Mechanika kwantowa/Kwantowy oscylator harmoniczny

Kwantowy oscylator harmoniczny

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Teraz opiszemy oscylator harmoniczny używając do tego celu mechanikę kwantową używając do tego układ współrzędnych jednowymiarowy jak i trójwymiarowy.

Kwantowy jednowymiarowy oscylator harmoniczny

Energia potencjalna ciała w oscylatorze harmonicznym jest wyrażona jako wyrażenie proporcjonalne do wychylenia od położenia równowagi:

$V(x)={{1} \over {2}}m\omega ^{2}x^{2}\;$

(18.1)

Hamiltonian oscylatora jednowymiarowa jest sumą operatorów energii kinetycznej i operatora energii potencjalnej (operator energii potencjalnej jest to operator mnożenia przez liczbę, podobnej jak operator współrzędnej położenia, który jest operatorem mnożenia) (18.1), jeśli założymy, że pomijamy spin cząstki kwantowej, to operator energii całkowitej kinetycznej wyrazimy:

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}=-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}+{{1} \over {2}}m\omega ^{2}x^{2}\cdot \;$

(18.2)

Równanie własne operatora energii ${\hat {H}}\;$, tuż potem po przekształceniu do postaci wygodnej, jest zapisane według:

$\left(-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}+{{1} \over {2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi =E\psi \Rightarrow \left({{d^{2}} \over {dx^{2}}}-{{m^{2}\omega ^{2}} \over {\hbar ^{2}}}x^{2}\right)\psi +{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\psi =0\;$

(18.3)

Zamiana zmiennych

Jest to równanie stacjonarne wyprowadzone z niezależnego od czasu równania falowego Schrödingera i idąc dalej wprowadzimy nowe parametry i zmienne, dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego, w celu uproszczenia obliczeń do wyznaczenia wartości i funkcji własnej naszego przekształconego równania (18.3), wtedy te oznaczenia:

$\alpha ^{2}={{m\omega } \over {\hbar }}\;$

(18.4)

$\xi =\alpha x\;$

(18.5)

Przy powyższym oznaczeniu nowej zmiennej (18.5) równanie (18.3) w tychże zmiennych jest:

$\alpha ^{2}{{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}\psi -\alpha ^{4}x^{2}\psi +{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\psi =0\Rightarrow {{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}\psi -\alpha ^{2}x^{2}\psi +{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}{{\hbar } \over {m\omega }}\psi =0\Rightarrow {{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}\psi -\alpha ^{2}x^{2}\psi +{{2E} \over {\hbar \omega }}\psi =0\;$

(18.6)

Przyjmując jeszcze raz oznaczenie (18.5) oraz wprowadzony następny stały parametr w trzecim składniku sumy ostatniego wyrażenia, czyli parametr zależny od energii cząstki w oscylatorze harmonicznym i jest on zdefiniowany wedle sposobu:

$\lambda ={{2E} \over {\hbar \omega }}\;$

(18.7)

to dostajemy równanie różniczkowe wyprowadzonej z (18.6) wyprowadzonej przy pomocy (18.7), z którego będziemy wyznaczali jego rozwiązania.

${{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}\psi -\xi ^{2}\psi +\lambda \psi =0\;$

(18.8)

Z powyższego równania wyprowadzimy funkcję własne operatora energii całkowitej mechanicznej cząstki kwantowej dla ściśle określonych energii jako wartości własnej.

Rozwiązania asymptotyczne

Napiszmy równanie asymptotyczne spełnione dla $x\rightarrow \infty \;$, według definicji $\xi \;$ (18.5) zauważamy, że mamy warunek dla niej, gdy zmienna z kwadratem $\xi ^{2}\;$ jest o wiele większa od parametru $\lambda \;$, czyli zachodzi warunek dla rozwiązania asymptotycznego $\xi ^{2}>>\lambda \;$, odpowiednikiem asymptotycznym równania własnego (18.8) jest równanie:

${{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}\psi -\xi ^{2}\psi =0\;$

(18.9)

Rozwiązaniem powyższego równania jest zestaw funkcji, a znak występującej w tej funkcji przyjmiemy jako plus lub minus, i udowodnimy czy dla tego rozwiązania asymptotycznego właściwym znakiem jest znak minus, bo jest on rozwiązaniem asymptotycznym:

$\psi =e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$

(18.10)

który udowodnimy poniżej rozpisując pierwszą i drugą pochodną, które podstawimy później do równania różniczkowego asymptotytycznego (18.9):

${{d} \over {d\xi }}\psi =\pm \xi e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$

(18.11)

${{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}\psi ={{d} \over {d\xi }}\left(\pm \xi e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}\right)=\pm \xi e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}+\xi ^{2}e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$

(18.12)

Drugą pochodną wyrażenia (18.10) zależnego tylko od zmiennej rzeczywistej $\xi \;$, czyli (18.12) i (18.10), podstawiamy do równania różniczkowego asymptotycznego (18.9), dostajemy niezerowe tożsamościowo wyrażenie, pamiętając o wyborze znaku minus, która dla ξ nieskończonego, dąży do zera, co opiszemy z komentarzami poniżej, nasze wyrażenie możemy napisać:

