Mechanika kwantowa/Postulat trzeci mechaniki kwantowej

Postulat trzeci mechaniki kwantowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Postulat trzeci mechaniki kwantowej (Pos.  10.1)
Oczekiwana wartość średnia ${\overline {O}}$ pomiarów pewnej wielości fizycznej, któremu przyporządkowany jest operator ${\hat {O}}$ dla tych stanu opisywanych przez pewną funkcję falową nieunormowaną do jedynki, jest zdefiniowana:

${\overline {O}}={{\int \psi ^{*}{\hat {O}}\psi d\tau } \over {\int \psi ^{*}\psi d\tau }}={{\left(\psi |{\hat {O}}|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}$

(10.1)

Zwykle jest tak: $\left(\psi |\psi \right)=1\;$, wtedy ta funkcja falowa $\psi \;$ jest unormowana do jedynki, zatem:

${\overline {O}}=\int \psi ^{*}{\hat {O}}\psi d\tau =\left(\psi |{\hat {O}}|\psi \right)\;$

(10.2)

Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretnej

Jeśli równanie własne (8.1) ma kilka wartości własnych i funkcji własnych, to dla zmiennej wartości własnej dyskretnej, całkowitą funkcję własną ψ rozwiązania równania własnego zapisujemy w bazie funkcji własnych rozważanego równania własnego, czyli zapisujemy ją jako kombinację liniową funkcji bazy. Podobnie dla funkcji sprzężonej zespolono, które otrzymujemy z tej pierwszej kombinacji działając zespolono na jej lewą i prawą stronę.

$\psi (x)=\sum _{i}c_{i}\psi _{i}(x)\;$

(10.3)

$\psi ^{*}(x)=\sum _{i}c_{i}^{*}\psi _{i}^{*}(x)\;$

(10.4)

Ortogonalnością funkcji własnych w bazie dyskretnej nazywamy funkcje, które spełnia przepis:

$\int \psi _{i}^{*}(x)\psi _{j}(x)dx=\delta _{ij}\;$

(10.5)

Baza dyskretna jest zupełna, jeśli będziemy sumować względem wskaźnika "i" dla tej samej funkcji własnej, ale te funkcje własne są dla dwóch różnych argumentów i ta zupełność jest napisana za pomocy sumy, która jest normowana do delty Diraca, ze względu na ciągłość argumentów, przy pomocy której jest opisana funkcja własna rozwiązania równania własnego:

$\sum _{i}\psi _{i}^{*}(x)\psi _{i}(x^{'})=\delta (x-x^{'})\;$

(10.6)

Mając całkowitą funkcję własną i funkcję bazy dyskretnej, ale dla argumentu ciągłego x, możemy wyznaczyć współczynniki rozwinięcia w bazie korzystając przy tym z tożsamości (10.3) i (10.5):

$\int \psi _{i}^{*}(x)\psi (x)dx=\int \psi _{i}^{*}(x)\left(\sum _{j}c_{j}\psi _{j}(x)\right)dx=\sum _{j}c_{j}\int \psi _{i}^{*}(x)\psi _{j}(x)dx=\sum _{j}c_{j}\delta _{ij}=c_{i}\;$

(10.7)

Na podstawie wzoru (10.7) dostajemy, że:

$c_{i}=\int \psi _{i}^{*}(x)\psi (x)dx\;$

(10.8)

Korzystając przy tym ze wzoru (10.8) (z którego liczymy współczynniki rozwinięcia $c_{i}\;$ w tej kombinacji liniowej w (10.3)) i z (10.6) (zupełność bazy dyskretnej względem argumentu ciągłego), to suma kwadratów modułów z liczby c_i określamy:

