Metody matematyczne fizyki/Całki i funkcje Eulera

Metody matematyczne fizyki
Metody matematyczne fizyki
Całki i funkcje Eulera

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Poznamy tutaj całki, które są nam w fizyce bardzo potrzebne do przeprowadzania różnych obliczeń.

Całka Eulera pierwszego rodzaju

edytuj

Całką Eulera pierwszego rodzaju nazywamy całkę mówiąc za Legendre całkę zapisaną za pomocą schematu poniżej, który jest funkcją argumentów a i b, które są liczbami rzeczywistymi. Ta nasza funkcja Eulera jest całką całkowalną przy granicach od zera do jedynki z pewnego wyrażenia ściśle określonego:

(5.1)

Można udowodnić, że ze względu na przestawianie argumentów w całce (5.1) jest działaniem przemiennym ze względu na kolejność parametrów a i b, co można udowodnić zmieniając zmienną x na x=1-t:

(5.2)

Można również udowodnić tożsamość rekurencyjną, która jest zależna od argumentów a i b oraz która jest zależnością rekurencyjną po argumencie b, przedstawiamy tą rekurencję:

(5.3)

Tożsamość (5.3) udowodniamy przez całkowanie przez części dla b>1, korzystając z definicji całki Eulera (5.1):



(5.4)

Korzystając z końcowego wniosku w przeprowadzonych obliczeniach w punkcie (5.4) dochodzimy do wniosku, że B(a,b) można zapisać w zależności od B(a,b-1), co dowód tej zależności przeprowadzimy poniżej w taki sposób, że pierwszy wyraz po prawej stronie w wspomnianym wyprowadzeniu przenosimy na jej lewą stronę:


(5.5)

Wzór (5.5) przestawia zależność rekurencyjną jaką oczekiwaliśmy otrzymać z obliczeń. Niech mamy już obliczone całki Eulera B(a,1), w ten sposób na podstawie zależności rekurencyjnej końcowego wywodu (5.5) piszemy wedle schematu wzór na wielkość B(a,n), którego pierwszym argumentem jest dowolna liczba rzeczywista, a drugim argumentem jest liczba naturalna znana z analizy matematycznej ze szkoły średniej:

(5.6)

Następnym krokiem jest wyznaczenie całki Eulera (5.1) dla argumentu b=1, czyli całkę Eulera pierwszego rodzaju B(a,1), gdy drugim jego argumentem jest liczba całkowita równa jeden, zatem w takim przypadku mamy wzór:

(5.7)

Zatem wyrażenie (5.6) przy obliczonej całce Eulera B(a,1) (5.7), czyli w tym ostatnim w drugim argumentem w całce Eulera pierwszego rodzaju jest liczba jeden, zatem możemy wyznaczyć ogólny wzór na opisywaną tutaj całkę.

(5.8)

Wzór (5.8) jest słuszny, gdy a jest rzeczywiste, określmy teraz przypadek, gdy a jest liczbą naturalną oznaczonej przez m, wtedy ze wspomnianego wzoru dostajemy wzór zapisujemy za pomocą silni:

(5.9)

Inne przestawienie analityczne całki Eulera B(a,b)

edytuj

W całce Eulera (5.1) dokonajmy podstawienia określonego wzorem , gdzie argument x jest ilorazem liczby y przez y+1, wtedy:

(5.10)

W całce Eulera (5.1) określoną wzorem (5.10) po dokonaniu w nim podstawienia za b=1-a, 0<a<1 , dostajemy wniosek na całkę Eulera B(1-a,a):

(5.11)

Całka Eulera (5.10) można przepisać bez dowodu, którego to dowód można znaleźć w analizie matematycznej, a my tutaj napiszemy gotowe jego rozwiązanie:

(5.12)

Całka Eulera drugiego rodzaju

edytuj

Całką Eulera drugiego rodzaju nazywamy całkę zapisaną wedle schematu poniżej, która jest funkcją jednego argumentu a, całkowana w granicach od zera do nieskończoności.

(5.13)

Dokonajmy podstawienia określonego wzorem , którego jest logarytmem z odwrotności liczby z i którą tą całkę (5.13) zapisujemy po dokonaniu tego podstawienia do ostatnio wspomnianej całki:

(5.14)

Bardzo ważną tożsamością jest tożsamość, z której wyjdziemy jest tożsamość , w tej tożsamości należy dokonać podstawienia rozpatrzonego według schematu :

(5.15)

Całkę (5.14) możemy zapisać przy pomocy udowodnionej tożsamości (5.15) w tym tekście, którą zapisujemy przy pomocy granicy n dążącą do nieskończoności:

(5.16)

Do tożsamości (5.16) podstawimy podstawienie wedle schematu z=yn, zatem ten nasz wspomniany wzór przyjmuje postać bardzo podobną do całki Eulera pierwszego rodzaju:

(5.17)

Całka występująca we wzorze (5.17) jest całką Eulera pierwszego rodzaju, zatem możemy napisać ostatnio wspomniany wzór wedle:

(5.18)

Jeśli skorzystamy z tożsamości (5.8), to można napisać całkę Eulera drugiego rodzaju (5.18) zapisaną przy pomocy granicy z liczby całkowitej n dążącej do nieskończoności:

(5.19)

