Mechanika kwantowa/Zjawisko Comptona

Zjawisko Comptona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

(Rys. 4.1) Schemat zjawiska Comptona

Zjawiskiem Comptona nazywamy zmianę długości fali promieniowania rentgenowskiego podczas rozpraszania tego promieniowania przez substancję zawierające atomy lepkie.

Opiszmy foton o częstości fali ν padający na spoczywający elektron, w wyniku zderzenia fotonu z elektronem, nasz foton rozprasza się pod kątem θ względem kierunku padającego fotonu z częstością ν^', a elektron zostaje rozproszony z pędem ${\vec {p}}\;$, który porusza się z prędkością mniejszą niż prędkość światła, wtedy z zasady zachowania energii:

$h\nu +mc^{2}=h\nu '+{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\;\;$

(4.1)

Wyznaczamy z (4.1) kwadrat pędu relatywistycznego, czyli p², w tym celu wielkość występująca po prawej stronie rozważanego wzoru związany z częstością fotonu rozproszonego przenosimy na jej lewą stroną i włączamy je pod nawias napisany względem stałej Plancka h:

$h(\nu -\nu ')+mc^{2}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\;\;$

(4.2)

Podnosimy obustronnie równanie (4.2) do kwadratu, bo po prawej stronie ostatniego równania występuje pierwiastek, który w wyniku tej operacji zniknie i pozostawi po sobie wyrażenie podpierwiastkowe:

$\left(h(\nu -\nu ')+mc^{2}\right)^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\Rightarrow h^{2}(\nu -\nu ')^{2}+m^{2}c^{4}+h2(\nu -\nu ')mc^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\;\;$

(4.3)

Redukujemy pewne wyrazy w (4.3), które są takie same po lewej i prawej stronie naszego wyrażenia, to dostajemy inne do poprzedniego równanie, ale równoważne do niego:

$h^{2}(\nu -\nu )^{2}+2mc^{2}h(\nu -\nu ')=p^{2}c^{2}\;\;$

(4.4)

Dzielimy obustronnie tożsamość (4.4) przez kwadrat prędkości fal elektromagnetycznych w próżni c²:

$h^{2}\left({{\nu -\nu '} \over {c}}\right)^{2}+2mh(\nu -\nu ')=p^{2}\;\;$

(4.5)

Z zasady zachowania pędu pęd początkowy fotonu przed zderzeniem jest równy sumie pędu fotonu i elektronu po zderzeniu, czyli po rozproszeniu naszego fotonu:

${\vec {p}}_{f}={\vec {p}}+{\vec {p'}}_{f}\;\;$

(4.6)

Wyznaczamy z równania (4.6) wektor pędu elektronu po rozproszeniu jako różnicę pędów fotonów przed i po rozproszeniu.

${\vec {p}}={\vec {p}}_{f}-{\vec {p'}}_{f}\;\;$

(4.7)

A teraz podnosimy do kwadratu równanie (4.7), dalej będziemy wykorzystywać definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów, pędu fotonu przed i po zderzeniu przy kącie rozpraszania θ.

$p^{2}=p_{f}^{2}+p'_{f}-2p_{f}p'cos\theta \;$

(4.8)

Wiemy, że wartości pędów fotonu przed i po rozproszeniu w zależności od ich częstości fali fotonów, jeśli potraktować je jako fale z teorii korpuskularno-falowej, są napisane:

$p_{f}={{h\nu } \over {c}}\;$

(4.9)

$p'_{f}={{h\nu '} \over {c}}\;$

(4.10)

Napiszmy kwadrat pędu elektronu rozproszonego mając wartości pędów fotonów przed zderzeniem (4.9) i po zderzeniu (4.10), to wyrażenie (4.8) piszemy:

$p^{2}=\left({{h\nu } \over {c}}\right)^{2}+\left({{h\nu '} \over {c}}\right)^{2}-2{{h\nu } \over {c}}{{h\nu '} \over {c}}\cos \theta \;$

(4.11)

Porównujemy wzory (4.5) (wynikającego z zasady zachowania energii) z (4.11) (wynikającego z zasady zachowania pędu), to dostajemy równanie po połączeniu tych wspomnianych tożsamości:

$\left({{h\nu } \over {c}}\right)^{2}+\left({{h\nu '} \over {c}}\right)^{2}-2{{h\nu } \over {c}}{{h\nu '} \over {c}}\cos \theta =h^{2}\left({{\nu -\nu '} \over {c}}\right)^{2}+2m(\nu -\nu ')\;$