$\sum _{i}|c_{i}|^{2}=\sum _{i}c_{i}^{*}c_{i}=\sum _{i}\int \psi (x^{'})\psi _{i}^{*}(x^{'})dx^{'}\int \psi ^{*}(x)\psi _{i}(x)dx=\int \int \psi (x^{'})\psi ^{*}(x)dx^{'}dx\sum _{i}\psi _{i}^{*}(x^{'})\psi _{i}(x)=\;$
$=\int \int \psi (x^{'})\psi ^{*}(x)dx^{'}dx\delta (x^{'}-x)=\int \psi ^{*}(x)\psi (x)dx=1$

(10.9)

Zatem na podstawie normalizacji bazy dyskretnej (10.9) (ostatnie obliczenia w tym wzorze), która jest rozwiązaniem podstawowym w równaniu własnym (8.1) dochodzimy do wniosku, że kwadraty modułów tych rozwinięć są unormowane do jedynki:

$\sum _{i}|c_{i}|^{2}=1\;$

(10.10)

Przekonamy się później, że |c_i|² są prawdopodobieństwami z jakim uzyskamy wartość własną uzyskania w doświadczeniu uzyskania wartości p_i, w którym istnieje funkcji własna opisującej ten stan.

Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie ciągłej

Jeśli z równania własnego (8.1) mamy ciągły rozrzut jego wartości własnych, które też ma ciągłą bazę względem argumentu k i argumentu x ciągłego za pomocą, których są zbudowane te funkcje własne, to całkowitą funkcję ψ, która jest kombinacją liniową funkcji bazy ciągłej względem jej dwóch argumentów, którą można zapisać za pomocą całki, nie sumy tak jak w punkcie (10.3). W ten sposób możemy otrzymać całkowitą funkcję falową i jej sprzężenie zespolone obu jego stron.

$\psi (x)=\int c(k)\psi (k,x)dk\;$

(10.11)

$\psi ^{*}(x)=\int c^{*}(k)\psi ^{*}(k,x)dk\;$

(10.12)

Ortonormalizacja funkcji własnych w bazię nazywamy funkcje z normalizowaną do delty Diraca ze względu na ciągłość bazy ze względu na argument k i jego przepis jest:

$\int \psi ^{*}(k,x)\psi (k^{'},x)dx=\delta (k-k^{'})\;$

(10.13)

Baza jest zupełna, jeśli oba funkcje są zdefiniowane za pomocą dla tego samego k, które są funkcjami własnymi pewnego równania własnego, ale dla innych argumentów przestrzennych, to jego całka jest równa delcie Diraca ze względu na ciągłość argumentu przestrzennego x.

$\int \psi ^{*}(k,x)\psi (k,x^{'})dk=\delta (x-x^{'})\;$

(10.14)

Mając całkowitą funkcję własną i funkcję bazy ciągłej możemy wyznaczyć współczynniki rozwinięcia w bazie korzystając przy tym (10.11) (rozwinięcie w bazie ciągłej) i (10.13)(ortonormalność):

$\int \psi ^{*}(k^{'},x)\psi (x)dx=\int \psi ^{*}(k^{'},x)\left(\int c(k)\psi (k,x)dk\right)dx=\int c(k^{'})dk\int \psi ^{*}(k^{'},x)\psi (k,x)dx=\int c(k^{'})\delta (k^{'},k)dk=c(k)\;$

(10.15)

Na podstawie (10.15) dowiadujemy się, że możemy policzyć współczynniki rozwinięcia w bazie ciągłej występujących w (10.11):

$c(k')=\int \psi ^{*}(k',x)\psi (x)dx;$

(10.16)

Sprawdźmy czy współczynniki c(k) są unormowane do jedynki zapisując współczynniki rozwinięcia w bazie funkcji własnych wedle wzoru (10.16) i rozwinięcia funkcji ψ(x) w bazie ciągłych funkcji własnych względem argumentu k według równości (10.14), w ten sposób możemy napisać wyrażenie, i sprawdzimy, że ona jest równa jeden.