Ciągłość funkcji Γ'(a) jako pochodnej całki Eulera drugiego rodzaju

edytuj

Całkę Eulera (5.13) zróżniczkujmy względem argumentu "a", a potem jeszcze raz względem argumentu a, i w ten sposób otrzymamy pierwszą i drugą pochodną funkcji Γ(a), to dochodzimy do postaci tych dwóch pochodnych:

(5.20)
(5.21)

n-ta pochodna funkcji Γ(x) (5.13) zapisujemy analogicznie do wzorów (5.20) (Pierwsza pochodna funkcji Γ(a) (5.13)) i (5.21) (Druga pochodna funkcji Γ(a) (5.13)), zatem ogólna forma tej n-tej pochodnej jest:

(5.22)

Postać rekurencyjna funkcji Γ(x)

edytuj

Przecałkujmy przez części funkcję napisaną poniżej wedle praw analizy matematycznej, z której wykorzystamy definicję funkcji Γ(a) zapisaną wzorem w punkcie (5.13).

(5.23)

Jeśli skorzystamy z definicji całki Eulera (5.13), to tożsamość (5.23), którą zapiszemy przy pomocy definicji całki Eulera Γ(a) jako:

(5.24)

Wyznaczmy całkę Eulera Γ(1), wtedy funkcja potęgowa występująca we wspomnianej funkcji (5.13) (pierwszy czynnik) jest równa jeden dla a=1, ze względu na zerowanie się wykładnika potęgi (bo a-1=0) dla pierwszego czynnika w całce, wtedy:

(5.25)

Postać rekurencyjna (5.24) dla a naturalnego, którą oznaczymy przez "n" i z własności (5.25) możemy napisać, że:

(5.26)

Granica górna funkcji Γ(a) dla a nieskończonego

edytuj

Obierzmy takie n by było liczbą naturalną nie większą niż a, by było a>n+1, zatem mamy Γ(a)>n!, jeśli dodatkowo zauważymy, że , wtedy:

(5.27)

Widzimy, że granicą dla "a" nieskończonego jest Γ(a) nieskończone, zatem największą wartością Γ(a) jakie może przyjmować jest wartość nieskończona.

Związek pomiędzy funkcjami B(a,b) i Γ(a)

edytuj

Do całki (5.13) dokonujemy podstawienia opisane przez schemat x=ty, które to x jest iloczynem liczby t i liczby y, zatem przy założeniu t>0, nasza wspomniana całka jest pisana:

(5.28)

We wzorze (5.28) piszemy zamiast a wyrażenie a+b (będące sumą liczb a i b) oraz 1+t (będące sumą jedynki i liczby b) zamiast t, zatem w ten sposób dostajemy tożsamość:

(5.29)

Tożsamość (5.29) mnożymy przez funkcję potęgową ta-1 czyli funkcję z liczby t o wykładniku a-1 i obie strony tak otrzymanego równania całkujemy względem zmiennej t:

(5.30)

Całka występująca po lewej stronie jest funkcją B(a,b), czyli ona jest taka sama, jak całka zapisana w punkcie (5.10). Zatem całkę występująca po prawej stronie równości (5.30), przy wykorzystaniu z definicji drugiej całki Eulera (pierwszego rodzaju) (5.13), możemy napisać jako:


(5.31)

Tożsamość wynikająca z obliczeń przedstawionych w punkcie (5.31) jest napisana poniżej (pierwszy wzór wynikowy), stąd możemy wyznaczyć B(a,b), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju:

(5.32)

Wzór na dopełnienie w tożsamości pomiędzy Γ(a) i Γ(1-a), a B(a,1-a)

edytuj

We wzorze (5.31) dokonajmy podstawienia b=1-a (którego to b jest różnicą liczby 1 i liczby b), w którym wiadomo, że "a" należy do do przedziału 0<a<1, ale też później korzystając z tożsamości na funkcję B(a,1-a) napisaną w punkcie (5.12), możemy napisać:

(5.33)

Korzystając z tożsamości (5.33), to tożsamość jest napisana wzorem wynikowym wynikających z powyższych obliczeń:

(5.34)

Wzór Stirlinga

edytuj

Napiszmy funkcję Γ(x+1), która jest całką Eulera pierwszego rodzaju z argumentu x powiększonej o jeden, w którym dokonamy od razu podstawienia w postaci wzoru zależnej od liczby x i od parametru u, czyli podstawienia , wiedząc, że dla t równego zero (t=0) według wspomnianego podstawienia mamy , co wykorzystamy w całce poniżej:


(5.35)

Ponieważ posługujemy wartościami x, które są liczbami bardzo dużymi, zatem możemy powiedzieć, że posługujemy się wartościami nieskończenie dużymi, to logarytm naturalny z liczby n! możemy przybliżyć wyrażeniem dla a bardzo małego bliskiego zeru, wtedy końcową całkę (5.35) można przestawić:

(5.36)

Jeśli skorzystamy z udowodnionej tożsamości (5.36) i za miejsce x wstawimy wartość n, to przybliżona tożsamość (5.36) przyjmuje postać:

(5.37)

Po zlogarytmowaniu wyrażenia (5.37) logarytmem naturalnym ze względu na n bardzo duże w końcowych obliczeniach pomijamy składnik z liczby , bo jest mały z porównaniu z innymi składnikami sumy:

(5.38)