Mechanika kwantowa/Teoria atomu wodoru Sommerfelda

Teoria atomu wodoru Sommerfelda

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Teoria nierelatywistyczna atomów wodoropodobnych Sommerfelda 1.1Orbity eliptyczne w przybliżonym modelu atomu wodoru Sommerfelda

Teoria nierelatywistyczna atomów wodoropodobnych Sommerfelda

Model atomów wodoropodobnych Sommerfelda jest uogólnieniem modelu atomu wodoru Bohra, na orbity eliptyczne . W przestrzeni dwuwymiarowej określmy energię kinetyczną, jako sumę energii kinetycznej radialnej (zależnej od pochodnej radialnej względem czasu) i kątowej (zależnej od pochodnej współrzędnej kątowej względem czasu):

$T={{m{\dot {r}}^{2}} \over {2}}+{{mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}} \over {2}}$

(3.1)

Energia potencjalna elektronu poruszającego się na orbicie eliptycznej w pewnym punkcie omawianego toru naszej cząstki jest napisana w zależności od odległości jądra atomowego od tego punktu:

$U=-{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{Ze^{2}} \over {r}}$

(3.2)

Lagrangian z definicji jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej, na podstawie wzoru (3.1) (energia kinetyczna) i (3.2) (energia potencjalna), jest wyrażona wzorem w zależności od pierwszej pochodnej położenia radialnego i kątowego w układzie biegunowym oraz także od położenia radialnego, należy przy tym pamiętać, że energia potencjalna wspomniana powyżej nie zależy od żadnej pochodnej względem czasu, czyli od pochodnych położenia radialnego, czy to kątowego:

$L=T-U={{m{\dot {r}}^{2}} \over {2}}+{{mr^{2}{\dot {\theta }}} \over {2}}+{{1} \over {4\pi \epsilon _{0}}}{{Ze^{2}} \over {r}}$

(3.3)

Wyznaczmy pędy uogólnione, których definicja jest znana z mechaniki klasycznej wedle Hamiltona:

1° Pęd radialny dla orbity eliptycznej jest to pochodna cząstkowa Lagrangianu względem pochodnej położenia radialnego względem czasu:

$p_{r}={{\partial L} \over {\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}$

(3.4)

2° Pęd kątowy dla tej samej orbity, co poprzednio jest wyrażony jako pochodna cząstkowa Lagrangianu względem pochodnej położenia kątowego względem czasu:

$p_{\theta }={{\partial L} \over {\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$

(3.5)

Postulat Sommerfelda mówi, że poszczególne całki, których funkcją podcałkową jest pęd uogólniony, ta całka jest liczona względem położeń uogólnionych (radialnej i kątowych we współrzędnych kulistych w przestrzeni lub radialnych na płaszczyźnie), czyli według równania:

$\oint _{L}p_{i}dq_{i}=n_{i}h$

(3.6)

Równanie toru we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie po której porusza się elektron jest równaniem położenia radialnego w układzie biegunowym względem jej położenia kątowego względem stałych k i ε, które charakteryzują naszą elipsę, ma postać:

$r={{k} \over {1+\epsilon \cos \theta }}$

(3.7)

Policzmy teraz pochodną położenia radialnego względem czasu wielkości wyrażoną wzorem (3.7), to otrzymamy wyrażenie zależne od pochodnej kątowej względem czasu i samych wielkości kątowych:

${\dot {r}}={{k\epsilon \sin \theta } \over {(1+\epsilon \cos \theta )^{2}}}{\dot {\theta }}$

(3.8)

Wyraźmy moment pędu elektronu na orbicie eliptycznej, która jest zależna od poszukiwanej pochodnej wielkości kątowej względem czasu:

$L=mr^{2}{\dot {\theta }}$

(3.9)

Ze wzoru (3.9) wyznaczmy wyrażenie będące pochodną wielkości kątowej względem czasu wyrażoną w zależności od momentu pędu charakteryzującego tor eliptyczny, po którym porusza się elektron, i od danej chwili położenia radialnego elektronu krążącego wokół jądra atomowego, i idąc dalej zależy ona od masy cząstki:

${\dot {\theta }}={{L} \over {mr^{2}}}$

(3.10)

Dochodzimy więc do wniosku, że prędkość radialna (3.8) na podstawie już wyznaczonego wzoru (3.10) i po wyrażeniu pozostałych położeń radialnych, tzn. podstawiając równanie na promień orbity (3.7), otrzymujemy:

${\dot {r}}={{k\epsilon \sin \theta } \over {(1+\epsilon \cos \theta )^{2}}}{{L} \over {mr^{2}}}\Rightarrow {\dot {r}}={{Lk\epsilon \sin \theta } \over {m(1+\epsilon \cos \theta )^{2}}}{{1} \over {k^{2}}}(1+\epsilon \cos \theta )^{2}\Rightarrow {\dot {r}}={{L\epsilon \sin \theta } \over {km}}$

(3.11)

Z postulatu Sommerfelda (3.6) dla współrzędnej kątowej wynika, że moment pędu jest wielkością skwantowaną podobnie jak w modelu atomu wodoru Bohra, tylko tutaj mamy kątową liczbą kwantową n_θ, a w naszym poprzednim module była tylko liczba kwantowa n.

