Metody matematyczne fizyki/Funkcje Greena

Funkcje Greena

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Wprowadźmy operator ${\hat {O}}\;$ i pewną funkcję $\psi ({\underline {x}})\;$, której argumenty ${\underline {x}}\;$ są elementami n-wymiarowej przestrzeni. Załóżmy, że $\psi ({\underline {x}})\;$ jest rozwiązaniem pewnego równania niejednorodnego omawianego operatora, które to równanie możemy przedstawić w postaci:

${\hat {O}}\psi ({\underline {x}})=K({\underline {x}})\;$

(20.1)

Zakładamy, że operator ${\hat {O}}^{-1}\;$ posiada operator odwrotny. Działając lewostronnie równość (20.1) przez nasz operator odwrotny do ${\hat {O}}\;$ dostajemy równoważne do poprzedniego równanie:

$\psi ({\underline {x}})={\hat {O}}^{-1}K({\underline {x}})\;$

(20.2)

Jeśli skorzystamy z własności funkcji Diraca, czyli z własności (12.1), to wyrażenie (20.2) możemy zapisać równoważnie w postaci całki po lewej stronie - co wynika z własności delty Diraca:

$\psi ({\underline {x}})=\int K({\underline {x}}^{'}){\hat {O}}^{-1}\delta ^{n}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})d^{n}{\underline {x}}^{'}\;$

(20.3)

Funkcją Greena nazywamy wyrażenie, które jest iloczynem operatorowym odwrotności operatora ${\hat {O}}\;$ i n-wymiarowej funkcji Diraca, zapisując tę funkcję według schematu:

$G({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})={\hat {O}}^{-1}\delta ^{n}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})\;$

(20.4)

Również z funkcji Greena (definicja (20.4)) możemy wyznaczyć n-wymiarową deltę (funkcję) Diraca z definicji funkcji Greena, wtedy jest ona iloczynem operatorowym operatora ${\hat {O}}\;$ i funkcji Greena, zależną od dwóch n-wymiarowych argumentów:

${\hat {O}}G({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})=\delta ^{n}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})\;$

(20.5)

Biorąc wyrażenie (20.3) i korzystając z definicji funkcji Greena (20.4), oraz mając na uwadze, że funkcja $\psi ({\underline {x}})\;$ jest szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego (20.1), wtedy otrzymamy rozwiązanie:

$\psi ({\underline {x}})=\int K({\underline {x}}^{'})G({\underline {x}},{\underline {x}}^{'})d{\underline {x}}^{'}\;$

(20.6)

Niech rozwiązaniami równania jednorodnego operatora ${\hat {O}}\;$ będą funkcje ψ₀ spełniające:

${\hat {O}}\psi _{0}({\underline {x}})=0\;$

(20.7)

Rozwiązaniem równania różniczkowego (20.1) jest suma rozwiązania (20.6) i rozwiązania jednorodnego operatora ${\hat {O}}\;$ (20.6):

$\psi ({\underline {x}})=\psi _{0}({\underline {x}})+\int K({\underline {x}}^{'})G({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})d^{n}{\underline {x}}^{'}\;$

(20.8)

Oczywiste jest, że funkcja własna (20.8) jest rozwiązaniem równania (20.1). Udowodnijmy to, korzystając przy tym z własności (20.7), a zatem przejdźmy do właściwego dowodu, wstawiając wyrażenie (20.8) do równości (20.1) do jej lewej strony:

${\hat {O}}\psi ({\underline {x}})={\hat {O}}\left(\psi _{0}({\underline {x}})+\int K({\underline {x}}^{'})G({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})d^{n}{\underline {x}}^{'}\right)=\underbrace {{\hat {O}}\psi _{0}({\underline {x}})} _{=0}+{\hat {O}}\int K({\underline {x}}^{'})G({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})d^{n}{\underline {x}}^{'}={\hat {O}}\int K({\underline {x}}^{'})G({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})d^{n}{\underline {x}}^{'}\;$

(20.9)

W (20.9) z korzystamy z definicji funkcji Greena (20.4), wtedy nasze wyrażenie ma się:

${\hat {O}}\psi ({\underline {x}})={\hat {O}}\int K({\underline {x}}^{'}){\hat {O}}^{-1}\delta ^{n}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})d^{n}{\underline {x}}^{'}=\int K({\underline {x}}^{'})\delta ^{n}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})d^{n}{\underline {x}}^{'}=K({\underline {x}})\;$

(20.10)

Doszliśmy do wniosku (a korzystaliśmy z definicji delty Diraca), że z lewej strony (20.1) dochodzimy do jej prawej strony pomocy obliczeń (20.10), zatem funkcja (20.7) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (20.1).

