Metody matematyczne fizyki/Operatory różniczkowe

Operatory różniczkowe

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Operator Nabla

Operator nabla oznaczamy symbolem ∇, jest wektorem różniczkowania, każda jego składowa jest pochodną cząstkową za każdym razem po innej współrzędnej trójwymiarowego układu współrzędnej, tzn. po kolei x,y,z, jego definicja jest:

$\nabla =\sum _{i=1}^{3}{\vec {k_{i}}}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}={\vec {i}}{{\partial f} \over {\partial x}}+{\vec {j}}{{\partial f} \over {\partial y}}+{\vec {k}}{{\partial f} \over {\partial z}}$

(7.1)

Baza ortogonalna we współrzędnych uogólnionych

Niech znamy funkcję transformująca współrzędne uogólnione trójwymiarowego układu współrzędnych transformujących się według ${\vec {r}}=f({\vec {q}})$ do trójwymiarowego układu kartezjańskiego, wtedy możemy napisać definicję na wektory jednostkowe zależne od "i" w krzywoliniowym układzie współrzędnych jako:

${\vec {e_{i}}}={{{\partial {\vec {r}}} \over {\partial q_{i}}} \over {||{\vec {e_{i}}}||}}$, gdzie: $||{\vec {e_{i}}}||=\left|\left|{{\partial {\vec {r}}} \over {\partial q_{i}}}\right|\right|$

(7.2)

Niech operator ∇ działa na współrzędną uogólnioną q_r, wtedy wynik tej operacji rozkładamy w bazie ${\vec {e}}_{k}\;$ opisywaną wzorem (7.2), którego wersory z założenia są prostopadłe do siebie:

$\nabla q_{r}=\sum _{k=1}^{3}\alpha _{kr}{\vec {e_{k}}}$

(7.3)

Ale wektory ${\vec {e_{r}}}$ tworzą bazę wektorów bazowych unormowanych i ortogonalnych do jedności, to pomnóżmy ostatni wzór obustronnie przez wektor ${\vec {e_{n}}}$, to:

$\nabla q_{r}{\vec {e_{n}}}=\sum _{k=1}^{3}\alpha _{kr}{\vec {e_{k}}}{\vec {e_{n}}}\Rightarrow \nabla q_{r}{\vec {e_{n}}}=\sum _{k=1}^{3}\alpha _{kr}\delta _{kn}\Rightarrow \nabla q_{r}{\vec {e_{n}}}=\alpha _{rn}$

(7.4)

Jeśli zastąpimy wektor ${\vec {e}}_{n}\;$ przez jego definicję (7.2) we wzorze (7.4), wtedy możemy napisać lewą stronę tego równania:

$\sum _{i=1}^{3}{\vec {k_{i}}}{{\partial q_{r}} \over {\partial x_{i}}}{{{\partial \sum _{s=1}^{3}{\vec {k_{s}}}{\vec {x_{s}}}} \over {\partial q_{n}}} \over {||{\vec {e_{n}}}||}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{s=1}^{3}{\vec {k_{i}}}{\vec {k_{s}}}{{\partial q_{k}} \over {\partial x_{i}}}{{\partial x_{s}} \over {\partial q_{n}}}{{1} \over {||e_{n}||}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{s=1}^{3}\delta _{is}{{\partial q_{r}} \over {\partial x_{i}}}{{\partial x_{s}} \over {\partial q_{n}}}{{1} \over {||e_{n}||}}={{1} \over {||e_{r}||}}\sum _{i=1}^{3}{{\partial q_{r}} \over {\partial x_{i}}}{{\partial x_{i}} \over {\partial q_{n}}}={{1} \over {||e_{n}||}}\delta _{rn}=\alpha _{rn}$

(7.5)

Wzór (7.3) na podstawie przeprowadzonych obliczeń (7.5) piszemy przy definicji wersora (7.2):

$\nabla q_{k}={{\vec {e_{k}}} \over {||{\vec {e_{k}}}||}}$

(7.6)

Operator Nabla we współrzędnych uogólnionych

Napiszmy operator ∇, który jest we współrzędnych trójwymiarowego układu współrzędnych kartezjańskich, który przekształcimy przy pomocy wzoru (7.6), by póżniej przepisać jego definicję we współrzędnych uogólnionych:

$\nabla =\sum _{i=1}^{3}{\vec {k_{i}}}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{r=1}^{3}{\vec {k_{i}}}{{\partial q_{r}} \over {\partial x_{i}}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}=\sum _{r=1}^{3}\nabla q_{r}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}=\sum _{r=1}^{3}{{\vec {e_{r}}} \over {||e_{r}||}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}$

(7.7)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (7.7), operator ∇ napisany jest we współrzędnych uogólnionych przy pomocy wersorów uogólnionego układu współrzędnych:

$\nabla =\sum _{r=1}^{3}{{\vec {e_{r}}} \over {||e_{r}||}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}$

(7.8)

Operator ∇ we współrzędnych cylindrycznych i kulistych

Operator Nabla we współrzędnych cylindrycznych

Niech mamy wektor wodzący danego punktu w trójwymiarowym układzie współrzędnych ${\vec {r}}\;$ w zależności od współrzędnych cylindrycznych, tzn. od (ρ,θ,z), którego piszemy:

${\vec {r}}=[\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z]$

(7.9)

Wektory bazy cylindrycznego układu współrzędnych obliczamy, korzystając przy tym z definicji wektora wodzącego w układzie kartezjańskich (7.9) i przy wykorzystaniu definicji ortogonalnych wersorów (7.2), którego są definicjami wektorów bazowych uogólnionego układu współrzędnych:

${{\partial {\vec {r}}} \over {\partial \rho }}=[\cos \theta ,\sin \theta ,0]\;$ (7.10)	$||e_{r}||=\left|\left|{{\partial {\vec {r}}} \over {\partial \rho }}\right|\right|=1\;$ (7.11)	${\vec {e}}_{\rho }=[\cos \theta ,\sin \theta ,0]\;$ (7.12)
${{\partial {\vec {r}}} \over {\partial \theta }}=[-\rho \sin \theta ,\rho \cos \theta ,0]\;$ (7.13)	$||e_{\theta }||=\left|\left|{{\partial {\vec {r}}} \over {\partial \theta }}\right|\right|=\rho \;$ (7.14)	${\vec {e_{\theta }}}=[-\sin \theta ,\cos \theta ,0]\;$ (7.15)
${{\partial {\vec {r}}} \over {\partial z}}=[0,0,1]\;$ (7.16)	$||{\vec {e_{z}}}||=\left|\left|{{\partial {\vec {r}}} \over {\partial z}}\right|\right|=1\;$ (7.17)	${\vec {e_{z}}}=[0,0,1]$ (7.18)

Jeśli wykorzystamy wzory (7.12), (7.15) i (7.18), którego definicję operatora ∇ wyjdziemy z (7.8), którego ten nasz operator był początkowo zapisany we współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych opisywanego wzorem (7.1), to we współrzędnych cylindrycznych piszemy go:

$\nabla ={\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{\vec {e_{z}}}{{\partial } \over {\partial z}}$

(7.19)

Operator Nabla we współrzędnych kulistych

We współrzędnych kulistych wektor wodzący ${\vec {r}}\;$, napisany we współrzędnych kartezjańskich układu współrzędnych w zależności od współrzędnych kulistych, jest zdefiniowany:

${\vec {r}}=[\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi ]$

(7.20)

Korzystając z wektora wodzącego w układzie kartezjańskich (7.20) i przy wykorzystaniu wzoru (7.2), wtedy możemy wyznaczyć wersory uogólnionego układu współrzędnych:

${{\partial {\vec {r}}} \over {\partial \rho }}=[\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ]\;$ (7.21)	$||{\vec {e}}_{\rho }||=1\;$ (7.22)	${\vec {e}}_{\rho }=[\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ]\;$ (7.23)
${{\partial {\vec {r}}} \over {\partial \theta }}=[-\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta \sin \phi ,0]\;$ (7.24)	$||{\vec {e_{\theta }}}||=\rho \sin \phi \;$ (7.25)	${\vec {e_{\theta }}}=[-\sin \theta ,\cos \theta ,0]\;$ (7.26)
${{\partial {\vec {r}}} \over {\partial \phi }}=[\rho \cos \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \cos \phi ,-\rho \sin \phi ]\;$ (7.27)	$||e_{\phi }||=\rho \;$ (7.28)	$e_{\phi }=[\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,-\sin \phi ]\;$ (7.29)

Jeśli wykorzystamy wzory (7.23), (7.26) i (7.29), którego definicję operatora ∇ wyjdziemy z (7.8), którego ten nasz operator był początkowo zapisanej we współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych opisywanej wzorem (7.1), a we współrzędnych kulistych piszemy go:

$\nabla ={\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{{\vec {e}}_{\theta }} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{{\vec {e}}_{\phi }} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}$

(7.30)

Operator Δ

Kwadrat operatora ∇, czyli operator Δ piszemy przy definicji operatora wspomnianego operatora ∇ (7.1), którego to operator tutaj rozważany wychodzi z definicji operatora ∇ i ortogonalności wersorów w kartezjańskim układzie współrzędnych:

$\Delta =\nabla ^{2}=\nabla \nabla =\sum _{i=1}^{3}{\vec {k_{i}}}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}\sum _{r=1}^{3}{\vec {k_{i}}}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{r=1}^{3}{\vec {k_{i}}}{\vec {k_{r}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{i}\partial x_{r}}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{r=1}^{3}\delta _{ri}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{i}\partial x_{r}}}=\sum _{i=1}^{3}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{i}^{2}}}$

(7.31)

Wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie (7.31) operator Δ piszemy we współrzędnych kartezjańskich wedle sposobu zapisanego poniżej, jako sumą drugich pochodnych względem każdej ze zmiennych, tzn. x, y ,z:

$\Delta =\sum _{i=1}^{3}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{i}^{2}}}$

(7.32)

Operator Δ we współrzędnych uogólnionych

Operator Δ we współrzędnych uogólnionych zapisujemy jako kwadrat operatora ∇ we współrzędnych uogólnionych (7.8), wtedy możemy napisać tą tożsamość operatorową dla tego opisywanego tutaj operatora:

$\Delta =\nabla \nabla =\nabla \sum _{r=1}^{3}{{\vec {e_{r}}} \over {||e_{r}||}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}=\sum _{m=1}^{3}{{\vec {e_{m}}} \over {||e_{m}||}}{{\partial } \over {\partial q_{m}}}\sum _{r=1}^{3}{{\vec {e_{r}}} \over {||e_{r}||}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}=\sum _{m=1}^{3}\sum _{r=1}^{3}{{\vec {e_{m}}} \over {||e_{m}||}}{{\partial } \over {\partial q_{m}}}{{{\vec {e_{r}}} \over {||e_{r}||}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}}$

(7.33)

Zatem na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (7.33) dla kwadratu operatora ∇, czyli operatora Δ, którego definicja we współrzędnych uogólnionych jest:

$\Delta =\sum _{m=1}^{3}\sum _{r=1}^{3}{{\vec {e_{m}}} \over {||e_{m}||}}{{\partial } \over {\partial q_{m}}}\left\{{{\vec {e_{r}}} \over {||e_{r}||}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}\right\}$

(7.34)

Operator Δ w układzie cylindrycznym i kulistym

Operator Δ we współrzędnych cylindrycznych

Wyznaczmy operator Δ we współrzędnych cylindrycznych (7.9), wykorzystując wzór na operator Δ zapisanego w sposób ogólny dla współrzędnych w dowolnym układzie krzywoliniowym (7.34):

$\Delta =\sum _{m=1}^{3}\sum _{r=1}^{3}{{\vec {e_{m}}} \over {||e_{m}||}}{{\partial } \over {\partial q_{m}}}\left\{{{{\vec {e}}_{r}} \over {||e_{r}||}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}\right\}={\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{\vec {e_{z}}}{{\partial } \over {\partial z}}\right)+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{\vec {e_{z}}}{{\partial } \over {\partial z}}\right)+$

$+{\vec {e_{z}}}{{\partial } \over {\partial z}}\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{\vec {e_{z}}}{{\partial } \over {\partial z}}\right)={\vec {e}}_{\rho }\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial ^{2}} \over {\partial \rho ^{2}}}+{\vec {e_{\theta }}}{{\partial } \over {\partial \rho }}\left({{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\right)+{\vec {e_{z}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \rho \partial z}}\right)+{\vec {e}}_{\rho }\left({{\partial {\vec {e}}_{\rho }} \over {\partial \rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\partial {\vec {e_{\theta }}}} \over {\partial \rho }}{{\partial } \over {\rho \partial \theta }}+{{\partial {\vec {e_{z}}}} \over {\partial \rho }}{{\partial } \over {\partial z}}\right)+$
$+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho }}\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta \partial \rho }}+{\vec {e_{\theta }}}{{\partial } \over {\partial \theta }}{{\partial } \over {\rho \partial \theta }}+{\vec {e_{z}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta \partial z}}\right)+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho }}\left({{\partial {\vec {e_{\theta }}}} \over {\partial \theta }}{{\partial } \over {\partial \rho }}-{\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\rho \partial \theta }}+{{\partial {\vec {e_{z}}}} \over {\partial \theta }}{{\partial } \over {\partial z}}\right)+{\vec {e_{z}}}\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial ^{2}} \over {\partial z\partial \rho }}+{\vec {e_{\theta }}}{{\partial } \over {\partial z}}{{\partial } \over {\rho \partial \theta }}+{\vec {e_{z}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}\right)+$

