Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów

Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Zasada superpozycji stanów

Naszym punktem wyjścia będzie równanie własne operatora ${\hat {B}}\;$, który przedstawiamy wedle przepisu:

${\hat {B}}\psi _{i}=b_{i}\psi _{i}\;\;$

(23.1)

Rozwiązaniem tego równania są wektory własne ortogonalne do siebie do delty Diraca lub Kroneckera. Ze względu na zupełność bazy, dowolny stan funkcji $\phi \;$, można przedstawić jak kombinację wektorów bazy $\psi _{i}\;$, które są rozwiązaniami równania własnego (23.1) przy współczynnikach rozwinięcia $c_{i}\;$ wedle sposobu:

$\phi =\sum _{i}c_{i}\psi _{i}\;\;$

(23.2)

Jeśli funkcja stanu jest sumą dwóch wektorów prostopadłych do siebie, to funkcję własną tego stanu piszemy:

$\phi =c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2}\;$

(23.3)

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie jest opisany przez kwadrat modułu funkcji stanu (23.3):

$|\phi |^{2}=\phi ^{*}\phi =c_{1}^{2}|\psi _{1}|^{2}+c_{2}^{2}|\psi _{2}|^{2}+c_{1}c_{2}(\psi _{1}^{*}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}^{*})\;$

(23.4)

W równaniu (23.4) występuje człon interferencyjny, tzn.

$c_{1}c_{2}(\psi _{1}^{*}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}^{*})\;$

(23.5)

który nijak nie ma się do doświadczenia. Np. jeśli detektor, który obserwuje z gęstością prawdopodobieństwa $|\psi _{1}|^{2}\;$, lub $|\psi _{2}|^{2}\;$, i dodatkowo mamy dużo fotonów, i jeśli pierwszy detektor wykrył $n_{1}\;$ fotonów z pierwszym prawdopodobieństwem w szczelinie 1, a drugi detektor $n_{2}\;$ w drugiej szczelinie z drugim prawdopodobieństwem, to gęstość znalezienia fotonu jest równa wyrażeniu z teorii prawdopodobieństwa:

${{n_{1}} \over {n_{1}+n_{2}}}|\psi _{1}|^{2}+{{n_{2}} \over {n_{1}+n_{2}}}|\psi _{2}|^{2}\;$

(23.6)

Widzimy, na podstawie naszych rozważań, że w doświadczeniu układ wybiera pewne funkcje będące wektorami bazy, które są rozwiązaniami równania własnego (23.1), a więc też on wybiera wartości własne odpowiadające tym ściśle określonym wektorom bazy. Tzn. Jeśli w wyniku doświadczenia została wybrana funkcja własna $\psi _{i}\;$, to zmierzyliśmy obserwable o wartości $b_{i}\;$, czyli ta funkcja własna odpowiada temu wektorowi ściśle określonemu.

Zespoły czyste i mieszane

Rozważmy dwie szczeliny, przez który mogą przechodzić fotony, to takim stanom, należy przyporządkować funkcje:

$\left({{n_{1}} \over {n_{1}+n_{2}}}\right)^{1 \over 2}\psi _{1}$

(23.7)

$\left({{n_{2}} \over {n_{1}+n_{2}}}\right)^{1 \over 2}\psi _{2}$

(23.8)

Gęstość uderzenia cząstki w detektor jest równa kwadratowi modułu, który w tym obiekcie funkcja podmodułowa jest sumą funkcji (23.7) i (23.8) wyrażona przez:

$|\psi |^{2}=\left|\left({{n_{1}} \over {n_{1}+n_{2}}}\right)^{1 \over 2}\psi _{1}+\left({{n_{2}} \over {n_{1}+n_{2}}}\right)^{1 \over 2}\psi _{2}\right|^{2}$

(23.9)

Gęstości prawdopodobieństwa wykrycia cząstki w przeciwieństwie do wzoru (23.9) jest to gęstość zaobserwowania fotonu przez detektor jest napisana w sposób:

$\left|\left({{n_{1}} \over {n_{1}+n_{2}}}\right)^{1 \over 2}\psi _{1}\right|^{2}+\left|\left({{n_{2}} \over {n_{1}+n_{2}}}\right)^{1 \over 2}\psi _{2}\right|^{2}$

(23.10)

Pierwszy wzór dopuszcza superpozycję a drugi nie. Ale jak wiadomo z doświadczenia, drugi wzór realizuje doświadczenie, czyli (23.10), a nie (23.9). Jeśli mamy funkcje własne $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\;$, które są rozwiązaniami określonego równania własnego i które są niezależnymi funkcjami bazy n-wymiarowej, to można dokonać superpozycji tych stanów ze współczynnikami rozwinięcia $c_{i}\;$:

$f=\sum _{i}c_{i}f_{i}\;$

(23.11)

A więc gęstość znalezienia cząstki, uderzenia elektronu w dany punkt jest równa kwadratowi modułu z funkcji własnej będących kombinacją n-wymiarową bazy i jest przedstawiona wzorem:

$|f|^{2}=|\sum _{i}c_{i}f_{i}|^{2}\;$

(23.12)

A prawdopodobieństwo wykrycia przez detektor redukuje się do gęstości prawdopodobieństwa $|f_{i}|^{2}\;$ jako wyboru jednej funkcji z bazy $f_{i}$. Funkcje (23.7) i (23.8), czy też (23.10), opsiują stany mieszane (gdzie występują gęstości prawdopodobieństwa), a (23.9) i (23.11) opisują stany czyste (gdzie występują aplitudy).

