Metody matematyczne fizyki/Działania na wektorach

Działania na wektorach

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przedstawimy tu wszystkie wiadomości o wektorach, tzn. dodawanie, odejmowanie, a także iloczyn skalarny i wektorowy dwóch wektorów. Oprócz tego wprowadzimy symbol Leviego-Civity oraz zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera.

Układ współrzędnych

(Rys. 1.1) Trójwymiarowy prawoskrętny układ współrzędnych

W układzie współrzędnych w przestrzeni n-wymiarowej możemy zaobserwować n-proste, które nazywamy osiami. Przecinają się one w jednym punkcie, zwanym punktem zerowym, którego współrzędne są równe (0,0,...,0). W środku układu współrzędnych jest określana baza n-wymiarowa, najczęściej kanoniczna, której każdy wektor ma przedstawienie ${\vec {e}}_{i}=(0,0,...,1_{i},....,0)\;$. Dla przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej układ odniesienia jest pokazany na rysunku obok. Jak widzimy, każdy jego punkt jest określany za pomocą tylko trzech współrzędnych. Kąty między tymi wersorami są kątami prostymi.

Definicja wektora

Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, tzn. taką, w której każdy z punktów można opisać za pomocą n współrzędnych:

$A=(a_{1},a_{2},..,a_{n})\;$

(1.1)

Weźmy dwa takie punkty, które połączymy pewnym odcinkiem, i określimy zwrot do jednego z tych punktów. Wektor, który w tym przypadku nazywamy zaczepionym, definiujemy jako:

${\vec {AB}}=B-A=(b_{1},b_{2},...,b_{n})-(a_{1},a_{2},...,a_{n})=[b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2},...,b_{n}-a_{n}]\;$

(1.2)

Zatem, ogólnie każdy wektor zaczepiony czy swobodny możemy zapisać w postaci:

${\vec {a}}=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]={\vec {k}}_{1}a_{1}+{\vec {k}}_{2}a_{2}+...+{\vec {k}}_{n}a_{n}\;$

(1.3)

Co dla przestrzeni trójwymiarowej (1.3), numerując kolejno współrzędne przez x,y,z, to wspomniany wzór zapisać można jako:

${\vec {a}}=[a_{x},a_{y},a_{z}]={\vec {i}}a_{x}+{\vec {j}}a_{y}+{\vec {k}}a_{z}\;$

(1.4)

Dodawanie i odejmowanie wektorów

(Rys. 1.2) Dodawanie dwóch wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej

(Rys. 1.3) Odejmowanie dwóch wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej

Jeśli mamy dwa wektory ${\vec {a}}\;$ i ${\vec {b}}\;$, to różnicą (sumą) dwóch wektorów, ogólnie niezaczepionych (tzn. takich w których początek wektora nie jest określony) nazywamy działanie o następującej postaci:

${\vec {c}}={\vec {a}}\pm {\vec {b}}=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]\pm [b_{1},b_{2},...,b_{n}]=[a_{1}\pm b_{1},a_{2}\pm b_{2},...,a_{n}\pm b_{n}]\;$

(1.5)

Graficznie dodawanie wektorów określamy według rysunku (Rys. 1.2), a odejmowanie (Rys. 1.3).

Norma wektora

Normą wektora ${\vec {a}}=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]\;$ w przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej nazywamy długość tego wektora, którego wzór wygląda:

$|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}\;$

(1.6)

Iloczyn skalarny

(Rys. 1.4) Dwa wektory o wspólnym początku

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy działanie określone jako iloczyn długości tychże wektorów oraz kosinusa kąta między nimi (określonego jak gdyby te wektory miały jeden punkt wspólny i różne końce)

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}||{\vec {y}}|\cos \alpha \;$

(1.7)

Iloczyn skalarny dwóch wektorów można alternatywnie określić jako:

${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}\;$

(1.8)

Znając iloczyn skalarny dwóch wektorów określony wzorem (1.7), a także długości wektorów ${\vec {x}}\;$ i ${\vec {y}}\;$ określonych wedle wzoru (1.6), można zapisać kosinus kąta między nimi:

$\cos \alpha ={{{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}} \over {|{\vec {x}}||{\vec {y}}|}}\;$

