Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do funkcji zespolonej: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 65:
Jest to formuła dla funkcji napisanych w przestrzeni zespolonej, która jest pewną całką zapisaną w przestrzeni zespolonej, którego schemat:
{{IndexWzór|<MATH>f(z)={{1}\over{2\pi i}}\oint {{f(t)}\over{t-z}}dt\;</MATH>|8.19}}
Całkowanie występujące we wzorze {{LinkWzór|8.19}} możemy tak przekształcić, by po dokonaniu do niego podstawienia <MATH>_{t-z=re^{i\phi}}\;</MATH>,
{{IndexWzór|<MATH>\oint{{f(t)}\over{t-z}}dt=\oint{{f(t+re^{i\phi})}\over{re^{i\phi}}}ire^{i\phi}d\phi=i\oint f(z+re^{\phi})d\phi\;</MATH>|8.20}}
Możemy wybrać takie całkowanie wokół punktu osobliwego z, by promień okręgu okalająca wspomniany punkt osobliwy by dążył do zera, zatem całkę {{LinkWzór|8.18}} piszemy wedle:
{{IndexWzór|<MATH>i\oint f(z+re^{\phi})d\phi=i\int_0^{2\pi} f(z_0)d\phi=if(z_0)\int_0^{2\pi} d\phi=2\pi i f(z_0)\;</MATH>|8.21}}
Na podstawie wzorów {{LinkWzór|8.21}}, {{LinkWzór|8.20}} dochodzimy do wniosku, że spełniony jest wzór {{linkWzór|8.19}}
==Definicja szeregu Laurenta i wyznaczenie czynników w tym szeregu==
| |||