$+{\vec {e_{z}}}\left({{\partial e_{\rho }} \over {\partial z}}{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\partial {\vec {e_{\theta }}}} \over {\partial z}}{{\partial } \over {\rho \partial \theta }}+{{\partial {\vec {e_{\theta }}}} \over {\partial z}}{{\partial } \over {\partial z}}\right)={{\partial ^{2}} \over {\partial \rho ^{2}}}+{{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\partial ^{2}} \over {\rho ^{2}\partial \theta ^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}={{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}\left(\rho {{\partial } \over {\partial \rho }}\right)+{{1} \over {\rho ^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}$

(7.35)

Ostatecznie wzór na operator Δ zapisanego we współrzędnych cylindrycznych jako kwadrat operatora ∇ zapisujemy jako:

$\Delta ={{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}\left(\rho {{\partial } \over {\partial \rho }}\right)+{{1} \over {\rho ^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{\partial ^{2}} \over {\partial z^{2}}}$

(7.36)

Operator Δ we współrzędnych kulistych

Wyznaczmy operator Δ opisany we kulistym układzie współrzędnych (7.20) wykorzystując wzór na operator Δ we współrzędnych uogólnionych (7.34):

$\Delta =\sum _{m=1}^{3}\sum _{r=1}^{3}{{\vec {e_{m}}} \over {||e_{m}||}}{{\partial } \over {\partial q_{m}}}\left\{{{{\vec {e}}_{\rho }} \over {||e_{r}||}}{{\partial } \over {\partial q_{r}}}\right\}={\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}\left[{\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right]+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}{\Bigg [}{\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+\;$
$+{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}{\Bigg ]}+{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\left[{\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right]={\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}\right)+{\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}\left({{e_{\theta }} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\right)+{\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}\left({{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right)+\;$
$+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\left({{\vec {e}}_{\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}\right)+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\left({{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\right)+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\left({{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right)+{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}\right)+{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\left({{e_{\theta }} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\right)+\;$
$+{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\left({{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right)={{\partial ^{2}} \over {\partial \rho ^{2}}}+\underbrace {{\vec {e}}_{\rho }{{\partial {\vec {e}}_{\rho }} \over {\partial \rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}} _{0}+\underbrace {{\vec {e}}_{\rho }{\vec {e_{\theta }}}{{\partial } \over {\partial \rho }}({{1} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }})} _{0}+\underbrace {{\vec {e}}_{\rho }{{\partial {\vec {e_{\theta }}}} \over {\partial \rho }}{{1} \over {\rho \sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}} _{0}+\underbrace {{\vec {e}}_{\rho }{\vec {e_{\phi }}}{{\partial } \over {\partial \rho }}\left({{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right)} _{0}+\underbrace {{\vec {e}}_{\rho }{{\partial {\vec {e_{\phi }}}} \over {\partial \rho }}{{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \phi }}} _{0}+\;$
$+\underbrace {{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}{\vec {e}}_{\rho }{{\partial ^{2}} \over {\partial \rho \partial \theta }}} _{0}+{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho \sin \phi }}\underbrace {{\partial {\vec {e}}_{\rho }} \over {\partial \theta }} _{\sin \phi {\vec {e_{\theta }}}}{{\partial } \over {\partial \rho }}+{{{\vec {e_{\theta }}}{\vec {e_{\theta }}}} \over {\rho ^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+\underbrace {{{\vec {e_{\theta }}} \over {\rho ^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial {\vec {e_{\theta }}}} \over {\partial \theta }}{{\partial } \over {\partial \theta }}} _{0}+\underbrace {{{{\vec {e_{\theta }}}{\vec {e_{\phi }}}} \over {\rho ^{2}\sin \phi }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta \partial \phi }}} _{0}+{{{1} \over {\rho ^{2}\sin \phi }}\underbrace {{\vec {e_{\theta }}}{{\partial {\vec {e_{\phi }}}} \over {\partial \theta }}} _{\cos \phi }{{\partial } \over {\partial \phi }}}+\;$
$+\underbrace {{{{\vec {e_{\phi }}}{\vec {e_{\rho }}}} \over {\rho }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \phi \partial \rho }}} _{0}+{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho }}\underbrace {{\partial {\vec {e_{\rho }}}} \over {\partial \phi }} _{\vec {e_{\phi }}}{{\partial } \over {\partial \rho }}+\underbrace {{{{\vec {e_{\phi }}}{\vec {e_{\theta }}}} \over {\rho ^{2}}}{{\partial } \over {\partial \phi }}{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}} _{0}+\underbrace {{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho ^{2}\sin \phi }}{{\partial {\vec {e_{\theta }}}} \over {\partial \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}} _{0}+{{{\vec {e_{\phi }}}{\vec {e_{\phi }}}} \over {\rho ^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \phi ^{2}}}+\underbrace {{{\vec {e_{\phi }}} \over {\rho ^{2}}}{{\partial {\vec {e_{\phi }}}} \over {\partial \phi }}{{\partial } \over {\partial \phi }}} _{0}={{\partial ^{2}} \over {\partial \rho ^{2}}}+{{2} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}+\;$
$+{{1} \over {\rho ^{2}\sin ^{2}\phi }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{1} \over {\rho ^{2}}}\operatorname {ctg} \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}+{{1} \over {\rho ^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial \phi ^{2}}}$

(7.37)

Aby przestawić końcowy wzór wynikających z obliczeń (7.37) musimy przekształcić pewne tożsamości, zatem dokonajmy obliczeń na wzorach ogólnych:

${{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\sin \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}={{1} \over {\sin \phi }}\cos \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}+{{1} \over {\sin \phi }}\sin \phi {{\partial ^{2}} \over {\partial \phi ^{2}}}=\operatorname {ctg} \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}+{{\partial ^{2}} \over {\partial \phi ^{2}}}$

(7.38)

A teraz wyznaczmy drugą tożsamość operatorową wykorzystując twierdzenie o pochodnej iloczynu i z faktu istnienia jedynki operatorowej, zatem to drugie przekształcenie operatorowe możemy napisać sposobem:

${{1} \over {\rho }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \rho ^{2}}}(\rho )={{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}(\rho )={{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}(r{{\partial } \over {\partial \rho }}+{\hat {1}})={{\partial ^{2}} \over {\partial \rho ^{2}}}+{{2} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \rho }}$

(7.39)

Operator Δ napisanej początkowo w punkcie (7.37) przy przekształceniach przeprowadzonych według (7.38) i (7.39) na pewnych wyrażeniach operatorowych, to wzór na operator Δ we współrzędnych kulistych piszemy wedle sposobu:

$\Delta ={{1} \over {\rho }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \rho ^{2}}}(\rho )+{{1} \over {\rho ^{2}}}\left({{1} \over {\sin ^{2}\phi }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\sin \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}\right)$

(7.40)

Powyższe równanie na Δ (7.40) można inaczej przedstawić przy pomocy operatora Λ, gdzie ten ostatni operator zależy tylko od współrzędnych kątowych w kulistym układzie współrzędnym:

$\Delta ={{1} \over {\rho }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \rho ^{2}}}(\rho )+{{1} \over {\rho ^{2}}}\Lambda$

(7.41)

• gdzie definicja operatora Λ:

$\Lambda ={{1} \over {\sin ^{2}\phi }}{{\partial ^{2}} \over {\partial \theta ^{2}}}+{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \phi }}\sin \phi {{\partial } \over {\partial \phi }}$

(7.42)

Rotacja we współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych i kulistych

Rotacja we współrzędnych kartezjańskiej

Rotacje operatora nabla przy działaniu na jej funkcję wektorową ${\vec {f}}\;$ piszemy na podstawie definicji iloczynu wektorowego zapisanego w punkcie (1.16):

$\nabla \times {\vec {f}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{{\partial } \over {\partial x}}&{{\partial } \over {\partial y}}&{{\partial } \over {\partial z}}\\f_{x}&f_{y}&f_{z}\end{vmatrix}}={\vec {i}}\left({{\partial f_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial f_{y}} \over {\partial z}}\right)+{\vec {j}}\left({{\partial f_{x}} \over {\partial z}}-{{\partial f_{z}} \over {\partial x}}\right)+{\vec {k}}\left({{\partial f_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial f_{x}} \over {\partial y}}\right)$

(7.43)

Rotacja we współrzędnych cylindrycznych

Aby wyznaczyć we współrzędnych cylindrycznych wektor ${\vec {f}}\;$, w którym to w układzie współrzędnych obowiązują wektory ortogonalne:

${\vec {f}}=\sum _{i}f_{i}{\vec {e}}_{i}\;$

(7.44)

Bardzo ważnym dla nas spotkaniem jest policzenie współrzędnych kartezjańskich w zależności od współrzędnych cylindrycznego układu współrzędnych, zatem korzystając ze wzorów na wektory bazowe cylindrycznym układzie współrzędnym, tzn. wektory (7.12), (7.15) i (7.18), wtedy możemy wyznaczyć trzy równania tworzące układ równań:

${\begin{cases}f_{x}=f_{\rho }\cos \theta -f_{\theta }\sin \theta \\f_{y}=f_{\rho }\sin \theta +f_{\theta }\cos \theta \\f_{z}=f_{z}\end{cases}}\;$

(7.45)

Operatory jednostkowe w cylindrycznym układzie współrzędnych w zależności od wersorów w kartezjańskim układzie współrzędnych są:

${\begin{cases}{\vec {i}}\cos \theta +{\vec {j}}\sin \theta ={\vec {e}}_{\rho }\\-{\vec {j}}\sin \theta +{\vec {j}}\cos \theta ={\vec {e}}_{\theta }\\{\vec {k}}={\vec {e}}_{z}\end{cases}}\;$

(7.46)

Wyznaczmy wektory jednostkowe w kartezjańskiego układzie współrzędnych, wiedząc, że wyznacznik główny układu równań (7.46) jest równy jeden, wtedy możemy wyznaczyć te wektory, bo wspomniany układ jest układem Cramera:

${\begin{cases}{\vec {i}}={\vec {e}}_{\rho }\cos \theta -\sin \theta {\vec {e}}_{\theta }\\{\vec {j}}=\cos \theta {\vec {e}}_{\theta }+\sin \theta {\vec {e}}_{\rho }\end{cases}}\;$

(7.47)

Mając otrzymane wzory napisane w punkcie (7.47), które są przepisem na wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów ortogonalnej bazy w układzie cylindrycznym, a także korzystając z trzech tożsamości (7.45), wtedy możemy napisać rotację wektora ${\vec {f}}\;$ używając jego formalnej definicji (7.43):

$\nabla \times {\vec {f}}=\left({\vec {e}}_{\rho }\cos \theta -\sin \theta {\vec {e}}_{\theta }\right)\left[\left(\sin \theta {{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\cos \theta } \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\right)f_{z}-\left({{\partial } \over {\partial z}}\right)\left(f_{\rho }\sin \theta +f_{\theta }\cos \theta \right)\right]+\left(\cos \theta {\vec {e}}_{\theta }+\sin \theta {\vec {e}}_{\rho }\right){\bigg [}{{\partial } \over {\partial z}}{\bigg (}f_{\rho }\cos \theta +\;$
$-f_{\theta }\sin \theta {\bigg )}-\left(\cos \theta {{\partial } \over {\partial \rho }}-{{\sin \theta } \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\right)f_{z}{\bigg ]}+{\vec {e}}_{z}{\Bigg [}\left(\cos \theta {{\partial } \over {\partial \rho }}-{{\sin \theta } \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\right)\left(f_{\rho }\sin \theta +\cos \theta f_{\theta }\right)-\left(\sin \theta {{\partial } \over {\partial \rho }}+{{\cos \theta } \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}\right)\cdot \;$
$\cdot \left(f_{\rho }\cos \theta -f_{\theta }\sin \theta \right){\Bigg ]}={\vec {e}}_{\rho }{\Bigg [}\cos \theta \sin \theta {{\partial f_{z}} \over {\partial \rho }}+{{\cos ^{2}\theta } \over {\rho }}{{\partial f_{z}} \over {\partial \theta }}-\sin \theta \cos \theta {{\partial f_{\rho }} \over {\partial z}}-\cos ^{2}\theta {{\partial f_{\theta }} \over {\partial z}}+\sin \theta \cos \theta {{\partial f_{\rho }} \over {\partial z}}-\sin ^{2}\theta {{\partial f_{\theta }} \over {\partial z}}+\;$
$-\sin \theta \cos \theta {{\partial f_{z}} \over {\partial \rho }}+{{\sin ^{2}\theta } \over {\rho }}{{\partial f_{z}} \over {\partial \theta }}{\Bigg ]}+{\vec {e}}_{\theta }{\Bigg [}-\sin ^{2}\theta {{\partial f_{z}} \over {\partial \rho }}-{{\sin \theta \cos \theta } \over {\rho }}{{\partial f_{z}} \over {\partial \theta }}+\sin ^{2}\theta {{\partial f_{\rho }} \over {\partial z}}+\sin \theta \cos \theta {{\partial f_{\theta }} \over {\partial z}}+\cos ^{2}\theta {{\partial f_{\rho }} \over {\partial z}}+\;$
$-\cos \theta \sin \theta {{\partial f_{\theta }} \over {\partial z}}-\cos ^{2}\theta {{\partial f_{z}} \over {\partial \rho }}+{{\cos \theta \sin \theta } \over {\rho }}{{\partial f_{z}} \over {\partial \theta }}{\Bigg ]}+{\vec {e}}_{z}{\Bigg [}\cos \theta \sin \theta {{\partial f_{\rho }} \over {\partial \rho }}+\cos ^{2}\theta {{\partial f_{\theta }} \over {\partial \rho }}-{{\sin ^{2}\theta } \over {\rho }}{{\partial f_{\rho }} \over {\partial \theta }}-{{\cos \theta \sin \theta } \over {\rho }}f_{r}+\;$
$-{{\sin \theta \cos \theta } \over {\rho }}{{\partial f_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{\sin ^{2}\theta } \over {\rho }}f_{\theta }-\sin \theta \cos \theta {{\partial f_{\rho }} \over {\partial \rho }}+\sin ^{2}\theta {{\partial f_{\theta }} \over {\partial \rho }}-{{\cos ^{2}\theta } \over {\rho }}{{\partial f_{\rho }} \over {\partial \theta }}+{{\cos \theta \sin \theta } \over {\rho }}f_{\rho }+{{\cos \theta \sin \theta } \over {\rho }}{{\partial f_{\theta }} \over {\partial \theta }}+{{\cos ^{2}\theta } \over {\rho }}f_{\theta }{\Bigg ]}=\;$
$={\vec {e}}_{\rho }\left[{{1} \over {\rho }}{{\partial f_{z}} \over {\partial }\theta }-{{\partial f_{\theta }} \over {\partial z}}\right]+{\vec {e}}_{\theta }\left[{{\partial f_{\rho }} \over {\partial z}}-{{\partial f_{z}} \over {\partial \rho }}\right]+{\vec {e}}_{z}\left[{{\partial f_{\theta }} \over {\partial \rho }}-{{1} \over {\rho }}{{\partial f_{\rho }} \over {\partial \theta }}+{{1} \over {\rho }}f_{\theta }\right]$