Problem funkcji Greena dla oscylatora harmonicznego

W problemie oscylatora harmonicznego mamy równanie różniczkowe, a wiedząc że nasz układ drga z częstotliwością ω, możemy to równanie różniczkowe na opisywany ruch przestawić jako:

$u^{''}+2\gamma u^{'}+\omega _{0}^{2}u={{F} \over {m}}\;$

(20.11)

Operatorem ${\hat {O}}\;$ nazywamy operator, który przestawiamy na podstawie definicji równania różniczkowego (20.11) dla oscylatora, którego drgania są wymuszane względem siły zewnętrznej F:

${\hat {O}}={{d^{2}} \over {dt^{2}}}+2\gamma {{d} \over {dt}}+\omega _{0}^{2}\;$

(20.12)

Aby policzyć funkcję Greena należy skorzystać z jej definicji zapisanej w punkcie (20.4) i z definicji wersji całkowej funkcji Diraca (14.39). W takim przypadku możemy napisać funkcję Greena używając definicji operatora ${\hat {O}}\;$, uzyskując dla $t\neq 0\;$:

$G(t)={{1} \over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{{1} \over {{\hat {O}}e^{it\omega }}}d\omega ={{1} \over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{{e^{-it\omega }d\omega } \over {-\omega ^{2}+2i\gamma \omega +\omega _{0}^{2}}}={\begin{Bmatrix}x=-\omega t\\dx=-td\omega \end{Bmatrix}}=\operatorname {sgn}(t){{t} \over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{{e^{ix}dx} \over {-x^{2}-2i\gamma tx+\omega _{0}^{2}t^{2}}}\;$

(20.13)

Rozważmy pomocniczą całkę i wykażemy, że ona jest równa całce (20.13) dla $t\neq 0\;$, czyli:

$J(t)=\operatorname {sgn}(t){{t} \over {2\pi }}\oint _{C}{{e^{iz}dz} \over {-z^{2}-2i\gamma tz+\omega _{0}^{2}t^{2}}}\;$

(20.14)

wtedy musimy policzyć punkty osobliwe w całce zespolonej (20.14), wtedy rozwiązując równość kwadratową -z²+2iγt z+ω₀²t²=0 występująca w tej całce mamy:

$z_{\pm }={{-2i\gamma t\mp {\sqrt {-4\gamma ^{2}t^{2}+4\omega _{0}^{2}t^{2}}}} \over {-2}}=\pm t{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}+it\gamma \;$

(20.15)

Niech mamy t>0. Bo wybraliśmy całkowanie po konturze w górnej półpłaszczyźnie bo pierwiastki (20.15) leżą w górnej półpłaszczyźnie, całka po konturze C sprowadza się do całki po odcinku $(-\infty ,\infty )\;$ dla $R\rightarrow \infty ;\;$, a tym konturem C jest prosta o odcinku (-R,R) i półokrąg łączący punkt (R,0) z punktem (-R,0) w górnej półpłaszczyźnie, a całka po półokręgu jak udowodnimy jest równa zero co mamy dowieść, zatem zastępując $z\;$ przez $R\cos \alpha +i\sin \alpha \;$, wtedy:

$\left|\oint _{C}{{e^{iz}dz} \over {-z^{2}-2i\gamma tz+\omega _{0}^{2}t^{2}}}\right|\leqslant \lim _{R\rightarrow \infty }\int _{0}^{\pi }{{\left|e^{iR\cos(\theta +\pi )-R\sin(\theta +\pi )}\right|} \over {|z|\left|1-{{z_{+}} \over {|z|}}\right|\left|1-{{z_{-}} \over {|z|}}\right|}}\left|dz\right|\leqslant \lim _{R\rightarrow \infty }{{1} \over {R^{2}}}\int _{0}^{\pi }\left|e^{-iR\cos \theta }\right|e^{-R\sin \theta }Rd\theta \leqslant \;$
$\leqslant \lim _{R\rightarrow \infty }{{1} \over {R}}\int _{0}^{\pi }e^{-R\sin \alpha }d\theta \leqslant \lim _{R\rightarrow \infty }{{2} \over {R}}\int _{0}^{{\pi } \over {2}}e^{-R{{2} \over {\pi }}\theta }d\theta =\lim _{R\rightarrow \infty }{{2} \over {R}}(-1){{\pi } \over {2R}}\int _{0}^{{\pi } \over {2}}e^{-R{{2} \over {\pi }}\theta }d\left(-R{{2} \over {\pi }}\theta \right)=\lim _{R\rightarrow \infty }(-1){{\pi } \over {R^{2}}}\left(e^{-R}-1\right)=\;$
$=\lim _{R\rightarrow \infty }{{\pi } \over {R^{2}}}\lim _{R\rightarrow \infty }(1-e^{-R})=0\;$