${{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}\psi -\xi ^{2}\psi =\pm \xi e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}+\xi ^{2}e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}-\xi ^{2}e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}=\pm \xi e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$

(18.13)

Ponieważ wyznaczamy równanie asymptotyczne (18.8) dla $\xi \;$ bardzo dużego, zatem musi być spełniony warunek:

$\lim _{\xi \rightarrow \infty }\pm \xi e^{\pm {{\xi ^{2}} \over {2}}}=0\;$

(18.14)

Aby powyższe wyrażenie w nieskończonościach dążyło do zera musimy wybrać znak minus, bo ze znakiem plus powyższe wyrazie dąży do nieskończoności i nie jest poprawnym wyrażeniem rozwiązania asymptotycznego:

$\lim _{\xi \rightarrow \infty }\left(-\xi e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}\right)=-\lim _{\xi \rightarrow \infty }{{\xi } \over {e^{{\xi ^{2}} \over {2}}}}=-\lim _{\xi \rightarrow \infty }{{1} \over {\xi e^{{\xi ^{2}} \over {2}}}}=0\;$

(18.15)

Doszliśmy do wniosku, że rozwiązaniem asymptotycznym równania (18.8), czyli dla (18.9), jest rozwiązanie w postaci funkcji ze znakiem minus, ale już nie ze znakiem plus:

$\psi =e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$

(18.16)

Powyższe rozwiązanie jest rozwiązaniem całkowalnym z kwadratem po całej linii prostej $(-\infty ,\infty )\;$, czyli dobrze zrobiliśmy.

Równanie różniczkowe dla funkcji aplitudowej rozwiązania asymptotycznego

Dla rozwiązania asymptotycznego (18.16) uzmiennijmy stałą zależącą od zmiennej ξ, którego rozwiązaniem pełnego rozwiązania równania różniczkowego jest (18.8):

$\psi =\nu e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$

(18.17)

Wyznaczmy dwie pierwsze pochodne funkcji (18.17) przy założeniu, że funkcja $\nu \;$ jest zależna od zmiennej ξ, które te pochodne i samą funkcję podstawimy do równania różniczkowego (18.8) z którego wyznaczymy funkcję aplitudową $\nu \;$ zależną od omawianej zmiennej.

• pierwsza pochodna funkcji (18.17) względem $\xi \;$.

${{d} \over {d\xi }}={{d\nu } \over {d\xi }}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-\nu \xi e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$

(18.18)

• druga pochodna funkcji (18.17), a więc pierwsza pochodna pierwszej pochodnej (18.18).

${{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}\psi ={{d} \over {d\xi }}\left({{d\nu } \over {d\xi }}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-\nu \xi e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}\right)={{d^{2}\nu } \over {d\xi ^{2}}}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-{{d\nu } \over {d\xi }}\xi e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-{{d\nu } \over {d\xi }}\xi e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-\nu e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}+\nu \xi ^{2}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}=\;$
$={{d^{2}\nu } \over {d\xi ^{2}}}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-2{{d\nu } \over {d\xi }}\xi e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-\nu e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}+\nu \xi ^{2}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$

(18.19)

Drugą pochodną (18.19) wyrażenia (18.17) i tą właśnie funkcję podstawiamy do równania różniczkowego (18.8), dostajemy wyrażenie:

${{d^{2}\nu } \over {d\xi ^{2}}}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-2{{d\nu } \over {d\xi }}\xi e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-\nu e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}+\nu \xi ^{2}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}+\lambda \nu e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-\xi ^{2}\nu e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}=0\Rightarrow {{d^{2}\nu } \over {d\xi ^{2}}}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-2{{d\nu } \over {d\xi }}\xi e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}-\nu e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}+\lambda \nu e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}=0\;$

(18.20)

Równanie różniczkowe (18.20) dzielimy obustronnie przez funkcję eksponencjalną $e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}\;$, która jest zawsze nierówna zero ze względu na jej własności, to dostajemy wynikowe równanie:

${{d^{2}\nu } \over {d\xi ^{2}}}-2{{d\nu } \over {d\xi }}\xi +(\lambda -1)\nu =0\;$

(18.21)

Rozwiązania aplitudowe funkcji asymptotycznej

Weźmy rozwiązaniem równania różniczkowego (18.21), co jest rozwiązaniem w postaci szeregu potęgowego zmiennej ξ o wykładnikach całkowitych, ale nieujemnych, i współczynnikach a_k, które tworzą w wyniku kombinacji liniowej funkcję ν zależną od zmiennej ξ zdefiniowaną w (18.5).