$\int |c(k)|^{2}dk=\int dkc^{*}(k)c(k)=\int _{k}dk\int dx\psi ^{*}(k,x)\psi (x)\int dx'\psi (k,x')\psi ^{*}(x')=$
$=\int dxdx'\psi (x)\psi ^{*}(x')\int dk\psi ^{*}(k,x)\psi (k,x^{'})=\int \int dxdx'\psi (x)\psi ^{*}(x')\delta (x-x^{'})=\int dx\psi ^{*}(x)\psi (x)=1$

(10.17)

Zatem na podstawie (10.17), czyli normalizacji funkcji własnej rozwinięcia równania własnego (8.1) dochodzimy więc do wniosku, że współczynniki rozwinięcia w (10.11) są unormowana do jedynki:

$\int |c(k)|^{2}dk=1\;$

(10.18)

Przekonamy się później, że |c(k)|² jest gęstością prawdopodobieństwa, że uzyskamy wartość własną p_i względem argumentu k, w której istnieje pewna funkcja własna opisującej ten stan.

Współczynniki rozwinięcia funkcji w danej bazie dyskretno-ciągłej

Całkowita funkcja falowa w bazie dyskretno-ciągłej przedstawiamy w zależności od położenia w przestrzeni zwykłej i czasu, w postaci bez i z sprzężeniem zespolonym, jako:

$\psi (x)=\sum _{i}c_{i}\psi _{i}(x)+\int c(k)\psi (k,x)dk\;$

(10.19)

$\psi ^{*}(x)=\sum _{i}c_{i}^{*}\psi _{i}^{*}(x)+\int c^{*}(k)\psi ^{*}(k,x)dk\;$

(10.20)

Wtedy zachodzi dla bazy dyskretnej wzór (10.6) i oraz ciągłej przedstawienie (10.13) i (10.14), a wzory na współczynniki liczmy dla układy funkcji falowych dyskretnych (10.8) i ciągłych (10.16), bo ze względu, że funkcje falowe dyskretne i ciągłe są do siebie ortogonalne, wtedy, możemy powiedzieć patrząc na formuły (10.9) i (10.17):

$1=\sum _{i}|c_{i}|^{2}+\int |c(k)|^{2}dk\;$

(10.21)

Widzimy, ze we wzorze (10.21) suma dyskretno-ciągła współczynników przy funkcjach falowych jako złożenie do całkowitej funkcji falowej ma sens prawdopodobieństwa lub gęstości prawdopodobieństwa, w postaci ich modułów do kwadratu.

Wartość średnia w mechanice kwantowej

Zajmować się będziemy sposobem określania średniej dla zmiennej dyskretnej i ciągłej w mechanice kwantowej. Innym sposobem na określenie wartości średniej niż w postulacie (10.1) jest średnia, która jest sumą wszystkich wyników uzyskanych w doświadczeniu przez liczbę tych wyników:

${\overline {v}}={{1} \over {n}}\sum _{i=1}^{n}v_{i}$

(10.22)

Jeśli wynik uzyskany w wyniku doświadczenia v_i powtarza się n_i krotnie, to na podstawie wzoru (10.22) dostajemy wzór na średnią ważoną, gdy sumą liczb wszystkich uzyskanych dla danych wyniku jest równa liczbie wszystkich uzyskanych wyników:

${\overline {v}}={{1} \over {n}}\sum _{i=1}^{f}n_{i}v_{i}$

(10.23)

$n=\sum _{i=1}^{n}n_{i}$

(10.24)

Średnia uzyskanych wyników wedle (10.23) możemy zapisać względem prawdopodobieństw tych wyników ω_i, którego definicję podamy poniżej, ale teraz tylko podamy, że jest to iloraz częstości n_i uzyskania wyniku v_i przez liczbę wszystkich uzyskanych wyników:

${\overline {v}}=\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}v_{i}$

(10.25)

$\omega _{i}={{n_{i}} \over {n}}$

(10.26)

Mówiąc to samo co (10.25), którą definiowaliśmy dla zmiennej dyskretnej, ale tym razem napiszmy to samo, ale dla zmiennej typu ciągłego:

${\overline {p}}=\int \rho (\xi )v(\xi )d\tau (\xi )$

(10.27)

• gdzie:
• ρ(ξ) jest to gęstości prawdopodobieństwa znalezienia ciała o właściwościach ξ.
• v(ξ) jest to zmienna zależącego od parametru ξ, której liczymy średnią.

