Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do funkcji zespolonej

Wprowadzenie do funkcji zespolonej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się tutaj zajmować funkcjami, którego argumenty mają wartości zespolone, a wartością tejże opisywanej funkcji jest wartość należącej do zbioru liczb zespolonych.

Przestawienie algebraiczne liczb zespolonych

(Rys. 8.1) Płaszczyzna zespolona

Wprowadźmy jednostkę liczb urojoną "i", którego kwadrat jest równy minus jeden, zatem każdą liczbę zespoloną piszemy:

$z=\operatorname {Re} (z)+i\operatorname {Im} (z)=x+iy\;$

(8.1)

Część rzeczywista liczby zespolonej zapisanej wzorem (8.1) oznaczamy symbolem Re(z), a część urojoną symbolem Im(z).

Płaszczyzna zespolona

Każdą liczbę zespoloną możemy przestawić w postaci punktu na płaszczyźnie zespolonej, bo liczby zespolone według wzoru (8.1) mają część rzeczywistą i urojoną, a część urojona występuje przy symbolu i. Wszystkie liczby zespolone wypełniają całą płaszczyznę zespoloną, co przestawiamy rysunkiem z prawej strony.

Przestawienie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i eksponencjalnej

Przestawienie trygonometryczne

(Rys. 8.2) Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Jeśli oś iksowa jest osią części rzeczywistej liczby zespolonej w przedstawieniu (8.1), a część igrekowa jest osią części urojonej wspomnianego przestawienia liczby zespolonej, co jest napisane według rysunku obok, liczbą zespoloną w przestawieniu zespolonej nazywamy przestawienie:

$z=\rho \left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\;$

(8.2)

• Gdzie modułem ρ liczby zespolonej nazywamy przestawienie zapisane przy pomocy części rzeczywistej i urojonej liczby zespolonej w postaci:

$\rho ={\sqrt {Re(z)^{2}+Im(z)^{2}}}\;$

(8.3)

Przestawienie eksponencjalne liczby zespolonej

Przestawieniem eksponencjalne liczby zespolonej nazywamy przestawienie w postaci wzoru:

$z=\rho e^{i\phi }\;$

(8.4)

• gdzie kąt φ jest to ten sam kąt napisaną w przestawieniu trygonometrycznym we wzorze (8.2).

Aby wyznaczyć równoważność między oba przestawieniami liczby zespolonej, tzn. między (8.2) i (8.4) należy wyznaczyć wyrażenie poniżej, korzystając przestawienia funkcji kosinus i sinus w jego przedstawieniu według Taylora, wtedy:

$\cos \phi +i\sin \phi =\left(1-{{\phi ^{2}} \over {2!}}+{{\phi ^{4}} \over {4!}}-...\right)+i\left(\phi -{{\phi ^{3}} \over {3!}}+{{\phi ^{5}} \over {5!}}+...\right)=1+i\phi -{{\phi ^{2}} \over {2!}}-i{{\phi ^{3}} \over {3!}}+{{\phi ^{4}} \over {4!}}+i{{\phi ^{5}} \over {5!}}+...=\;$
$=1+(i\phi )+{{(i\phi )^{2}} \over {2!}}+{{(i\phi )^{3}} \over {3!}}+{{(i\phi )^{4}} \over {4!}}+{{(i\phi )^{5}} \over {5!}}+...=e^{i\phi }\;$

(8.5)

Na podstawie obliczeń (8.5) wykazaliśmy równoważność wzorów (8.4) i (8.2).

Operacje różniczkowania na funkcjach zespolonych a funkcje holomorficzne

Jeśli funkcję zespoloną przestawimy jako funkcję jednej zmiennej zespolonej, czyli jako funkcje dwóch zmiennych rzeczywistych, wtedy z twierdzenia o różniczce zupełnej dla liczby zespolonej różniczkę funkcji f możemy napisać:

$df={{\partial f} \over {\partial x}}dx+{{\partial f} \over {\partial y}}dy\;$

(8.6)

Wzór (8.6) możemy zapisać w sposób równoważny (ale jego równoważność udowodnimy później) wedle sposobu:

$df={{1} \over {2}}\left[{{\partial f} \over {\partial x}}-i{{\partial f} \over {\partial y}}\right]\left(dx+idy\right)+{{1} \over {2}}\left[{{\partial f} \over {\partial x}}+i{{\partial f} \over {\partial y}}\right]\left(dx-idy\right)\;$

(8.7)

Aby przeprowadzić równoważność pomiędzy przestawieniami tej samej różniczki df, czyli wzorów (8.6) i (8.7) przy pomocy rozpisywania jej na części rzeczywistą i urojonej, co wynika z przestawienia liczby zespolonej (8.1).