(1.9)

Iloczyn wektorowy

Mając definicję iloczynu mieszanego, skonstruowaną za pomocą iloczynu wektorowego i skalarnego, można przedstawić iloczyn wektorowy jako macierz wersorów układu kartezjańskiego wraz ze współrzędnymi dwóch wektorów, dzięki któremu wyznaczamy iloczyn wektorowy. Zapiszmy iloczyn skalarny wektora ${\vec {c}}\;$ przez iloczyn wektorowy wektorów ${\vec {a}}$ i ${\vec {b}}$:

${\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\eta {\begin{vmatrix}c_{x}&c_{y}&c_{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}$

(1.10)

Wektor ${\vec {d}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}\;$ jest prostopadły do wektorów ${\vec {a}}\;$ oraz do ${\vec {b}}\;$ i tym samym układ wektorów $({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {b}})\;$ tworzy nową bazę o wymiarze trzy zanurzoną w starej bazie w układzie kartezjańskim o takim samym wymiarze.

W definicji iloczynu mieszanego (1.10) wprowadziliśmy parametr η=±1, ponieważ z definicji wspomnianego iloczynu mieszanego, z jeszcze niewyznaczonym parametrem, wynika że iloczyn wektorowy jest prostopadły do wektorów, z którego jest wyznaczony. Istnieją dwa rodzaje tych wektorów, różniące się tylko zwrotami, i dlatego w tej definicji występuje ten wspomniany parametr, by określić te dwa wektory. Parametr η wyznaczymy poniżej, tj. wybierzemy jeden z dwóch tych wektorów, tak by definicja iloczynu wektorowego była taka, a zbudowana na jej podstawie baza określająca nowy układ współrzędnych w oparciu o te trzy wspomniane wcześniej wektory (dwa wektory iloczynu wektorowego i trzeci wektor, który jest jego wynikiem), była taka by skrętność nowego układu współrzędnych była zgodna z ze skrętnością starego układu, w którym współrzędne tych trzech wektorów są wyznaczone. Niech baza starego układu odniesienia posiada bazę kanoniczną. Z definicji iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć współrzędne wyniku iloczynu wektorowego, którego przestawienie tegoż wektora za pomocą wersorów w prostokątnym układzie współrzędnym starej bazy na razie bliżej nie znanych, które mamy zamiar wyznaczyć. Możemy to zrobić wykorzystując definicję iloczynu mieszanego jako iloczyn pewnego wektora (w tym przypadku wektory bazy starego układu współrzędnych) i iloczynu wektorowego dwóch dowolnych wektorów.

Zatem wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem pierwszego wektora bazy kanonicznej w starym układzie współrzędnych ${\vec {c}}={\vec {i}}=(1,0,0)\;$, mamy:

$d_{x}={\vec {i}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\eta {\begin{vmatrix}1&0&0\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=\eta {\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

(1.11)

Wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem drugiego wektora bazy kanonicznej w starym układzie współrzędnych ${\vec {c}}={\vec {j}}=(0,1,0)\;$, mamy:

$d_{y}={\vec {j}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\eta {\begin{vmatrix}0&1&0\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=-\eta {\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}$

(1.12)

wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem trzeciego wektora bazy kanonicznej układu współrzędnych ${\vec {c}}={\vec {k}}=(0,0,1)\;$, mamy:

$d_{z}={\vec {k}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\eta {\begin{vmatrix}0&0&1\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}=\eta {\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}$

(1.13)

Jeśli weźniemy ${\vec {d}}=(d_{x},d_{y},d_{z})\;$, to układ trzech wektorów $({\vec {d}},{\vec {a}},{\vec {b}})\;$ jako nowy układ współrzędnych jest zgodny ze starym układem współrzędnym kartezjańskim, gdy wyznacznik macierzy przejścia ze starego układu współrzędnych do nowego spełnia warunek det(T)>0. Zbudujmy macierz przejścia:

$T={\begin{bmatrix}d_{x}&d_{y}&d_{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{bmatrix}}$

(1.14)

Wykorzystując definicję wektora ${\vec {d}}\;$, którego współrzędne są podane w punktach (1.11), (1.12) i (1.13), uzyskujemy wyznacznik macierzy T (1.14):

