Metody matematyczne fizyki/Dystrybucje jako funkcje uogólnione

Dystrybucje jako funkcje uogólnione

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

(Rys. 12.1) Wykres funkcji delta Diraca. Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla $x_{0}=0$. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożonej przez funkcję.

Funkcja Diraca jest jedną z podstawowych funkcji rozważanych w mechanice kwantowej. Poniżej podamy własności funkcji Diraca i ich dowody. Od naszej funkcji Diraca oczekujemy, by w punkcie zerowym miała wartość niezerową, a w pozostałych punktach przyjmowała wartość równą zero, tak by całka tej funkcji po całej nieskończonej przestrzeni jednowymiarowej miała wartość równą jeden. Stąd wynika, że funkcja ta w punkcie zerowym ma wartość równą plus nieskończoność. Oczywiste jest, że całkowanie po całej przestrzeni rzeczywistej można zawęzić do całkowania do przedziału dowolnie małego zawierający nasz punkt zerowy:

$\delta (x)=0\;\;$ dla $x\neq 0\;\;$ oraz $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1\;$

(12.1)

A zatem oczekujemy, by funkcja Diraca dążyła do osobliwości w punkcie x=0.

Własności funkcji Diraca

(1) Podstawowa własność funkcji Diraca: całka iloczynu zwykłej funkcji f(x) i funkcji Diraca jest równa wartości funkcji f(x) obliczonej w punkcie x=0

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)dx=f(0)\;\;$

(12.2)

Dowód: Poza punktem zerowym funkcja Diraca przyjmuje wartość zero, a więc punkty te nie wnoszą nic do całki (12.1) - całkowanie możemy zawęzić do przedziału dążącego do zera $\left(-h,h\right)\;$ i obliczyć wedle naszych wcześniejszych omówień:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)dx=\lim _{h\rightarrow 0}\int _{-h}^{h}f(x)\delta (x)dx=\lim _{h\rightarrow 0}f(-h\leq \zeta \leq h)\int _{-h}^{h}\delta (x)dx=\lim _{h\rightarrow 0}f(-h\leq \zeta \leq h)=f(0)\;$

(12.3)

Co kończy dowód.

(2) Funkcja Diraca jest równa nieskończoności w punkcie $x_{0}=0$, a w pozostałych punktach jest równa zero. Z własności przesunięcia równoległego o wektor jednowymiarowy $x_{0}$ wynika, że powinno zachodzić:

$\delta (x-x_{0})=0\;$ dla $x\neq x_{0}\;$

(12.4)

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{0})dx=1\;$

(12.5)

(3) Z własności przesunięcia równoległego wynika też, że całka iloczynu funkcji f(x) i funkcji Diraca przesuniętej o wektor $x_{0}\;$ jest równa funkcji f(x) w punkcie osobliwym $x_{0}\;$:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})dx=f(x_{0})\;$

(12.6)

(4) Gdy funkcja f(x) jest funkcją Diraca, to z wzoru (12.6) formalnie wynika, że:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{1})\delta (x-x_{2})dx=\delta (x_{2}-x_{1})=\delta (x_{1}-x_{2})\;$

(12.7)

Ponadto: Z własności tej wynika, że funkcja $\delta (x)\;$ jest funkcją parzystą.

Uwaga 1: Wzór (12.6) de facto jest udowodniony dla przypadku, gdy f(x) oznacza w tym wzorze funkcję. Delta Diraca nie jest jednak funkcją, ale tzw. dystrybucją. Formalne podstawienie do tego wzoru zamiast funkcji delty Diraca stanie się dopiero uprawnione, gdy własność ta zostanie rozszerzona na dystrybucje, czego dowód jest pokazany poniżej.

Dowód:

Wzór (12.7) można przedstawić w dwóch równoważnych postaciach:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{1})\delta (x-x_{2})dx={\begin{Bmatrix}x-x_{1}=t\\dx=dt\end{Bmatrix}}=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\delta (t-(x_{2}-x_{1}))dt=\delta (x_{2}-x_{1})\;$

(12.8)

lub

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{1})\delta (x-x_{2})dx={\begin{Bmatrix}x-x_{2}=t\\dx=dt\end{Bmatrix}}=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-(x_{1}-x_{2}))\delta (t)dt=\delta (x_{1}-x_{2})\;$

(12.9)

Na podstawie równości obliczeń (12.8) oraz (12.9) wnioskujemy, że funkcja $\delta (x)$ jest funkcją parzystą względem punktu $x=0$, bo wartość całki nie może się zmieniać w zależności od sposobu liczenia tejże całki, cnd.