$\nu =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}\;$

(18.22)

A jego dwie kolejne pochodne licząc je po kolei, tzn. pierwszą i drugą pochodną funkcji (18.22), co tą ostatnia jest pochodną pierwszej pochodnej, piszemy w postaci:

${{d\nu } \over {d\xi }}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}k\xi ^{k-1}\;$

(18.23)

${{d^{2}\nu } \over {d\xi ^{2}}}=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}k(k-1)\xi ^{k-2}\;$

(18.24)

Pochodne zmiennej aplitudowej pierwsze i drugie i samą funkcję podstawiamy do wzoru różniczkowego (18.21) dostając następne wyrażenie:

$\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}k(k-1)\xi ^{k-2}-2\xi \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}k\xi ^{k-1}+(\lambda -1)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}=0\;$

(18.25)

Dokonując drobnych obliczeń w (18.25) przenosząc w drugim wyrazie zmienną $\xi \;$ pod sumę i włączając ją do potęgi o wykładniku k-1 dostając wykładnik k:

$\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}k(k-1)\xi ^{k-2}-2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}k\xi ^{k}+(\lambda -1)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}=0\;$

(18.26)

Dokonujemy zamiany zmiennych w pierwszym składniku sumy wedle schematu, tzn. $k-2\rightarrow k^{'}\;$ w ostatnim wyrażeniu różniczkowym:

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k+2}(k+2)(k+1)\xi ^{k}-2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}k\xi ^{k}+(\lambda -1)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\xi ^{k}=0\Rightarrow \sum _{k=0}^{\infty }\left(a_{k+2}(k+2)(k+1)-2a_{k}k+(\lambda -1)a_{k}\right)\xi ^{k}=0\;$

(18.27)

Wszystkie współczynniki, wyrażone w postaci pewnych wyrażeń, leżące przy współczynnikach $\xi ^{k}\;$ są równe zero dla dowolnych zmiennych $\xi \;$ rzeczywistych, zatem powinno zachodzić:

$a_{k+2}(k+2)(k+1)-2a_{k}k+(\lambda -1)a_{k}=0\Rightarrow a_{k+2}(k+2)(k+1)=(2k-\lambda +1)a_{k}\;$

(18.28)

Zatem dla współczynników wzory iteracyjne $a_{k}\;$ są wyrażone wzorem:

$a_{k+2}={{2k-\lambda +1} \over {(k+2)(k+1)}}a_{k}\;$

(18.29)

Dla dużych k powyższe wyrażenie iteracyjne zapisujemy:

$a_{k+2}\simeq {{2k} \over {(k+2)(k+1)}}a_{k}\Rightarrow a_{k+2}\simeq {{2} \over {k}}a_{k}\;$

(18.30)

Dla wyrażenia $e^{\xi ^{2}}\;$ rozwińmy go w szereg Taylora:

$e^{\xi ^{2}}=1+\xi ^{2}+{{\xi ^{4}} \over {2!}}+{{\xi ^{6}} \over {3!}}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{{\xi ^{2n}} \over {n!}}\;$

(18.31)

Dla szeregu potegowego (18.31) napiszmy stosunek współczynnika o numerze k+2 do współczynnika o numerze "k" dostając przy tym pewne uproszczone wyrażenie, i wyraźmy go dla dużych k:

${{b_{k+2}} \over {b_{k}}}={{{1} \over {(k/2+1)!}} \over {{1} \over {(k/2)!}}}={{(k/2)} \over {(k/2+1)!}}={{(k/2)1} \over {(k/2)!(k/2+1)}}={{1} \over {(k/2+1)}}\simeq {{2} \over {k}}\;$

(18.32)

Na podstawie końcowego wyrażenia (18.30) i współczynników rozwinięcia funkcji (18.31) czyli ilorazem kolejnych wyrazów b_k w (18.32), zatem rozwiązaniem równania różniczkowego (18.21) są takie funkcje, które z (18.17) były niecałkowalne z kwadratem, a rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego powinny być funkcje całkowalne z kwadratem, zatem szereg (18.22) należy urwać na pewnym wyrazie, tzn. $a_{k}\neq 0\;$ i $a_{k+1}=0\;$, zatem w (18.28) musi być spełniony warunek by była zachowana całkowalność z kwadratem funkcji (18.22):

$2k-\lambda +1=0\;$

(18.33)

Do równania (18.33) za parametr λ należy podstawić wyrażenie oznaczone (18.7):

$2k-{{2E} \over {\hbar \omega }}+1=0\Rightarrow {{2E} \over {\hbar \omega }}=2k+1\Rightarrow 2E=(2k+1)\hbar \omega \Rightarrow E=\left(k+{{1} \over {2}}\right)\hbar \omega \;$

(18.34)

Energie E są skwantowane w zależności od parametru naturalnego k i napiszmy go w postaci zamieniając k na n:

$E_{n}=\left(n+{{1} \over {2}}\right)\hbar \omega \;$

(18.35)

Energia własna jednowymiarowego oscylatora harmonicznego jest skwantowana i zależna od liczby kwantowej n, mówi ona, że dla zerowej liczby kwantowej n układ będzie miał jeszcze energię równą $1/2\hbar \omega \;$.