Obrazy według Schrödingera i Heisenberga

Rozważmy równanie zależne od czasu równanie Schrödingera, która wprowadza zależność od czasu funkcji falowej, który jest rozwiązaniem równania własnego (11.1), gdy mamy przedstawienie funkcji falowej rozwiązania niezależnego od czasu (8.121) i te dwie funkcje można ze sobą połączyć używając operatora ewolucji (11.73) a tą operację przedstawiamy przy pomocy wzoru (11.80), co tutaj przepiszemy w postaci:

$\psi (x,y,z,t)=e^{-{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\phi (x,y,z)$

(23.13)

Lub odwrotną zależność do (23.13), gdy mamy funkcję $\psi (x,y,z,t)\;$ (która jest rozwiązaniem równania falowego zależnego czasu), to będziemy mogli wyznaczyć funkcję niezależną od czasu $\phi (x,y,z)\;$ (która jest rozwiązaniem równania falowego niezależnego od czasu):

$\phi (x,y,z)=e^{{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\psi (x,y,z,t)$

(23.14)

Wyznaczmy elementy macierzowe operatora $A^{(S)}\;$ Schrödingera względem funkcji falowych zależnych od czasu przedstawionym wzorem (23.13):

$A_{mm}^{(S)}=\int \psi ^{*}{\hat {A}}^{(S)}\psi _{m}d\tau =\int \left(e^{-{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\phi _{m}\right)^{*}{\hat {A}}^{(S)}e^{-{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\phi _{m}d\tau =\int \phi _{m}^{*}e^{{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}{\hat {A}}^{(S)}e^{-{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\phi _{m}d\tau =\int \phi _{m}^{*}{\hat {A}}^{(H)}\phi _{m}d\tau$

(23.15)

• gdzie: $d\tau =dxdydz$.

W powyższym wzorze wprowadzono oznaczenie, które nazwiemy operatorem Heisenberga ${\hat {A}}^{(H)}\;$:

${\hat {A}}^{(H)}=e^{{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}{\hat {A}}^{(S)}e^{-{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}$

(23.16)

Według wzoru (23.15) przedstawia on elementy macierzowe operatora ${\hat {A}}^{(H)}\;$ względem funkcji własnych niezależnych od czasu równania własnego falowego niezależnego od czasu.

Wprowadzamy $\psi (x,y,z,t)=\psi ^{(S)}$ oraz $\phi (x,y,z)=\psi ^{(H)}$, otrzymujemy:

$\psi ^{(H)}=e^{{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\psi ^{(S)}$

(23.17)

Operator ${\hat {U}}=e^{i{{\hat {H}} \over {\hbar }}t}$ jest operatorem unitarnym, ponieważ zachodzi warunek dla tych operatorów w postaci (21.63), a jego dowód jest:

$(e^{i{{\hat {H}} \over {\hbar }}t})^{+}e^{i{{\hat {H}} \over {\hbar }}t}=e^{-i{{\hat {H}} \over {\hbar }}t}e^{i{{\hat {H}} \over {\hbar }}t}=e^{0}=1$

(23.18)

Wyznaczmy element macierzowy operatora ${\hat {A}}^{(H)}\;$ względem funkcji falowych Heisenberga, które są rozwiązaniami równania falowego niezależnego od czasu, korzystając przy tym, że operator energii jest operatorem hermitowskim:

$A_{nm}^{(H)}=\langle m|{\hat {A}}^{(H)}|n\rangle =\int {\psi _{m}^{(H)}}^{*}{\hat {A}}^{(H)}\psi _{n}^{(H)}d\tau =\int {\psi _{m}^{(H)}}^{*}e^{{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}{\hat {A}}^{(S)}e^{-{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\psi _{n}^{(H)}d\tau =\int (e^{-{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\psi _{m}^{(H)})^{*}{\hat {A}}^{(S)}e^{-i{{\hat {H}} \over {\hbar }}t}\psi _{n}^{(H)}d\tau$

(23.19)

Ponieważ zachodzi na podstawie (11.75), to można rozpisać działanie operatora ewolucji na funkcję falową Heisenberga:

$e^{-{{i{\hat {H}}} \over {\hbar }}t}\psi _{k}^{(H)}=\left(1+(-{{i} \over {\hbar }}){\hat {H}}+\left(-{{i} \over {\hbar }}\right){\hat {H}}^{2}+...\right)\psi _{n}^{(H)}=\left(1+(-{{i} \over {\hbar }})E_{n}+\left(-{{i} \over {\hbar }}\right)E_{n}^{2}+...\right)\psi _{n}^{(H)}=e^{-{{iE_{k}} \over {\hbar }}t}\psi _{k}^{(H)}$

(23.20)

A zatem równanie (23.19) na podstawie obliczeń (23.20) przyjmuje postać:

$A_{mn}^{(H)}=e^{{{i(E_{m}-E_{n})} \over {\hbar }}t}\int {\psi _{m}^{(H)}}^{*}{\hat {A}}^{(S)}\psi _{n}^{(H)}d\tau =e^{{{i(E_{m}-E_{n})} \over {\hbar }}t}A_{mn}^{(S)}$

(23.21)

Widzimy, że elementy macierzowe operatora Heisenberga są wyrażone przy pomocy operatorów Schrödingera. Gdy zachodzi n=m, to te dwa operatory są sobie równe

Operatory kreacji i anihilacji

Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji fermionów

Zapiszmy przy pomocy ketu Diraca stan r-nieoddziaływujących fermionów w postaci wektora Diraca "ket", który opisuje r liczb kwantowych, które są zapisywane przez liczby kwantowe napisana w postaci symbolu ξ_r^(xr), co opisujemy wzorem:

$|\xi _{1}^{(x_{1})}\xi _{2}^{(x_{2})}\ldots \xi _{r}^{(x_{r})}\rangle \;$

(23.22)