Uwaga 2: O tym, że delta Diraca nie jest "zwykłą funkcją" można przekonać się, podstawiając do wzoru (12.6) wartości delty Diraca $\delta (x-x_{1})$ oraz $\delta (x-x_{2})$ - gdy $x_{1}\neq x_{2}$, to formalnie otrzymalibyśmy

$\delta (x-x_{1})\delta (x-x_{2})=0$

w całej przestrzeni jednowymiarowej, co oznaczałoby, że cała całka ma wartość równą zero, w oczywistej sprzeczności z wzorem (12.7)

Wnioski: 1. Całka z iloczynu funkcji i dystrybucji daje w wyniku pojedynczą liczbę, zaś całka z iloczynu dwóch delt Diraca daje w wyniku inną deltą Diraca, która jest nie liczbą, ale dystrybucją określoną na całej przestrzeni.

2. Nie można mnożyć dystrybucji przez siebie w sposób identyczny, jak mnoży się funkcje. Zamiast tego można tworzyć całki z iloczynów dystrybucji - tzw. sploty (por. niżej)

Wprowadzenie do teorii funkcji próbnych w teorii dystrybucji

W teorii dystrybucji pierwszym krokiem jest wprowadzenie zbioru funkcji zwanych próbnymi. Zgodnie z naszymi wymogami, funkcjami próbnymi nazywamy funkcje nieskończenie różniczkowalne i są one różne od zera na ograniczonym obszarze, zbiór tychże funkcji będziemy oznaczać symbolem $C_{0}^{\infty }\;$.

(Rys. 12.2) Funkcja próbna ${\tilde {f}}(x)\;$

Przykładem funkcji próbnych jest funkcja zdefiniowana:

${\tilde {f}}(x)={\begin{cases}Ne^{{1} \over {x^{2}-1}}&{\mbox{ dla }}|x|<1\\0&{\mbox{ dla }}|x|\geq 1\end{cases}}$

(12.10)

Zdefiniujemy funkcję $\phi _{\epsilon }(x)$, która jest splotem funkcji φ i funkcji ${{1} \over {\epsilon }}{\tilde {f}}\left({{x} \over {\epsilon }}\right)$, zatem tą naszą funkcję piszemy wedle schematu:

$\phi _{\epsilon }(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x-y){\tilde {f}}\left({{y} \over {\epsilon }}\right){{dy} \over {\epsilon }}\;$

(12.11)

Jeśli w powyższej funkcji dokonamy podstawienia t=x-y, to natychmiast otrzymamy wzór poniżej, co na podstawie tego możemy udowodnić przemienność naszego splotu funkcji f i funkcji ${\tilde {\phi }}$, z której wynika różniczkowalność naszego splotu.

$\phi _{\epsilon }(x)={{1} \over {\epsilon }}\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}\left({{x-t} \over {\epsilon }}\right)\phi (t)dt\;$

Na podstawie ostatniego równania, funkcja ${\tilde {\phi }}_{\epsilon }$ jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, co wynika z faktu, że funkcja ${\tilde {f}}$ jest też nieskończenienie wiele razy różniczkowalna, bo ona jest zależna od "x", a funkcja $\phi (t)$ już nie zależy od argumentu x, co tą różniczkowalność wynika z teorii o pochodnej na całce. We wzorze (12.11) dokonajmy podstawienia, które określamy przy pomocy parametru t, czyli y=εt, w takim razie powyższą funkcję piszemy wedle:

$\phi _{\epsilon }(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x-\epsilon t){\tilde {f}}(t)dt\;$

(12.12)

Następnym bardzo ważnym krokiem jest policzenie wyrażenia, która jest różnicą funkcji φ_ε(x) i,φ(x), korzystając z faktu o normalizacji delty Diraca (12.1), w takim przypadku dostajemy tożsamość:

$\phi _{\epsilon }(x)-\phi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x-\epsilon t){\tilde {f}}(t)dt-\phi (x)\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(t)dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\phi (x-\epsilon t)-\phi (x)\right){\tilde {f}}(t)dt\;$

(12.13)

W przeprowadzonych obliczeniach (12.13) funkcja podcałkowa dla ε dążącego do zera dąży do zera, zatem cała całka dąży do zera, stąd wynika, że funkcja ${\tilde {f}}$ dla której zdefiniowana jest norma (12.1) jest poprawną definicją tejże naszej rozważanej funkcji.