(7.48)

Rotacja wektora ${\vec {f}}\;$, która jest zdefiniowana przy pomocy argumentów cylindrycznego układu współrzędnych jest napisana w troszeczkę uproszczonej postaci, ale równoważnej do rotacji obliczonego w punkcie (7.48), to w końcu dochodzimy do wniosku:

$\operatorname {rot} {\vec {f}}=\nabla \times {\vec {v}}={\vec {e}}_{\rho }\left[{{1} \over {\rho }}{{\partial f_{z}} \over {\partial }\theta }-{{\partial f_{\theta }} \over {\partial z}}\right]+{\vec {e}}_{\theta }\left[{{\partial f_{\rho }} \over {\partial z}}-{{\partial f_{z}} \over {\partial \rho }}\right]+{\vec {e}}_{z}{{1} \over {\rho }}\left[{{\partial (\rho f_{\theta })} \over {\partial \rho }}-{{\partial f_{\rho }} \over {\partial \theta }}\right]\;$

(7.49)

Rotacja we współrzędnych kulistej

Aby wyznaczyć całkę we współrzędnych cylindrycznych, to wektor ${\vec {f}}\;$, w którym to układzie współrzędnych obowiązują wektory ortogonalizowane, piszemy wedle:

${\vec {f}}=\sum _{i}f_{i}{\vec {e}}_{i}\;$

(7.50)

Bardzo ważnym dla spotkaniem jest policzenie współrzędnych kartezjańskich w zależności od współrzędnych kulistego układu współrzędnych, zatem korzystając ze wzorów na wektory bazowe w naszym układzie współrzędnym, tzn. wektory (7.23), (7.26) i (7.29), zatem możemy wyznaczyć trzy równania tworzące układ równań:

${\begin{cases}f_{x}=f_{\rho }\cos \theta \sin \phi -f_{\theta }\sin \theta +f_{\phi }\cos \theta \cos \phi \\f_{y}=f_{\rho }\sin \theta \sin \phi +f_{\theta }\cos \theta +f_{\phi }\sin \theta \cos \phi \\f_{z}=f_{\rho }\cos \phi -f_{\phi }\sin \phi \\\end{cases}}\;$

(7.51)

Wyznaczmy operatory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów bazy jednostkowej cylindrycznego układu współrzędnych:

${\begin{cases}{\vec {e}}_{r}={\vec {i}}\cos \theta \sin \phi +{\vec {j}}\sin \theta \sin \phi +{\vec {k}}\cos \phi \\{\vec {e}}_{\theta }=-{\vec {i}}\sin \theta +{\vec {j}}\cos \theta \\{\vec {e}}_{\phi }={\vec {i}}\cos \theta \cos \phi +{\vec {j}}\sin \theta \cos \phi -{\vec {k}}\sin \phi \end{cases}}$

(7.52)

Wyznaczmy wyznacznik główny układu równań określonych w punkcie (7.52), którego definicja jest dla powyższego układu równań:

$W={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \phi \\-\sin \theta &\cos \theta &0\\\cos \theta \cos \phi &\sin \theta \cos \phi &-\sin \phi \end{vmatrix}}=\cos \phi {\begin{vmatrix}-\sin \theta &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\sin \theta \cos \phi \end{vmatrix}}-\sin \phi {\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &\sin \theta \sin \phi \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{vmatrix}}=\;$
$\cos \phi \left(-\sin ^{2}\theta \cos \phi -\cos ^{2}\theta \cos \phi \right)-\sin \phi \left(\cos ^{2}\theta \sin \phi +\sin ^{2}\theta \sin \phi \right)=-\cos ^{2}\phi -\sin ^{2}\phi =-1\;$

(7.53)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (7.53) wyznacznik główny układu równań (7.52) jest równy minus jeden, czyli jego wartość bezwzględna jest równa jeden, co nam ułatwi później bardzo obliczenia. Następnym krokiem dla naszego rozważanego układu równań (7.52) jest wyznaczenie wyznacznika:

$W_{x}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{r}&\sin \theta \sin \phi &\cos \phi \\{\vec {e}}_{\theta }&\cos \theta &0\\{\vec {e}}_{\phi }&\sin \theta \cos \phi &-\sin \phi \end{vmatrix}}=\cos \phi {\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{\theta }&\cos \theta \\{\vec {e}}_{\phi }&\sin \theta \cos \phi \end{vmatrix}}-\sin \phi {\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{r}&\sin \theta \sin \phi \\{\vec {e}}_{\theta }&\cos \theta \end{vmatrix}}=$
$=\cos \phi \left({\vec {e}}_{\theta }\sin \theta \cos \phi -{\vec {e}}_{\phi }\cos \theta \right)-\sin \phi \left({\vec {e}}_{r}\cos \theta -{\vec {e}}_{\theta }\sin \theta \sin \phi \right)=-{\vec {e}}_{r}\cos \theta \sin \phi +{\vec {e}}_{\theta }\left(\sin \theta \cos ^{2}\phi +\sin \theta \sin ^{2}\phi \right)+\;$
$-{\vec {e}}_{\phi }\cos \theta \cos \phi =-{\vec {e}}_{r}\cos \theta \sin \phi +{\vec {e}}_{\theta }\sin \theta -{\vec {e}}_{\phi }\cos \theta \cos \phi$

(7.54)

Następnym krokiem jest wyznaczenie wyznacznika W_y dla układu równań (7.52):