$df=\left\{{{1} \over {2}}\left[{{\partial f} \over {\partial x}}-i{{\partial f} \over {\partial y}}\right]+{{1} \over {2}}\left[{{\partial f} \over {\partial x}}+i{{\partial f} \over {\partial y}}\right]\right\}dx+i\left\{{{1} \over {2}}\left[{{\partial f} \over {\partial x}}-i{{\partial f} \over {\partial y}}\right]-{{1} \over {2}}\left[{{\partial f} \over {\partial x}}+i{{\partial f} \over {\partial y}}\right]\right\}dy={{\partial f} \over {\partial x}}dx+{{\partial f} \over {\partial y}}dy$

(8.8)

Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń (8.8) równoważność wzorów (8.6) i (8.7), co było nam do udowodnienia.

Policzmy teraz dla funkcji zespolonej pochodną funkcją f względem liczby z, a także pochodną tej samej funkcji co poprzednio, ale względem liczby zespolonej sprzężonej do niego, co matematycznie te dwie pochodne piszemy:

${{\partial f} \over {\partial z}}={{1} \over {2}}\left[{{\partial f} \over {\partial x}}-i{{\partial f} \over {\partial y}}\right]\;$

(8.9)

${{\partial f} \over {\partial {\overline {z}}}}={{1} \over {2}}\left[{{\partial f} \over {\partial x}}+i{{\partial f} \over {\partial y}}\right]\;$

(8.10)

Wprowadzając oznaczenia (8.9) i (8.10) do wzoru (8.7), wtedy on przechodzi w:

$df={{\partial f} \over {\partial z}}dz+{{\partial f} \over {\partial {\overline {z}}}}d{\overline {z}}\;$

(8.11)

Funkcją holomorficzną nazywamy funkcję, która jest pochodną funkcji f względem ${\overline {z}}\;$, czyli wyrażenie (8.10) jest równe zero. Przestawmy funkcję zespoloną f(z) w postaci zespolonej przy pomocy funkcji u(x,y), która jest częścią rzeczywistą wspomnianej funkcji zespolonej, a także funkcji v(x,y), która jest częścią urojoną funkcji zespolonej, zatem tą naszą funkcję przestawiamy na podstawie (8.1) w postaci:

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\;$

(8.12)

Pochodną cząstkową (8.10) piszemy przy pomocy wzoru (8.12) wedle sposobu:

${{\partial f} \over {\partial {\overline {z}}}}={{1} \over {2}}\left[\left({{\partial u} \over {\partial x}}+i{{\partial v} \over {\partial x}}\right)+i\left({{\partial u} \over {\partial y}}+i{{\partial v} \over {\partial y}}\right)\right]={{1} \over {2}}\left[{{\partial u} \over {\partial x}}-{{\partial v} \over {\partial y}}+i\left({{\partial v} \over {\partial x}}+{{\partial u} \over {\partial y}}\right)\right]\;$

(8.13)

Aby funkcja f była funkcją holomorficzną, to na podstawie wzoru końcowego (8.13) muszą być spełnione związki:

${{\partial u} \over {\partial x}}={{\partial v} \over {\partial y}}\;$

(8.14)

${{\partial u} \over {\partial y}}=-{{\partial v} \over {\partial x}}\;$

(8.15)

Całkowanie we przestrzeni funkcji zespolonych

Całkowanie funkcji (8.12) po konturze w przestrzeni zespolonej nazywamy całkowaniem, które zapisujemy wedle wzoru:

$\int _{C}f(z)dz=\int _{C}(u+iv)(dx+idy)=\int _{C}\left(udx-vdy\right)+i\int _{C}\left(vdx+udy\right)\;$

(8.16)

Jesli wykorzystamy twierdzenie Greena znanej z analizy matematycznej, otrzymujemy:

$\int _{C}f(x,y)dx+g(x,y)dy=\int _{S}\left({{\partial g} \over {\partial x}}-{{\partial f} \over {\partial y}}\right)dxdy\;$