(20.16)

Zatem całka po półokręgu od $(R,0)\;$ do $(-R,0)\;$ jest równa zero, zatem dla $t>0\;$ zatem prawdziwe jest zamienienie całki po odcinku (-R,R) (20.13) na kontur w (20.14), bo wtedy zachodzi G(t)=J(t). Wtedy residuum funkcji sprowadza się dla pierwszego bieguna według definicji residuum (8.33) w całce (20.14):

$\operatorname {Res} f=\mp e^{-\gamma t}{{e^{\pm it{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}} \over {2t{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}}\;$

(20.17)

Co w tym przypadku funkcja Greena sprowadza się na podstawie policzonej residuum funkcji (20.17):

$G(t)={{t} \over {2\pi }}(2\pi i)(-1){{e^{-\gamma t}} \over {2t{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}}\left(e^{it{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}-e^{-it{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}\right)=e^{-\gamma t}{{\sin t{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}} \over {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}\;$

(20.18)

Zgodnie z lematem Jordana, w przypadku tak obranego konturu, by znajdował się on na górnej półpłaszczyźnie, tzn. dla takiego t<0, że mamy J(t)=0 w całce (20.14), bo na górnej półpłaszczyźnie nie ma biegunów dla tego t według (20.15) bo bieguny znajdują się w dolnej półpłaszczyźnie, możemy powiedzieć, że całka (20.14) J(t) jest równa całce (20.13), czyli G(t)=J(t), a więc funkcja Greena się zeruje, co zachodzi:

$G(t)=0{\mbox{ }}t<0\;$

(20.19)

Dla t=0 funkcja Greena sprowadza się do postaci:

$G(0)=\lim _{t\rightarrow 0}{{1} \over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{{1} \over {{\hat {O}}e^{it\omega }}}d\omega ={{1} \over {2\pi }}\lim _{t\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{{e^{-it\omega }d\omega } \over {-\omega ^{2}+2i\gamma \omega +\omega _{0}^{2}}}={{1} \over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{{d\omega } \over {-\omega ^{2}+2i\gamma \omega +\omega _{0}^{2}}}\;$

(20.20)

Rozważmy pomocniczą całkę i wykażemy, że ona jest równa całce (20.19) dla t=0:

$J(0)={{1} \over {2\pi }}\oint _{C}{{dz} \over {-z^{2}-2i\gamma z+\omega _{0}^{2}}}\;$

(20.21)

Bieguny funkcji podcałkowej (20.21) są równe rozwiązaniu dwumianu kwadratowego -z²+2iγ z+ω₀²=0:

$z_{\pm }={{-2i\gamma \pm {\sqrt {-4\gamma ^{2}+4\omega _{0}^{2}}}} \over {-2}}=\mp {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}+i\gamma \;$

(20.22)

Zatem na podstawie (20.22) bieguny znajdują się w górnej półpłaszczyźnie, policzmy, czy całka po konturze (20.21) sprowadza się całce po odcinku $(-\infty ,\infty )\;$, czyli policzmy oszacowanie czy całka po półokręgu się zeruje:

$|J(0)|\leqslant {{1} \over {2\pi }}\lim _{R\rightarrow \infty }\int _{0}^{\pi }{{|dz|} \over {|z|^{2}\left|1-{{z_{-}} \over {|z|}}\right|\left|1-{{z_{+}} \over {|z|}}\right|}}\leqslant {{1} \over {2\pi }}\lim _{R\rightarrow \infty }\int _{0}^{\pi }{{Rd\theta } \over {R^{2}}}=\lim _{R\rightarrow \infty }{{\pi } \over {2\pi R}}=\lim _{R\rightarrow \infty }{{1} \over {2R}}=0$

