Mechanika kwantowa/Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej

Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania 2Obroty, a prawo zachowania momentu pędu 3Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu 4Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości

W prowadźmy pewne początkowe rozważania, które są potrzebne do wykazania, że dany operator powoduje, że jego wartość średnia pewnej wielkości względem hamiltonianu (operatora energii) jest zachowana. Jeśli mamy jakąś funkcję falową $|q\rangle \;$, to po przetransformowaniu jego, po zmianie jakiegoś parametru na przykład obrót o kąt lub przesunięcie o wektor, a nawet przesunięcia w czasie można zapisać w postaci działania operatora ${\hat {T}}\;$ na stan początkowy naszego układu, tzn. przed dokonaniem pewnych operacji na nim.

$|q'\rangle ={\hat {T}}|q\rangle \;$

(24.1)

Średnia wartość Hamiltonianu, korzystając przy tym ze wzoru (24.1) w układzie wyrażoną za pomocą funkcji falowej po dokonaniu tejże operacji, wyrazimy ją za pomocą funkcji falowej przed dokonaniem tej operacji:

${\overline {P}}'=\int \langle q'|{\hat {P}}'|q'\rangle d\tau =\int \langle q|{\hat {T}}^{+}{\hat {P}}'{\hat {T}}|q\rangle d\tau \;$

(24.2)

Jeśli średnia ma być zachowana względem jakiegoś parametru bez względu na jakie operacji dokonujemy na układzie, to musi zachodzić:

${\overline {P}}={\overline {P}}'\;$

(24.3)

Zatem powinno zachodzić równanie opisujące transformację operatora ${\hat {P}}\;$ z układu po operacji do układu przez naszą operacją, czyli:

${\hat {P}}={\hat {T}}^{+}{\hat {P}}'{\hat {T}}\;$

(24.4)

A ze wzoru (24.4) możemy wyznaczyć operację odwrotną:

${\hat {P}}'={\hat {T}}{\hat {P}}{\hat {T}}^{+}\;$

(24.5)

Wyrażenie (24.5) pozwala przetransformować operator ${\hat {P}}\;$ z jednych współrzędnych do drugich przy transformacji ${\hat {T}}\;$, jeśli ket można przetransformować według (24.1). Ale nasz operator ${\hat {P}}\;$ lub ${\hat {P}}'\;$ jest operatorem hermitowskim, to mamy również wyrażenie (24.5), które można zapisać inaczej:

${\hat {P}}'={\hat {T}}^{+}{\hat {P}}{\hat {T}}\;$

(24.6)

Szczególnym przypadkiem operatora ${\hat {P}}\;$ może być operator Hamiltonianu, czyli: ${\hat {P}}={\hat {H}}\;$.

Wprowadzenie do symetrii zasad zachowania

Skonstruujmy operator transformacji unitarnej w postaci wygodnej dla dalszych rozważań, niech tym operatorem będzie operator zdefiniowany przy pomocy operatora ${\hat {S}}\;$ charakteryzujący naszą wielkość zachowaną na podstawie (13.4), jeśli ten nasz operator nie zależy od czasu i komutacja operatora ${\hat {S}}\;$ z hamiltonianem jest równa zero, to energia układu jest zachowana względem transformacji ${\hat {T}}\;$:

${\hat {T}}=e^{ia{\hat {S}}}\;$

(24.7)

Operator (24.7) jest on operatorem unitarnym wedle definicji (21.63), a oto jego dowód:

${\hat {T}}^{+}{\hat {T}}=\left(e^{ia{\hat {S}}}\right)^{+}e^{ia{\hat {S}}}=e^{-ia{\hat {S}}}e^{ia{\hat {S}}}=e^{0}=1\;$

(24.8)

Jeśli mamy operator, którego transformujemy według przepisu (24.5), to:

${\hat {H}}\rightarrow {\hat {H}}'={\hat {T}}{\hat {H}}{\hat {T}}^{+}=e^{ia{\hat {S}}}{\hat {H}}e^{-ia{\hat {S}}}\;$

