Mechanika kwantowa/Cząstki o spinie połówkowym

Mechanika kwantowa
Mechanika kwantowa
Cząstki o spinie połówkowym

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Poniższe rozważania są słuszne dla cząstek o spinie połówkowym, którego wiernym przykładem jest elektron. W naszych rozważaniach często pomijano spin elektronu. A w atomach wodoropodobnych stwierdzono rozszczepienie poziomów energetycznych dla l=1,2,3,.., ale nie l=0.

Moment magnetyczny, a spin

edytuj

Zależność między momentem magnetycznym, a spinem przyjmuje postać:

(15.1)

Warunki komutacji operatorów spinu

edytuj

Wprowadzając operatory spinu elektronu sx,sy,sz, to warunki komutacji przyjmują taką samą postać co dla zwykłych operatorów momentów pędu, które udowodnialiśmy w punkcie (7.13), tylko zamiast operatora momentu pędu orbitalnego mamy operatory momentu pędu spinowego, co warunki komutacji:

(15.2)
(15.3)
(15.4)

Ogólne warunki komutacji spinu

edytuj

Ogólnie warunki komutacji operatorów spinu (15.2), (15.3) i (15.4) możemy zapisać wedle schematu poniżej, wiedząc jednocześnie, że otrzymamy bardzo podobny związek jak dla operatorów momentu pędu.

(15.5)

Wzór na operator spinu w zależności od operatorów (macierzy) Pauliego

edytuj

Operatory Pauliego σ spełniają z operatorami spinu zależność poniżej, którym to operator spinu jest równy macierzowi Pauliego pomnożonej przez połowę wartości stałej kreślonej Plancka:

(15.6)

Warunki komutacji operatorów (macierzy) Pauliego

edytuj

Warunki komutacji macierzy Pauliego przestawionych na podstawie (15.5) i definicji operatorów spinu (15.5) możemy wywnioskować, że warunki komutacji macierzy Pauliego spełniają związki:

(15.7)

Ogólna postać komutacji macierzy Pauliego

edytuj

Dochodzimy do wniosku na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (15.7), że ogólna zależność dla macierzy Pauliego opisujący spin eletronu, czyli (15.6), przedstawiana jest według wzoru poniżej, której postać komutacyjna jest bardzo podobna jak przy komutacji macierzy spinowych:

(15.8)

Szczególne postacje komutacji macierzy Pauliego

edytuj

Wzór (15.8) bardziej szczegółowo można przedstawić dla trzech szczególnych przypadków w sposób poniżej. Widzimy, że za każdym razem komutator dwóch różnych wielkości jest równy trzeciemu innemu komutatorowi, ze stałą proporcjonalności równej 2i.

(15.9)
(15.10)
(15.11)

Wyznaczanie warunków antykomutacyjnych macierzy Pauliego

edytuj

Wprowadźmy bazę ortonormalnym wektorów własnych χ1, oraz χ2, tak że zachodzą warunki działania operatora σz na odpowiednie wektory wspomnianej bazy ortonormalnej, których to zapis jest:

(15.12)
(15.13)

Postacie szczególne antykomutacji macierzy Pauliego

edytuj

Według wzorów (15.12) i (15.13) zachodzą podobne warunki dla kwadratu zetowej współrzędnej wektora Pauliego, i w ten sposób otrzymujemy, że kwadrat operatora σz jest operatorem jednostkowym, co dowód tego:

(15.14)
(15.15)

Na podstawie (15.14) i (15.15) dla kombinacji liniowej wektorów χ1 i χ2 zachodzi warunek, którego zapis:

(15.16)

Operator w działaniu na wektory przestrzeni spinowych jest operatorem mnożenia przez jeden, bo na podstawie (15.16). Podobnie wnioski można otrzymać dla innych macierzy Paulliego, zatem zbierając te wnioski razem:

(15.17)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.11) i (15.17):


(15.18)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):


(15.19)

Policzmy teraz antykomutator operatorów spinowych, korzystamy przy tym ze wzorów na warunki komutacji macierzy Pauliego ze wzorów (15.9) i (15.17):


(15.20)

Na podstawie obliczeń (15.18), (15.21) i (15.22) zachodzą szczególne związki na antykomutacje dwóch dowolnych różnych macierzy Pauliego:

(15.21)
(15.22)
(15.23)

