Metody matematyczne fizyki/Obrót układu współrzędnych

Obrót układu współrzędnych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Obrót punktu wokół osi z 2Obrót układu współrzędnych wokół osi z 3Kąty Eulera 3.1Definicja

Zajmować się będziemy obrotem punktu wokół początku układu współrzędnych, a także obrotem układu współrzędnego płaskiego o ściśle określony kąt, a także obrotem układu współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej o ściśle określone kąty Eulera.

Obrót punktu wokół osi z

Spróbujmy napisać transformacje obrotu punktu (x,y) dla przestrzeni dwuwymiarowej przy obrocie odwrotnym niż ruch wskazówek zegara o kąt α do punktu (x',y'), wiedząc że transformacje współrzędnych z układu cylindrycznego na kartezjański można napisać w postaci wzorów x=rcosα i y=rsinα:

$x'=r\cos(\alpha +\phi )=r\cos \alpha \cos \phi -r\sin \alpha \sin \phi =\;$
$=x\cos \phi -y\sin \phi \;$

(4.1)

$y'=r\sin(\alpha +\phi )=r\sin \alpha \cos \phi +r\cos \alpha \sin \phi =\;$
$=x\sin \phi +y\cos \phi \;$

(4.2)

Otrzymujemy w ten sposób dwa równania przedstawiające obrót wokół osi z o kąt φ mając stare współrzędne kartezjańskie "x" i "y" w płaskim układzie współrzędnych:

• Obrót dwuwymiarowy punktu, wokół osi z:

$x'=x\cos \phi -y\sin \phi \;$

(4.3)

$y'=x\sin \phi +y\cos \phi \;$

(4.4)

Macierzowo, macierz obrotu punktu w układzie kartezjańskim wokół osi z o kąt φ piszemy na podstawie wzorów (4.3) i (4.4) według:

$M={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}$

(4.5)

Ogólnie macierzowo związek (4.3) i (4.4) piszemy ogólnie przy definicji macierzy obrotu (4.5) wedle schematu:

$X'=MX\;$

(4.6)

Po podstawieniu za M określone wzorem (4.5) do (4.6) możemy macierzowo opisać transformacje obrotu punktu (x,y) wokół punktu (0,0) wedle wzoru określonego poniżej.

Twierdzenie
Pełny zapis transformacji wraz z macierzą obrotu punktu w przestrzeni dwuwymiarowej dla transformacji prostej:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

(4.7)

Twierdzenie
Pełny zapis transformacji wraz z macierzą obrotu punktu w przestrzeni dwuwymiarowej dla transformacji odwrotnej:

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$

(4.8)

Obrót układu współrzędnych wokół osi z

Z poprzedniego rozdziału wiemy, że macierz transformacji określająca obrót punktu wokół początku układu współrzędnej jest napisana wzorem (4.7). Teraz niech punkt pozostaje w spoczynku, a układ współrzędnych porusza się odwrotnie ze wskazówkami współrzędnych, wtedy w macierzy transformacji trzeba zastąpić według podstawienia $\alpha \rightarrow -\alpha \;$, stąd:

$M={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}$

(4.9)

Zaś sama transformacja wygląda :

Twierdzenie
Pełny zapis transformacji wraz z macierzą transformacji dla obracającego się układu współrzędnych:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

(4.10)

Kąty Eulera

Kąty Eulera (od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera), to układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Definicja

(Rys. 4.1) Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych

Dokonajmy obrotu układu współrzędnych xyz do x'y'z', według opisu:

• obrotu wokół osi z, takiego aby oś x pokryła się z linią węzłów w
• obrotu wokół osi x ( = w), takiego aby oś z pokryła się z osią z'
• obrotu wokół osi z ( = z'), takiego aby oś x pokryła się z osią x' (wówczas również oś y pokryje się z osią y').

Przy czym zakładamy, że obrót wokół np. osi x uważamy za dodatni, gdy odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara. Obrót układu współrzędnych można opisać przez trójkę kątów:

$\varphi ,\psi ,\theta =[0,2\pi ),[0,2\pi ),[0,\pi )$.

