Metody matematyczne fizyki/Transformacja Laplace'a

Transformacja Laplace'a

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

W wielu zastosowaniach technicznych, a w szczególności w teorii obwodów elektrycznych spotykamy się z transformacjami Laplace'a, które są odpowiednikiem transformacji Fouriera. Funkcje, które stanowią bazę transformacji Laplace'a, które zaczęto je nazywać oryginałami.

Definicja transformaty prostej Laplace'a

Transformatą L[f] oryginału f jest to funkcja zależna od oryginału f(t), która to z kolei zależy od zmiennej "t", którą określamy:

$L[f(t)]=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt\;$

(18.1)

Zwykle transformatę funkcji f, czyli L[f(t)] oznaczamy symbolem ${\tilde {f}}(s)\;$.

Przykłady transformat Laplace'a

Tutaj podamy transformaty Laplace'a dla wielu funkcji elementarnych, które możemy wyznaczyć z prostych reguł całkowania z analizy matematycznej.

Lp.	Oryginał f	Transformata ${\tilde {f}}\;$
1	$1\;$	${{1} \over {s}}\;$
2	$t^{a}\;$	${{\Gamma (a+1)} \over {s^{a+1}}}{\mbox{ }}(a>-1)\;$
3	$e^{-\lambda t}\;$	${{1} \over {s+\lambda }}\;$
4	$e^{-\lambda t}t^{a}\;$	${{\Gamma (a+1)} \over {(s+\lambda )^{a+1}}}\;$
5	$\sin \omega t\;$	${{\omega } \over {s^{2}+\omega ^{2}}}{\mbox{ }}(\omega >0)\;$
6	$\cos \omega t\;$	${{s} \over {s^{2}+\omega ^{2}}}\;$
7	$t^{n}\sin \omega t\;$	$n!{{\operatorname {Im} (s+i\omega )^{n+1}} \over {(s^{2}+\omega ^{2})^{n+1}}}\;$
8	$t^{n}\cos \omega t\;$	$n!{{\operatorname {Im} (s+i\omega )^{n+1}} \over {(s^{2}+\omega ^{2})^{n+1}}}\;$
9	$\sinh \omega t\;$	${{\omega } \over {s^{2}-\omega ^{2}}}\;$
10	$\cosh \omega t\;$	${s \over {s^{2}-\omega ^{2}}}\;$
11	${{e^{-at}} \over {\sqrt {\pi t}}}\;$	${{1} \over {\sqrt {s+a}}}\;$

Transformacja odwrotna

Jeśli znamy transformatę funkcji ${\tilde {f}}\;$, którą wyliczyliśmy dla funkcji f według wzoru (18.1), to funkcję f(t) można wyznaczyć korzystając ze:

$f(t)={{1} \over {2\pi i}}\int _{x-i\infty }^{x+i\infty }e^{zt}{\tilde {f}}(z)dz\;$

(18.2)

• gdzie z=x+iy i dz=idy.

Aby udowodnić wzór (18.2), który omawia przejście z transformaty Laplace'a z funkcji ${\tilde {f}}(z)\;$ do funkcji f(t), którą to transformatę wyznaczamy z powyższego wzoru, zatem przejdźmy do właściwego etapu dowodu. Do transformaty odwrotnej Laplace'a podstawiamy wzór na jego transformatę prostą Laplace'a i w rezultacie mamy:

$\int _{x-i\infty }^{x+i\infty }e^{zt}{\tilde {f}}(z)dz=i\int _{-\infty }^{\infty }e^{(x+iy)t}dy\int _{0}^{\infty }e^{-(x+iy)\tau }f(\tau )d\tau =i\lim _{A\rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }e^{x(t-\tau )}f(\tau )d\tau \int _{-A}^{A}e^{iy(t-\tau )}dy=\;$
$=i\lim _{A\rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }e^{x(t-\tau )}f(\tau )d\tau \left[{{e^{iA(t-\tau )}-e^{-iA(t-\tau )}} \over {i(t-\tau )}}\right]_{-A}^{A}=i\lim _{A\rightarrow \infty }\int _{0}^{\infty }e^{x(t-\tau )}f(\tau )d\tau {{2\sin A(t-\tau )} \over {t-\tau }}=\;$
$=2\pi i\int _{0}^{\infty }e^{x(t-\tau )}f(\tau )d\tau \lim _{A\rightarrow \infty }{{\sin A(t-\tau )} \over {\pi (t-\tau )}}$