• gdzie dolny wskaźnik oznacza numer cząstki, a górny oznacza stan w jakim dana cząstka się znajduje. Np. dla dwóch cząstek definicja tego stanu jest przedstawiana jest jako iloczyn dwóch stanów kwantowych osobnych fermionów, co opisujemy wzorem:

$|\xi ^{(x_{1})}\xi ^{(x_{2})}\rangle \equiv |\xi _{1}^{(x_{1})}\rangle |\xi _{2}^{(x_{2})}\rangle \;$

(23.23)

Układ dwóch fermionów dla którego funkcja falowa opisuje stan przez funkcję całkowicie antysymetryczną, tzn. przy zamianie dwóch cząstek pojawia się znak minus przed tą funkcją falową, zatem ten stan opisujemy przez funkcję falową:

${\hat {A}}|\xi ^{(x_{1})}\xi ^{(x_{2})}\rangle ={{1} \over {\sqrt {2}}}\left\{|\xi _{1}^{(x_{1})}\rangle |\xi _{2}^{(x_{2})}\rangle -|\xi _{2}^{(x_{1})}\rangle |\xi _{1}^{(x_{2})}\rangle \right\}\;$

(23.24)

Ustalając w pewien ustalony sposób kolejność stanów, dla wszystkich możliwych, możemy je ponumerować naturalnym wskaźnikiem $i=1,2,3,\ldots \;$, i napisać je będzie można z definicji wprowadzając zamiast parametrów opisujących dany stan kwantowy wprowadzamy liczbę cząstek ν_kznajdujący się w danym stanie kwantowym:

${\hat {A}}|\xi _{1}^{(x_{1})}\xi _{2}^{(x_{2})}\ldots \xi _{r}^{(x_{r})}\rangle \equiv |\nu _{1}\nu _{2}\nu _{3}\ldots \nu _{s}\ldots \rangle \;$

(23.25)

• gdzie ${\hat {A}}\;$ jest to operator przekształcający stan ξ_k w liczbę cząstek w stanie k z kolei.

Operator liczby obsadzeń fermionów na k-tej stanie

Określmy przez operator ${\hat {n}}_{k}\;$ liczby cząstek w danym stanie kwantowym o numerze k i działanie tego operatora na funkcję stanu fermionowego, które to przedstawiamy wedle sposobu poniżej. Widzimy, że podczas działania operatora liczby cząstek działający na stan k-ty, powoduje, że przed funkcją falową wyskakuje liczba cząstek znajdujących się w stanie k, co obrazujemy wzorem:

${\hat {n}}_{k}|\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{k}\ldots \rangle \equiv \nu _{k}|\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{k}\ldots \rangle \;$

(23.26)

• gdzie ν_k jest to liczba cząstek w stanie k z kolei.

Operatory liczby cząstek komutuje z tym samym operatorem liczby cząstek, których te dwa operatory działają na ten sam stan lub różne stany kwantowe fermionowe:

$[{\hat {n}}_{k},{\hat {n}}_{l}]=0\;$

(23.27)

a oto dowód wzoru napisanego w punkcie (23.27), wykorzystujący przy tym wzór (23.26), co można zapisać w postaci:

$[{\hat {n}}_{k},{\hat {n}}_{l}]|\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{k}\ldots \rangle ={\hat {n}}_{k}{\hat {n}}_{l}|\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{k}\ldots \rangle -{\hat {n}}_{l}{\hat {n}}_{k}|\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{k}\ldots \rangle =(\nu _{k}\nu _{l}-\nu _{l}\nu _{k})|\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{k}\ldots \rangle =0\;$

(23.28)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (23.28) wzór (23.27) został udowodniony w sposób natychmiastowy.

Krótkie wprowadzenie do operatorów kreacji i i anihilacji

Podamy tutaj podstawowe własności dla operatorów kreacji i anihilacji fermionów i bozonów.

Fermiony

Wprowadźmy przy pomocy właściwości komutacyjnych nowe operatory ${\hat {a}}_{k}^{-}\;$ oraz sprzężone po hermitowsku operator ${\hat {a}}_{k}^{+}\;$ do operatora $a_{k}^{-}\;$, gdzie operator ${\hat {a}}_{k}^{-}\;$ jest operatorem anihilacji na k-tym miejscu fermionu, a ${\hat {a}}_{k}^{+}\;$,jest operatorem kreacji na k-tym miejscu fermionu. Z powodów oczywistych możemy powiedzieć na podstawie powyższych rozważań:

$({\hat {a}}_{k}^{-})^{+}={\hat {a}}_{k}^{+}\;$

(23.29)

Na pomocy definicji sprzężenia podwójnego po hermitowsku dochodzimy do wniosku, że operator ${\hat {a}}_{k}^{+}\;$ jest sprzężony po hermitowsku z operatorem ${\hat {a}}_{k}^{-}\;$:

$({\hat {a}}_{k}^{+})^{+}={\hat {a}}_{k}^{-};\;$

(23.30)

Bozony

Wprowadźmy przy pomocy właściwości komutacyjnych nowe operatory ${\hat {b}}_{k}^{-}\;$ oraz sprzężone po hermitowsku operator ${\hat {b}}_{k}^{+}\;$ do operatora $b_{k}^{-}\;$, gdzie operator ${\hat {b}}_{k}^{-}\;$ jest operatorem anihilacji na k-tym miejscu fermionu, a ${\hat {b}}_{k}^{+}\;$, jest operatorem kreacji na k-tym miejscu fermionu. Z powodów oczywistych możemy powiedzieć na podstawie powyższych rozważań:

$({\hat {b}}_{k}^{-})^{+}={\hat {b}}_{k}^{+}\;$

(23.31)

Na pomocy definicji sprzężenia podwójnego po hermitowsku dochodzimy do wniosku, że operator ${\hat {b}}_{k}^{+}\;$ jest sprzężony po hermitowsku z operatorem ${\hat {b}}_{k}^{-}\;$:

$({\hat {b}}_{k}^{+})^{+}={\hat {b}}_{k}^{-};\;$

(23.32)

Działanie operatorów kreacji i anihilacji na dany stan fermionowy

Działanie operatora kreacji na stan fermionowy, otrzymujemy pewien stan, gdzie ν_k przyjmują wartości takie jak zero lub jeden, które to w k-tym stanie zwiększa się liczba cząstek o jeden, tzn. jeśli nie było fermionu, to tam pojawia się fermion, a jeśli jest tam fermion, to działanie funkcji operatora kreacji daje nam wynik zerowy w rezultacie.