Ciągłość funkcji próbnych w teorii dystrybucji

W powyższym wzorze funkcja φ_n jest tak zdefiniowana, by te omawiane funkcje nie wychodziły poza pewien przedział, czyli mają ograniczone nośniki. Funkcje te dążą jednostajnie do funkcji φ₀, a także to samo dotyczy ich pochodnych, w takim przypadku mamy:

$\phi _{n}^{(k)}{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{}}\phi _{0}^{(k)},{\mbox{ dla }}k=0,1,2,...\;$

(12.14)

Matematyczna definicja funkcji próbnej w teorii dystrybucji

Funkcją próbną (dystrybucją) nazywamy funkcjonał liniowy ciągły w pewnej ściśle określonej przestrzeni. Wynik działania dystrybucji określać będziemy symbolem T[φ] lub symbolem ⟨T,φ⟩:

$T:\phi \rightarrow T[\phi ]\;$

(12.15)

Dystrybucja spełnia również warunki liniowości, którego zapisujemy:

$T[a\phi _{1}+b\phi _{2}]=aT[\phi _{1}]+bT[\phi _{2}]\;$

(12.16)

Na sam koniec wprowadźmy warunek ciągłości dla dystrybucji dla n dążącego do nieskończoności:

$T[\phi _{n}]\rightarrow T[\phi _{0}]\;$

(12.17)

Przykłady dystrybucji

• Zdefiniujmy całkę, określoną za pomocą dystrybucji, którą zapiszemy jako:

$\langle {{1} \over {x}},\psi \rangle =\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\int _{-\infty }^{-\epsilon }{{1} \over {x}}\phi (x)dx+\int _{\epsilon }^{\infty }{{1} \over {x}}\psi (x)dx\right]\;$

(12.18)

Sposób liczenia całki z odwrotności funkcji x przeprowadzonych w punkcie nazywamy wartością główną tej całki. W tym celu aby z ilustrować wartość główną policzmy dwie te same całki poniżej i przekonamy co to jest wartość główna przy liczeniu tej samej całki dwoma sposobami, w których wychodzą różne wyniki.

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\int _{-1}^{-\epsilon }{{1} \over {x}}dx+\int _{\epsilon }^{1}{{1} \over {x}}dx\right]=\ln \epsilon -\ln \epsilon =0\;$

(12.19)

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\int _{-1}^{-\epsilon }{{1} \over {x}}dx+\int _{2\epsilon }^{1}{{1} \over {x}}dx\right]=\ln \epsilon -\ln 2\epsilon =-\ln 2\;$

(12.20)

Wartością główna całki $\int _{-1}^{1}{{1} \over {x}}dx$ jest całka policzona wedle schematu (12.19), a wartością główną nie jest całka obliczona wedle schematu (12.20).

• Wzór (12.21) zostanie udowodniony za pomocą obliczeń pokazanych w dalszej treści:

${{1} \over {x+i0}}={{1} \over {x}}-i\pi \delta \;$

(12.21)

Dowód (12.21) przebiega na podstawie teorii o dystrybucjach, ale najpierw zróbmy tak, by pod całką funkcja posiadała mianownik zawierający wyrażenie rzeczywiste:

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\langle {{1} \over {x+i\epsilon }},\psi \rangle =\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{{\psi (x)} \over {x+i\epsilon }}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{{x\psi (x)} \over {x^{2}+\epsilon ^{2}}}dx-i\epsilon \int _{-\infty }^{\infty }{{\psi (x)} \over {x^{2}+\epsilon ^{2}}}\right]\;$

(12.22)