(20.23)

Co dowód (20.23) pokazuje, że całka (20.21) sprowadza się do całki (20.20), czyli G(0)=J(0). Policzmy residuum całki (20.21), na podstawie biegunów (20.22), a więc do roboty:

$\operatorname {Res} f=\pm {{1} \over {2{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}}\;$

(20.24)

A sama funkcja Greena (20.20) przedstawia się na podstawie residuum (20.24):

$G(0)={{1} \over {2\pi }}\left({{1} \over {2{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}}-{{1} \over {2{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}}\right)=0\;$

(20.25)

Jak wiemy funkcja Greena G(t) dla t=0 jest równa zero, zatem znając funkcję Greena, co stąd końcowe rozwiązanie na funkcje Greena (20.18), (20.19) i (20.25) możemy wykorzystać do policzenia funkcji u(t), która jest rozwiązaniem równania (20.11), co daje się to zapisać za pomocą funkcji Greena G(t) wedle sposobu:

$u(t)=\int _{-\infty }^{\infty }G(t-t^{'})F(t^{'})dt^{'}=\int _{-\infty }^{t}G(t-t^{'})F(t^{'})dt^{'}\;$

(20.26)

Znając funkcję Greena dla oscylatora harmonicznego (20.18), (20.19) i (20.25) oraz postać siły, którą mamy zamiar określić, może być to przypadek harmoniczny drgań siły opisanych według funkcji F=F₀sin Ω t, to wtedy możemy oczywiście policzyć funkcję u(t) zapisaną wzorem (20.26). Należy zauważyć, że funkcja Greena nic nie upraszcza.

Definicja operatorowej funkcji Greena

Zamiast skalarnej definicji funkcji Greena (20.5) wprowadza się jego definicję operatorową, gdzie zamiast delty Diraca występuje operator jednostkowy, a zamiast funkcji Greena operator ${\hat {G}}(t)\;$, zatem definicję operatora Greena piszemy:

$(z-{\hat {H}}){\hat {G}}(z)={\hat {I}}\;$

(20.27)

Ze wzoru (20.27) możemy wyznaczyć operator ${\hat {G}}(t)\;$, jeśli $z-{\hat {H}}\;$ posiada operator odwrotny, wtedy ten operator piszemy wedle sposobu zależny od operatora całkowitej energii badanej cząstki:

${\hat {G}}(z)=(z-{\hat {H}})^{-1}\;$

(20.28)

Operatora definicja na funkcję Greena jest często niepraktyczna, w takim przypadku wprowadza się elementy macierzowe operatora Greena wedle jego definicji operatora Greena (20.28), których definicję jest zależna od elementów macierzowych operatora Diraca:

$zG_{\alpha \beta }-\sum _{\gamma }H_{\alpha \gamma }G_{\gamma \beta }=\delta _{\alpha \gamma }\;$

(20.29)

Bardzo wygodna jest baza funkcji własnych operatora ${\hat {H}}\;$, zatem jego elementy macierzowe piszemy przy pomocy funkcji bazy ortogonalnej φ_α, które są funkcjami własnymi operatora całkowitej energii badanej cząstki lub układu:

$H_{\alpha \beta }=\lambda _{\alpha }\delta _{\alpha \gamma }\;$

(20.30)

Wtedy równanie macierzowe (20.21) piszemy wedle rozkładu operatora ${\hat {H}}\;$ w postaci macierzowej, których przestawienie jest zależne od wartości własnej λ_α rozważanego operatora energii:

$zG_{\alpha \beta }-\sum _{\gamma }\lambda _{\alpha }\delta _{\alpha \gamma }G_{\gamma \beta }=\delta _{\alpha \beta }\Rightarrow zG_{\alpha \beta }-\lambda _{\alpha }G_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\Rightarrow G_{\alpha \beta }={{1} \over {z-\lambda _{\alpha }}}\delta _{\alpha \beta }\;$

(20.31)

Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena

Równanie operatorowego (20.27), który w tym przypadku nie zawsze da się rozwiązać, ma to miejsce, gdy operator ${\hat {H}}\;$ jest zapisany jako operator różniczkowy, czy to zapisanej w języku operatorów, w takim przypadku dokonuje się rozkładu operatora ${\hat {H}}\;$ na sumę operatora niezaburzonego i zaburzenia w sposób:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}\;$