(24.9)

Rozłóżmy operator unitarny ${\hat {T}}\;$ (24.7) w szereg Taylora względem wykładnika w nim występującego w operatorze (24.7):

${\hat {T}}=\sum _{k=0}{{(ia)^{k}} \over {k!}}{\hat {S}}^{k}\;$

(24.10)

A teraz policzmy ${\hat {H}}^{'}\;$ (po przetransformowaniu operatorem ${\hat {S}}\;$ wstawiając operatory ${\hat {T}}\;$ wedle jego rozwinięcia (24.10) do wzoru na transformację hamiltonianu (24.9) z jednego układu do innego z primem.

${\hat {H}}'=\sum _{k=0}{{(ia)^{k}} \over {k!}}{\hat {S}}^{k}{\hat {H}}\sum _{p=0}{{(-ia)^{p}} \over {p!}}{\hat {S}}^{p}=\sum _{k,p=0}{{(ia)^{k}} \over {k!}}{\hat {S}}^{k}{\hat {H}}{{(-ia)^{p}} \over {p!}}{\hat {S}}^{p}=\sum _{p,n,n\geq p}{{(ia)^{n-p}} \over {(n-p)!}}{\hat {S}}^{n-p}H(-1)^{p}{{(ia)^{p}} \over {p!}}{\hat {S}}^{p}=\;$
$=\sum _{p,n,n\geq p}n!{{(ia)^{n}} \over {(n-p)!p!}}\left[(-1)^{p}{\hat {S}}^{n-p}H{\hat {S}}^{p}\right]=\sum _{p,n,n\geq p}(ia)^{n}\left[{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n-p}H{\hat {S}}^{p}} \over {p!(n-p)!}}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{{(ia)^{n}} \over {n!}}{\hat {W}}(n)\;$

(24.11)

Weźmy pod pretekst badań wyrażenie występujące (24.11), które można je prezestawić jako:

${\hat {W}}(n)=\sum _{p=0}^{p\leq n}n!\left[{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n-p}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}} \over {p!(n-p)!}}\right]\;$

(24.12)

A ${\hat {W}}(n)\;$ powinno być równe wyrażeniu zdefiniowanego za pomocą komutatorów, czyli

${\hat {K}}(n)=\left[{\hat {S}},\left[{\hat {S}},\left[{\hat {S}},\left[{\hat {S}},....\left[{\hat {S}},{\hat {H}}\right]...\right]\right]\right]\right]\;$

(24.13)

• gdzie S-ów jest tyle co n

Równoważność wzorów (24.12) i (24.13) udowodnimy za pomocą indukcji matematycznej. Sprawdźmy czy ta równoważność dla n=1 jest spełniona tożsamościowo. Zatem mamy dla tego "n", czyli ${\hat {K}}(1)={\hat {S}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {S}}=[{\hat {S}},{\hat {H}}]={\hat {W}}(1)\;$ S-ów jest 1 czyli zgadza się, czyli dla n=1 nasze równoważność jest spełniona. Z założenia indukcyjnego, jeśli mamy ${\hat {K}}(n)={\hat {W}}(n)\;$, to mamy udowodnić wyrażenie na ${\hat {K}}(n+1)={\hat {W}}(n+1)\;$. W ten sposób napiszmy takie wyrażenie, które mamy wedle (24.13) i które jest równy temu wyrażeniu.