${\hat {a}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p}(1-\nu _{k})|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}+1..\rangle \;$

(23.33)

• gdzie wykładnik p występujący we wzorze (23.33) określamy jako sumę liczby cząstek dla stanów o wskaźnikach mniejszych niż wskaźnik operatora kreacji.

$p=\sum _{s<k}n_{s}\;$

(23.34)

Działaniem operatora anihilacji na pewien stan fermionowy określamy wzorem poniżej. Widzimy, że operator anihilacji działający na k-ty stan fermionowy, to liczba cząstek w tym stanie zmniejsza się o jeden, tzn. jeśli tam była jakaś cząstka, to w tym stanie ona znika i pojawia się pustka. Jeśli tam nie było cząstki, to działanie operatora anihilacji powoduje zerowy wynik takiej operacji.

${\hat {a}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p}\nu _{k}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}-1...\rangle \;$

(23.35)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$ na pewien stan fermionowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem kreacji na k-ty stan, stąd otrzymany wynik działamy operatorem kreacji, których to liczba k określa jednocześnie anihilację, a później kreację pewnej cząstki w stanie k-tej, wtedy na podstawie tego:

${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p}\nu _{k}{\hat {a}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}-1...\rangle =\nu _{k}[1-(\nu _{k}-1)]|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}\rangle =\nu _{k}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \;$

(23.36)

W obliczeniach (23.36) wykorzystaliśmy tożsamość, którą zapisujemy w postaci: $\nu _{k}[1-(\nu _{k}-1)]=\nu _{k}\;$, co dowód przeprowadzamy wstawiając za n_k liczbę zero albo jedynkę. Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora ${\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{k}^{+}\;$, tzn. najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan fermionowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik, co powiemy:

${\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p}(1-\nu _{k}){\hat {a}}_{k}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}+1...\rangle =(1-\nu _{k})(\nu _{k}+1)|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =(1-\nu _{k})|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \;$

(23.37)

Zatem na podstawie wzoru napisanego w punkcie (23.36) (23.37) możemy określić anty-komutację operatora ${\hat {a}}_{k}^{+}\;$ z operatorem ${\hat {a}}_{k}^{-}\;$, w takim razie biorąc wyniki działania naszego operatora kreacji i anihilacji i odwrotnie, tzn. wynikające z wspominanych obliczeń:

$\{{\hat {a}}_{k}^{+},{\hat {a}}_{k}^{-}\}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =({\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}+{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{k}^{+})|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =\nu _{k}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle +(1-\nu _{k})|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \;$

(23.38)

Widzimy, że na podstawie obliczeń wynikających z (23.38) działanie składającego się z operatorów kreacji i anihilacji na stan fermionowy jest liczbie jeden pomnożonej przez stan fermionowy. Następnym krokiem jest wyznaczenie podobnego działania ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}\;$, ale na operatorach kreacji i anihilacji zakładając przy tym, że zachodzi k>l:

${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}-1}(1-\nu _{k})\nu _{l}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}-1...\nu _{k}+1...\rangle \;$

(23.39)

Naszym dalszym krokiem jest wyznaczenie działania operatorowego, który jest operatorem ${\hat {a}}_{l}^{-}{\hat {a}}_{k}^{+}\;$ dla k>l, zatem możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla złożenia operatora anihilacji i kreacji:

${\hat {a}}_{l}^{-}{\hat {a}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}}(1-\nu _{k})\nu _{l}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}-1...\rangle \;$

(23.40)

Zatem możemy wyrazić operator, który jest antykomutatorem działający na dany stan fermionowy, których składnikami jest operator kreacji i anihilacji, dowód ten przeprowadzamy dla k>l, ale wynik jest słuszny, że względu na wszystkie k i l różne od siebie, bo możemy w antykomutorze zamienić miejscami oba te opisywane w tym komutatorze operatory, w takim razie otrzymujemy postać:

$\{{\hat {a}}_{k}^{+},{\hat {a}}_{l}^{-}\}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =\left({\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}+{\hat {a}}_{l}{\hat {a}}_{k}^{+}\right)|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}-1}(1-\nu _{k})\nu _{l}\cdot \;$
$\cdot |\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}-1...\rangle =(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}}(1-\nu _{k})\nu _{l}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}-1...\rangle =0|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}-1...\rangle \;$

(23.41)

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń (23.38) (dla k równego od l) i (23.41) (dla k nierównego l) możemy napisać właściwość operatora kreeacji i anihilacji, który określamy wzorem:

$\left\{{\hat {a}}_{k}^{+},{\hat {a}}_{l}^{-}\right\}=\delta _{kl}\;$

(23.42)

Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora ${\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$, że na k-tym miejscu możemy raz anihilować jedną cząstkę, jeśli tam znajdowała się cząstka, ale puste miejsce w takim razie po anihilacji fermionu nie da się z anihilować, ale gdy by tam nie znajdowała się cząstka (fermion), to w takim razie wynik takiego operatora na ten nasz stan fermionowy jest równy zero, w takim razie możemy napisać tożsamość:

$\{{\hat {a}}_{k}^{-},{\hat {a}}_{k}^{-}\}=0\;$

(23.43)

Dalej wyznaczmy działanie operatora ${\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{-}\;$, gdy zachodzi na pewno k>l, w takim przypadku działanie na wynik działania operatora anihilacji na stan l na funkcję stanu fermionowego jeszcze raz operatorem anihilacji działający tym razem na stan k określamy wzorem:

${\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}-1}\nu _{k}\nu _{l}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}-1...\nu _{k}-1...\rangle \;$

(23.44)

Jeśli w takim razie, gdy napiszemy działanie operatora ${\hat {a}}_{l}^{-}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$, gdy zachodzi k>l, możemy napisać tożsamość opisujący działanie operatora anihilacji na k-ty stan fermionowy, którego to wynik działamy znów operatorem anihilacji działający n l-ty stan kwantowy, w takim razie możemy napisać tożsamość matematyczną:

${\hat {a}}_{l}^{-}{\hat {a}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}}\nu _{l}\nu _{k}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}-1...\nu _{k}-1...\rangle \;$

(23.45)

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (23.45) możemy napisać, że zachodzi tożsamość, która jest również słuszna dla k=l a także dla dowolnego k i l:

$\{{\hat {a}}_{k},{\hat {a}}_{l}\}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =({\hat {a}}_{k}{\hat {a}}_{l}+{\hat {a}}_{l}{\hat {a}}_{k})|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =\;$
$=(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}+1}\nu _{k}\nu _{l}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}-1...\nu _{k}-1...\rangle +(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}}\nu _{l}\nu _{k}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}-1...\nu _{k}-1...\rangle =0\;$

(23.46)

Wedle przeprowadzonych wywodów (23.45) i (23.46) i z wywodu, gdy k≠l przeprowadzonego powyżej możemy napisać tożsamość przeprowadzoną na operatorach kreacji i anihilacji, w takim razie możemy powiedzieć dla dowolnego k i l zachodzi tożsamość poniżej. Ten dowód był przeprowadzany dla k>l lub k=l, ale jest on słuszny dla dowolnego k i l, co wynika symetryczności antykomutatora, ze względu na przestawienie tychże składników:

$\{{\hat {a}}_{k}^{-},{\hat {a}}_{l}^{-}\}=0\;$

(23.47)

Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{+}\;$, jeśli tam znajdowało się na k-tym miejscu puste miejsce, to tam zostanie wykreowany fermion. Powtórna kreacja fermionu jest niemożliwa, stąd wynika działania kwadrat operatora a_k jest równy zero. Zatem wynik działania antykomutatora określonego tuż poniżej jest równa tożsamościowo zeru.

$\{{\hat {a}}_{k}^{+},{\hat {a}}_{k}^{+}\}=0\;$

(23.48)

Dalej wyznaczmy działanie operatora ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l}^{+}\;$, gdy zachodzi k>l, zatem możemy napisać tożsamość działania dwóch operatorów anihilacji na stan najpierw na l-ty stan i później na k-ty, które to działają na osobne stany kwantowe fermionowe, zatem wynik takiego działania jest okreslony wzorem:

${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p_{l}+1}(-1)^{p_{k}}(1-\nu _{l})(1-\nu _{k})|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}+1...\rangle \;$

(23.49)

Jeśli w takim razie, gdy napiszemy działanie operatora ${\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{k}^{+}\;$, dla którego zachodzi k>l, w których na dany k-ty stan kwantowy działamy operatorem anihilacji, a później na ten uzyskany wynik działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy.

${\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}}(1-\nu _{k})(1-\nu _{l})|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}+1...\rangle \;$

(23.50)

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (23.49) oraz w punckie (23.50) możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla k>l, co również jest słuszne dla k=l wedle (23.47), stąd jest słuszne dla dowolnego k i l, co wynika z symetryczności po przestawieniu w naszym rozważanym antykomutatorze argumentów:

$\{{\hat {a}}_{k}^{+},{\hat {a}}_{l}^{+}\}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =({\hat {a}}_{k}{\hat {a}}_{l}+{\hat {a}}_{l}{\hat {a}}_{k})|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle =\;$
$=(-1)^{p_{l}+1}(-1)^{p_{k}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}+1...\rangle +(-1)^{p_{l}}(-1)^{p_{k}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}+1...\rangle =0\;$

(23.51)

Wedle przeprowadzonych wywodów (23.50) i (23.51) i z wywodu, gdy k≠l przeprowadzonego powyżej możemy napisać tożsamość przeprowadzoną na operatorach kreacji i anihilacji, w takim razie możemy powiedzieć dla dowolnego k i l:

$\{{\hat {a}}_{k}^{+},{\hat {a}}_{l}^{+}\}=0\;$

(23.52)

Wyrażanie operatorów kreacji i anihilacji fermionów

Operatory ${\hat {a}}_{k}^{-}\neq {\hat {a}}_{k}^{+}\;$ nie są to operatorami hermitowskimi i nie mogą reprezentować żadnej mierzalnej wielkości. Natomiast odpowiednie iloczyny są już operatorami hermitowskimi, bo zachodzi tożsamość poniżej:

$({\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-})^{+}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$

(23.53)

Wobec tego operator ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$ posiada rzeczywiste wartości własne, i nietrudno je wyliczyć. A oto dowód własności (23.53):

$({\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-})^{2}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}={\hat {a}}_{k}^{+}(1-{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}){\hat {a}}_{k}^{-}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}-{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{k}^{-}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$