Rozwiązania funkcji własnych równania własnego operatora energii oscylatora harmonicznego

Szeregiem (18.22) dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego z dokładnością do stałej są to unormowane funkcje Hermite'a z definiowane w postaci:

$\nu _{n}=H_{n}(\xi )=(-1)^{n}e^{\xi ^{2}}{{d^{n}} \over {d\xi ^{n}}}\left(e^{-\xi ^{2}}\right)\;$

(18.36)

Zatem rozwiązanie całkowite równania (18.8) można przepisać w postaci:

$\psi _{n}(\xi )=C_{n}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}H_{n}(\xi )\;$

(18.37)

W równaniu (18.37) występująca funkcja Hermite'a dla małych współczynników można wyrazić go jako:

$H_{0}=(-1)^{0}e^{\xi ^{2}}e^{-\xi ^{2}}=1\;$
$H_{1}=(-1)^{n}e^{\xi ^{2}}{{d} \over {d\xi }}e^{-\xi ^{2}}=(-1)e^{\xi ^{2}}(-2\xi )e^{-\xi ^{2}}=2\xi \;$
$H_{2}=(-1)^{2}e^{\xi ^{2}}{{d^{2}} \over {d\xi ^{2}}}e^{-\xi ^{2}}=e^{\xi ^{2}}{{d} \over {d\xi }}\left[(-2)\xi e^{-\xi ^{2}}\right]=-2e^{\xi ^{2}}\left[e^{-\xi ^{2}}-2\xi ^{2}e^{-\xi ^{2}}\right]=4\xi ^{2}-2\;$

(18.38)

Funkcję (18.37) można unormować całkując ją z kwadratem wyznaczając z stąd stałą $C_{n}\;$ zależną od liczby kwantowej n i mając stałą $\alpha \;$ zdefiniowaną w (18.4), i przechodząc przez kolejne jego etapy tego unormowania, którego całka jest równa jeden:

$1=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi _{n}(\xi )|^{2}dx=C_{n}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\xi ^{2}}H_{n}^{2}(\xi ){{d\xi } \over {\alpha }}=C_{n}^{2}\alpha ^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\xi ^{2}}H_{n}^{2}(\xi )d\xi =C_{n}^{2}\alpha ^{-1}2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\;$

(18.39)

Z powyższego równania normalizacyjnego wyznaczamy stałą $C_{n}\;$, którego wygląd:

$C_{n}={{\alpha ^{{1} \over {2}}} \over {\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}\;$

(18.40)

wtedy wyrażenie (18.37), które jest funkcją własna bazy dyskretnej rozwiązania kwantowego równania własnego (18.3) natomiast jest w postaci:

$\psi _{n}(\xi )={{\alpha ^{{1} \over {2}}} \over {\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}e^{-{{\xi ^{2}} \over {2}}}H_{n}(\xi )\;$

(18.41)

Równanie własne operatora energii (18.2) ma energie własne (wartości własne) w postaci (18.35), zdefiniowane dla funkcji własnymi zdefiniowanej według (18.41), co odpowiada jemu energia (18.35).

Kwantowy trójwymiarowy oscylator harmoniczny

Rozpatrzmy oscylator kwantowy o energii potencjalnej, który zależy od promienia radialnego (odległości radialnej) w przestrzeni trójwymiarowej w układzie kulistym:

$V(r)={{1} \over {2}}kr^{2}={{1} \over {2}}\underbrace {M\omega ^{2}} _{k}r^{2}\;$

(18.42)

Równanie własne dla oscylatora harmonicznego z uwzględnieniem potencjału tego oscylatora (18.42), przyjmuje postać:

$\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2M}}\Delta +{{1} \over {2}}M\omega ^{2}r^{2}\right\}\psi =E\psi \;$

(18.43)

Powyższe równanie jest równaniem falowym Schrödinegera dla kwantowego oscylatora harmonicznego w przestrzeni trójwymiarowej.

Radialne równanie trójwymiarowego oscylatora harmonicznego

Dokonując takich samych przekształceń jak dla atomu wodoru w potencjale kulombowskim, tylko w tym przypadku cząstka kwantowa znajduje w potencjale oscylatora harmonicznego trójwymiarowego, co w tym celu wykorzystujemy przy tym równanie (8.135)

${{d^{2}R} \over {dr^{2}}}+\left\{{{2M} \over {\hbar ^{2}}}\left(E-{{M\omega ^{2}r^{2}} \over {2}}\right)-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}R=0\;$

(18.44)

Widzimy, że powyższe równanie jest równaniem różniczkowym radialnym, który pozwala wyznaczyć R(r) względem zmiennej radialnej r, który z kolei zależy od liczby kwantowej momentu pędu l. Wprowadźmy do równania (18.44) nowe oznaczenia zastępujące pewne stałe w omawianym równaniu wiążące pewne stałe i parametry:

$\lambda ={{2ME} \over {\hbar ^{2}}}\geq 0\;$

(18.45)

$\nu ={{M\omega } \over {\hbar }}\;$

(18.46)