W pierwszej całce możemy przejść do granicy, a drugiej całce dokonujemy podstawienia x=εt, i wiedząc, że całka $\int _{-\infty }^{\infty }{{1} \over {1+t^{2}}}dt$ jest równa liczbie π, a także wykorzystując fakt (12.2), w takim razie możemy napisać:

$\int _{-\infty }^{\infty }{{\psi (x)} \over {x}}dx-i\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{{\psi (\epsilon t)} \over {t^{2}+1}}dt=\int _{-\infty }^{\infty }{{\psi (x)} \over {x}}dx-i\psi (0)\int _{-\infty }^{\infty }{{dt} \over {t^{2}+1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{{1} \over {x}}\psi (x)dx-i\pi \int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\delta (x)dx=\;$
$=\left\langle {{1} \over {x}}-i\pi \delta ,\psi \right\rangle \;\;$

(12.23)

Ciągi zależne od delty ε i zbieżne do pewnej funkcji f(x) przy ε dążącej do zera

Aby utworzyć ciąg deltopodobny należy skonstruować ciąg, który zależy od ε, które jak wiemy dąży do delty Diraca, w takim przypadku ten ciąg definiujemy:

$f_{\epsilon }(x)={{1} \over {\epsilon }}f\left({{x} \over {\epsilon }}\right)\;$

(12.24)

Udowodnimy, że w przypadku granicznym nasz ciąg f_ε(x) jest dystrybucją, czyli jest równa delcie Diraca. Wynik działania dystrybucji f_ε(x), który jest ciągiem deltopodobnym (12.17) w przedziale nieskończonym definiujemy wzorem poniżej. W tym samym punkcie w całce wprowadzimy nowe zmienne zapisane wzorem x=tε:

$\langle f_{\epsilon },\phi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{1} \over {\epsilon }}f\left({{x} \over {\epsilon }}\right){\phi }(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\phi }(\epsilon t)dt\;$

(12.25)

Gdy przejdziemy do granicy ε dążącego do zera dla ciągu zależnego od parametru ε (12.24) i na samym końcu korzystając ze wzoru, którego spełnia funkcja f(x), czyli warunku, tzn. $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dt=1$, którego jest własnością ogólnie dystrybucji (12.1), a szczegółowo delty Diraca, w takim przypadku możemy napisać przekształcenia:

$\langle f_{\epsilon },\phi \rangle {\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}\phi (0)\int _{-\infty }^{\infty }f(t)dt=\phi (0)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\psi (x)dx=\langle \delta ,\psi (x)\rangle \;$

(12.26)

Mnożenie dystrybucji przez dowolną funkcję o ograniczonym nośniku

Wprowadźmy sugestię, co do dystrybucji, którą określamy mnożenie dystrybucji przez funkcję należącej do dziedziny liczb zespolonych, zatem dystrybucja jest tak napisana by było spełniona równość:

$\langle fT,\phi \rangle =\langle T,f\phi \rangle \;$

(12.27)

Jako przykład rozpatrzmy funkcję f=x, która podstawiona do wzoru (12.27) przestawia się wzorem z definicji działania dystrybuanty T:

$\langle x\delta ,\phi \rangle =\langle \delta ,x\phi \rangle =0\phi (0)=0\;$

(12.28)

Z obliczeń przeprowadzonych w punkcie (12.28) możemy wywnioskować, że wyrażenie, która jest iloczynem liczby x i delty Diraca jest równe zero:

$x\delta (x)=0\;$

(12.29)

Rozpatrzmy następny przypadek, która to funkcja nie jest równa zero dla x=0, a w pozostałych przypadkach jest nierówna zero, w takim przypadku możemy napisać równość:

$f(x)\delta (x)=f(0)\delta (x)\;$

(12.30)

Gdy delta Diraca jest tylko nierówna zero w punkcie x=a, to równanie (12.30) z warunku przesunięcia równoległego przestawiamy wzorem:

$f(x)\delta (x-a)=f(a)\delta (x-a)\;$

(12.31)

Teraz wykażemy, że delta Diraca δ(x) z dokładnością do stałego czynnika jest rozwiązaniem równości:

$xT=0\;$

(12.32)

