Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 138:
====Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów====
Operatory <MATH>\hat{a}_k^-\neq \hat{a}_k^{+}\;</MATH> nie są to operatorami hermitowskimi i nie mogą reprezentować żadnej mierzalnej wielkości. Natomiast odpowiednie iloczyny są już operatorami hermitowskimi, bo zachodzi tożsamość poniżej:
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-)^{+}=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>|22.51}}
Wobec tego operator <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> posiada rzeczywiste wartości własne, i nietrudno je wyliczyć. A oto dowód własności {{LinkWzór|22.51}}:
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{a}^{+}_k\hat{a}_k^-)^2=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-=\hat{a}_k^{+}
(1-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-)\hat{a}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^--\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\hat{a}_k^-=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>|22.52}}
Korzystaliśmy tu z właściwości antykomutatora {{LinkWzór|22.40}}, zatem otrzymaliśmy własność przy wykorzystaniu ostatnio wspomnianego komutatora.
Na podstawie wzoru {{LinkWzór|22.51}} operator <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>,ma wartości własne 0 i 1, a więc takie jak operator liczby cząstek <MATH>\hat{n}_k\;</MATH> dla fermionów, bo ten nasz opisywany operator jest operatorem rzutowym, ale dla porządku dziennego udowodnijmy, że on posiada takie wartości własne, a nie inne, korzystając z warunku udowodnionego {{LinkWzór|22.51}}. Napiszmy najpierw równanie własne operatora <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>, w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi równość poniżej:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-|v_i\rangle=\lambda|v_i\rangle\;</MATH>|22.53}}
Następnie podziałajmy nastepującym operatorem <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> lewostronnie obie strony równania {{LinkWzór|22.53}}, korzystając na podstawie tożsamości {{LinkWzór|22.53}} dla prawej jego strony, dostajemy równanie:
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-)^2|v_i\rangle=\lambda^2|v_i\rangle\;</MATH>|22.54}}
Idąc dalej przekształcając lewą stronę według tożsamości {{LinkWzór|22.51}}, dochodzimy więc do wniosku:
Linia 159:
Czyli operator :<MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-;\;</MATH> ma wartości własne takie jak <MATH>\lambda=1\;</MATH> lub <MATH>\lambda=0\;</MATH>, co zostało udowodnione.
Policzmy antykomutator operatora składający się z operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> i operatora <mATH>\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l\;</MATH> tak że zachodzi <Math>k\neq l\;</Math>, bo dla <MATH>k=l\;</MATH> dowód jest trywialny i taki komutator jest równy zero, korzystając przy tym z własności operatorów kreacji i anihilacji wedle tożsamości {{LinkWzór|22.40}}, określający związek na operatorach kreacji i anihilacji, i związku opisanego na operatorach kreacji, czyli wzoru {{LinkWzór|22.50}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-,\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-]=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-=
\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\;</MATH><BR><MATH>-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=
\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^-=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-=0\;</MATH>|22.58}}
Wobec obliczonego związku {{LinkWzór|22.58}} i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i l-tym stanie {{LinkWzór|22.27}}, operator <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> z operatorem liczby fermionów w danym stanie <MatH>\nu_k\;</MATH>, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{n}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>|22.59}}
| |||