Równanie (18.44) na podstawie nowych parametrów (18.45) i (18.46) przyjmuje bardziej prostą postać:

${{d^{2}R} \over {dr^{2}}}+\left\{\lambda -\nu ^{2}r^{2}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}R=0\;$

(18.47)

Część radialna rozwiązania względem rozwiązań Laguerra

Zakładamy, że funkcja $R(r)\;$, która jest rozwiązaniem równania różniczkowego (18.47), która składa się z trzech części i na ostatku z funkcji L(r), którą musimy wyznaczyć, a całkowite rozwiązaniem naszego równania różniczkowego można przedstawić:

$R(r)=r^{l+1}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)\;$

(18.48)

Policzmy dwie kolejne pochodne ostatniej funkcji, która zależy od promienia r względem tejże zmiennej (radialnej), najpierw zabierzmy się za pierwszą pochodną naszej funkcji:

${{dR} \over {dr}}=(l+1)r^{l}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)-r^{l+1}\nu re^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{dL} \over {dr}}\;$
$=(l+1)r^{l}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{dL} \over {dr}}\;$

(18.49)

Jeśli już mamy pierwszą pochodną (18.49) funkcji radialnej (18.48), możemy zabrać się z kolei do obliczenia drugiej pochodnej naszej funkcji mając już pierwszą pochodną.

${{d^{2}R} \over {dr^{2}}}={{d} \over {dr}}{{dR} \over {dr}}={{d} \over {dr}}\left\{(l+1)r^{l}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)+r^{l+1}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{dL} \over {dr}}\right\}=l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)+\;$
$-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)+(l+1)r^{l}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{dL(r)} \over {dr}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)+r^{l+3}\nu ^{2}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L(r)-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{dL} \over {dr}}+\;$
$+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{dL(r)} \over {dr}}-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{dL(r)} \over {dr}}+r^{l+1}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{d^{2}L(r)} \over {dr^{2}}}=r^{l+1}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{{d^{2}L(r)} \over {dr^{2}}}+{{dL} \over {dr}}{\Bigg \{}-\nu r^{l+2}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}+\;$
$+(l+1)r^{l}\nu e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}-r^{l+2}\nu e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}+(l+1)r^{l}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{\Bigg \}}+L(r){\Bigg \{}l(l+1)r^{l-1}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}-(l+1)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}-(l+2)r^{l+1}ve^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}+\;$
$+r^{l+3}\nu ^{2}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{\Bigg \}}=e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{\Bigg \{}r^{l+1}{{d^{2}L(r)} \over {dr^{2}}}+{{dL} \over {dr}}\left\{-2\nu r^{l+2}+(2l+2)r^{l}\right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu +l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu ^{2}\right\}{\Bigg \}}\;$

(18.50)

Obliczoną drugą pochodną (18.50) i wyrażenie (18.48) wstawiamy do równania różniczkowego (18.47), dostajemy:

$e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}{\Bigg \{}r^{l+1}{{d^{2}L(r)} \over {dr^{2}}}+{{dL} \over {dr}}\left\{-2\nu r^{l+2}+(2l+2)r^{l}\right\}+L(r)\left\{-(2l+3)r^{l+1}\nu +l(l+1)r^{l-1}+r^{l+3}\nu ^{2}\right\}=\;$
$=\left\{\lambda -\nu ^{2}r^{2}-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right\}r^{l+1}L(r){\Bigg \}}=0\;$

(18.51)

Równanie (18.51) dzielimy obustronnie przez $e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}\;$, która jak wiadomo z analizy matematycznej jest wyrażeniem zawsze niezerowym, a następnie dokonujmy odpowiednich przekształceń w równości (18.51):

$r^{l+1}{{d^{2}L(r)} \over {dr^{2}}}+{{dL} \over {dr}}\left\{-2\nu r^{l+2}+(2l+2)r^{l}\right\}+L(r)\left\{\lambda r^{l+1}-(2l+3)r^{l+1}\nu \right\}=0\;$

(18.52)

Otrzymane równanie dzielimy obustronnie przez $r^{l}\;$, otrzymujemy:

$r{{d^{2}L(r)} \over {dr^{2}}}+{{dL} \over {dr}}\left\{2l+2-2\nu r^{2}\right\}+L(r)r\left\{\lambda -(2l+3)\nu \right\}=0\;$

(18.53)

Dokonajmy zamiany zmiennych w równaniu różniczkowym (18.53) zmienną r na zmienną x:

$x=\nu r^{2}\;$

(18.54)

licząc najpierw pierwszą pochodną funkcji $L\;$ względem r, by potem je przekształcić względem x:

${{dL} \over {dr}}={{dL} \over {dx}}{{dx} \over {dr}}=2\nu r{{dL} \over {dx}}\;$

(18.55)

a także drugą pochodną funkcji L(r), korzystając z pierwszej pochodnej (18.55), przy definicji zmiennej x (18.54):