$\det T={\begin{vmatrix}\eta {\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}&-\eta {\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}&\eta {\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}=\eta \left({\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}^{2}\right)$

(1.15)

Aby w naszej nowej bazie skrętność była zgodna ze skrętnością starego układu trójwymiarowego kartezjańskiego, musi zachodzić η = 1 wedle obliczeń (1.15). Udowodniliśmy więc, że iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów jest dany tak, by jego definicja na podstawie wcześniejszych rozważań i η=1 (obliczenia (1.15)) była napisana :

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {i}}d_{x}+{\vec {j}}d_{y}+{\vec {k}}d_{z}={\vec {i}}{\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}-{\vec {j}}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}+{\vec {k}}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

(1.16)

Długość wyniku iloczynu wektorowego

Znając długość kąta między wektorami składowymi iloczynu wektorowego, iloczyn wektorowy operujący na długościach wektorów można przedstawić :

$|{\vec {c}}|=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \alpha \;$

(1.17)

W celu udowodnienia wzoru (1.17) podnieśmy go do kwadratu i wykorzystamy wzór na jedynkę trygonometryczną, otrzymamy:

${\vec {c}}^{\,2}={\vec {a}}^{\,2}{\vec {b}}^{\,2}\sin ^{2}\alpha \Rightarrow {\vec {c}}^{\,2}={\vec {a}}^{\,2}{\vec {b}}^{\,2}(1-\cos ^{2}\alpha )\Rightarrow {\vec {c}}^{\,2}={\vec {a}}^{\,2}{\vec {b}}^{\,2}-{\vec {a}}^{\,2}{\vec {b}}^{\,2}\cos ^{2}\alpha \;$

(1.18)

Do tożsamości (1.18) wykorzystajmy wzór na iloczyn skalarny (1.7), wówczas możemy napisać :

${\vec {c}}^{\,2}={\vec {a}}^{\,2}{\vec {b}}^{\,2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}\Leftrightarrow \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)^{2}={\vec {a}}^{\,2}{\vec {b}}^{\,2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}\;$

(1.19)

Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzorów na długość dowolnego wektora (1.6) i alternatywnego wzoru na iloczyn skalarny (1.8), znając współrzędne składowych wektorów ${\vec {a}}\;$ i ${\vec {b}}\;$, skąd można wyznaczyć składowe wektorów iloczynu wektorowego. Zatem (1.19) na podstawie naszych rozważań zapisujemy:

$(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})^{2}+(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x})^{2}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})^{2}=(a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2})(b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2})-(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})^{2}\;$

(1.20)

Lewą stronę równości (1.20) możemy rozpisać w sposób:

$L=a_{y}^{2}b_{z}^{2}+a_{z}^{2}b_{y}^{2}-2a_{y}a_{z}b_{y}b_{z}+a_{x}^{2}b_{z}^{2}+a_{z}^{2}b_{x}^{2}-2a_{x}a_{z}b_{x}b_{z}+a_{x}^{2}b_{y}^{2}+a_{y}^{2}b_{x}^{2}-2a_{x}a_{y}b_{x}b_{y}\;$

(1.21)

Prawą stronę równości (1.20) piszemy w postaci:

$P=a_{x}^{2}b_{x}^{2}+a_{x}^{2}b_{y}^{2}+a_{x}^{2}b_{z}^{2}+a_{y}^{2}b_{x}^{2}+a_{y}^{2}b_{y}^{2}+a_{y}^{2}b_{z}^{2}+a_{z}^{2}b_{x}^{2}+a_{z}^{2}b_{y}^{2}+a_{z}^{2}b_{z}^{2}-a_{x}^{2}b_{x}^{2}-a_{y}^{2}b_{y}^{2}-a_{z}^{2}b_{z}^{2}-2a_{x}a_{y}b_{x}b_{y}-2a_{x}a_{z}b_{x}b_{z}+\;$
$-2a_{y}a_{z}b_{y}b_{z}\;$

(1.22)

Po redukcji wyrazów podobnych w wyrażeniu (1.22) dochodzimy do wniosku, że zachodzi L=P, zatem udowodniliśmy, że spełniona jest tożsamość (1.20), a zatem (1.17).