W szczególnym przypadku może być dla przestrzeni jednowymiarowej:

• ξ=x  i dτ(ξ)=dx

a nawet może mieć miejsce dla przestrzeni trójwymiarowej:

• $\xi ={\vec {r}}\;$ i $d\tau (\xi )=d^{3}{\vec {r}}=dxdydz\;$.

Średnia wartość uzyskanych wyników pomiarów

Będziemy tutaj liczyć średnie wielkości fizycznych w bazie funkcji falowych dyskretnej i ciągłej lub w tych obu.

Baza dyskretna

Jeśli mamy równanie własne w mechanice kwantowej (8.1), gdy mamy tylko jedną jego wartość własną wspomnianego równania własnego:

${\overline {p}}=\int \psi ^{*}{\hat {p}}\psi d\tau =\int \psi ^{*}p\psi d\tau =p\int \psi ^{*}\psi =p\Rightarrow {\overline {p}}=p\;$

(10.28)

Na podstawie (10.28) dochodzimy do wniosku, że wartość średnia uzyskanych wyników pomiarów danej wartości jest równa wartości własnej, gdy mamy tylko jedną wartość własną.

Jeśli mamy kilka wartości własnych rozwiązania równania własnego (8.1), zatem wartość średnia mierzonej wielkości na podstawie (10.1) (postulat trzeci) przy pomocy (10.3) (rozwinięcia funkcji $\psi (x)\;$ względem bazy dyskretnej rozwiązania równania własnego) i (10.4) (rozwinięcia funkcji $\psi ^{*}(x)\;$ względem bazy dyskretnej sprzężonej zespolono rozwiązania równania własnego) oraz na podstawie ortogonalności funkcji własnych dyskretnej (10.5), wartość średnia uzyskanych wyników jest równa:

${\overline {p}}=\int \left\{\sum _{i}c_{i}^{*}\psi _{i}^{*}P\sum _{j}c_{j}\psi _{j}\right\}d\tau =\sum _{i}\sum _{j}c_{i}^{*}c_{j}p_{i}\int \psi _{i}^{*}\psi _{j}d\tau =\sum _{i}\sum _{j}c_{i}^{*}c_{j}p_{j}\delta _{ij}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}p_{i}$

(10.29)

Na podstawie obliczeń (10.29) możemy zapisać tożsamość:

${\overline {p}}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}p_{i}$

(10.30)

Wielkość w (10.30), czyli |c_i|² można przedstawić jako prawdopodobieństwo uzyskania wartości własnej p_i, które uzyskujemy w doświadczeniu według wzoru (10.25) na średnia ważoną i która spełnia warunek (10.10) na normalizowalność zespolonych współczynników rozwinięcia. Formuła (10.30) ma sens średniej ważonej unormowanego prawdopodobieństwa.

Baza ciągła

Wartość średnia dla funkcji ciągłej według (10.11) (rozkład pewnej funkcji w bazie funkcji własnej, która jest rozwiązaniem pewnego równania własnego) i (10.12) (rozkład pewnej funkcji w bazie funkcji własnej sprzężonej zespolono, która jest rozwiązaniem pewnego równania własnego) na podstawie postulatu (10.1) (wartość średnia wyników uzyskanych w doświadczeniu) i warunku ortogonalności funkcji ciągłej do delty Diraca (10.13) przedstawia się:

${\overline {p}}=\int \left(\int c^{*}(k)\psi ^{*}(k,x)dk\right){\hat {p}}\left(\int c(k^{'})\psi (k^{'},x)dk^{'}\right)d\tau =\int \left(\int c^{*}(k)\psi ^{*}(k,x)dk\right)\left(\int c(k^{'}){\hat {p}}\psi (k^{'},x)dk^{'}\right)d\tau =\;$
$=\int \left(\int c^{*}(k)\psi ^{*}(k,x)dk\right)\left(\int c(k^{'})p(k^{'})\psi (k^{'},x)dk^{'}\right)d\tau =\int \int c^{*}(k)c(k^{'})dkdk^{'}p(k^{'})\int \psi ^{*}(k,x)\psi (k^{'},x)dx=\;$
$=\int \int c^{*}(k)c(k^{'})dkdk^{'}p(k^{'})\delta (k-k^{'})=\int c^{*}(k)c(k)p(k)dk=\int |c(k)|^{2}p(k)dk\;$

(10.31)

Na podstawie obliczeń (10.31) możemy napisać średnią wartość z wyników doświadczalnych uzyskanych w doświadczeniu uzyskując je w odpowiedni sposób wartości własne p(k), dla której liczymy tą właśnie średnią:

${\overline {p}}=\int |c(k)|^{2}p(k)dk\;$

(10.32)

Wielkość we wzorze (10.32), czyli |c(k)|² jest to gęstość uzyskania wielkości p(k) przez cząstkę w mechanice kwantowej na podstawie normalizowania tego współczynnika względem argumentu ciągłego k wedle tożsamości (10.18), jego charakter statystyczny wynika z warunku (10.27), która mówi o charakterze tego rozwinięcia. Formuła (10.32) ma sens średniej ważonej unormowanej gęstości prawdopodobieństwa.

Baza dyskretno-ciągła

Patrząc na obliczenia na średnią wartość wielkości fizycznej w bazie dyskretnej (10.29) i ciągłej (10.31), wiedząc, że funkcje falowe dyskretne i ciągłe są względem siebie ortogonalne, wiedząc, że zachodzi w bazie dyskretno-ciągłej (10.19), wtedy wzór na średnią wartość tej wielkości, przedstawiamy jako:

${\overline {p}}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}p_{i}+\int |c(k)|^{2}p(k)dk\;$

(10.33)

Widzimy, że według przedstawienia (10.33) średnia wartość wielkości fizycznej w bazie dyskretno-ciągłej jest równa ich średnim w bazie dyskretnej (10.30) i ciągłej (10.32). Formuła (10.33) ma sens średniej ważonej unormowanego prawdopodobieństwa i gęstości prawdopodobieństwa.

Interpretacja funkcji falowej

Wartością średnią (10.1) wielkości położenia współrzędnej iksowej liczymy, jeśli mamy uzyskane rozwiązanie ψ(x) równania własnego (8.1):

${\overline {x}}=\int \psi ^{*}(x)x\psi (x)=\int x|\psi (x)|^{2}dx$

(10.34)

Porównując to ze wzorem na średnie położenie uzyskanych wyników, których przeprowadziliśmy bardzo dużo, tzn.:

${\overline {x}}=\int x\rho (x)dx$

(10.35)

To na podstawie wzoru na średnie położenie cząstki w mechanice kwantowej (10.34) i dla statystycznego średniego położenia cząstki (10.35) i porównując te dwa ostatnie wzory, dostajemy, że wartość średnia znalezienia cząstki w danym punkcie jest przedstawiona za pomocą kwadratu modułu funkcji falowej w reprezentacji położeniowej:

$\rho (x)=|\psi (x)|^{2}\;$

(10.36)

Dochodzimy do wniosku, że kwadrat modułu funkcji własnej rozważanego równania własnego przedstawia się jako gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie iksowym x.