${\hat {K}}(n+1)={\hat {S}}{\hat {W}}(n)-{\hat {W}}(n){\hat {S}}=\left[{\hat {S}},{\hat {W}}(n)\right]\Rightarrow {\hat {K}}(n+1)=\left[{\hat {S}},{\hat {W}}(n)\right]\;$

(24.14)

I udowodnijmy, że ${\hat {K}}(n+1)={\hat {W}}(n+1)\;$ wedle twierdzenia indukcyjnego, bo udowodniamy równoważność wzorów (24.12) z (24.13). Z wyrażenia na ${\hat {K}}(n+1)\;$ i ${\hat {W}}(n)\;$ (24.12), dochodzimy do wniosku:

${\begin{aligned}{\hat {K}}(n+1)&={\hat {S}}{\hat {W}}(n)-{\hat {W}}(n){\hat {S}}={\hat {S}}\sum _{p=0}^{p\leq n}n!\left[{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n-p}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}} \over {p!(n-p)!}}\right]-\sum _{p=0}^{p\leq n}n!\left[{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n-p}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}} \over {p!(n-p)!}}\right]{\hat {S}}=\\&=\sum _{p=0}^{p\leq n}n!\left[{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n-p+1}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}} \over {p!(n-p)!}}\right]-\sum _{p=0}^{p\leq n}n!\left[{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n-p}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p+1}} \over {p!(n-p)!}}\right]\end{aligned}}\;$

(24.15)

W drugim wyrazie wzoru (24.15) zastępujemy wedle schematu $p\rightarrow p-1\;$:

${\hat {K}}(n+1)=\sum _{p=0}^{p\leq n}n!\left[{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n-p+1}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}} \over {p!(n-p)!}}\right]-\sum _{p=1}^{p\leq n+1}n!\left[{{(-1)^{p-1}{\hat {S}}^{n+1-p}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}} \over {{(p-1)}!(n-p+1)!}}\right]=\;$
$=\sum _{p=1}^{p\leq n}n!{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n+1-p}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}}\left({{1} \over {p}}+{{1} \over {n-p+1}}\right){{1} \over {(p-1)!(n-p)!}}+{\hat {S}}^{n+1}{\hat {H}}+(-1)^{n+1}{\hat {H}}{\hat {S}}^{n+1}=\;$
$=\sum _{p=0}^{p\leq n+1}n!{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n+1-p}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}} \over {p!(n+1-p)!}}(n+1)=\sum _{p=0}^{p\leq n+1}(n+1)!{{(-1)^{p}{\hat {S}}^{n+1-p}{\hat {H}}{\hat {S}}^{p}} \over {p!(n+1-p)!}}={\hat {W}}(n+1)\;$

(24.16)

A zatem udowodniliśmy, że ${\hat {W}}(n)\;$(24.12) jest równe tożsamościowo wzorowi (24.13). W ten sposób możemy dojść do wniosku, że równanie (24.11), na podstawie udowodnionego ostatniego wzoru na W(n)(24.15), wtedy równanie na ${\hat {H}}'\;$, który powstaje po przetransformowaniu ${\hat {H}}\;$ przez operator ${\hat {T}}\;$ (24.10) względem parametru "a" przy operatorze ${\hat {S}}\;$, jest wyrażone:

${\hat {H}}'={\hat {H}}+(ia)\left[{\hat {S}},{\hat {H}}\right]+{{(ia)^{2}} \over {2!}}\left[{\hat {S}},\left[{\hat {S}},{\hat {H}}\right]\right]+{{(ia)^{3}} \over {3!}}\left[{\hat {S}},\left[{\hat {S}},\left[{\hat {S}},{\hat {H}}\right]\right]\right]+...\;$

(24.17)

Widać z stąd, że jeśli $[{\hat {S}},{\hat {H}}]=0\;$, to ${\hat {H}}'={\hat {H}}\;$, oznacza to, że operator ${\hat {H}}\;$ jest niezmienniczy ze względu na transformację unitarną ${\hat {T}}\;$ generowane przez hermitowski operator ${\hat {S}}\;$.

Wiemy, że zachodzi (13.5) dla operatora ${\hat {S}}\;$ niezależnego od czasu, i jeśli nasz operator jest niezmienniczy, ze względu na transformacje unitarne ${\hat {S}}\;$, to ${{d{\hat {S}}} \over {dt}}=0\;$, co oznacza: ${\hat {H}}'={\hat {H}}\Leftrightarrow {\hat {S}}=const\;$.

