}\left[{{\partial F} \over {\partial y}}-{{d} \over {dx}}{{\partial F} \over {\partial y^{'}}}\right]\delta ydx\;$

(17.12)

Funkcja podcałkowa w punkcie (17.12) jest zawsze równa zero, dla dowolnie małego δ, zatem w takim przypadku zachodzi równość:

${{\partial F} \over {\partial y}}-{{d} \over {dx}}{{\partial F} \over {\partial y^{'}}}=0\;$

(17.13)

Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ

Funkcja we funkcjonale L[y] (17.1), w której występuje funkcja F możemy rozszerzyć, gdy nasz badany układ ma pewne więzy, zatem nową funkcję F^* tworzymy pisząc to za pomocą mnożników (czynników) Lagrange'a, zatem ta funkcja:

$F^{*}=F+\sum _{j}\lambda _{j}\phi _{j}\;$

(17.14)

Mając już nową funkcję (17.14) i aby wyznaczyć funkcję szukaną y, należy podstawić tą wspomnianą funkcję do (17.1) i w ten sposób możemy określić funkcjonał L^*, i wtedy dla tak obranego funkcjonału możemy wykorzystać na samym końcu wzór (17.13) wynikająca zerowania się wariacji funkcjonału odpowiadającemu funkcji F^*, wtedy to równanie różniczkowe możemy wykorzystać do znalezienia naszej szukanej funkcji y(x).