$\int p_{\theta }dq_{\theta }=\int _{\theta =0}^{2\pi }mr^{2}{{d\theta } \over {dt}}d\theta =\int _{\theta =0}^{2\pi }mr^{2}{{L} \over {mr^{2}}}d\theta =2\pi L=n_{\theta }h$

(3.12)

Wedle ostatniego wynikowego równania w (3.12) i po podzieleniu go przez 2π, po skorzystaniu z definicji stałej kreślonej Plancka, to dyskretny moment pędu zapisujemy:

$L=n_{\theta }\hbar \;$

(3.13)

Orbity eliptyczne w przybliżonym modelu atomu wodoru Sommerfelda

Dla współrzędnej radialnej postulat Sommerfelda (3.6) dla pędu uogólnionego zdefiniowanego wedle (3.4) i po scałkowaniu go względem promienia radialnego otrzymujemy wiedząc przy poniższych obliczeniach, że $...<\epsilon ^{3}<\epsilon ^{2}<\epsilon <1\;$ (dla orbit eliptycznych w przybliżonym rozważanym tym modelu, w którym wyrazy z $\epsilon ^{3}\;$ i dalsze pomijamy), wykorzystując formułę Sommerfelda dla $i=r\;$, mamy:

$\int p_{r}dr=\int _{\theta =0}^{2\pi }m{\dot {r}}{{dr} \over {d\theta }}d\theta =\int _{\theta =0}^{2\pi }m{{L\epsilon \sin \theta } \over {km}}{{k\epsilon \sin \theta } \over {(1+\epsilon \cos \theta )^{2}}}d\theta =L\epsilon ^{2}\int _{\theta =0}^{2\pi }{{\sin ^{2}\theta } \over {(1+\epsilon \cos \theta )^{2}}}d\theta \simeq L\epsilon ^{2}\int _{\theta =0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta (1-2\epsilon \cos \theta )d\theta \simeq \;$
$\simeq L\epsilon ^{2}\int _{\theta =0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta d\theta =L\epsilon ^{2}{{1} \over {2}}\int _{\theta =0}^{2\pi }\left(1-\cos 2\theta \right)d\theta =\pi L\epsilon ^{2}\Rightarrow \int _{\theta =0}^{2\pi }p_{r}dr\simeq \pi L\epsilon ^{2}\;$

(3.14)

Z definicji modelu Sommerfelda (3.6) zastosowaną w przypadku atomu wodoru i na podstawie całki Riemanna dla przypadku $i=r\;$, czyli (3.14), i korzystając ze wzoru na moment pędu (3.13) wynikający z $i=\theta \;$ z tego modelu, wtedy:

$\pi L\epsilon ^{2}=n_{r}h\Rightarrow \epsilon ^{2}={{2n_{r}h} \over {2L\pi }}={{2n_{r}\hbar } \over {L}}={{2n_{r}\hbar } \over {n_{\theta }\hbar }}={{2n_{r}} \over {n_{\theta }}}\Rightarrow \epsilon ^{2}={{2n_{r}} \over {n_{\theta }}}\;$

(3.15)

Czyli tutaj zachodzi na podstawie (3.15) dla orbit eliptycznych mimośrodu elipsy, tzn.: $\epsilon <1\;$:

$\epsilon <1\Rightarrow \epsilon ^{2}<\epsilon <1\Rightarrow {{2n_{r}} \over {n_{\theta }}}<1\Rightarrow 2n_{r}<n_{\theta }\Rightarrow n_{r}<{{1} \over {2}}n_{\theta }\;$

(3.16)

Czyli tutaj widzimy na podstawie (3.16), że $n_{r}=0\;$ dla $n_{\theta }=1,2\;$ i $n_{r}\geqslant 0\;$ dla $n_{\theta }=3,4,5,...\;$, tzn. $n_{r}=0,1\;$ dla $n_{\theta }=3\;$, $n_{r}=0,1\;$ dla $n_{\theta }=4\;$, $n_{r}=0,1,2\;$ dla $n_{\theta }=5\;$, $n_{r}=0,1,2\;$ dla $n_{\theta }=6\;$, $n_{r}=0,1,2,3\;$ dla $n_{\theta }=7\;$, $n_{r}=0,1,2,3\;$ dla $n_{\theta }=8\;$, $n_{r}=0,1,2,3,4\;$ dla $n_{\theta }=9\;$, i tak dalej podobnie. Energia całkowita dla toru eliptycznego, którego wzór wyprowadziliśmy w mechanice teoretycznej, przedstawimy w zależności od liczb kwantowych n_r (a narazie najpierw go nie wykorzystamy, ale później przy dalszych podstawieniach za pomocą $\epsilon ^{2}\;$) i n_θ, który ten drugi zawiera się w równaniu zawartym podanym w (3.13) i go wykorzystamy przy liczeniu całkowitej energii dla cząstki krążącej po orbicie eliptycznej, ale skwantowanej, wyrażone ogólnie przez wzór, tzn.: (MT-1.161), stąd:

$E=-{{\kappa ^{2}m} \over {2L^{2}}}\left(1-\epsilon ^{2}\right)=-{{mZ^{2}e^{4}} \over {L^{2}32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left(1-\epsilon ^{2}\right)=-{{mZ^{2}e^{4}} \over {n_{\theta }^{2}h^{2}8\epsilon _{0}^{2}}}\left(1-\epsilon ^{2}\right)=-{{mZ^{2}e^{4}} \over {8\epsilon _{0}^{2}h^{2}n_{\theta }^{2}}}\left(1-\epsilon ^{2}\right)$

(3.17)

Teraz podstawiamy za ε² wyrażone wzorem (3.15) do równania na energię całkowitą elektronu poruszającego po dyskretnym torze w (3.17) to mamy ostateczny wzór na całkowitą energię mechaniczną elektronu krążącej wokół jądra atomowego:

$E=-{{mZ^{2}e^{4}} \over {8\epsilon _{0}^{2}h^{2}n_{\theta }^{2}}}\left(1-{{2n_{r}} \over {n_{\theta }}}\right)$

(3.18)

Wzór (3.18) jest identyczny ze wzorem (2.17), jeśli liczba kwantowa radialna n_r jest równa zero, a kątowa liczba kwantowa spełnia wtedy postać n=n_θ.