(8.17)

Całkę (8.12), korzystając przy tym z twierdzenia całki okrężnej funkcji Greena, zapisujemy:

$\oint _{C}f(z)dz=\int _{S}\left(-{{\partial u} \over {\partial y}}-{{\partial v} \over {\partial x}}\right)dxdy+i\int _{S}\left({{\partial u} \over {\partial x}}-{{\partial v} \over {\partial y}}\right)dxdy\;$

(8.18)

Dla funkcji holomorficznej całka okrężna (8.18), a stąd również (8.16), czyli na podstawie wzorów (8.14) i (8.15), przyjmuje wartość zero.

Wyprowadzenie wzoru całkowego Cauchy'ego

Jest to całka funkcji zapisanej w przestrzeni zespolonej, którą możemy okreslić w następujący sposób:

$f(z)={{1} \over {2\pi i}}\oint {{f(t)} \over {t-z}}dt\;$

(8.19)

Całkowanie występujące we wzorze (8.19) możemy tak przekształcić, by po dokonaniu do niego podstawienia $t-z=re^{i\phi }\;$, stąd możemy napisać wzór na dt, czyli $dt=ire^{i\phi }dt\;$, by otrzymać w ostateczności przekształcone wyrażenie całkowe:

$\oint {{f(t)} \over {t-z}}dt=\oint {{f(z+re^{i\phi })} \over {re^{i\phi }}}ire^{i\phi }d\phi =i\oint f(z+re^{\phi })d\phi \;$

(8.20)

Możemy wybrać takie całkowanie wokół punktu osobliwego z, by promień okręgu okalający wspomniany punkt osobliwy dążył do zera, zatem całkę (8.18) piszemy wedle:

$i\oint f(z+re^{\phi })d\phi =i\int _{0}^{2\pi }f(z_{0})d\phi =if(z_{0})\int _{0}^{2\pi }d\phi =2\pi if(z_{0})\;$

(8.21)

Na podstawie wzorów (8.21), (8.20) dochodzimy do wniosku, że spełniony jest wzór (8.19).

Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu

Szeregiem Laurenta nazywamy szereg określony wzorem poniżej, względem potęg jego dodatnich i ujemnych wraz z potęgą zero, zapisanej za pomocą współczynników a_-n i b_n, czyli we wspomnianym wzorze występuje wszelkie potęgi wyrazu (z-z₀), zatem na tej podstawie nasz szereg:

$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\sum _{l=1}^{\infty }b_{l}(z-z_{0})^{l}\;$

(8.22)

Następnym krokiem jest wyznaczenie wyrażenia poniżej całkując wokół pewnego punktu z₀, dokonując podstawienia $z-z_{0}=re^{i\phi }\;$, otrzymujemy:

$\oint (z-z_{0})^{k}dz=\oint r^{k}e^{ik\phi }ire^{i\phi }d\phi =ir^{k+1}\int _{0}^{2pi}e^{i(k+1)\phi }d\phi \;$

(8.23)

We wzorze (8.23), gdy k=-1, wtedy wspomniany wzór jest równy 2πi;, ale gdy k≠-1, wtedy wspomniany wcześniej wzór jest równoważny całce:

$ir^{k+1}\int _{0}^{2\pi }e^{i(k+1)\phi }d\phi =ir^{k+1}{{1} \over {i(k+1)}}e^{i(k+1)\phi }{\Bigg |}_{0}^{2\pi }=ir^{k+1}{{1} \over {i(k+1)}}\left(e^{i(k+1)2\pi }-1\right)=ir^{k+1}{{1} \over {i(k+1)}}(1-1)=0\;$

(8.24)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (8.24) i dla k=-1 dochodzimy do wniosku, że dla poszczególnych k, mamy:

$\oint _{C}(z-z_{0})^{k}dz={\begin{cases}0&{\mbox{ dla }}k\neq -1\\2\pi i&{\mbox{ dla }}k=-1\\\end{cases}}\;$

(8.25)

Dalszym krokiem jest wyznaczenie czynników a_-n i b_n, zatem wyznaczmy teraz ten pierwszy czynnik, zatem w obliczeniach poniżej występuje po odpowiednich obliczeniach suma całek, w której wszystkie całki oprócz jednej są równe zero, tzn. oprócz s=n, zatem te całki, które są równe zero od razu pomijamy w trzecim przekształceniu, zatem końcowa całka jest już poznana, bo ona omawiana była w punkcie (8.17):