$W_{y}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &{\vec {e}}_{r}&\cos \phi \\-\sin \theta &{\vec {e}}_{\theta }&0\\\cos \theta \cos \phi &{\vec {e}}_{\phi }&-\sin \phi \\\end{vmatrix}}=\cos \phi {\begin{vmatrix}-\sin \theta &{\vec {e}}_{\theta }\\\cos \theta \cos \phi &{\vec {e}}_{\phi }\end{vmatrix}}-\sin \phi {\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &{\vec {e}}_{r}\\-\sin \theta &{\vec {e}}_{\theta }\end{vmatrix}}=\;$
$=\cos \phi \left(-\sin \theta {\vec {e}}_{\phi }-\cos \theta \cos \phi {\vec {e}}_{\theta }\right)-\sin \phi \left(\cos \theta \sin \phi {\vec {e}}_{\theta }+\sin \theta {\vec {e}}_{r}\right)=-{\vec {e}}_{r}\sin \theta \sin \phi +{\vec {e}}_{\theta }\left(-\cos \theta \cos ^{2}\phi -\cos \theta \sin ^{2}\phi \right)+$
$+{\vec {e}}_{\phi }\left(-\sin \theta \cos \phi \right)=-{\vec {e}}_{r}\sin \theta \sin \phi -{\vec {e}}_{\theta }\cos \theta -{\vec {e}}_{\phi }\sin \theta \cos \phi$

(7.55)

Następnym krokiem jest wyznaczenie wyznacznika W_z dla układu równań (7.52):

$W_{z}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &\sin \theta \sin \phi &{\vec {e}}_{r}\\-\sin \theta &\cos \theta &{\vec {e}}_{\theta }\\\cos \theta \cos \phi &\sin \theta \cos \phi &{\vec {e}}_{\phi }\end{vmatrix}}={\vec {e}}_{r}{\begin{vmatrix}-\sin \theta &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\sin \theta \cos \phi \\\end{vmatrix}}-{\vec {e}}_{\theta }{\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &\sin \theta \sin \phi \\\cos \theta \cos \phi &\sin \theta \cos \phi \end{vmatrix}}+\;$
$+{\vec {e}}_{\phi }{\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &\sin \theta \sin \phi \\-\sin \theta &\cos \theta \end{vmatrix}}={\vec {e}}_{r}\left(-\sin ^{2}\theta \cos \phi -\cos ^{2}\theta \cos \phi \right)-{\vec {e}}_{\theta }\left(\sin \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi -\sin \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi \right)+\;$
$+{\vec {e}}_{\phi }\left(\cos ^{2}\theta \sin \phi +\sin ^{2}\theta \sin \phi \right)=-{\vec {e}}_{r}\cos \phi +{\vec {e}}_{\phi }\sin \phi \;$

(7.56)

Wyznaczmy czemu są równe wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów w kulistym układzie odniesienia wykorzystując fakt, że macierz główna układu W, czyli układu (7.53) jest równa minus jeden, i wyznaczniki W_i, które są już wyznaczone w punktach (7.54), (7.55) i (7.56), zatem te wersory obowiązujące w układzie kartezjańskim w zależność od wersorów w układzie kulistymi są napisane:

${\begin{cases}{\vec {i}}={\vec {e}}_{r}\cos \theta \sin \phi -{\vec {e}}_{\theta }\sin \theta +{\vec {e}}_{\phi }\cos \theta \cos \phi \\{\vec {j}}={\vec {e}}_{r}\sin \theta \sin \phi +{\vec {e}}_{\theta }\cos \theta +{\vec {e}}_{\phi }\sin \theta \cos \phi \\{\vec {k}}={\vec {e}}_{r}\cos \phi -{\vec {e}}_{\phi }\sin \phi \end{cases}}\;$

(7.57)

Otrzymane wzory napisane w punkcie (7.57), które są przepisem na wektory jednostkowe w kartezjańskim układzie współrzędnych w zależności od wektorów ortogonalnej bazy w układzie kulistym, a także korzystając z trzech tożsamości (7.51), zatem możemy napisać rotację wektora ${\vec {f}}\;$ używając jego formalnej definicji w układzie współrzędnych kartezjańskich (7.43):

$\operatorname {rot} {\vec {f}}=\nabla \times {\vec {f}}=\left({\vec {e}}_{r}\cos \theta \sin \phi -{\vec {e}}_{\theta }\sin \theta +{\vec {e}}_{\phi }\cos \theta \cos \phi \right)\left({{\partial f_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial f_{y}} \over {\partial z}}\right)+\left({\vec {e}}_{r}\sin \theta \sin \phi +{\vec {e}}_{\theta }\cos \theta +{\vec {e}}_{\phi }\sin \theta \cos \phi \right)\cdot \;$
$\cdot \left({{\partial f_{x}} \over {\partial z}}-{{\partial f_{z}} \over {\partial x}}\right)+\left({\vec {e}}_{r}\cos \phi -{\vec {e}}_{\phi }\sin \phi \right)\left({{\partial f_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial f_{x}} \over {\partial y}}\right)={\vec {e}}_{r}{\Bigg [}\cos \theta \sin \phi \left({{\partial f_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial f_{y}} \over {\partial z}}\right)+\sin \theta \sin \phi \left({{\partial f_{x}} \over {\partial z}}-{{\partial f_{z}} \over {\partial x}}\right)+\;$
$+\cos \phi \left({{\partial f_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial f_{x}} \over {\partial y}}\right){\Bigg ]}+{\vec {e}}_{\theta }\left[-\sin \theta \left({{\partial f_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial f_{y}} \over {\partial z}}\right)+\cos \theta \left({{\partial f_{x}} \over {\partial z}}-{{\partial f_{z}} \over {\partial x}}\right)\right]+{\vec {e}}_{\phi }{\Bigg [}\cos \theta \cos \phi \left({{\partial f_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial f_{y}} \over {\partial z}}\right)+\;$
$+\sin \theta \cos \phi \left({{\partial f_{x}} \over {\partial z}}-{{\partial f_{z}} \over {\partial x}}\right)-\sin \phi \left({{\partial f_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial f_{x}} \over {\partial y}}\right){\Bigg ]}$

(7.58)

Podamy teraz końcowy wzór na rotację wektora ${\vec {f}}\;$, wyprowadzonych przy pomocy wzorów (7.30), a także (7.51) i (7.57), to dochodzimy do końcowego wzoru wynikający z (7.58):

$\nabla \times {\vec {f}}={{1} \over {\rho \sin \phi }}\left[{{\partial (\sin \phi f_{\theta })} \over {\partial \phi }}-{{\partial f_{\phi }} \over {\partial \theta }}\right]{\vec {e}}_{r}+{{1} \over {\rho }}\left[{{\partial (\rho f_{\phi })} \over {\partial r}}-{{\partial f_{\rho }} \over {\partial \phi }}\right]{\vec {e}}_{\theta }+{{1} \over {\rho }}\left[{{1} \over {\sin \phi }}{{\partial f_{r}} \over {\partial \theta }}-{{\partial (\rho f_{\theta })} \over {\partial \rho }}\right]{\vec {e}}_{\Phi }$