(23.54)

Korzystaliśmy tu z właściwości antykomutatora (23.42), zatem otrzymaliśmy własność przy wykorzystaniu ostatnio wspomnianego komutatora. Na podstawie wzoru (23.53) operator ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$, ma wartości własne 0 i 1, a więc takie jak operator liczby cząstek ${\hat {n}}_{k}\;$ dla fermionów, bo ten nasz opisywany operator jest operatorem rzutowym, ale dla porządku dziennego udowodnijmy, że on posiada takie wartości własne, a nie inne, korzystając z warunku udowodnionego (23.53). Napiszmy najpierw równanie własne operatora ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$, w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi równość poniżej:

${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}|v_{i}\rangle =\lambda |v_{i}\rangle \;$

(23.55)

Następnie podziałajmy następującym operatorem ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$ lewostronnie obie strony równania (23.55), korzystając na podstawie tożsamości (23.55) dla prawej jego strony, dostajemy równanie:

$({\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-})^{2}|v_{i}\rangle =\lambda ^{2}|v_{i}\rangle \;$

(23.56)

Idąc dalej przekształcając lewą stronę według tożsamości (23.53), dochodzimy więc do wniosku:

${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}|v_{i}\rangle =\lambda ^{2}|v_{i}\rangle \;$

(23.57)

I ostatecznie, jeśli zastosujemy równanie własne (23.55) do równania (23.57) i zastosujemy dla lewej jego strony, dojdziemy więc do wniosku, że powinno zachodzić:

$\lambda |v_{i}\rangle =\lambda ^{2}|v_{i}\rangle \;$

(23.58)

Przenosząc całą lewą stronę równania (23.58) na jego prawą stronę i włączając wielkość $|v_{i}\rangle \;$ za nawias, dochodzimy do wniosku:

$0=(\lambda ^{2}-\lambda )|v_{i}\rangle \;$

(23.59)

co jedynie jest spełnione dla wartości λ równej 0 lub 1. Czyli operator ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$ ma wartości własne takie jak $\lambda =1\;$ lub $\lambda =0\;$, co zostało udowodnione.

Policzmy antykomutator operatora składający się z operatora ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$ i operatora ${\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}\;$ tak że zachodzi $k\neq l\;$, bo dla $k=l\;$ dowód jest trywialny i taki komutator jest równy zero, korzystając przy tym z własności operatorów kreacji i anihilacji wedle tożsamości (23.42), określający związek na operatorach kreacji i anihilacji, i związku opisanego na operatorach kreacji, czyli wzoru (23.52), zatem:

$[{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-},{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}]={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}-{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}+{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}{\hat {a}}_{k}^{-}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}-{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}{\hat {a}}_{k}^{-}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}\;$
$+{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{-}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}-{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}^{-}=0\;$

(23.60)

Wobec obliczonego związku (23.60) i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i l-tym stanie (23.27), operator ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$ ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora ${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$ z operatorem liczby fermionów w danym stanie $\nu _{k}\;$, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa:

${\hat {n}}_{k}={\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$

(23.61)

Przykłady stanów fermionowych i działania na te stany operatorów kreacji i anihilacji

Wprowadźmy fizyczny stan próżni, tzn. stanu opisywanego przez funkcję, których liczba cząstek we wszystkich stanach jest równa zero, w takim przypadku operator stanu fermionowego jest operatorem zerowym:

$|\nu _{1}=0,\nu _{2}=0,\ldots ,\nu _{s}=0,\ldots \rangle \equiv |0\rangle \;$

(23.62)

Z definicji tego stanu otrzymujemy od razu, że operator liczby cząstek działający na k-ty stan kwantowy, daje nam liczbę cząstek równej zero, co zapisujemy wzorem ${\hat {n}}_{k}|0\rangle =0\;$, bo w stanie k z kolei nie ma żadnych cząstek.

Korzystając z definicji ${\hat {n}}_{k}\;$ zdefiniowanego w punkcie (23.61), dochodzimy do wniosku:

${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}|0\rangle =0\;$

(23.63)

Ponieważ w stanie k z kolei nie ma żadnych cząstek i nie ma co operatorem anihilacji ${\hat {a}}_{k}\;$ robić (usunąć daną cząstkę z tego stanu), więc nic dziwnego, że w tym stanie, że działanie operatora liczby cząstek opisywanego wedle równania (23.63) daje nam końcowy wynik równy zero. Pomnóżmy lewostronnie przez $\langle 0|\;$ równanie (23.63), dostajemy tożsamość:

$\langle 0|{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}|0\rangle =0\;$

(23.64)

Obierzmy definicję "ket"-a $|A\rangle \;$ wedle sposobu: ${\hat {a}}_{k}|0\rangle =|A\rangle \;$, to mamy $\langle A|A\rangle =0\;$, a zatem z definicji iloczynu skalarnego dostajemy odrazu, że zachodzi A=0.