Dla przestrzeni trójwymiarowej podobnie jak u (10.34) dostajemy, że wartość średnią położenia przestawiamy:

${\overline {\vec {r}}}=\int \psi ^{*}({\vec {r}}){\vec {r}}\psi ({\vec {r}})d^{3}{\vec {r}}=\int {\vec {r}}|\psi ({\vec {r}})|^{2}d^{3}{\vec {r}}$

(10.37)

W (10.37)wielkość $|\psi ({\vec {r}})|^{2}\;\;$ jest to gęstość prawdopodobieństwa uzyskania położenia przez daną cząstkę o wektorze wodzącym ${\vec {r}}\;$. A infinitezymalne prawdopodobieństwo uzyskania przez daną cząstkę danego położenia jest określone:

$dP=\rho ({\vec {r}})d^{3}{\vec {r}}=|\rho ({\vec {r}})|^{2}d^{3}{\vec {r}}$

(10.38)

Reprezentacja położeniowa i pędowa

Mając wektory (8.19) bazy pędowej, którego rozwiązaniem równania własnego (8.11) przy pomocy pędowego operatora iksowego (6.11), które to funkcje własne numerowane są ciągłym skalarem paraametrem k oraz mając współczynniki rozwinięcia c(k), to możemy policzyć całkowitą funkcję względem ciągłej bazy pędowej, tylko od położenia x, według (10.11):

$\psi (x)=\int c(k)\underbrace {{{1} \over {\sqrt {2\pi }}}e^{ikx}} _{\psi (k,x)}dk\;$

(10.39)

Oraz znając funkcję całkowitą i wektory bazy pędowej można policzyć współczynniki rozwinięcia wedle wzoru (10.16):

$c(k)=\int \underbrace {{{1} \over {\sqrt {2\pi }}}e^{-ikx}} _{\psi ^{*}(k,x)}\psi (x)dx\;$

(10.40)

W powyższych obliczeniach parametr k jest to liczba falowa przedstawiona wedle wzoru (8.15). Średnia wartość pędu jest zapisana kwantowo według równania (10.1), mając wzory (10.11) (rozwinięcia funkcji $\psi (x)\;$ w bazie funkcji pędowych) i (10.13) (warunku normalizacji), to średnia wyników uzyskania poszczególnych pędów w układzie jest wyrażona w reprezentacji pędowej:

${\overline {p}}=\int \psi ^{*}(x){\hat {p}}_{x}\psi (x)dx=\int \psi ^{*}(x)(-i\hbar ){{\partial } \over {\partial x}}\psi (x)dx=\int \left\{\int dkc^{*}(k){{e^{-ikx}} \over {\sqrt {2\pi }}}\right\}(-i\hbar ){{\partial } \over {\partial x}}\left\{\int dk'c(k'){{e^{ik'x}} \over {\sqrt {2\pi }}}\right\}=$
$=\int \int dkdk'c^{*}(k)c(k')\int {{e^{-ikx}} \over {\sqrt {2\pi }}}(-i\hbar ){{\partial } \over {\partial x}}{{e^{ik'x}} \over {\sqrt {2\pi }}}dx=\hbar \int \int c^{*}c(k')c^{*}(k)dkdk'k^{'}\int \underbrace {{e^{i(k')x}} \over {\sqrt {2\pi }}} _{\psi (k^{'},x)}\underbrace {{e^{-ikx}} \over {\sqrt {2\pi }}} _{\psi ^{*}(k,x)}dx=$
$=\hbar \int \int k'c^{*}(k)c(k')dkdk'\delta (k-k')=\int c^{*}(k)(\hbar k)c(k)dk$

(10.41)

W reprezentacji pędowej średnia wartość pędu, wykorzystując przy tym (8.15) (przedstawienia pędu cząstki względem jej liczby falowej względem teorii korpuskularno falowej), jest równa:

${\overline {p}}=\int c^{*}(k)(\hbar k)c(k)dk=\int c^{*}(k)p(k)c(k)dk$

(10.42)

Doszliśmy do wniosku, że w tej reprezentacji miano funkcji własnej spełniają współczynniki rozwinięcia c(k), a miano operatora położenia spełnia operator mnożenia pędu p(k)⋅.