Postać ogólna antykomutacji macierzy Pauliego

edytuj

Na podstawie kwadratów macierzy Pauliego (15.17) oraz szczególnych przypadków antykomutacji dwóch dowolnych różnych macierzy Pauiliego przedstawionych w formie (15.21), (15.22) i (15.23) postać ogólną antykomutacji zapisujemy:

(15.24)

Wyznaczanie macierzy Pauliego

edytuj

Z warunku komutacji wynikających z twierdzenia (15.9) na pewno możemy napisać tożsamość, którą piszemy po rozwinięciu naszego komutatora:

(15.25)

Z warunku antykomutacji otrzymanych w punkcie (15.21), którą piszemy po rozpisaniu w sposób pełny antykomutatora:

(15.26)

Na podstawie tych dwóch zależności, tzn. warunku komutacyjnego (15.25) i warunku antykomutacyjnego (15.26) udowodnionych wcześniej, otrzymujemy równanie macierzowe na macierzach Pauliego:

(15.27)

Po dalszych przekształceniach wynikłych z punktu (15.27) możemy powiedzieć, że na pewno zachodzi tożsamość:

(15.28)

Podobnie jak otrzymaliśmy zależność (15.28), otrzymujemy dwa pozostałe związki dla innych wektorów Pauliego, zatem nasza tabela zależności na tych wspomnianych macierzach jest:

(15.29)
(15.30)
(15.31)

Wprowadzana baza funkcji ortonormalnych wektorów i jest napisana:

(15.32)
(15.33)

Łatwo sprawdzić, że zachodzą warunki zwane warunkami ortogonalności wektorów bazowych napisanych w punktach, tzn.: (15.32), (15.33):

(15.34)
(15.35)
(15.36)

Czyli rzeczywiście nasza baza wektorów złożonych z wektora (15.32), (15.33) jest bazą ortonormalną. Na podstawie rozważań (15.12) i (15.13) i z warunków ortonormalizacji wybranej bazy, to macierz operatora σz przedstawia się:

(15.37)

Operatory σx i σy nie są diagonalne, gdyż nie komutują z operatorem σz, zatem z drugiej jednak strony możemy napisać:

(15.38)
(15.39)

Z ostatnich dwóch równań, tzn. (15.38) i (15.39) mamy operator σx, który jest przedstawiony w sposób poniżej, który jest zależny od stałych a,b,c,d.

(15.40)

Warunki działania operatora σx na wektor χ1 opisujemy równaniem operatorowym (15.38), a także wynik działania tego samego co poprzednio operatora, ale tym razem na wektor χ2 opisujemy równaniem operatorowym (15.39), wtedy:

(15.41)
(15.42)

Podziałajmy operatorem σz na wyrażenie σxχ1 korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:

(15.43)

Wynika stąd na podstawie (15.43), że σxχ1 jest proporcjonalny do χ2, gdyż wartość własna σz wynosi -1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σxχ1 a χ2:

(15.44)

Wektor σxχ1 jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

(15.45)

Zatem współczynnik stojący przy χ2 w (15.44) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.38):

(15.46)

Podziałajmy operatorem σz na wyrażenie σxχ2 korzystając z warunków antykomutacji (15.23) oraz z warunku (15.12), otrzymujemy:

(15.47)

Wynika stąd na podstawie (15.47), że σxχ2 jest proporcjonalny do χ1, gdyż wartość własna σz wynosi 1, zatem jest to przypadek niezdegenerowany, stąd wynika według (15.13) proporcjonalność pomiędzy σxχ2 a χ1:

(15.48)

Wektor σxχ2 jest wektorem unormowanym do jedynki, bo można to udowodnić pisząc przekształcenia:

(15.49)

Zatem współczynnik proporcjonalności stojący przy χ1 w (15.48) musi być taki by jego moduł był równy jedności na podstawie (15.49), a zatem powinno być.