Obroty, a prawo zachowania momentu pędu

Napiszmy jak wygląda transformacja obrotu w prawie zachowania momentu pędu. Transformacja odwrotna przekształcająca nowe współrzędne na stare rozważająca obrót wokół osi z, o kąt $\theta \;$ jest napisana wedle schematu:

$x=x'\cos \theta -y'\sin \theta \;$

(24.18)

$y=x'\sin \theta +y'\cos \theta \;$

(24.19)

Ze wzorów transformacyjnych, tzn. (24.18) i (24.19) wynikają tożsamości, które bardzo łatwo możemy udowodnić:

${{\partial x} \over {\partial \theta }}=-y\;$

(24.20)

${{\partial y} \over {\partial \theta }}=x\;$

(24.21)

${{\partial z} \over {\partial \theta }}=0\;$

(24.22)

Napiszmy jak wygląda transformacja keta po obróceniu układu współrzędnych o pewien kąt, rozkładając nasz "ket" w szereg Taylora względem kąta $\theta \;$:

$|q\rangle '=|q\rangle +\theta {{\partial |q\rangle } \over {\partial \theta }}+{{\theta ^{2}} \over {2!}}{{\partial ^{2}|q\rangle } \over {\partial \theta ^{2}}}+...\;$

(24.23)

Napiszmy czemu jest równa pochodna cząstkowa pewnego "keta" względem kąta $\theta \;$, korzystając przy tym z definicji operatora współrzędnej zetowego momentu pędu oraz ze wzorów, które wcześniej udowodniliśmy (24.20), (24.21), (24.22):

${{\partial |q\rangle } \over {\partial \theta }}=\sum _{i}{{\partial |q\rangle } \over {\partial q_{i}}}{{\partial q_{i}} \over {\partial \theta }}=-\left(x{{\partial } \over {\partial y}}-y{{\partial } \over {\partial x}}\right)=-i{{{\hat {L}}_{z}} \over {\hbar }}|q>\;$

(24.24)

Operator (24.24), wiedząc, że jest to pochodna cząstkowa względem parametru azymutalnego w układzie kulistym, jest równy:

${{\partial } \over {\partial \theta }}=-i{{{\hat {L}}_{z}} \over {\hbar }}\;$

(24.25)

Definicja wzoru (24.25) jest tożsama z równaniem (6.56).

A zatem do wzoru (24.23) podstawiamy tożsamość (24.25) do rozwiniętego "keta" względem kąta obrotu θ w szereg Taylora według wzoru (24.23):

$|q\rangle '=|q>+\theta \left(i{{{\hat {L}}_{z}} \over {\hbar }}\right)|q\rangle +{{\theta ^{2}} \over {2!}}\left(i{{{\hat {L}}_{z}} \over {\hbar }}\right)^{2}|q\rangle +...=\left\{1+\theta \left(-i{{{\hat {L}}_{z}} \over {\hbar }}\right)|q\rangle +{{\theta ^{2}} \over {2!}}\left(-i{{{\hat {L}}_{z}} \over {\hbar }}\right)^{2}+...\right\}|q\rangle =\;$
$=e^{-i\theta {{{\hat {L}}_{z}} \over {\hbar }}}|q\rangle \;$

(24.26)

A zatem operator transformacyjny, według szeregu (24.26), który można zapisać w postaci zwartej, który działa na ket, i który jest szukanym operatorem ${\hat {T}}\;$. Uogólnimy nasz wniosek, czyli wzór (24.26) na dowolną oś obrotu równoległą do wektora ${\vec {n}}\;$:

${\hat {T}}=e^{-i\theta {{{\vec {n}}{\hat {L}}} \over {\hbar }}}\;$

(24.27)

Jeśli ma być spełnione prawo zachowania momentu pędu, czyli Hamiltonian ma być niezmienniczy przy transformacji generowanej przez operator ${\hat {L}}\;$, to musi być spełniony warunek:

$0=[H,{\vec {n}}{\hat {L}}]=[H,{\hat {L}}_{x}]\cos \alpha +[H,{\hat {L}}_{y}]\cos \beta +[H,{\hat {L}}_{z}]\cos \gamma \;$

(24.28)

co ma być spełnione dla dowolnego wektora ${\vec {n}}\;$:

$0=[{\hat {L}}_{x},H]=[{\hat {L}}_{y},H]=[{\hat {L}}_{z},H]\;$

(24.29)

Jeśli uwzględnimy spin cząstki, jeśli jakaś cząstka posiada (np. elektrony), tzn. całkowity moment pędu jest równa sumie orbitalnego momentu pędu i spinowego momentu pędu, zatem równanie na tą wielkość zapisujemy:

${\hat {J}}_{z}={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\;$

(24.30)

to dla osi "z' prawo całkowiego zachowania momentu pędu, czyli korzystając ze związku (24.30), jest wyrażone przez równanie komutacyjne jako suma dwóch komutatorów:

$[{\hat {L}}_{z},{\hat {H}}]+[{\hat {S}}_{z},{\hat {H}}]=0\;$

(24.31)

Przesunięcia w przestrzeni euklidesowej, a prawo zachowania pędu

Wcześniej wprowadziliśmy operator obrotu, a teraz wprowadźmy operator przesunięcia w przestrzeni (24.1). Przy przesunięciu o dowolny odcinek pewnego układ współrzędnych, musi być spełniony warunek: $|q(x)\rangle '=|q(x-a)\rangle \;$, co piszemy:

${\hat {T}}|q(x)\rangle =|q(x-a)\rangle \;$

(24.32)

Po rozwinięciu w szereg Taylora prawej strony wyrażenia (24.32) względem zmiennej $-a\;$, wtedy działania można napisać wedle:

${\hat {T}}|q(x)\rangle =|q(x)\rangle +(-a){{\partial |q(x)\rangle } \over {\partial x}}+{{(-a)^{2}} \over {2!}}{{\partial ^{2}|q(x)\rangle } \over {\partial x^{2}}}+...=e^{-a{{\partial } \over {\partial x}}}|q(x)\rangle \;$

(24.33)

Operator przesunięcia ${\hat {T}}\;$, na podstawie wyrażenia (24.33) można przedstawić:

${\hat {T}}=e^{i{{a} \over {\hbar }}i\hbar {{\partial } \over {\partial x}}}=e^{-i{{a} \over {\hbar }}{\hat {p}}_{x}}\;$

(24.34)

Jeśli uogólnimy to dla wektora operatora pędu, to operator transformacji podczas przesunięcia starego układu współrzędnych o wektor ${\vec {a}}\;$ jest napisany wedle schematu:

${\hat {T}}={\hat {T}}_{x}{\hat {T}}_{y}{\hat {T}}_{z}=e^{-i{{a_{x}} \over {\hbar }}{\hat {p}}_{x}}e^{-i{{a_{y}} \over {\hbar }}{\hat {p}}_{y}}e^{-i{{a_{z}} \over {\hbar }}{\hat {p}}_{z}}=e^{-i{{a_{x}{\hat {p}}_{x}+a_{y}{\hat {p}}_{y}+a_{z}{\hat {p}}_{z}} \over {\hbar }}}=e^{-i{{\vec {a}} \over {\hbar }}{\hat {p}}}\;$

(24.35)

Tak więc, jeśli Hamiltonian jest niezmienniczy, to komutacja hamiltonianu ze wszystkimi współrzędnymi z osobna jest równa zero, co można zapisać:

$[{\hat {H}},{\hat {p}}_{x}]=[{\hat {H}},{\hat {p}}_{y}]=[{\hat {H}},{\hat {p}}_{z}]=0\;$

(24.36)

Na podstawie (24.37) średni pęd układu jest zachowany.