Aby udowodnić, że tak jest, należy liczbę <T,φ>, w której definiujemy funkcję ψ(x), która w punkcie x=0 jest równa jeden, co na tej podstawie w drugiej równości w poniższym rozpisaniu pierwszy wyraz jest równy zero, w takim przypadku to nasze wyrażenie piszemy:

$\langle T,\phi \rangle =\langle T,\phi -\phi (0)\psi \rangle +\phi (0)\langle T,\psi \rangle =\phi (0)\underbrace {\langle T,\psi \rangle } _{c}=c\langle \delta ,\phi \rangle \;$

(12.33)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (12.33) rozwiązaniem równania (12.32) jest funkcja zdefiniowana wzorem:

$T=c\delta (x)\;$

(12.34)

Teraz rozpatrzmy jaka jest funkcja T, która jest rozwiązaniem równania, będącego iloczynem funkcji x i T, która jest równa dla naszego przypadku liczbie jeden:

$xT=1\;$

(12.35)

Rozwiązaniem równania (12.35), która jest niejednorodnym równaniem, którego rozwiązaniem szczególnym jest rozwiązanie $T={{1} \over {x}}$, ale też korzystając z faktu, że (12.34) jest rozwiązaniem równania jednorodnego (12.32), w takim rozwiązaniem ogólnym równania wspomnianego na samym początku tego zdania jest funkcja w postaci:

$T={{1} \over {x}}+c\delta (x)\;$

(12.36)

Różniczkowanie funkcji uogólnionych

Pochodną dystrybucji nazywamy taką nową dystrybucję, która spełnia tożsamość:

$\langle T^{'},\phi \rangle =-\langle T,\phi ^{'}\rangle \;$

(12.37)

Aby udowodnić tożsamość (12.37) należy $\langle T^{'},\phi \rangle$ przestawić na w sposób całki Riemmanna, i wiedząc, że dystrybucja T jest równa zero w nieskończonościach, zatem całkowanie dokonajmy poprzez części:

$\langle T^{'},\phi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }T^{'}(x)\phi (x)dx=T\phi |_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }T(x)\phi ^{'}(x)dx=-\langle T,\phi ^{'}\rangle \;$

(12.38)

Pochodna uogólniona trzech zmiennych i wykorzystanie w tym celu definicji Laplasjanu

Weźmy teraz funkcję T, która jest zależna od promienia ρ, którego to definicję T i ρ definiujemy wzorami:

$T={{1} \over {\rho }}\;$

(12.39)

$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\;$

(12.40)

Mając definicję Laplasjanu, czyli definicję operatora Δ (7.36), to działaniem tegoż operatora na funkcję T (12.29) jest określone przez:

$\Delta T=\Delta {{1} \over {r}}={{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho ^{2}}}\left(\rho T\right)={{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho ^{2}}}\left(\rho {{1} \over {x}}\right)={{1} \over {\rho }}{{\partial 1} \over {\partial \rho ^{2}}}=0\;$

(12.41)

Widzimy, że Laplasjan funkcji T zdefiniowaną w punkcie (12.39) jest równy zero dla ρ nierównej zero, zatem sprawdźmy jaki jest wynik działania operatora Δ, gdy ρ jest równy zero. W tym celu policzmy (12.38)

$\langle \Delta {{1} \over {r}},\phi \rangle =-1\langle \nabla {{1} \over {r}},\nabla \phi \rangle =(-1)(-1)\langle {{1} \over {r}},\Delta \phi \rangle =\langle {{1} \over {r}},\Delta \phi \rangle =\int _{R^{3}}{{1} \over {r}}\Delta \phi dV\;$

(12.42)

Całkowanie po całej objętości w przestrzeni trójwymiarowej zapisaną w punkcie (12.42) możemy zapisać jako całkowanie po kuli o promieniu R bez kuli zawartej wewnątrz tej kuli o promieniu ε, co jej promień dąży do zera, czyli w ten sposób wektor normalny dla kuli większej jest zwrócony na zewnątrz kuli, a wektor normalny dla kuli o promieniu ε jest zwrócony do środka tejże omawianej kuli, zatem ostatni wzór zapisujemy:

$\int _{R^{3}}{{1} \over {r}}\nabla \phi dV=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{K(0,R)-K(0,\epsilon )}{{1} \over {r}}\Delta \phi dV\;$

(12.43)

Funkcję podcałkową występująca w wyrażeniu (12.43), korzystając z definicji o pochodnej iloczynu dwóch funkcji, możemy przestawić:

${{1} \over {r}}\Delta \phi ={{1} \over {r}}\nabla \nabla \phi =\nabla \left[{{1} \over {r}}\nabla \phi \right]-\nabla {{1} \over {r}}\nabla \phi =\nabla \left[{{1} \over {r}}\nabla \phi \right]-\nabla \left[\phi \nabla \left({{1} \over {r}}\right)\right]+\phi \Delta \left({{1} \over {r}}\right)\;$

(12.44)

Ostatni człon w równaniu (12.44) jest równy zero na podstawie tożsamości udowodnionej w punkcie (12.41), wtedy całka (12.42), przy wykorzystaniu twierdzenia (7.67), przestawiamy:

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{K(0,R)-K(0,\epsilon )}{{1} \over {r}}\Delta \phi dV=\int \nabla \left[{{1} \over {r}}\nabla \phi \right]dV-\int \nabla \left[\phi \nabla \left({{1} \over {r}}\right)\right]dV=\int _{S_{\epsilon }}{{1} \over {r}}\nabla \phi d{\vec {S}}-\int _{S_{\epsilon }}\phi \nabla \left({{1} \over {r}}\right)d{\vec {S}}\;$

(12.45)

Przy całkowaniu pierwszej całki, przy definicji dS=r²dΩ i r=ε, to pierwsza całka w wyrażeniu (12.45) jest równa zero, w takim przypadku został nam do rozpatrzenia człon drugi:

$\nabla \left({{1} \over {r}}\right){\vec {n}}=-{{\partial } \over {\partial r}}\left({{1} \over {r}}\right)={{1} \over {r^{2}}}\;$

(12.46)

W wyrażeniu przyjęliśmy, że wektor ${\vec {n}}$ ma kierunek do środka kuli o promieniu ε i dlatego po prawej stronie w drugiej równości (12.46) występuje znak minus. Wtedy po pewnych rozważaniach równanie (12.45) przyjmuje postać:

$\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{K(0,R)-K(0,\epsilon )}{{1} \over {r}}\Delta \phi dV=-\int _{S_{\epsilon }}\phi {{1} \over {r^{2}}}dS\;$

(12.47)

Równanie (12.42), na podstawie późniejszych obliczeń i definicji wycinka powierzchni kuli, której powierzchnia jest iloczynem funkcji r² i kata bryłowego dΩ, przestawia się:

$\langle \Delta {{1} \over {r}},\phi \rangle =-\phi (0)\int {{1} \over {r^{2}}}r^{2}d\Omega =-\phi (0)\int d\Omega =-4\pi \phi (0)=-4\pi \langle \delta ,\phi \rangle \;$

(12.48)

Wedle rozważań przeprowadzonych powyżej dla dowolnych funkcji φ możemy napisać tożsamość wynikającą z przeprowadzonych obliczeń w punkcie (12.48):

$\Delta \left({{1} \over {r}}\right)=-4\pi \delta (r)\;$

(12.49)

Sploty funkcji uogólnionych

Jak wiadomo dystrybucji nie należy mnożyć przez siebie, ale można określić działanie o charakterze splotu. Zatem splotem dwóch funkcji uogólnionych nazywamy funkcję oznaczoną za pomocą oznaczenia *, i zdefiniowaną równoważnymi wzorami:

$(f_{1}*f_{2})(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-y)f_{2}(y)dy\;$

(12.50)

$(f_{1}*f_{2})(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(y)f_{2}(x-y)dy\;$

(12.51)

Sprawdźmy, czy splot zdefiniowany wzorem (12.50) lub wzorem (12.51) są działaniami przemiennymi. W tym celu dokonajmy podstawienia określonego wzorem t=x-y, aby tą przemienność udowodnić:

$(f_{1}*f_{2})(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(y)f_{2}(x-y)dy=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-t)f_{2}(t)dt=\int _{-\infty }^{\infty }f_{2}(t)f_{1}(x-t)dt=f_{2}*f_{1}\;$

(12.52)

Inną definicją splotu nazywamy technikę dystrybucyjną napisaną wedle sposobu poniżej. Widzimy, że jest to całka dwóch zmiennych x i y, która określa działanie dystrybucji przy dowolnej funkcję próbnej φ(x) zależnej tylko od jednego parametru.