Iloczyn mieszany

Korzystając z (1.16), iloczyn mieszany przedstawiamy przyjmując η=1, wówczas skrętność dwóch składowych iloczynu wektorowego i samego wyniku jest taka sama jak skrętność układu odniesienia, w której zanurzone są te trzy wspomniane wektory.

${\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=[c_{x},c_{y},c_{z}][d_{x},d_{y},d_{z}]=c_{x}{\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}-c_{y}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}+c_{z}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{x}&c_{y}&c_{z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}$

(1.23)

Udowodniliśmy zatem, że wzór (1.23) jest taki sam jak (1.10), z tą różnicą, że η musi być równe jeden.

Z definicji wyznacznika oraz definicji iloczynu mieszanego (1.23) zachodzi:

${\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})\;$

(1.24)

Właściwości podwójnego iloczynu wektorowego

Napiszmy pewną tożsamość, którą udowodnimy później:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}({\vec {a}}{\vec {c}})-{\vec {c}}({\vec {a}}{\vec {b}})\;$

(1.25)

Poniżej przedstawiony jest dowód z użyciem definicji iloczynu wektorowego (1.16) i iloczynu skalarnego za pomocą współrzędnych wektorów (1.8), wchodzących w skład podwójnego iloczynu wektorowego. Skorzystamy tu z nieformalnej definicji iloczynu wektorowego w przestrzeni trójwymiarowej jako macierzy, w której występują ortonormalne wersory.

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {a}}\times {\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\{\begin{vmatrix}b_{y}&b_{z}\\c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}b_{z}&b_{x}\\c_{z}&c_{x}\\\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}b_{x}&b_{y}\\c_{x}&c_{y}\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}&b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}&b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}\end{vmatrix}}=$
$={\vec {i}}[a_{y}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})-a_{z}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})]+{\vec {j}}[a_{z}(b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y})-a_{x}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})]+{\vec {k}}[a_{x}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})-a_{y}(b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y})]=\;$
$={\vec {i}}(b_{x}a_{y}c_{y}-c_{x}a_{y}b_{y}-c_{x}a_{z}b_{z}+b_{x}a_{z}c_{z})+{\vec {j}}(b_{y}a_{z}c_{z}-c_{y}a_{z}b_{z}-c_{y}a_{x}b_{x}+b_{y}a_{x}c_{x})+\;$
$+{\vec {k}}(b_{z}a_{x}c_{x}-c_{z}a_{x}b_{x}-c_{z}a_{y}b_{y}+b_{z}a_{y}c_{y})={\vec {i}}b_{x}(a_{x}c_{x}+a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})-{\vec {i}}c_{x}(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})+\;$
$+{\vec {j}}b_{y}(a_{z}c_{z}+a_{x}c_{x}+a_{x}c_{x})-{\vec {j}}c_{y}(a_{z}b_{z}+a_{y}b_{y}+a_{x}b_{x})+{\vec {k}}b_{z}(a_{x}c_{x}+c_{y}a_{y}+a_{z}c_{z})-{\vec {k}}c_{z}(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})=\;$
$=({\vec {i}}b_{x}+{\vec {j}}b_{y}+{\vec {k}}b_{z})(a_{x}c_{x}+a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})-({\vec {i}}c_{x}+{\vec {j}}c_{y}+{\vec {k}}c_{z})(a_{x}c_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})={\vec {b}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)-{\vec {c}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)$

(1.26)

Co kończy dowód.

Symbole Leviego-Civity w iloczynie wektorowym

Iloczyn wektorowy (1.16) można alternatywnie przedstawić w łatwiejszy sposób, tzn. za pomocą symboli Leviego-Civity w układach prostokątnych:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$

(1.27)

• gdzie: symbol ε_ijk, nazywany symbolem Leviego-Civity, definiujemy w sposób:

$\epsilon _{ijk}={\begin{cases}1&{\mbox{gdy }}ijk{\mbox{ jest to permutacja parzysta }}(1,2,3)\\0&{\mbox{gdy }}i=j{\mbox{ lub }}j=k{\mbox{ lub }}k=i\\-1&{\mbox{gdy }}ijk{\mbox{ jest to permutacja nieparzysta }}(1,2,3)\\\end{cases}}$

(1.28)