Transformacja inwersji przestrzeni, a prawo zachowania parzystości

Definicja działania operatora inwersji ${\hat {P}}\;$ na funkcję falową $\psi ({\vec {r}})\;$ jest przedstawiana:

${\hat {P}}\psi ({\vec {r}})=\psi (-{\vec {r}})\;$

(24.37)

Widzimy, że podczas działania operatora inwersji argument naszej funkcji falowej, czyli wektor położenia ${\vec {r}}\;$ zmienia się na wartość z minusem.

Jeśli jeszcze raz podziałamy operatorem parzystości obustronnie na równość (24.37), który przedstawia działanie operatora parzystości:

${\hat {P}}^{2}\psi ({\vec {r}})={\hat {P}}\psi (-{\vec {r}})=\psi ({\vec {r}})\;$

(24.38)

Stąd według wyrażenia (24.38), dwa razy działanie operatora inwersji na funkcję falową powoduje, że otrzymamy taką samą funkcję jak przez działaniem, zatem kwadrat operatora inwersji jest operatorem tożsamościowym, co napiszemy poniżej:

${\hat {P}}^{2}=I\;$

(24.39)

Równanie własne operatora inwersji, jak każde inne równanie własne mozemy je przestawić przy pomocy jej wartości własnej:

${\hat {P}}\psi ({\vec {r}})=\pi \psi ({\vec {r}})\;$

(24.40)

Jeśli podziałamy obustronnie operatorem inwersji ponownie na równanie własne (24.40) korzystając jeszcze raz (24.41) oraz z liniowości operatora inwersji:

${\hat {P}}^{2}\psi ({\vec {r}})={\hat {P}}\pi \psi ({\vec {r}})\Rightarrow \psi ({\vec {r}})=\pi {\hat {P}}\psi ({\vec {r}})\Rightarrow \psi ({\vec {r}})=\pi ^{2}\psi ({\vec {r}})\;$

(24.41)

Aby powyższe równanie było prawdziwą tożsamością dla dowolnego $\psi ({\vec {r}})\;$, że kwadrat operatora inwersji jest równa jeden wedle (24.41), to musi na pewno zachodzić:

$\pi ^{2}=1\;$

(24.42)

Na podstawie (24.42) wartością własną operatora inwersji, która jest wartością własną równania własnego (24.40), przyjmująca dwie wartości:

$\pi =-1,1\;$

(24.43)

Operatory hamiltonianu i inwersji są operatorami inwersji komutującymi, jeśli założymy, że hamiltonian jest operatorem parzystym, tzn. ${\hat {H}}({\vec {r}})={\hat {H}}(-{\vec {r}})\;$, którego dowód przeprowadzimy poniżej:

${\hat {P}}{\hat {H}}({\vec {r}})\psi ({\vec {r}})={\hat {H}}(-{\vec {r}})\psi (-{\vec {r}})={\hat {H}}({\vec {r}})\psi (-{\vec {r}})={\hat {H}}({\vec {r}}){\hat {P}}\psi ({\vec {r}})\Rightarrow \left({\hat {P}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {P}}\right)\psi ({\vec {r}})=0\;$

(24.44)

Na podstawie obliczeń, które przeprowadziliśmy w punkcie (24.44) i samej definicji komutatora dostajemy, że operator całkowitej energii i operator hamiltonianu komutują ze sobą, czyli te operatory wobec siebie są przemienne:

$[H,{\hat {P}}]=0\;$

(24.45)

Co oznacza, że operator inwersji ${\hat {P}}\;$ i ${\hat {H}}\;$ mają jednakowe funkcje własne. Podziałajmy operatorem ${\hat {P}}\;$ na funkcję ${\hat {H}}\psi (r)\;$, korzystając przy tym, że hamiltonian ${\hat {H}}\;$ komutuje z operatorem inwersji ${\hat {P}}\;$, to otrzymamy pewne wyrażenie z funkcją ${\hat {H}}\psi (r)\;$ i przy nim stojącym czynnikiem $\pi \;$:

${\hat {P}}({\hat {H}}\psi (r))={\hat {H}}{\hat {P}}\psi ={\hat {H}}\pi \psi (r)=\pi ({\hat {H}}\psi (r))\;$

(24.46)

Z powyższych obliczeń wynika własność:

$\pi =(-1)^{p}\;$

(24.47)

A więc dla p parzystych wartość własna operatora parzystości jest $\pi =1\;$, a dla p nieparzystych zachodzi $\pi =-1\;$.