Policzmy teraz dla przykładu wyrażenie, korzystając przy tym z własności na operatorach kreacji i anihilacji (23.42), a także korzystając z definicji operatora liczby cząstek poprzez operatory kreacji i anihilacji przeprowadzonych wedle punktu (23.60):

${\hat {n}}_{l}{\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle ={\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{l}{\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle =\delta _{kl}{\hat {a}}_{l}^{+}|0\rangle -{\hat {a}}_{l}^{+}{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}|0\rangle =\delta _{kl}{\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle \;$

(23.65)

bo w trzeciej równości w drugim wyrazie operator anhilacji nie mam co anihilować w stanie k z kolei, a więc gdy zachodzi k≠1, to możemy powiedzieć:

${\hat {n}}_{l}{\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle =0\;$

(23.66)

oraz gdy $k=l\;$, to dochodzimy do wniosku:

${\hat {n}}_{k}{\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle =1\cdot {\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle \;$

(23.67)

Wyznaczmy wyrażenie w którym w k-tym stanie występuje cząstka i działamy operatorem anihilacji na l-ty stan:

${\hat {a}}_{l}^{-}|0,..,1_{k},0,..\rangle ={\hat {a}}_{l}^{-}{\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle =(\delta _{kl}-{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{l})|0\rangle =\delta _{kl}|0\rangle \;$

(23.68)

Zbierając razem interesujące nas wyniki z punktu (23.68), możemy napisać:

${\hat {a}}_{k}^{-}|0\rangle =0\;$

(23.69)

bo zero, iż kreator anihilacji nie ma co anihilować w stanie k z kolei. A także równanie, na którym na stan fermionowym, którym na k-tym poziomie jest cząstka i działamy operatorem anihilacji na ten stan i wyniku czego po anihilacji tam cząstki powstaje w ogólności stan próżni:

${\hat {a}}_{k}^{-}|0,\ldots ,1_{k},0,\ldots \rangle =|0\rangle \;$

(23.70)

Jeśli podziałamy operatorem kreacji na k-ty stan kwantowy, w której znajduje się jakiś fermion, to wyniku działania takiego operatora na ten stan powoduje działanie nie wykonalne, a więc wynik działania takiego operatora daje nam liczbę zero.

${\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle =|0,\ldots ,1_{k},0,\ldots \rangle \;$

(23.71)

Cząstkę można kreować w stanie k ze stanu próżni w stan, której na k tym poziomie fermionowym będzie znajdowała się cząstka po tej operacji, i jeszcze raz działając na ten otrzymany tak stan tym samym operatorem kreacji otrzymamy wynik zerowym, bo nie można kreować na tym samym miejscu dwóch cząstek, które są fermionami. Połóżmy zatem:

${\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{+}|0\rangle =0\;$

(23.72)

Jeśli działamy operatorem kreacji na stan k_r, a później na stan k_r-1, i na samym ostatku aż do operatora kreacji o numerze k₁, co działanie na stan próżni r- operatorów zapisujemy wzorem opisanych poniżej:

${\hat {a}}_{k_{1}}^{+}{\hat {a}}_{k_{2}}^{+}\ldots {\hat {a}}_{k_{r}}^{+}|0\rangle =\prod _{i=1}^{r}{\hat {a}}_{k_{i}}^{+}|0\rangle \;$

(23.73)

Jest to sprzężenie (iloczyn) operatorów kreacji, które powodują powstanie na $k_{i}\;$-tych miejscach cząstek. Określmy jako liczba cząstek znajdująca się na wszystkich poziomach w stanie fermionowym, których tą liczbę cząstek oznaczamy przez parametr N.

$N=\sum _{k}{\hat {a}}_{k}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$

(23.74)

W równaniu (23.66) oznaczamy całkowitą liczbę cząstek we wszystkich stanach dla $k=0,1,2,3,4,\ldots \;$.

Zdefiniujmy dla przykładu operator, którego definicja jest:

$Q=\sum _{ik}\langle i|q|k\rangle {\hat {a}}_{i}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}\;$

(23.75)

Policzmy elementy macierzowe operatora Q zdefiniowanej w punkcie (23.75) przy pomocy operatora kreacji i anihilacji, w takim przypadku możemy napisać:

$Q_{pr}=\langle p|\sum _{ik}\langle i|q|k\rangle {\hat {a}}_{i}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}|r\rangle =\sum _{ik}\langle i|q|k\rangle \langle p|{\hat {a}}_{i}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}|r\rangle =\sum _{ik}\langle i|q|k\rangle \langle 0|{\hat {a}}_{p}^{-}{\hat {a}}_{i}^{+}{\hat {a}}_{k}^{-}{\hat {a}}_{r}^{+}|0\rangle =\sum _{ik}\langle i|q|k\rangle \delta _{pi}\delta _{kr}=\langle p|q|r\rangle \;$

(23.76)

Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów

Działaniem operatora kreacji $b_{k}^{+}\;$ dla stanu bozonowego nazywamy działaniem, która w wyniku działania stanu bozonowego zwiększa się liczba cząstek o jedynkę na tym poziomie na k-tym poziomie, na który działa nasz operator. Zatem nasze działanie naszego operatora piszemy:

${\hat {b}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\sqrt {\nu _{k}+1}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}+1...\rangle \;$

(23.77)

We wzorze (23.77) wykorzystaliśmy stan, że ν_k jest stanem, który jest opisany przez liczbę kwantową równej k=0,1,2,3,.. Działaniem operatora anihilacji $b_{k}^{-}\;$ dla stanu bozonowego nazywamy działaniem, która w wyniku działania stanu bozonowego zmiejsza się liczba cząstek o jedynkę na tym poziomie na k-tym poziomie, na który działa nasz operator, Zatem nasze działanie naszego operatora piszemy wzorem:

${\hat {b}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\sqrt {\nu _{k}}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}-1...\rangle \;$

(23.78)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem ${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{-}\;$ na pewien stan bozonowy, zatem na pewien stan kwantowy podziałajmy operatorem anihilacji na k-ty stanie, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem kreacji, na ten sam stan:

${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\hat {b}}_{k}^{+}{\sqrt {\nu _{k}}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}-1...\rangle =\nu _{k}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \;$

(23.79)

Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora ${\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{k}^{+}$, tzn., najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan bozonowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik:

${\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\hat {b}}_{k}^{-}{\sqrt {\nu _{k}+1}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}+1...\rangle =(\nu _{k}+1)|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \;$

(23.80)