$\langle f_{1}*f_{2},\phi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }(f_{1}*f_{2})(x)\phi (x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dxf_{1}(x-y)f_{2}(y)\phi (x)\;$

(12.53)

Jeśli w równaniu (12.53) dokonamy podstawienia określonego wzorem t=x-y, to tą wspomnianą równość można przepisać po tym podstawieniu wedle sposobu:

$\langle f_{1}*f_{2},\phi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }dtf_{1}(t)\int _{-\infty }^{\infty }dyf_{2}(y)\phi (t+y)\;$

(12.54)

Widząc wzór (12.54) możemy napisać definicję splotu dwóch dystrybucji, czyli splotu dwóch funkcji uogólnionych wedle schematu:

$\langle T_{1}*T_{2},\phi \rangle =\langle T_{1}(x),\langle T_{2}(y),\phi (x+y)\rangle \rangle \;$

(12.55)

Iloczyn funkcyjny delty Diraca z pewną ściśle określoną funkcją

Podzielmy funkcję f(x) na mniejsze przedziały, w których ta nasza funkcja jest monotoniczna, te przedziały monotoniczności oznaczamy przez (a_j,b_j). Dla nasz istotne są te przedziały, w którym funkcja f(x) zmienia znak. Jeśli na jakimś przedziale funkcja nie zmienia znaku, to dystrybucja, która jest złożeniem delty Diraca i funkcji f(x) jest równa zero. Z definicji działania względem dowolnej funkcji φ:

$\langle \delta (f(x)),\phi \rangle =\sum _{j}\int _{a_{j}}^{b_{j}}\delta (f(x))\phi (x)dx;$

(12.56)

Na każdej z przedziału funkcję f(x) możemy rozwinąć wokół punktu zerowego (miejsca zerowego) w szereg Taylora w sposób:

$f(x)=f(x_{j})+f^{'}(x_{j})(x-x_{j})=f^{'}(x_{j})(x-x_{j})\;$

(12.57)

Naszym krokiem jest dokonanie podstawienia określonego przez t=f'(x_j)(x-x_j), wtedy wzór (12.56) po dokonaniu tegoż podstawienia możemy przepisać pamiętając, że granicę całkowania zmienią się wedle sposobów p_j=|f'(x_j)|(a_j-x_j), q_j=|f'(x_j)|(b_j-x_j):

$\langle \delta (f(x)),\phi \rangle =\sum _{j}{{1} \over {|f^{'}(x_{j})|}}\int _{p_{j}}^{q_{j}}\delta (t)\phi \left({{t} \over {f^{'}(x_{j})}}+x_{j}\right)dt\;$

(12.58)

Górna granica całkowania we wzorze (12.58) jest większa od zera, a dolna jest od jego mniejsza, zatem ta nasza rozważana całka jest równa funkcji φ(x_j), w takim przypadku ostatnie obliczenia zapisujemy:

$\langle \delta (f(x)),\phi \rangle =\sum _{j}{{1} \over {|f^{'}(x_{j})|}}\phi (x_{j})\Rightarrow \langle \delta (f(x)),\phi \rangle =\sum _{j}{{1} \over {|f^{'}(x_{j})|}}\langle \delta (x-x_{j}),\phi (x)\rangle \;$

(12.59)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (12.59), możemy napisać tożsamość na złożenie funkcji $\delta (f(x))$ i funkcji f(x):

$\delta (f(x))=\sum _{j}{{1} \over {|f^{'}(x_{j})|}}\delta (x-x_{j})\;$

(12.60)

Dla przykładu wykorzystując wzór (12.60) możemy napisać wzór na złożenie delty Diraca δ(x) i funkcji f(x)=x²-a² wedle sposobu:

$\delta (x^{2}-a^{2})={{1} \over {2a}}\left(\delta (x-a)+\delta (x+a)\right)\;$

(12.61)

Przykład funkcji (delty) Diraca

Funkcja rozważana przez Diraca, która jest często używana w mechanice kwantowej jest funkcja, którą jak udowodnimy jest też innym przedstawieniem funkcji Diraca.