(7.59)

Pochodne iloczynów

Tożsamość pierwsza

Tutaj będziemy wyznaczać niektóre tożsamości, korzystając z właności operatora ∇, zatem przejdźmy do naszych dowodów:

$\nabla \left({\vec {A}}{\vec {B}}\right)={\vec {A}}\times \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)+{\vec {B}}\times (\nabla \times {\vec {A}})+({\vec {A}}\nabla ){\vec {B}}+({\vec {B}}\nabla ){\vec {A}}\;$

(7.60)

Oto dowód pierwszej tożsamości przedstawiająca się:

${\vec {A}}\times \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)+{\vec {B}}\times (\nabla \times {\vec {A}})+({\vec {A}}\nabla ){\vec {B}}+({\vec {B}}\nabla ){\vec {A}}=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}A_{j}\nabla _{l}B_{m}+\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}A_{j}\nabla _{l}B_{m}+(A_{s}\nabla _{s})B_{i}+(B_{s}\nabla _{s})A_{i}=\;$
$=(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})A_{j}\nabla _{l}B_{m}+\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)A_{j}\nabla _{l}B_{m}+(A_{s}\nabla _{s})B_{i}+(B_{s}\nabla _{s})A_{i}=\;$
$==A_{m}\nabla _{i}B_{m}-A_{j}\nabla _{j}B_{i}+B_{m}\nabla _{i}A_{m}-B_{j}\nabla _{j}A_{i}+(A_{s}\nabla _{s})B_{i}+(B_{s}\nabla _{s})A_{i}=A_{m}\nabla _{i}B_{m}+B_{m}\nabla _{i}A_{m}=\nabla _{i}(A_{m}B_{m})=\nabla ({\vec {A}}{\vec {B}})\;$

Tożsamość druga

Tożsamość druga przedstawiająca się wzorem:

$\nabla (f{\vec {A}})=f(\nabla {\vec {A}})+{\vec {A}}(\nabla f)\;$

(7.61)

Oto dowód drugiej tożsamości przedstawiająca się:

$\nabla (f{\vec {A}})=\nabla i(fA_{i})=f\nabla _{i}A_{i}+A_{i}\nabla f=f(\nabla {\vec {A}})+{\vec {A}}(\nabla f)\;$

Tożsamość trzecia

Tożsamość trzecia przedstawiająca się wzorem:

$\nabla ({\vec {A}}\times {\vec {B}})={\vec {B}}\cdot (\nabla \times {\vec {A}})-{\vec {A}}\cdot (\nabla \times {\vec {B}})\;$

(7.62)

Oto dowód trzeciej tożsamości przedstawiająca się:

$\nabla ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=\nabla _{i}\epsilon _{ijk}A_{j}B_{k}=A_{j}\epsilon _{ijk}\nabla _{i}B_{k}+B_{k}\epsilon _{ijk}\nabla _{i}A_{j}=-A_{j}\epsilon _{jik}\nabla _{i}B_{k}+B_{k}\epsilon _{kij}\nabla _{i}A_{j}={\vec {B}}\cdot (\nabla \times {\vec {A}})-{\vec {A}}\cdot (\nabla \times {\vec {B}})\;$

Tożsamości czwarta

Tożsamość czwarta przedstawiająca się wzorem:

$\nabla \times (f{\vec {A}})=f(\nabla \times {\vec {A}})-{\vec {A}}\times \left(\nabla f\right)\;$

(7.63)

Oto dowód czwartej tożsamości przedstawiająca się:

$\nabla \times (f{\vec {A}})=\epsilon _{ijk}\nabla _{j}fA_{k}=\epsilon _{ijk}(f\nabla _{j}A_{k}+A_{k}\nabla _{j}f)=\epsilon _{ijk}\nabla _{j}A_{k}-\epsilon _{ikj}A_{k}\nabla _{j}f)=f(\nabla \times {\vec {A}})-{\vec {A}}\times \left(\nabla f\right)\;$

Tożsamość piąta

Tożsamość piąta przedstawiająca się wzorem:

$\nabla \times \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=({\vec {B}}\nabla ){\vec {A}}-({\vec {A}}\nabla ){\vec {B}}+{\vec {A}}(\nabla {\vec {B}})-{\vec {B}}(\nabla {\vec {A}})\;$

(7.64)

Oto dowód piątej tożsamości przedstawiająca się:

$\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\nabla _{j}A_{l}B_{m}=\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)\nabla _{j}A_{l}B_{m}=\nabla _{m}A_{i}B_{m}-\nabla _{m}A_{m}B_{i}=A_{i}\nabla _{m}B_{m}+B_{m}\nabla _{m}A_{i}-A_{m}\nabla _{m}B_{i}-B_{i}\nabla _{m}A_{m}=\;$
$={\vec {A}}(\nabla {\vec {B}})+({\vec {B}}\nabla ){\vec {A}}-({\vec {A}}\nabla ){\vec {B}}-{\vec {B}}(\nabla {\vec {A}})\;$

Twierdzenia całkowe

Tutaj podamy pewne twierdzenia całkowe z dowodami, tzn. twierdzenie gradientów, prawo Gaussa i Stokesa, którego to dowody przestawimy poniżej.

Twierdzenie dla gradientów

Twierdzenie dla gradientów przedstawia całkowanie funkcji ∇f od punktu ${\vec {a}}\;$ do punktu ${\vec {b}}\;$ i otrzymujemy podobny wzór jak przy całkowaniu na lini prostej, zatem to twierdzenie przedstawiamy:

$\int _{\vec {a}}^{\vec {b}}\left(\nabla f\right)d{\vec {l}}=f({\vec {b}})-f({\vec {a}})\;$

(7.65)

Aby udowodnić wzór (7.65) należy policzyć wyrażenie przy założeniu, że ${\vec {n}}\;$ jest wektorem jednostkowym skierowanych w kierunku różniczkowania w przestrzeni trójwymiarowej:

${{df({\vec {x}})} \over {dl}}={{\partial f({\vec {x}})} \over {\partial x_{i}}}{{dx_{i}} \over {dl}}=\nabla f({\vec {x}}){\vec {n}}\Rightarrow d{f}(x)=\nabla {f}({\vec {x}}){\vec {n}}dl\Rightarrow df({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})d{\vec {l}}\;$

(7.66)

Na podstawie końcowego wniosku wynikających z obliczeń (7.66), które całkujemy obustronnie całką oznaczoną od punktu ${\vec {a}}\;$ do punktu ${\vec {b}}\;$, zatem stąd wniosek, że twierdzenie dla gradientów (7.65) jest spełnione.

