Metody matematyczne fizyki/Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

Kula zanurzona w przestrzeni n-wymiarowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Równanie kuli 2Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni 2.1Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej 2.2Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni

Równanie kuli

W przestrzeni n-wymiarowej mamy zdefiniowaną pewną normę $||\cdot ||$, należącej do przestrzeni rzeczywistej, wzór na kulę niedomkniętą, a także domkniętą, a na samym końcu sfery przestawiamy wzorami poniżej o promieniach R, obie kule (niedomkniętą i domkniętą) dla przestrzeni z tą właśnie zdefiniowaną normą przestawiamy:

$||{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}||<R$

(6.1)

$||{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}||\leq R$

(6.2)

$||{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}||=R$

(6.3)

Dla przestrzeni Euklidesowej z normalną normą kule niedomkniętą, domknięta, a także sferę przestawiamy po kolei:

$\sum _{i=1}^{N}({\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{0i})^{2}<R^{2}$

(6.4)

$\sum _{i=1}^{N}({\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{0i})^{2}\leq R^{2}$

(6.5)

$\sum _{i=1}^{N}({\vec {x}}_{i}-{\vec {x}}_{0i})^{2}=R^{2}$

(6.6)

• gdzie N jest to wymiar kuli w przestrzeni n-wymiarowej.

Objętość kuli w n-wymiarowej przestrzeni

Wzór na sferę (6.6), dla której promień naszej rozważanej sfery jest R mając współrzędne środka tej kuli x_io, i współrzędne punktów sfery x_i, piszemy:

${\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x_{i0})^{2}}}=R$

(6.7)

Oznaczmy dla oczywistych powodów, że środek kuli jest w środku układu współrzędnych, tzn. zachodzi warunek x_0i=0 we wzorze (6.7), co nie umniejsza dowodu, by później wyznaczyć objętość n wymiarowej kuli zanurzonej w przestrzeni n-wymiarowej, zatem z definicji n-wymiarowej objętości kuli o promieniu jeden Ω(1) pomnożonej przez R^s mamy:

$R^{s}\Omega _{s}(1)=\int \int \cdot \ldots \cdot \int dx_{1}dx_{2}\cdot ..\cdot dx_{n}$

(6.8)

Grupując we wzorze (6.8) odpowiednio wyrazy w czynniku pod całką, gdy promień kuli wynosi jeden, korzystając przy tym ze wzoru (6.8), wtedy objętość n-wymiarowej tej kuli jest:

$\Omega _{s}(1)=\int \limits _{-1}^{1}dx_{1}\int \cdot \ldots \cdot \int dx_{2}\cdot \ldots \cdot dx_{n}$

(6.9)

Obierzmy promień kuli s wymiarowej o promieniu jeden, który określany wzorem $R_{1}={\sqrt {y_{1}^{2}+R_{1}^{2}}}\;$, gdzie R₁ jest promień kuli w s-1 wymiarowej przestrzeni, pisząc ją przez $R_{1}^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\;$, wtedy jej objętość:

$\Omega _{s}(1)=\int \limits _{-1}^{1}dy_{1}R_{1}^{s-1}\Omega _{s-1}(1)$

(6.10)

Ale ponieważ zachodzi na pewno $R_{1}={\sqrt {1-y_{1}^{2}}}\;$, to wzór (6.10) na promień jednostkowy kuli, którego objętość Ω_s(1) wyżej wspomniana w zależności od objętości kuli s-1 wymiarowej Ω_s-1(1), piszemy:

$\Omega _{s}(1)=\int \limits _{-1}^{1}dy_{1}(1-y_{1}^{2})^{{s-1} \over {2}}\Omega _{s-1}\Rightarrow \Omega _{s}(1)=\Omega _{s-1}\int \limits _{-1}^{1}dy_{1}(1-y_{1}^{2})^{{s-1} \over {2}}$

(6.11)

Policzmy teraz całkę początkowo przekształcając tą całkę z własności symetryczności funkcji podcałkowej, która występuje jako całka we wzorze końcowym wynikowym (6.11):

$\int \limits _{-1}^{1}dy_{1}(1-y_{1}^{2})^{{s-1} \over {2}}=2\int \limits _{0}^{1}dy_{1}(1-y_{1}^{2})^{{s-1} \over {2}}$

(6.12)

Dokonując podstawienia wynikającego z podstawienia wynikającego ze wzoru x=y², to różniczka funkcji y(x) piszemy przez $dy=dx^{1 \over 2}={{1} \over {2}}x^{-{{1} \over {2}}}dx\;$, wtedy końcowy wzór (6.12) piszemy jako:

$2\int \limits _{0}^{1}{1 \over 2}x^{-1 \over 2}(1-x)^{{s-1} \over {2}}=\int \limits _{0}^{1}x^{-{1 \over 2}}(1-x)^{{s-1} \over {2}}$

(6.13)

Całka występująca we wzorze (6.13) jest szczególnym rodzajem całki Eulera pierwszego rodzaju, gdzie w naszym przypadku mamy $\alpha ={{1} \over {2}}$ oraz $\beta ={{s+1} \over {2}}$, którą definiujemy wzorem zapisaną w punkcie (5.1).