$\delta (x)=\lim _{a\rightarrow \infty }{{\sin ax} \over {\pi x}}\;$

(12.62)

Funkcja Diraca (12.62) opiera się na całce, którą dowodzimy w analizie w teorii całki:

$\int _{-\infty }^{\infty }{{\sin x} \over {x}}dx=\pi \;$

(12.63)

Funkcja zdefiniowana w (12.62) na podstawie już obliczonej całki (12.63) jest funkcją unormowaną do jedynki, tak samo jak standardowa funkcja Diraca:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\lim _{a\rightarrow \infty }{{\sin ax} \over {\pi x}}dx={{1} \over {\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\lim _{a\rightarrow \infty }{{\sin ax} \over {ax}}dax={\begin{Bmatrix}ax=t\\dax=dt\end{Bmatrix}}={{1} \over {\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{{\sin t} \over {t}}dt={{1} \over {\pi }}\pi =1\;$

(12.64)

Sprawdźmy, czy funkcja przedstawiona przez Diraca (12.62) jest funkcją parzystą, tak jak zwykła definicja tej naszej funkcji:

$\delta (-x)=\lim _{a\rightarrow \infty }{{\sin a(-x)} \over {\pi (-x)}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{{\sin ax} \over {\pi x}}=\delta (x)\;$

(12.65)

Funkcja rozważana przez Diraca na podstawie obliczeń (12.65) jest funkcją parzystą jak przypuszczaliśmy.

$\delta (-x)=\delta (x)\;$

(12.66)

A zatem przejdźmy do innego dowodu, tzn. że ona jest funkcją osobliwą dla punktu zerowego, czyli dla tego punktu przyjmuje wartość nieskończoną:

$\delta (x)=\infty \;$ dla $x=0\;$

(12.67)

Udowodnijmy warunek (12.67) na podstawie przedstawienia naszej funkcji wedle (12.62) zakładając, że $ax<\epsilon$, a $\epsilon$ jest dowolnie małe, zatem:

$\delta (0)=\lim _{x\rightarrow 0}\delta (x)=\lim _{x\rightarrow 0}\lim _{a\rightarrow \infty }{{\sin ax} \over {\pi x}}=\lim _{a\rightarrow \infty }\lim _{x\rightarrow 0}{{\sin ax} \over {\pi ax}}a=\lim _{a\rightarrow \infty }{{a} \over {\pi }}=\infty \;$

(12.68)

Funkcja rozważana przez Diraca jest osobliwa w punkcie zerowym i ma okres ${{2\pi } \over {a}}$ znikającym wraz ze wzrostem wartości x, ale $\lim _{a\rightarrow \infty }{{2\pi } \over {a}}=0$, czyli ma okres zerowy, czyli średnia wartość funkcji w dowolnym punkcie nierównym zeru jest wartość zero poza punktem x=0, dla którego dąży do nieskończoności, jak udowodniliśmy. Zatem funkcja (12.62) ma wszystkie własności funkcji Diraca, więc jest nią, co można używać ją w tymże sensie jako funkcję uogólnioną.

Funkcja Heaviside'a

Podamy jeszcze inne własności funkcji Diraca. Napiszmy funkcję schodkową i nazwijmy ją funkcją Heaviside'a oraz opisując tą funkcję, że dla liczb dodatnich funkcja przyjmuje wartość jeden, a dla liczb ujemnych wartość zero, a dla zera już jest równa połowie jedynki:

$\theta (\tau )={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}\tau >0\\{{1} \over {2}}&{\mbox{ dla }}\tau =0\\0&{\mbox{ dla }}\tau <0\end{cases}}\;$

(12.69)

Pochodną funkcji schodkowej (12.69) jest to po prostu delta Diraca, którą jak widzimy, że pochodna naszej omawianej funkcji jest wszędzie równa zero, ale już dla punktu τ=0, dla której już jest równa nieskończoność.

${{d\theta (\tau )} \over {d\tau }}=\delta (\tau )\;$

(12.70)