(18.3)

Funkcja napisana wewnątrz wzoru (18.3) jest deltą Diraca. którego to określamy:

$\delta (t-\tau )=\lim _{A\rightarrow \infty }{{\sin A(t-\tau )} \over {\pi (t-\tau )}}\;$

(18.4)

Na podstawie definicji delty Diraca, tym razem przestawionego w punkcie (18.4), która występuje w obliczeniach (18.3), i według właściwości delty Diraca możemy dokończyć te nasze obliczenia:

$2\pi i\int _{0}^{\infty }e^{x(t-\tau )}f(\tau )d\tau \delta (t-\tau )=2\pi i\int _{0}^{\infty }e^{x(t-\tau )}f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau =2\pi if(t)\;$

(18.5)

Na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie (18.5) i (18.4) udowodniliśmy, że transformata odwrotna, która jest przestawiona wzorem (18.2) jest transformatą odwrotną do transformaty prostej zapisaną wzorem (18.1).

Transformata Laplace'a pochodnej

We wzorze (18.1) podstawimy, zamiast funkcji f(t) funkcję f'(t), to całkując tak otrzymany wzór przez części dostajemy obraz:

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}f'(t)dt=f(t)e^{-st}{\Bigg |}_{0}^{\infty }+s\int _{0}^{\infty }e^{-st}f^{'}(t)dt=-f(0)+s{\tilde {f}}(s)\;$

(18.6)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (18.6) transformata pochodnej funkcji f(s) przestawiamy:

${\tilde {f}}^{'}(s)=s{\tilde {f}}(s)-f(0)\;$

(18.7)

Analogicznie wyprowadzamy transformatę drugiej pochodnej, którą to określamy przeprowadzając jednocześnie obliczenia wykorzystując wzór (18.7):

${\tilde {f}}^{''}(s)=s{\tilde {f}}^{'}(s)-f^{'}(0)=s^{2}{\tilde {f}}(s)-sf(0)-f^{'}(0)\;$

(18.8)

Transformata Laplace'a całki z oryginału

Określmy funkcję pierwotną z oryginału, którym jest całka, która dla argumentu t=0 jest równa zero, co wynika z definicji całki:

$F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \;$

(18.9)

Wyznaczmy transformatę funkcji F(t) określoną wzorem (18.9), zatem te obliczenia możemy przeprowadzić jako:

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}F(t)dt=-{{1} \over {s}}e^{-st}F(t){\Bigg |}_{0}^{\infty }+{{1} \over {s}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}F'(t)dt={{1} \over {s}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt={{{\tilde {f}}(s)} \over {s}}\;$

(18.10)

W drugiej równości w obliczeniach (18.10) pierwszy wyraz jest równy zero, bo F(0)=0 i $\lim _{t\rightarrow \infty }e^{-st}=0\;$. Według przeprowadzonych obliczeń w punkcie (18.10) transformata powyżej całki jest przestawiana:

${\tilde {F}}(t)={{{\tilde {f}}(s)} \over {s}}\;$

(18.11)

Transformata funkcji przesuniętej

Jeśli transformatą funkcji f(t) jest funkcja $L[f(s)]\;$, to oczywiste jest, że transformatą funkcji f(t-a) jest funkcja f_a(t), którą liczymy:

$L[f_{a}(s)]=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t-a)dt=\int _{0}^{\infty }e^{-s(t-a)-sa}f(t-a)dt=e^{-sa}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=e^{-sa}{\tilde {f}}(s)\;$

(18.12)

Transformata funkcji f(at) dla a>0

Wyznaczamy transformatę funkcji f(at) dokonując podstawienia u=at, by potem policzyć transformatę szukanej funkcji:

$L[f(at)]=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(at)dt={{1} \over {a}}\int _{0}^{\infty }e^{-{{s} \over {a}}at}f(at)d(at)={{1} \over {a}}\int _{0}^{\infty }e^{-{{s} \over {a}}u}f(u)d(u)={{1} \over {a}}{\tilde {f}}\left({{s} \over {a}}\right)\;$

(18.13)