Twierdzenie Gaussa (tzn. twierdzenie dywergencji)

Załóżmy, że mamy pewną objętość zamkniętą ograniczoną powierzchnią zamkniętą, gdzie $d{\vec {S}}\;$ jest infinitezymalnym elementem tejże powierzchni, zatem to nasze wspomniane wyżej twierdzenie przyjmuje postać:

$\int (\nabla \cdot {\vec {A}})dV=\oint {\vec {A}}d{\vec {S}}\;$

(7.67)

Aby udowodnić wzór (7.67) musimy podać wzór na dywergencją wektora ${\vec {A}}\;$, którą nazywamy w analizie matematycznej wielkość określona:

$\operatorname {div} {\vec {A}}=\lim _{V\rightarrow 0}{{\oint {\vec {A}}d{\vec {S}}} \over {V}}\;$

(7.68)

Wyobraźmy sobie teraz pewien sześcian o objętości dążącej do zera, dla którego wyznaczymy dywergencję wektora ${\vec {A}}\;$, zatem niech w środku tego sześcianu istnieje pewien wektor ${\vec {A}}\;$, w takim przypadku:

$\operatorname {div} {\vec {A}}dxdydz=\left({A}_{z}+{{\partial {A}_{z}} \over {\partial z}}{{1} \over {2}}dz\right)dxdy+\left(-{A}_{y}+{{\partial {A}_{y}} \over {\partial y}}{{1} \over {2}}dy\right)dxdz+\left({A}_{y}+{{\partial {A}_{y}} \over {\partial y}}{{1} \over {2}}dy\right)dxdz+\;$
$+\left(-{A}_{z}+{{\partial {A}_{z}} \over {\partial z}}{{1} \over {2}}dz\right)dxdy+\left({A}_{x}+{{\partial {A}_{x}} \over {\partial x}}{{1} \over {2}}dx\right)dydz+\left(-{A}_{x}+{{\partial {A}_{x}} \over {\partial x}}{{1} \over {2}}dx\right)dydz=\left({{\partial {A}_{x}} \over {\partial x}}+{{\partial {A}_{y}} \over {\partial y}}+{{\partial {A}_{z}} \over {\partial z}}\right)dxdydz=\;$
$=\nabla {\vec {A}}\Rightarrow \nabla {\vec {A}}=\operatorname {div} {\vec {A}}\;$

(7.69)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (7.68) dywergencja wektora ${\vec {A}}\;$ jest to działanie operatora ∇ na wspomnianą wcześniej funkcję wektorową, zatem na podstawie definicji dywergencji pewnej funkcji wektorowej (7.68) prawo Gaussa (7.67) jest twierdzeniem udowodnionym.

Twierdzenie Stokesa (tj. dla rotacji)

Załózmy, że mamy powierzchnię ograniczoną pewnym zamkniętym konturem, wtedy prawo Stokesa przedstawiamy:

$\int \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)\cdot d{\vec {S}}=\oint {\vec {A}}d{\vec {l}}\;$

(7.70)

Rzut na wektor jednostkowy rotacji pewnej funkcji wektorowej, tzn. ten rzut jest dodatni gdy pokrywa się ten rzut z kierunkiem wektora jednostkowego ${\vec {n}}\;$, w którym, to definicji wprowadzimy powierzchnię S nieskończenie małą, którego ogranicza pewny kontur obiegany odwrotnie względem ruchu wskazówek zegara, którego zwrot naszego wektora jednostkowego jest do góry tej powierzchni (nad zegarem), nazywamy wielkością określoną:

$\left(\operatorname {rot} {\vec {A}}\right)_{n}=\lim _{S\rightarrow 0}{{\oint {\vec {A}}d{\vec {l}}} \over {S}}\;$

(7.71)

We wzorze (7.71) rotacją wektora ${\vec {A}}\;$, nazywamy rotacją wzdłuż wektora normalnego ${\vec {n}}\;$, którego wartość jest określona wspomnianym wyżej wzorem, jeśli będziemy określać współrzędną iksową rotacji, to należy obrać prostokąt prostopadły do osi iksowej, ale ten wektor normalny powinien mieć ten sam zwrot co ta nasza oś, wtedy iloczyn współrzędnej iksowej rotacji i współrzędnej malutkiego elementy powierzchni wektora prostopadłego do tego wycinka powierzchni względem osi iksowej określamy przez:

$\left(\operatorname {rot} {\vec {A}}\right)_{x}dydz=\left(A_{z}+{{\partial A_{z}} \over {\partial y}}{{1} \over {2}}dy\right)dz-\left(A_{z}-{{\partial A_{z}} \over {\partial y}}{{1} \over {2}}dy\right)dz-\left(A_{y}+{{\partial A_{y}} \over {\partial z}}{{1} \over {2}}dz\right)dy+\left(A_{y}-{{\partial A_{y}} \over {\partial z}}{{1} \over {2}}dz\right)dy=\;$
$=\left({{\partial A_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial A_{y}} \over {\partial z}}\right)dzdy\Rightarrow \left(\operatorname {rot} {\vec {A}}\right)_{x}={{\partial A_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial A_{y}} \over {\partial z}}\;$

(7.72)

Aby wyznaczyć współrzędną igrekową i zetową rotacji wektora ${\vec {A}}\;$ możemy policzyć zmieniając w sposób cykliczny zmienne z zestawu zmiennych x,y,z w powyższych obliczeniach, to rotacja wspomnianego wektora:

$\operatorname {rot} {\vec {A}}=\left({{\partial A_{z}} \over {\partial y}}-{{\partial A_{y}} \over {\partial z}}\right){\vec {i}}+\left({{\partial A_{x}} \over {\partial z}}-{{\partial A_{z}} \over {\partial x}}\right){\vec {j}}+\left({{\partial A_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial A_{x}} \over {\partial y}}\right){\vec {k}}=\nabla \times {\vec {A}}\;$

(7.73)

Mając już zdefiniowaną rotację naszego wektora, która jest równa iloczynowi wektorowemu operatora ∇ i naszego wektora. Znając wzór (7.71) definicją rotacji możemy zapisać dla bardzo małego prostokącika w przybliżeniu:

$\operatorname {rot} {\vec {A}}{\vec {S}}\simeq \oint _{S}{\vec {A}}d{\vec {l}}\;$

(7.74)

Całą powierzchnię ograniczoną konturem zamkniętym dzielimy na malutkie prostokąciki, by te prostokąciki były równoległe wobec siebie na tej zamkniętej powierzchni, zatem cyrkulacja dla krzywej ograniczającej wielką powierzchnię jest równa sumie cyrkulacji po małych powierzchniach wcześniej określonych, można tak powiedzieć, bo cyrkulacja po małym wycinku danej powierzchni redukuje się częściowo z całką, które różnią się znakiem na tym samym wspólnym boku, czyli należącego do dwóch malutkich powierzchni. Na podstawie powyższych rozważań piszemy wzór (7.74) dla S bardzo małego, którego to biorąc całkę na obu stronach naszej przybliżonej tożsamości po małych prostokącikach, co stąd wynika wzór (7.70). Co kończy dowód.