${{d^{2}L} \over {dr^{2}}}={{d} \over {dr}}{{dL} \over {dr}}={{d} \over {dr}}2\nu r{{dL} \over {dx}}=2\nu {{d} \over {dr}}r{{dL} \over {dx}}=2\nu {{dL} \over {dx}}+2\nu r{{d} \over {dr}}{{dL} \over {dx}}=2\nu {{dL} \over {dx}}+4\nu ^{2}r^{2}{{d^{2}L} \over {dx^{2}}}=4\nu x{{d^{2}L} \over {dx^{2}}}+2\nu {{dL} \over {dx}}\;$

(18.56)

Równanie (18.53) mnożymy przez $\nu r\;$, dostajemy:

$\nu r^{2}{{d^{2}L(r)} \over {dr^{2}}}+\nu r{{dL} \over {dr}}\left\{2l+2-2\nu r^{2}\right\}+L(r)r^{2}\nu \left\{\lambda -(2l+3)\nu \right\}=0\;$

(18.57)

Dokonujemy teraz wstędnej zamiany zmiennych (18.54) w równaniu różniczkowym (18.57), co w rezultacie otrzymujemy:

$x{{d^{2}L(r)} \over {dr^{2}}}+\nu r{{dL} \over {dr}}\left\{2l+2-2x\right\}+L(r)x\left\{\lambda -(2l+3)\nu \right\}=0\;$

(18.58)

Teraz dokonajmy, podstawień za pochodne, tzn. za pierwszą (18.55) i drugą (18.56) zapisaną względem r funkcji L(r) do (18.58), dochodzimy do wniosku:

$4\nu x^{2}{{d^{2}L} \over {dx^{2}}}+2\nu x{{dL} \over {dx}}+2\nu x{{dL} \over {dx}}(2l+2-x)+L(r)x\left\{\lambda -(2l+3)\right\}=0\;$

(18.59)

Ponieważ mamy w ogólności, że zmienna x (18.54) spełnia takowy warunek $x\neq 0\;$, bo nielogiczne jest, że cząstka może przyjmować tylko położenie x=0, więc możemy dokonać dzielenia przez x we wzorze (18.59):

$4\nu x{{d^{2}L} \over {dx^{2}}}+2\nu {{dL} \over {dx}}(2l+3-x)+L(r)\left\{\lambda -(2l+3)\right\}=0\;$

(18.60)

Dzielimy obie strony przez niezerowy parametr $4\nu \;$ dla równania (18.60), dostajemy:

$x{{d^{2}L} \over {dx^{2}}}+{{dL} \over {dx}}(l+{{3} \over {2}}-x)+L(r)\left\{{{\lambda } \over {4\nu }}-{{2l+3} \over {4\nu }}\right\}=0\;$

(18.61)

Idąc dalej w (18.61) przekształcamy go do postaci bardzo podobnej do równania różniczkowego Laguerra:

$x{{d^{2}L} \over {dx^{2}}}+{{dL} \over {dx}}(l+{{1} \over {2}}+1-x)+L(r)\left\{{{\lambda } \over {4\nu }}-{{2l+3} \over {4\nu }}\right\}=0\;$

(18.62)

Obierzmy w równaniu (18.62) definicję nowych pomocnych parametrów, które jak się przekonamy będą dla nas bardzo potrzebne:

$a=l+{{1} \over {2}}\;$

(18.63)

$b={{\lambda } \over {4\nu }}+{{l} \over {2}}-{{1} \over {4}}\;$

(18.64)

|} Oraz policzmy na podstawie (18.63) i (18.64) podane wyrażenie, które jak się przekonamy występuje w (18.62) jako różnica zmiennych b (18.64) i a (18.63):

$b-a={{\lambda } \over {4\nu }}+{{l} \over {2}}-{{1} \over {4}}-l-{{1} \over {2}}={{\lambda } \over {4\nu }}-{{l} \over {2}}-{{3} \over {4}}={{\lambda } \over {4\nu }}-{{2l+3} \over {2}}\;$

(18.65)

Rozwiązania względem równania różniczkowego Laguerra

Dochodzimy do wniosku, że równanie (18.62) według (18.63) i (18.65) przyjmuje dobrą postać, która jest dla nasz oczekiwanym równaniem różniczkowym Laguerra:

$x{{d^{2}L} \over {dx^{2}}}+\left\{a+1-x\right\}{{dL} \over {dx}}+(b-a)L=0\;$

(18.66)

Aby rozwiązanie równania różniczkowego (18.66) było zawsze skończone, które jest rozwiązaniem Laguerra, to musi zachodzić na podstawie (18.65), że poniższe wyrażenie musi mieć całkowitą skończoną podstać, z której możemy wyznaczyć zmienną b znając a z (18.63):

$b-a={{\lambda } \over {4\nu }}-{{l} \over {2}}-{{3} \over {4}}\equiv n-1\Rightarrow b=n-1+a=n-1+l+{{1} \over {2}}\Rightarrow b=n+l-{{1} \over {2}}\;$

(18.67)

• gdzie: $n=1,2,3,...\;$.