${{1} \over {2\pi i}}\oint (z-z_{0})^{n-1}f(z)={{1} \over {2\pi i}}\oint (z-z_{0})^{n-1}\left(\sum _{s=1}^{\infty }a_{-s}(z-z_{0})^{-s}+\sum _{l=1}^{\infty }b_{l}(z-z_{0})^{l}\right)={{1} \over {2\pi i}}a_{-n}\oint {{1} \over {(z-z_{0})}}dz=\;$
$={{1} \over {2\pi i}}a_{-n}2\pi i=a_{-n}\;$

(8.26)

Dalszym krokiem jest wyznaczenie czynników b_n, zatem w obliczeniach poniżej występuje po odpowiednich obliczeniach suma całek, w której wszystkie całki oprócz jednej są równa zero, tzn. oprócz l=n, zatem te całki, które są równe zero od razu pomijamy w trzecim przekształceniu, to końcowa całka jest już znana, bo ona omawiana była w punkcie (8.19), wtedy możemy napisać:

${{1} \over {2\pi i}}\oint {{f(z)} \over {(z-z_{0})^{m+1}}}={{1} \over {2\pi i}}\oint {{1} \over {(z-z_{0})^{m+1}}}\left(\sum _{s=1}^{\infty }a_{-s}(z-z_{0})^{-s}+\sum _{l=1}^{\infty }b_{l}(z-z_{0})^{l}\right)={{1} \over {2\pi i}}b_{n}\oint {{1} \over {(z-z_{0})}}dz=\;$
$={{1} \over {2\pi i}}b_{n}2\pi i=b_{n}\;$

(8.27)

Na podstawie końcowych obliczeń współczynniki szeregu Laurenta (8.22) w przeprowadzonych obliczeniach, w celu ich wyznaczenia w punktach (8.26) i (8.27), są równe:

$a_{-n}={{1} \over {2\pi i}}\oint _{C}(z-z_{0})^{n-1}f(z)dz\;$

(8.28)

$b_{m}={{1} \over {2\pi i}}\oint _{C}{{f(z)} \over {(z-z_{0})^{m+1}}}dz\;$

(8.29)

Zastosowanie definicji residuum funkcji

Przeprowadźmy całkowanie funkcji zespolonej w przestrzeni zespolonej po linii zamkniętej, wtedy ta funkcja podcałkowa, jeśli ją przestawimy szeregiem Laurenta, to wszystkie całki wyrazów oprócz wyrazu z czynnikiem a_-1 znikają, czyli są równe zero, zatem zostaje tylko wyraz ze wspomnianym czynnikiem. Jeśli funkcja podcałkowa f(z) ma kilka residuów, to szereg Laurenta jest sumą szeregów Laurenta dla różnych x₀, czyli (8.22), zatem dochodzimy do wniosku z właściwości (8.25), że jeśli gdy ma jedno residuum, to wtedy

$\oint f(z)=2\pi i\operatorname {Res} f(z_{0})\;$

(8.30)

A dla kilku residuum, tzn. funkcja f(z) ma kilka osobliwych punktów, to z własności funkcji Laurenta dla kilku punktów osobliwych mamy:

$\oint _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{j}\operatorname {Res} f(z_{j})\;$

(8.31)

Wyznaczanie residuum funkcji

Niech szereg Laurenta (8.22) posiada wyraz, który to w mianowniku (z-z_j) wykładnik potęgi ma nawiększą wartość w porównaniu z wykładnikami potęgi w mianowniku z innymi wyrazami należącego do tego szeregu:

$f(z)={{a_{-m}} \over {(z-z_{j})^{m}}}+{{a_{-m+1}} \over {(z-z_{j})^{m-1}}}+...$

(8.32)

Wtedy residuum funkcji (8.32) wyznaczamy przy pomocy wzoru poniżej, przy punkcie osobliwym z_j.