Na podstawie wzoru napisanego w punkcie (23.79) i (23.80) możemy określić antykomutację operatora ${\hat {b}}_{k}^{-}\;$ z operatorem ${\hat {b}}_{k}^{+}\;$:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k}^{+}]|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =\left({\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{k}^{+}-{\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{-}\right)|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =(\nu _{k}+1)|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle -\nu _{k}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =\;$
$=1\cdot |\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k}^{+}]|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =1\cdot |\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \;$

(23.81)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (23.81) wynika tożsamość:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k}^{+}]=1\;$

(23.82)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem ${\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{l}^{+}\;$ na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatora kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, gdy k≠l, wtedy:

${\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{l}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\hat {b}}_{k}^{-}{\sqrt {\nu _{l}+1}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\nu _{l}+1...\rangle ={\sqrt {\nu _{k}(\nu _{l}+1)}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}-1...\nu _{l}+1...\rangle =\;$
$={\hat {b}}_{l}^{+}{\hat {b}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{l}^{+}]|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =0\Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{l}^{+}]=0\;$

(23.83)

Na podstawie wniosków końcowych przeprowadzonych w punkcie (23.82) i (23.83) dla dowolności "k" i "l" można zapisać właściwość:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{l}^{+}]=\delta _{kl}\;$

(23.84)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem ${\hat {b}}_{l}^{+}{\hat {b}}_{k}^{+}\;$ na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatorem kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem kreacji na k-tyn stan kwantowy, gdy k≠l, wtedy:

${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{l}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\sqrt {\nu _{k}+1}}{\sqrt {\nu _{l}+1}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}+1...\nu _{k}+1...\rangle ={\hat {b}}_{l}^{+}{\hat {b}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}...\nu _{k}...\rangle \;$

(23.85)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (23.85) możemy powiedzieć, że tożsamość powstaje w wyniku odjęcia działania obu stron dotyczące działania operatorami ${\hat {b}}_{l}^{+}{\hat {b}}_{k}^{+}\;$ i ${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{l}^{+}\;$ na stan bozonowy, co te zależności opisujemy razem we wspomnianym tutaj równaniu:

$[{\hat {b}}_{k}^{+},{\hat {b}}_{l}^{+}]|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =0\Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{+},{\hat {b}}_{l}^{+}]=0\;$

(23.86)

Przeprowadzmy obliczenia gdy k=l, wtedy na tej podstawie piszemy tożsamość:

${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{+}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\sqrt {\nu _{k}+1}}{\sqrt {\nu _{k}+1}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}+2...\rangle \Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{+},{\hat {b}}_{k}^{+}]|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =0\Rightarrow [{b}_{k}^{+},{\hat {b}}_{k}^{+}]=0\;$

(23.87)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (23.86) i (23.87), a także dowolności "k" i "l", co wtedy na tej podstawie opisujemy tutaj równaniem:

$[{\hat {b}}_{k}^{+},{\hat {b}}_{l}^{+}]=0\;$

(23.88)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem ${\hat {b}}_{l}^{+}{\hat {b}}_{k}^{+}\;$ na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy, gdy l≠k, zatem na podstawie tego:

${\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{l}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\sqrt {\nu _{k}}}{\sqrt {\nu _{l}}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}-1...\nu _{k}-1...\rangle ={\hat {b}}_{l}^{-}{\hat {b}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{l}^{-}]|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{l}^{-}]=0$

(23.89)

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem ${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{+}\;$ na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na k-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, zatem na podstawie tego:

${\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle ={\sqrt {\nu _{k}}}{\sqrt {\nu _{k}}}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}-2...\rangle ={\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{k}^{-}|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle \Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k}^{-}]|\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{k}...\rangle =0\Rightarrow [{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k}^{-}]=0$

(23.90)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (23.89) i (23.90) możemy powiedzieć, że powstaje tożsamość dla dowolności "k" i "l", co te zależności opisujemy wspomnianym tutaj w równaniu:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{l}^{-}]=0\;$

(23.91)

Mnożenie operatorów kreacji (23.86) lub anihilacji (23.91) jest całkowicie przemienne, tzn.:

${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{l}^{+}={\hat {b}}_{l}^{+}{\hat {b}}_{k}^{+}\wedge {\hat {b}}_{k}^{-}{\hat {b}}_{l}^{-}={\hat {b}}_{l}^{-}{\hat {b}}_{k}^{-}$

(23.92)

stąd w ogólności, mamy dla bozonów: ${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{+}|0\rangle \neq 0$. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (23.79) możemy powiedzieć, że operator ${\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{-}\;$ oznacza liczbę cząstek znajdujących się w danym stanie kwantowym, czyli ten operator ma sens ilości cząstek w danym stanie kwantowym i jest zapisana wzorem:

${\hat {n}}_{k}={\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{-}\;$

(23.93)

Liczba cząstek znajdujących się we wszystkich stanach kwantowych jest zapisana przy pomocy wzoru (23.93):

$N=\sum _{k}{\hat {n}}_{k}=\sum _{k}{\hat {b}}_{k}^{+}{\hat {b}}_{k}^{-}\;$

(23.94)

Wyrażenie operatora hamiltonianu poprzez operatory kreacji i anihilacji

Często operator energii całkowitej jest wyrażony poprzez operatory kreacji i anihilacji, np. kolejno nieoddziaływających fermionów, czy to bozonów, w takim przypadku możemy powiedzieć, że hamiltonian:

${\hat {H}}=\sum _{\alpha \beta }H_{\alpha \beta }a_{\alpha }^{+}a_{\beta }^{-}\;$

(23.95)

${\hat {H}}=\sum _{\alpha \beta }H_{\alpha \beta }b_{\alpha }^{+}b_{\beta }^{-}\;$

(23.96)