Wartości własne energii własnych

Teraz mając już pierwszą postać wyrażenia (18.67), i odpowiednio przenosząc wyrazy w tym wyrażeniu, otrzymujemy oczekiwane wyrażenie, z której możemy wyznaczyć energię własne równania różniczkowego równania własnego operatora energii kwantowego oscylatora harmonicznego:

${{\lambda } \over {2\nu }}-l-{{3} \over {2}}=2n-2\Rightarrow {{\lambda } \over {2\nu }}=2n+l-{{1} \over {2}}\;$

(18.68)

Policzmy na podstawie (18.45) i (18.46) w celu wyznaczenia czemu jest równa lewa strona końcowego równania (18.68), korzystając z definicji podanych poprzednio nowych parametrów, to on przyjmuje postać:

${{\lambda } \over {2\nu }}={{2ME} \over {2\hbar ^{2}}}{{\hbar } \over {M\omega }}={{E} \over {\hbar \omega }}\;$

(18.69)

Końcowe wyrażenie (18.68) powstaje, gdy po podstawieniu za jej lewą stroną ostatnią tożsamość (18.69), otrzymujemy:

${{E} \over {\hbar \omega }}=2n+l-{{1} \over {2}}\;$

(18.70)

Zatem ostatecznie w (18.70), dokonujemy wymnożenia przez wyrażenie $\hbar \omega \;$, z której możemy wyznaczyć energię oscylatora harmonicznego w postaci skwantowanej zależącą od dwóch parametrów naturalnych n i l:

$E=\left(2n+l-{{1} \over {2}}\right)\hbar \omega \;$

(18.71)

Ponieważ, nic nie zakładaliśmy co do wartości n i l w rozwiązaniach równania radialnego kwantowego oscylatora harmonicznego w (18.47) i tożsamości początkowej (18.67), to one mogą przebiegać niezależnie, według schematu:

$n=1,2,3,4,5\;$

(18.72)

$l=0,1,2,3,...\;$

(18.73)

Policzmy więc stopień degeneracji poziomu energii własnych oscylatora harmonicznego, w tym celu przedstawmy (18.71) troszeczkę w innej postaci wprowadzając całkowitą liczbę kwantową N:

$E_{N}=\hbar \omega \left\{N+{{3} \over {2}}\right\}\;$

(18.74)

w której ta liczba kwantowa N jest zdefiniowana w sposób:

$N=2n+l-2\;$,gdzie $N=0,1,2,3,4,..\;$

(18.75)

aby równanie (18.74) było zgodne z (18.71). Z (18.75) wyznaczamy $l\;$, aby później wyznaczyć stopień generacji dla kwantowego oscylatora harmonicznego.

$l=N+2-2n\;$,  wtedy mamy: $l=N,N-2,N-4,...,1{\mbox{ lub }}0\;$

(18.76)

Ilość degeneracji, również z namiastką spinu, który ma dwa rzuty na oś zetową, przyjmuje postać dla N parzystego:

$2\sum _{0,2,...,N}(2l+1)=2{{1+2N+1} \over {2}}\left({{N} \over {2}}+1\right)=(N+1)(N+2)\;$

(18.77)

Dla N nieparzystego ilość degeneracji jest:

$2\sum _{1,3,..,N}(2l+1)=2{{3+2N+1} \over {2}}{{N+1} \over {2}}=(N+1)(N+2)\;$

(18.78)

Czyli stopień degeneracji na podstawie (18.77) lub (18.78) jest zależny od wprowadzonej liczby kwantowej naturalnej N, które to wyrażenie przyjmuje postać:

$g=(N+1)(N+2)\;\;$

(18.79)

Funkcje własne trójwymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego

jeśli mamy rozwiązanie R(r) (18.48) poprzez funkcję Laguerra i mając definicję funkcji jako ${{R(r)} \over {r}}\;$, i mając jeszcze funkcje kuliste, i uwzględniając jeszcze pojęcie spinu, to nasze rozwiązanie równania własnego (18.43) przyjmuje postać:

$\psi _{nlm_{l}m_{s}}\sim r^{l}e^{-{{\nu r^{2}} \over {2}}}L_{b=n+l-{{1} \over {2}}}^{a=l+{{1} \over {2}}}(\nu r^{2})Y_{lm_{l}}(\theta \phi )\chi _{m_{s}}\;$

(18.80)

Operator energii całkowitej z uwzględnieniem oddziaływania spin-orbita

Wcześniej w obliczeniach nie uwzględnialiśmy spinu, czyli w (18.43). Teraz uwzględniając spin, czyli mianowicie oddziaływanie spinu z orbitą cząstki, wtedy napiszmy nasz poprawiony Hamiltonian mając stałą D o pewnej ściśle określonej wartości:

${\hat {H}}=-{{\hbar ^{2}} \over {2M}}\Delta +{{M\omega ^{2}r^{2}} \over {2}}+D{\hat {s}}\cdot {\hat {l}}\;$