(15.50)

Z tych dwóch ostatnich zależności otrzymamy jedną zależność:

(15.51)

Ze wzoru (15.51) wynika, że zachodzi warunek α=-β i można przyjąć, że te współczynniki są równe zero, a zatem prawdziwe są związki na podstawie (15.46) i (15.50):

(15.52)
(15.53)

Postać macierzy Pauliego σx

edytuj

Po długim wysiłku na podstawie udowodnionych zalezności, tzn. (15.52) i (15.53) otrzymujemy macierz σx, która nie jest macierzą jednostkową, ale podobną bardzo do niej, bo ma ona elementy pozadiagonalne:

(15.54)

Wyznaczanie dalszych macierzy Pauliego

edytuj

Następnie wyprowadźmy operator σy, korzystając z rozwinięcia σz z warunku na operatorach Pauliego (15.31) i antykomutacyjnego (15.22), dochodzimy więc do wniosku, że spełniona jest na pewno tożsamość:

(15.55)

A także zachodzi druga tożsamość, która dla nas jest warta zachodu, by można było wyznaczyć elementy macierzy σy:

(15.56)

Dla równań operatorowych (15.55) i (15.56), który opisują operator σy, stąd na podstawie tego ten operator jest przedstawiony w sposób macierzowy:

(15.57)

Postacie trzech macierzy Pauliego σx, σy i σz

edytuj

Teraz zbierzemy wszystkie trzy macierze Pauliego do kupy i podamy je w jednej linijce, te macierze są zapisane:

(15.58)
(15.59)
(15.60)

Operatory σi jako operatory hermitowskie

edytuj

Operatory (15.58), (15.59) i (15.60) są to operatory hermitowskie, bo zachodzi:

(15.61)

Sprawdzenie własności macierzowych na macierzach Pauliego

edytuj

Sprawdzenie komutacji macierzy Pauliego σi

edytuj

Sprawdźmy czy zachodzą komutacje szczególne (15.9), (15.10) i (15.11), które są równoważne komutacji ogólnej (15.8), a więc zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :


(15.62)

Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :


(15.63)

Zbadajmy czemu jest równa komutacja macierzy Pauliego i :


(15.64)

Stąd na podstawie (15.62), (15.63) i (15.64) zachodzi komutacja ogólna (15.8).

Sprawdzenie antykomutacji macierzy Pauliego σi

edytuj

Mając operatory (15.58), (15.59) i (15.60) sprawdźmy, czy zachodzą warunki antykomutacyjne szczególne (15.21), (15.22) i (15.23), wtedy napiszmy tożsamości operatorowe, zatem kwadrat macierzy Pauliego wynosi:

(15.65)

Kwadrat macierzy wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:

(15.66)

Kwadrat macierzy wynosi jeden jak udowodnimy poniżej:

(15.67)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:

(15.68)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:

(15.69)

Zbadajmy czemu jest równa antykomutacja macierzy Pauliego i , co jak udowodnimy jest równa zero:

(15.70)

Na podstawie wniosków macierzowych (15.65), (15.66), (15.67), (15.68), (15.69) i (15.70) mamy (15.24).

Wyznaczanie trzech macierzy Pauliego σ+, σ- i σ0

edytuj

Zdefiniujmy, trzy inne operatory w oparciu o macierze Pauliego, tak jak definiowaliśmy kombinacje operatorów dla , oraz , dla których można również skonstruować inne operatory dla operatorów Pauliego dla spinów:

(15.71)
(15.72)
(15.73)

Wyznaczanie warunków komutacyjnych macierzy σ+, σ- i σ0

edytuj

Pomocnicze operatory skonstruowane o operatory Pauliego w przedstawieniu macierzowym, wyglądają:


(15.74)

(15.75)
(15.76)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.74) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.9), dla pierwszego komutatora:


(15.77)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.75) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.11), dla drugiego komutatora:


(15.78)

Zbadajmy zależności komutacyjne dla operatorów (15.74) () i (15.75) (), ale korzystając przy tym z definicji komutatora dla operatorów Pauliego, ale my ograniczymy się tutaj do (15.10), dla pierwszego komutatora:


(15.79)

Szczególne warunki komutacji macierzy σ+, σ- i σ0

edytuj

Zbierzmy wszystkie trzy komutatory do kupy, tzn. równości (15.77), (15.78), (15.79):

(15.80)
(15.81)
(15.82)

Widzimy, że zależności komutacyjne są podobne jak dla zwykłych kombinacji operatorów momentów pędu.

Własności działania operatorów σ+, σ- i σ0 na wektory pionowe dwuwymiarowe χ1 i χ2

edytuj

Na samym końcu przedstawmy właściwości operatorów σ+ i σ- na wektory własne operatora σz, czyli na wektory ortonormalne χ1 i χ2.

(15.83)
(15.84)
(15.85)
(15.86)