$\operatorname {Res} f(z_{j})={{1} \over {(m-1)!}}\lim _{z\rightarrow z_{j}}\left[(z-z_{j})^{m}f(z)\right]^{(m-1)}\;$

(8.33)

Zaraz wytłumaczymy wzór (8.33), zatem do dzieła. Szereg (8.32) mnożymy obustronnie przez (z-z_j)^m, w ten sposób likwidujemy wszystkie wyrazy ujemne z-z_j. Przy czynniku a_-1 pojawi się potęga (z-z_j)^m-1. Tak otrzymany szereg różniczkujemy m-1 razy likwidując tym samym współczynnik a_-n z wyjatkiem a_-1, aby wyszedł czynnik a_-1 należy tak otrzymane wyrażenie podzielić przez (m-1)!. Na samym końcu przechodzimy do granicy przy $_{z\rightarrow z_{j}}\;$, by potem otrzymać wzór (8.33). Co kończy dowód tego twierdzenia.

Dalszy ciąg badania funkcji holomorficznych

Niech mamy dwa wektory określone jako pochodne wektorów wodzących w kartezjańskim układzie współrzędnym, które określamy jako pochodną cząstkową z tych wektorów względem pewnych parametrów charakteryzujących te nasze omawiane wektory.

${\vec {T}}_{1}={{\partial {\vec {r}}_{1}} \over {\partial s_{1}}}\;$

(8.34)

${\vec {T}}_{2}={{\partial {\vec {r}}_{2}} \over {\partial s_{2}}}\;$

(8.35)

Kat między wektorami (8.34) a (8.35) określamy ze wzoru na iloczyn skalarny, zatem znając długości wektorów ${\vec {T}}_{1}\;$, ${\vec {T}}_{2}\;$ i ich iloczyn skalarny, to możemy policzyć kosinus kąta pomiędzy naszymi omawianymi wektorami.

$\cos \alpha ={{({\vec {T}}_{1},{\vec {T}}_{2})} \over {||{\vec {T}}_{1}||||{\vec {T}}_{2}||}}\;$

(8.36)

Określmy macierz pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji (8.16) względem zmiennych x i y, zatem tą macierz określamy wedle sposobu poniżej, przekształcimy tą macierz z warunku na holomorficzność funkcji (8.12), czyli ze wzoru określająca tą właściwość funkcji, tj. (8.14) i (8.15).

$F={\begin{bmatrix}{{\partial u} \over {\partial x}}&{{\partial u} \over {\partial y}}\\{{\partial v} \over {\partial x}}&{{\partial v} \over {\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{{\partial u} \over {\partial x}}&{{\partial u} \over {\partial y}}\\-{{\partial u} \over {\partial y}}&{{\partial u} \over {\partial x}}\end{bmatrix}}\;$

(8.37)

Okreslmy teraz wektor ${\vec {Y}}\;$ w nowych zmiennych (u, v) określany podobnie jak w punkcie dla wektora ${\vec {r}}_{1}\;$ i ${\vec {r}}_{2}\;$, czyli przy pomocy (8.34) i (8.35):

${\vec {Y}}={{d{\vec {w}}} \over {\partial s}}={{\partial (u,v)} \over {\partial (x,y)}}{{d(x,y)} \over {ds}}=F^{'}{\vec {T}}\;$

(8.38)

Kąt pomiędzy dwoma różnymi wektorami (8.38) wyznaczamy z definicji iloczynu skalarnego dla przestrzeni euklidesowej przestawionej w postaci macierzowej znanej z algebry, zatem jak się przekonamy, że porównując kąty pomiędzy wektorami określanymi według wzoru (8.36), a kątem pomiędzy wektorami (8.34) i (8.35), to jak się przekonamy są kątami sobie równymi.

$\cos \beta ={{(F^{'}{\vec {T}}_{1},F^{'}{\vec {T}}_{2})} \over {||F^{'}{\vec {T}}_{1}||||F^{'}{\vec {T}}_{2}||}}={{{\vec {T}}_{1}^{T}(F^{'})^{T}A^{'}F^{'}{\vec {T}}} \over {|{\vec {T}}_{1}^{T}(F^{'})^{T}A^{'}F^{'}{\vec {T}}_{1}||{\vec {T}}_{2}^{T}(F^{'})^{T}A^{'}F^{'}{\vec {T}}_{2}|}}={{({\vec {T}}_{1},{\vec {T}}_{2})} \over {||{\vec {T}}_{1}||||{\vec {T}}_{2}||}}=\cos \alpha \;$

(8.39)