(20.32)

Napiszmy teraz funkcję na funkcję Greena niezaburzoną ${\hat {G}}_{0}\;$ i jej odpowiednik zaburzony ${\hat {G}}\;$, w takim przypadku możemy powiedzieć ze zachodzą tożsamości operatorowe na te wielkości:

$(z-{\hat {H}}_{0}){\hat {G}}_{0}=I\;$

(20.33)

$(z-{\hat {H}}_{0}-{\hat {V}}){\hat {G}}=I\;$

(20.34)

Mając wzór (20.33), który w równoważny sposób można zapisać, jako $x-{\hat {H}}_{0}={\hat {G}}_{0}^{-1}\;$, które to podstawiamy do równania operatorowego (20.34), w takim przypadku otrzymujemy równość po dokonaniu opisanej operacji:

$({\hat {G}}_{0}^{-1}-{\hat {V}}){\hat {G}}={\hat {I}}\;$

(20.35)

Jeśli równanie operatorowe (20.27) pomnożymy przez operator niezaburzonej funkcji Greena ${\hat {G}}_{0}\;$, wyznaczamy stąd funkcję Greena zaburzoną:

${\hat {G}}={\hat {G}}_{0}+{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}\;$

(20.36)

Równanie (20.36) możemy rozpisać w równoważny dla niego sposób wyznaczają z niego operator ${\hat {G}}\;$, który jest zależny od operatora ${\vec {G}}_{0}\;$ i od ${\hat {V}}\;$:

${\hat {G}}-{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}={\hat {G}}_{0}\Rightarrow ({\hat {I}}-{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}){\hat {G}}={\hat {G}}_{0}\Rightarrow {\hat {G}}=({\hat {I}}-{\hat {G}}_{0}{\hat {V}})^{-1}{\hat {G}}_{0}\;$

(20.37)

Końcową równość (20.37), która jest równaniem Dyssona, która to możemy rozwinąć w szereg i w ten sposób otrzymać tożsamość operatorową na operator Greena dla hamiltonianu niezaburzonego:

${\hat {G}}=({\hat {I}}-{\hat {G}}_{0}{\hat {V}})^{-1}{\hat {G}}_{0}={\hat {G}}_{0}+{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}_{0}+{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}_{0}+...\;$

(20.38)

Wzór (20.38) jest nazywana wzorem Dyssona, który to dla małej poprawki ${\hat {V}}\;$ do operatora ${\hat {H}}_{0}\;$ przyjmuje postać:

${\hat {G}}\simeq {\hat {G}}_{0}+{\hat {G}}_{0}{\hat {V}}{\hat {G}}_{0}\;$

(20.39)

Rachunek zaburzeń dla stacjonarnego równania Schrödingera

Równanie Schrödingera zawierający potencjał zaburzony V przestawiamy dla równania własnego zależnego od funkcji własnej i wartości własnej przestawiamy je na w sposób:f

$({\hat {H}}_{0}+V)\psi =E\psi \;$

(20.40)

Nie zmniejszając na ogólności w przypadku równania (20.40) możemy napisać go wprowadzając przy tym parametr ε, który dąży do zera, w takim przypadku wspomniane równanie własne w sposób równoważny zapisujemy je według:

$(E+i0-{\hat {H}}_{0})\psi =V\psi \Leftrightarrow \lim _{\epsilon \rightarrow 0}(E+i\epsilon -{\hat {H}}_{0})\psi =V\psi \;$

(20.41)

Prawą stronę równości (20.41) możemy potraktować jako niejednorodność, równanie jednorodne zbudowane na podstawie (20.41) ma rozwiązanie ψ₀, którego rozwiązaniem szczególnym powyższego równania jest ψ, zatem przy definicji odwrotności operatora ${\hat {G}}_{0}\;$, czyli $E+i0-{\hat {H}}_{0}=G_{0}^{-1}\;$ (zmienna E+iε jest odpowiednikiem "z" w (20.28)), możemy powiedzieć:

$\psi =\psi _{0}+{\hat {G}}_{0}V\psi \;$

(20.42)

Co równanie (20.42) można podstawić do równania (20.41) i sprawdzić jego słuszność, co tutaj nie będziemy robili. W równości (20.42) wyznaczamy funkcję ψ₀ w zależności od funkcji ψ i operatora ${\hat {G}}\;$, z którego na podstawie tego będziemy wyznaczać naszą funkcję własną ψ równania własnego hamiltonianu:

$({\hat {I}}-{\hat {G}}_{0}V)\psi =\psi _{0}\Rightarrow \psi =({\hat {I}}-{\hat {G}}_{0}V)^{-1}\psi _{0}\;$

(20.43)

Funkcję jako odwrotności pewnego operatora przestawimy jako nieskończony szereg geometryczny, którą piszemy na podstawie tożsamości (20.43), wtedy on przestawia się:

$\psi =\psi _{0}+{\hat {G}}_{0}V\psi +G_{0}VG_{0}V\psi _{0}+...\;$

(20.44)

Jeśli przyjmować będziemy funkcję ψ jako małą względem wielkości V, zatem (20.44) piszemy w przybliżonej w postaci, dla które prawa strona zależy od operatora operatora ${\hat {G}}_{0}\;$ i od funkcji własnej hamiltonianu niezaburzonego:

$\psi \simeq \psi _{0}+{\hat {G}}_{0}V\psi _{0}\;$

(20.45)

Język operatorowy (20.45) w przełożeniu na język funkcyjny zapisujemy jako:

$\psi ({\vec {r}})=\psi _{0}({\vec {r}})+\iiint _{R^{3}}G_{0}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})V({\vec {r}}^{'})\psi _{0}({\vec {r}}^{'})d^{3}{\vec {r}}^{'}\;$

(20.46)

Związek funkcji gęstości stanów z funkcjami Greena

W układach wielocząstkowych często się stosuje sumowania po wszystkich cząstkach, które to sumowanie często możemy zamienić na całkowanie, co piszemy:

$\sum _{\alpha }F(E_{\alpha })\rightarrow \int _{0}^{\infty }F(E)g(E)dE\;$

(20.47)

Powyższe przejście jest możliwe, gdy funkcja F zależy tylko od energii. Wprowadziliśmy tutaj funkcję gęstości stanów, czy inaczej znana jako gęstością spektralną i określa ona liczbę stanów o energiach zbliżonych do E. Przejście od sumowania do całki wykonujemy według definicji definicji delty Diraca zapisanej przy pomocy stanów E_α wedle sposobu:

$\sum _{\alpha }F(E_{\alpha })=\sum _{\alpha }\int _{-\infty }^{\infty }F(E)\delta (E-E_{\alpha })dE=\int _{-\infty }^{\infty }F(E)\left\{\sum _{\alpha }\delta (E-E_{\alpha })\right\}dE\;$

(20.48)

Porównując wzory (20.47) ze wzorem (20.48), otrzymujemy wzór na funkcję gęstości stanów, która jest zależna od energii stanów, i przestawiana jest jako sumę delt Diraca zapisanej względem energii poszczególnych poziomów (20.42) E_α i jest to sumowanie względem α:

$g(E)=\sum _{\alpha }\delta (E-E_{\alpha })\;$

(20.49)

Mając wzór (20.31) i za "z" w tym wzorze podstawiamy z=E+i0 i wykorzystując przy tym fakt (12.21), wtedy możemy napisać elementy macierzowe operatora ${\hat {G}}\;$ z definicji elementów macierzowych:

$G_{\alpha \alpha }={{1} \over {E-E_{\alpha }+i0}}={{1} \over {E-E_{\alpha }}}-i\pi \delta (E-E_{\alpha })\;$

(20.50)

Zadem ślad elementów macierzowych funkcji Greena wedle wzoru (20.42) przestawiamy jako część rzeczywistą ze zespolonej funkcji elementu macierzowego G_αα z definiowaną w punkcie (20.50):

$\operatorname {Im} [\operatorname {Tr} G(E+i0)]=-\pi \sum _{\alpha }\delta (E-E_{\alpha })\Rightarrow \sum _{\alpha }\delta (E-E_{\alpha })=-{{1} \over {\pi }}\operatorname {Im} \left[\operatorname {Tr} G(E+i0)\right]\;$

(20.51)

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń (20.51) i wzoru na gęstość stanów (20.49), dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest równa wyrażeniu (20.51) i przedstawiamy go jako:

$g(E)=-{{1} \over {\pi }}\operatorname {Im} \left[\operatorname {Tr} G(E+i0)\right]\;$

(20.52)