(4.12)

Dokonujemy dalszych przekształceń w (4.12) po prawej stronie wspomnianego równania podnosząc je do kwadratu dla pierwszego składnika sumy w tym równaniu, otrzymujemy:

$\left({{h\nu } \over {c}}\right)^{2}+\left({{h\nu '} \over {c}}\right)^{2}-2{{h\nu } \over {c}}{{h\nu '} \over {c}}\cos \theta =\left({{h\nu } \over {c}}\right)^{2}+\left({{h\nu '} \over {c}}\right)^{2}-2{{h\nu } \over {c}}{{h\nu '} \over {c}}+2mh(\nu -\nu ')\;$

(4.13)

Redukujemy wyrazy podobne w tożsamości (4.13), to dostajemy równoważne równanie:

$2{{h\nu } \over {c}}{{h\nu '} \over {c}}(1-\cos \theta )=2mh(\nu -\nu ')\;$

(4.14)

Wyraźmy częstości fali fotonów przed i po rozproszeniu w zależności od długości fali fotonów według teorii korpuskularno-falowej:

$\nu ={{c} \over {\lambda }}\;$

(4.15)

$\nu '={{c} \over {\lambda '}}\;$

(4.16)

Na podstawie (4.15) (fala padająca) i (4.16) (fala rozproszona) wzór (4.14) przyjmuje postać:

$h{{1} \over {\lambda \lambda '}}(1-cos\theta )=m\left({{c} \over {\lambda }}-{{c} \over {\lambda '}}\right)\;$

(4.17)

W wyrażeniu (4.17) po prawej stronie dokonajmy sumowania ułamków doprowadzając je do wspólnego mianownika:

$h{{1} \over {\lambda ^{'}\lambda }}(1-cos\theta )=mc{{\lambda '-\lambda } \over {\lambda ^{'}\lambda }}\;$

(4.18)

Mnożymy obustronnie równanie (4.18) przez niezerowe λλ^', pamiętając że foton nie może posiadać zerowych długości fali przed i po rozproszeniu, bo to by odpowiadało nieskończonej energii fotonów, co jest błędne dla naszego przypadku przy założeniu skończonej energii fotonów przed i po rozproszeniu tych obiektów:

$h\left(1-\cos \theta \right)=mc(\lambda '-\lambda )\;\;$

(4.19)

Oznaczmy jako zmianę długości fali wiązki fotonów po i przed rozproszeniem przez wielkość Δλ wedle:

$\lambda '-\lambda =\Delta \lambda \;$

(4.20)

Na podstawie wzoru na zmianę długości fali fotonu zderzającego się z elektronem napisaną według tożsamości (4.20), podstawiając go do równania (4.19), dostajemy ostateczny wzór na zmianę długości fali fotonów przed i po rozproszeniu na lekkich atomach, a w nim na elektronach, w zależności od kąta rozproszenia wiązki fotonów:

${{h} \over {mc}}(1-\cos \theta )=\Delta \lambda \;$

(4.21)

Z definicji kątów połówkowych możemy napisać tożsamość:

$\sin ^{2}{{\theta } \over {2}}={{1-\cos \theta } \over {2}}\Rightarrow {1-\cos \theta }=2\sin ^{2}{{\theta } \over {2}}\;$

(4.22)

Stąd wzór (4.21) na zmianę długości promieniowania wiązki fotonów przy rozpraszaniu na elektronach na podstawie wzoru (4.22) możemy napisać w inny równoważny sposób:

$\Delta \lambda =\lambda '-\lambda =2{{h} \over {mc}}\sin ^{2}{{\theta } \over {2}}\;$

(4.23)

Oznaczmy, że stałą występującą w (4.23) (bez dwójki) jako λ_C i nazwijmy ją stałą Comptona:

$\lambda _{C}={{h} \over {mc}}=2,43\cdot 10^{-12}{\mbox{ m}}\;$

(4.24)

Wzór Comptona (4.23) na podstawie przepisu na stałą Comptona (4.24) zapisywany jest w postaci kwadratu kosinusa dla kąta połówkowego przy stałej proporcjonalności równej podwojonej stałej Comptona:

$\Delta \lambda =2\lambda _{C}\sin ^{2}{{\theta } \over {2}}\;$

(4.25)

Wzór (4.25) jest wzorem wyrażającej zmianę długości fali rozproszonej względem fali padającej w zależności od kąta rozproszenia θ względem kierunku fotonu padającego na elektron, dzięki któremu nastąpiło to zderzenie.