(18.81)

Stała D w pierwszym przybliżeniu przyjmujemy, że jest stałą niezależną od odległości cząstki od położenia równowagi. Suma orbitalnego momentu pędu oraz jego spinu, jest to całkowity moment pędu i jest zdefiniowany:

${\vec {j}}={\vec {l}}+{\vec {s}}\;$

(18.82)

Podnosząc obie strony równania (18.82) do kwadratu mamy następne równanie wynikowe:

${\vec {j}}^{2}={\vec {l}}^{2}+{\vec {s}}^{2}-2{\vec {l}}{\vec {s}}\Rightarrow {\vec {l}}{\vec {s}}={{1} \over {2}}\left({\vec {j}}^{2}-{\vec {l}}^{2}-{\vec {s}}^{2}\right)\;$

(18.83)

A zatem nasz Hamiltonian (18.83) przyjmuje następną równoważną postać, zastępując odpowiednie wektory momentów pędu czy to orbitalnego czy spinowego tejże wielkości fizycznej przez operatory i po podstawieniu tak otrzymanego operatora do (18.81), otrzymujemy:

${\hat {H}}=-{{\hbar ^{2}} \over {2M}}\Delta +{{M\omega ^{2}r^{2}} \over {2}}+{{D} \over {2}}\left({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2}\right)\;$

(18.84)

Napiszmy teraz równanie własne operatora zdefiniowanego w (18.84) wykorzystując równanie własne kwadratu całkowitego, orbitalnego, spinowego momentu pędu, wiedząc, że wszystkie te operatory mają wspólne funkcje własne i mają bardzo podobne wartości pod względem wyglądu:

${\hat {H}}\psi _{nljm}^{(ls)}=\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2M}}\Delta +{{M\omega ^{2}r^{2}} \over {2}}\right\}\psi _{nljm}^{(lm)}+{{D} \over {2}}({\hat {j}}^{2}-{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2})\psi _{nljm}^{(lm)}=\left\{(N+{{3} \over {2}})\hbar \omega +{{D} \over {2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]\right\}\psi _{nljm}^{(lm)}\;$

(18.85)

Poprawka do energii $\Delta E\;$ poziomów oscylatora harmonicznego trójwymiarowego przyjmuje logiczną postać:

$\Delta E={{D} \over {2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right)={{D} \over {2}}\left(j(j+1)-l(l+1)-{{3} \over {4}}\right)\;$

(18.86)

Ponieważ całkowita liczba kwantowa "j" jest kwantową połówkową liczbą kwantową, która może się mieścić się pomiędzy liczbami połówkowymi, określonych przez orbitalne liczby kwantowe "l" przyjmujących wartości całkowite nieujemne, co wynika z dodawania orbitalnego momentu pędu i liczby kwantowej połówkowej spinowej liczby kwantowej równej ${{1} \over {2}}\;$, jeśli cząstka posiada spin własny.

$j=l+{{1} \over {2}}\;$

(18.87)

$j=l-{{1} \over {2}}\;$

(18.88)

Znajdziemy poprawkę do energii (18.86) uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia (18.87):

$(\Delta E)_{l+{{1} \over {2}}}={{D} \over {2}}\left[\left(l+{{1} \over {2}}\right)\left(l+{{3} \over {2}}\right)-l(l+1)-{{3} \over {4}}\right]={{D} \over {2}}\left(l^{2}+{{3} \over {2}}l+{{1} \over {2}}l+{{3} \over {4}}-l^{2}-l-{{3} \over {4}}\right)={{D} \over {2}}l\;$

(18.89)

Znajdziemy poprawkę do energii (18.86) uwzględniając istnienie spinu cząstki przy całkowitym momencie pędu "j" sformułowanego według wyrażenia (18.88):

$(\Delta E)_{l-{{1} \over {2}}}={{D} \over {2}}\left[\left(l-{{1} \over {2}}\right)\left(l+{{1} \over {2}}\right)-l(l+1)-{{3} \over {4}}\right]={{D} \over {2}}\left(l^{2}+{{1} \over {2}}l-{{1} \over {2}}l-{{1} \over {4}}-l^{2}-l-{{3} \over {4}}\right)={{D} \over {2}}\left(-l-1\right)=-{{D} \over {2}}(l+1)\;$

(18.90)

Więc rozszczepienie przyjmuje wartość dla różnicy energii między dwoma skrajnymi poziomami dla tej samej orbitalnej liczby kwantowej, czyli dla najbliższych sąsiadów całkowita poprawka do energii, przy wykorzystaniu wzorów (18.89) i (18.90), piszemy jako poprawkę do energii elektronu:

$(\Delta E)_{l+{{1} \over {2}}}-(\Delta E)_{l-{{1} \over {2}}}={{D} \over {2}}(l+l+1)={{D} \over {2}}(2l+1)\;$

(18.91)

W wyrażeniu (18.91) widzimy, że po uwzględnieniu spinu cząstki rozszczepienie jest niezerowe.