Całka Eulera B(a,b) dla parametrów równych a=α i b=β we wspomnianym wzorze na definicji całki Eulera pierwszego rzędu, dla naszych argumentów wchodzących w skład do tej całki, którą możemy napisać jako tożsamość:

$B\left({1 \over 2},{{s+1} \over {2}}\right)={{\Gamma ({1 \over 2})\Gamma ({{s+1} \over {2}})} \over {\Gamma (1+{{s} \over {2}})}}$

(6.14)

Korzystając z całki (6.13) i z definicji całki Eulera dla specyficznych wartości a i b dla kuli zanurzonej w s-wymiarowej przestrzeni i po pewnych operacjach dokonywanych przez nas we wzorach pośrednich, to wzór na objętość n-wymiarowej kuli jednostkowej przestawianych wzorem (6.11), które tutaj dla kuli jednostkowej piszemy:

$\Omega _{s}(1)={{\Gamma ({1 \over 2})\Gamma ({{s+1} \over {2}})} \over {\Gamma (1+{{s} \over {2}})}}\cdot {{\Gamma ({1 \over 2})\Gamma ({{s} \over {2}})} \over {\Gamma ({{s+1} \over {2}})}}\cdot ...\cdot {{\Gamma ({1 \over 2})\Gamma ({{3} \over {2}})} \over {\Gamma (2)}}\Omega _{1}(0)\Rightarrow \Omega _{s}(1)={{\pi ^{{s-1} \over 2}\Gamma ({3 \over 2})} \over {\Gamma ({{s} \over {2}}+1)}}\Omega _{1}(1)$

(6.15)

Ale pamiętając również, że funkcja $\Gamma \left({{1} \over {2}}\right)\;$, którego wartość wprowadziliśmy w punkcie (5.34), wtedy objętość kuli określamy ogólnym wzorem w zależności od funkcji Γ z liczby ${{s} \over {2}}+1\;$, gdzie s jest wymiarem kuli s-wymiarowej.

$\Gamma ({3 \over 2})={1 \over 2}\Gamma ({1 \over 2})={1 \over 2}{\sqrt {\pi }}\Rightarrow \Omega _{s}(1)={{\pi ^{{s-1} \over 2}{1 \over 2}{\sqrt {\pi }}} \over {\Gamma ({{s} \over {2}}+1)}}2\Rightarrow \Omega _{s}(1)={{\pi ^{s \over 2}} \over {\Gamma ({{s} \over {2}}+1)}}$

(6.16)

Gdy s jest równa podwojonej liczbie k, czyli wedle podstawienia $s=2k$, które dokonamy we wzorze (6.16), zatem objętość kuli jednostkowej w tym naszym przypadku zapisujemy:

$\Omega _{2k}(1)={{\pi ^{k}} \over {\Gamma (k+1)}}\Rightarrow \Omega _{2k}(1)={{\pi ^{k}} \over {k!}}$

(6.17)

Gdy s jest liczbą nieparzystą, czyli jest równa podwojonej wartości k odejmując od niej później jeden, czyli według podstawienia $s=2k-1$, to wyrażenie (6.16) piszemy wedle schematu:

$\Omega _{2k-1}={{\pi ^{k-{1 \over 2}}} \over {\Gamma (k-{1 \over 2}+1)}}\Rightarrow \Omega _{s}(1)={{\pi ^{k-{{1} \over {2}}}2^{k}} \over {(2k-1)(2k-3)(2k-5)\cdot ...\cdot 1\cdot \Gamma ({{1} \over {2}})}}\Rightarrow \Omega _{s}(1)={{\pi ^{k-{{1} \over {2}}}2^{k}} \over {s!!{\sqrt {\pi }}}}\Rightarrow \Omega _{s}(1)={{{\pi ^{k-1}}2^{k}} \over {s!!}}$

(6.18)

Zestawienie wzorów na objętość dla kuli s-wymiarowej

Wiedząc, że objętość s-wymiarowej kuli jest wyrażona za pomocą objętości kuli jednostkowej pomnożonej przez s-tą potęgę promienia tejże kuli, którego ta objętość jest $V_{s}=\Omega _{s}(1)R^{s}\;$, to ta nasza objętość jest wyrażona wedle wzorów dla s parzystego (6.17) i s nieparzystego (6.18), wtedy zbierając to wszystko do kupy, piszemy:

$V_{s}={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{\Gamma ({\frac {s}{2}}+1)}}\cdot R^{s}={\begin{cases}\displaystyle {\pi ^{k} \over k!}\cdot R^{s}&{\mbox{dla }}s=2k\\[2ex]\displaystyle {2^{k}\pi ^{k-1} \over s!!}\cdot R^{s}&{\mbox{dla }}s=2k-1\end{cases}}$

(6.19)

co kończy dowód.

Pole powierzchni sfery w n-wymiarowej przestrzeni

Zakładamy, że mamy dwie sfery o wspólnym środku i promieniach, takimi że zachodzi $R_{1}-R_{2}\rightarrow dR$, czyli wystarczy policzyć pochodną funkcji V określone wzorem ogólnym (6.19) względem promienia kuli określonego przez wielkość R,

$P_{s}dR={{dV} \over {dR}}dR={{\pi ^{s \over 2}} \over {\Gamma ({s \over 2}+1)}}sR^{s-1}dR$

(6.20)

Stąd jego powierzchnia s-wymiarowej kuli, korzystając ze wzoru na objętość kuli określone wzorem (6.19), jest:

$P_{s}={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{\Gamma ({\frac {s}{2}}+1)}}\cdot sR^{s-1}={\begin{cases}\displaystyle {\pi ^{k} \over k!}\cdot sR^{s-1}&{\mbox{dla }}s=2k\\[2ex]\displaystyle {2^{k}\pi ^{k-1} \over s!!}\cdot sR^{s-1}&{\mbox{dla }}s=2k-1\end{cases}}$

(6.21)