Widzimy, że w definicji (1.28) dla każdej parzystej permutacji (1,2,3) we wskaźnikach ijk, symbol Leviego-Civity daje nam wartość 1 (jeden), a dla każdej nieparzystej permutacji daje nam wartość -1 (minus jeden). Gdy wskaźniki w ijk się powtarzają, wówczas symbol ten jest z oczywistych powodów równy zero. Jeśli mamy układy ogólnie krzywoliniowe (zakrzywione), wtedy (1.27) przepisać możemy w postaci:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})^{i}={\epsilon ^{i}}_{jk}a^{j}b^{k}$

(1.29)

Załóżmy, że (1.29) jest spełnione dla układów początkowo prostokątnych, wtedy z definicji transformacji wektora według algebry, mamy:

$x^{i}={\overline {x}}^{i^{i}}{\Lambda ^{i}}_{i^{'}}\;$

(1.30)

Wykorzystajmy transformację (1.30) do tożsamości (1.29) napisaną jako transformacja z dowolnych układów współrzędnych krzywoliniowych (zakrzywionych) do układów prostokątnych płaskich, co:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})^{i}{{\overline {\Lambda }}^{i^{'}}}_{i}={\epsilon ^{i}}_{jk}{{\overline {\Lambda }}^{i^{'}}}_{i}{\Lambda ^{j}}_{j^{'}}{\Lambda ^{k}}_{k^{'}}{\overline {a}}^{j^{'}}{\overline {b}}^{k^{'}}\Rightarrow {\overline {({\vec {a}}\times {\vec {b}})}}^{i^{'}}={{\epsilon }^{i}}_{jk}{{\overline {\Lambda }}^{i^{'}}}_{i}{\Lambda ^{j}}_{j^{'}}{\Lambda ^{k}}_{k^{'}}{\overline {a}}^{j^{'}}{\overline {b}}^{k^{'}}={{\overline {\epsilon }}^{i^{'}}}_{j^{'}k^{'}}{\overline {a}}^{j^{'}}{\overline {b}}^{k^{'}}\;$

(1.31)

Gdzie symbole Leviego-Civity w (1.31), zapisujemy:

${{\overline {\epsilon }}^{i^{'}}}_{j^{'}k^{'}}={\epsilon ^{i}}_{jk}{{\overline {\Lambda }}^{i^{'}}}_{i}{\Lambda ^{j}}_{j^{'}}{\Lambda ^{k}}_{k^{'}}\;$

(1.32)

Symbole Leviego-Civity z primami i nadkreśleniami, to są dla układów ogólnie krzywoliniowych (zakrzywionych), a bez primów bez nadkreśleń te symbole są dla układów, ale tym razem dla prostokątnych, czyli wzór (1.29) jest dla układów ogólnie krzywoliniowych (zakrzywionych), jak udowodniliśmy z przestawieniem symboli Leviego-Civity według (1.32).

Zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera

Mając już wyznaczony wzór na podwójny iloczyn wektorowy (1.25) załóżmy, że kolejno wektory ${\vec {a}}\;$, ${\vec {b}}\;$, ${\vec {c}}\;$ są równe wektorom bazy kanonicznej trójwymiarowego euklidesowego układu współrzędnych, tzn. są zapisane:

${\vec {e}}_{1}=(1,0,0)\;$

(1.33)

${\vec {e}}_{2}=(0,1,0)\;$

(1.34)

${\vec {e}}_{3}=(0,0,1)\;$

(1.35)

dlatego podwójny iloczyn wektorowy (1.25) zapisujemy:

${\vec {e}}_{i}\times ({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k})={\vec {e}}_{j}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{k})-{\vec {e}}_{k}({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{j})\;$

(1.36)

Znając definicję wersorów kanonicznych trójwymiarowego układu współrzędnych (1.33), (1.34) i (1.35), oraz wykorzystując definicję iloczynu wektorowego przy pomocy symboli Leviego-Civity, którego kolejne wektory są wektorami bazy kanonicznej (1.36), możemy utworzyć następującą tożsamość:

$\epsilon _{pil}\epsilon _{ljk}=\delta _{pj}\delta _{ik}-\delta _{pk}\delta _{ij}\;$

(1.37)