Określmy:

• $\varphi$ — kąt mierzony od osi x do osi węzłów w w kierunku wyznaczonym osią z jest to kąt obrotu 1.
• $\theta$ — kąt mierzony od osi węzłów w do osi x' w kierunku wyznaczonym osią z' jest to kąt obrotu 2.
• $\psi$ — kąt mierzony od osi z do z' w kierunku wyznaczonym osią węzłów w jest to kąt obrotu 3.

Macierze obrotu A₁, A₂ i A₃, którego symbolizują obroty układu współrzędnych, z charakteryzowane powyżej wynoszą:

$A_{1}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad$

(4.11)

$A_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta \\0&-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\qquad$

(4.12)

$A_{3}={\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi &0\\-\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

(4.13)

Macierz obrotu (4.11)(przy pierwszym obrocie) i (4.13)(przy trzecim obrocie) są w kierunku wyznaczonym przez trzecią oś, a (4.12)(przy drugim obrocie) jest w kierunku wyznaczonym przez pierwszą oś. Macierz obrotu w trzech kierunkach na podstawie macierzy poszczególnych obrotów (4.11), (4.12) i (4.13) jest przedstawiona wzorem A=A₃A₂A₁), co po podstawieniu do tej formuły macierze obrotów, otrzymujemy:

$A=A_{3}A_{2}A_{1}={\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi &0\\-\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta \\0&-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\;$
$={\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \cos \theta &\sin \psi \sin \theta \\-\sin \psi &\cos \psi \cos \theta &\cos \psi \sin \theta \\0&-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi &0\\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

(4.14)

Macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, określająca obroty ze starego położenia do nowego układu współrzędnych, przedstawiamy:

$A=A_{3}A_{2}A_{1}={\begin{bmatrix}\cos \psi \cos \varphi -\sin \psi \cos \theta \sin \varphi &\cos \psi \sin \varphi +\sin \psi \cos \theta \cos \varphi &\sin \psi \sin \theta \\-\sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \cos \theta \sin \varphi &-\sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \theta \cos \varphi &\cos \psi \sin \theta \\\sin \theta \sin \varphi &-\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \end{bmatrix}}$

(4.15)

Natomiast odwrotna macierz obrotu w przestrzeni trójwymiarowej, przekształcająca obroty z nowego położenia układu współrzędnych do starego, jest napisana w sposób następujący:

$A^{-1}=A_{1}^{-1}A_{2}^{-1}A_{3}^{-1}=A_{1}^{T}A_{2}^{T}A_{3}^{T}=(A_{3}A_{2}A_{1})^{T}=A^{T}=\;$
$={\begin{bmatrix}\cos \psi \cos \varphi -\sin \psi \cos \theta \sin \varphi &-\sin \psi \cos \varphi -\cos \psi \cos \theta \sin \varphi &\sin \theta \sin \varphi \\\cos \psi \sin \varphi +\sin \psi \cos \theta \cos \varphi &-\sin \psi \sin \varphi +\cos \psi \cos \theta \cos \varphi &-\sin \theta \cos \varphi \\\sin \psi \sin \theta &\cos \psi \sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$

(4.16)

Odwrotną macierz obrotu (4.16) można również otrzymać z (4.15) zamieniając jednocześnie według $\psi \rightarrow \varphi \;$ i $\varphi \rightarrow \psi \;$, a potem wszystkie kąty zmieniając na przeciwne. Podobnie jak dla wzoru (4.10) możemy napisać podobny wzory ale dla transformacji Eulera dla każdego kąta z osobna:

${\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}=A_{1}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;$

(4.17)

${\begin{bmatrix}x^{''}\\y^{''}\\z^{''}\end{bmatrix}}=A_{2}{\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}\;$

(4.18)

${\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}=A_{3}{\begin{bmatrix}x^{''}\\y^{''}\\z^{''}\end{bmatrix}}\;$

(4.19)

Co można napisać łącząc te trzy transformacje w transformacje Eulera wykorzystując, że całkowita macierz obrotu $A\;$ jest iloczynem poszczególnych macierzy obrotów wykorzystywanych w transformacjach (4.17), (4.18) i (4.19):

${\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}=A_{3}A_{2}A_{1}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;$

(4.20)

Można udowodnić, że transformacja (4.20) zachowuje długość w przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej, w której mamy układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny), bo:

${\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}^{T}A^{T}A{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}^{T}A^{-1}A{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;$

(4.21)

co dowód tego został ukończony.