Napiszmy funkcję, która jest rozwiązaniem pewnego równania, która dzieli się na cześć radialną i kątową, która przy założeniu naszym musi być funkcją kulistą.

$\psi _{nlm}=f_{n}(r)Y_{lm}(\theta \phi )\;$

(24.48)

Korzystając z (8.90) i (8.105) oraz korzystając z tego że zmienna u jest równa dokładnie wyrażeniu $\cos \phi \;$, a zatem napiszmy czemu jest równe to wyrażenie:

$Y(180^{o}+\theta ,180^{o}-\phi )=e^{im(180^{o}+\theta )}(1-u(180^{o}-\phi )^{2})^{|m|}{{d^{l+|m|}} \over {du^{l+|m|}(180^{o}-\phi )}}\left\{(1-u(180^{o}-\phi )^{2})^{l}\right\}=\;$
$=(-1)^{m}e^{im\theta }(1-u^{2})^{|m|}{{1} \over {(-1)^{l+|m|}}}{{d^{l+|m|}} \over {du^{l+|m|}}}\left\{(1-u^{2})^{l}\right\}={{(-1)^{m}} \over {(-1)^{l+|m|}}}Y_{lm}(\theta \phi )\;$

(24.49)

Gdy magnetyczna liczba kwantowa $m\;$ jest większa lub równa zero, to współczynnik w równaniu (24.49) ma się:

${{(-1)^{m}} \over {(-1)^{l+|m|}}}=(-1)^{-l}=(-1)^{l}\;$

(24.50)

Gdy magnetyczna liczba kwantowa $m\;$ jest mniejsza niż zero, to współczynnik w równaniu (24.49) ma się:

${{(-1)^{m}} \over {(-1)^{l+|m|}}}={{({-1})^{m}} \over {(-1)^{l-m}}}=(-1)^{m-l+m}=(-1)^{-l+2m}=(-1)^{l}\;$

(24.51)

Z własności funkcji sferycznych (na podstawie (24.50) lub (24.51)), wynika:

$Y(180^{o}+\theta ,180^{o}-\phi )=(-1)^{l}Y_{lm}(\theta \phi )\;$

(24.52)

A teraz podziałajmy operatorem inwersji na funkcję falową zdefiniowanej za pomocą funkcji falowej zdefiniowaną wedle wzoru (24.49) jako iloczynu funkcji radialnej i funkcji kulistej:

${\hat {P}}\psi _{nlm}({\vec {r}})=\psi _{nlm}(-{\vec {r}})=f_{n}(r)Y(180^{o}+\theta ,180^{o}-\phi )\;$

(24.53)

Według wzoru (24.53) (działania operatorem inwersji na funkcję falową), korzystając przy tym z równania (24.52) (czemu jest równe Y(180^o+θ,180^o-φ)), wtedy:

${\hat {P}}\psi _{nlm}(r)=(-1)^{l}\psi _{nlm}(r)\;$

(24.54)

Z stąd wniosek na podstawie równania (24.54), który mamy na pewno, że wartość własna zależna od orbitalnej liczby kwantowej, która jest wykładnikiem potęgi o podstawie równej minus jeden:

$\pi =(-1)^{l}\;$

(24.55)

Co jest wartością własną rozwiązania operatora parzystości funkcji własnej (24.48), a która z kolei jest iloczynem funkcji radialnej i funkcji kulistej Y_lm(θφ). Ponieważ operator parzystości nie zależy od czasu, a także operator całkowitej energii całkowitej (hamiltonian) (hamiltonian jest parzysty) komutuje według z nim według (24.45), według wzoru (13.4) operator parzystości jest niezależny od czasu.