Teraz określmy średnie położenie iksowe w reprezentacji pędowej, korzystając przy tym (10.14) (zupełność bazy pędowej) (10.16) (wyliczenia współczynników funkcji c(k) w bazie pędowej), to średnie położenie cząstki w reprezentacji położeniowej zapiszmy w reprezentacji pędowej wedle poniższego przedstawienia:

${\overline {x}}=\int \psi ^{*}(x)x\psi (x)dx=\int \int \psi ^{*}(x')x\psi (x)\delta (x-x')dxdx^{'}=\int \int \psi ^{*}(x')x\left\{\int \underbrace {{e^{ikx'}} \over {\sqrt {2\pi }}} _{\psi (k,x^{'})}\underbrace {{e^{-ikx}} \over {\sqrt {2\pi }}} _{\psi ^{*}(k,x)}dk\right\}\psi (x)dxdx'=\;$
$=\int dk\int dx'\psi ^{*}(x'){{e^{ikx'}} \over {\sqrt {2\pi }}}\int dx\left(i{{\partial } \over {\partial k}}\right){{e^{-ikx}} \over {\sqrt {2\pi }}}\psi (x)=\int dk{\left(dx^{'}\psi (x^{'})\underbrace {{e^{ikx^{'}}} \over {\sqrt {2\pi }}} _{\psi ^{*}(k,x)}\right)}^{*}i{{\partial } \over {\partial k}}\left(\int dx\underbrace {{e^{-ikx}} \over {\sqrt {2\pi }}} _{\psi ^{*}(k,x)}\psi (x)\right)=\;$
$=\int dkc^{*}(k)\left(i{{\partial } \over {\partial k}}\right)c(k)dk$

(10.43)

Wykorzystując (8.15) (zamiany liczby falowej na pęd cząstki) otrzymujemy tożsamość:

$i{{\partial } \over {\partial k}}=i{{\partial } \over {\partial {{p} \over {\hbar }}}}=i\hbar {{\partial } \over {\partial p}}$

(10.44)

A zatem średnie położenie w reprezentacji pędowej wedle obliczeń (10.43), korzystając przy tym z tożsamości (10.44), jest wyrażona w sposób:

${\overline {x}}=\int c^{*}(k)\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial p}}\right)c(k)dk$

(10.45)

Widzimy, że średni pęd w reprezentacji pędowej zachowuje się jak średnia wartość położenia w reprezentacji położeniowej, a średnie położenie w reprezentacji pędowej zachowuje się podobnie jak średni pęd cząstki w reprezentacji położeniowej.

Zasada Heisenberga, czyli zasada jednoczesnego pomiaru kilku wartości

Określmy pewną całkę jawnie nieujemną z definicji kwadratu modułu, którego wartość jest zawsze dodatnia:

$0\leq \int |\lambda u+v|^{2}d\tau =\int (\lambda u^{*}+v^{*})(\lambda u+v)d\tau =\lambda ^{2}\int u^{*}ud\tau +\lambda \int u^{*}vd\tau +\lambda \int uv^{*}d\tau +\int v^{*}vd\tau$

(10.46)

Określmy definicję pewnych stałych w postaci całek względem pewnego parametru opisującej ten stan przy pomocy funkcji u i v:

$a=\int u^{*}ud\tau$

(10.47)

$b=\int u^{*}vd\tau$

(10.48)

$c=\int v^{*}vd\tau$

(10.49)

Na podstawie definicji całek (10.47), (10.48), (10.49) napiszmy wyrażenie (10.46) w skróconej formie używająć tych stałych:

$0\leq \lambda ^{2}a+\lambda (b+b^{*})+c$

(10.50)

Wyznaczmy wyróżnik trójmianu równania kwadratowego (10.50), które jest zawsze nieujemna, zatem ten wyróżnik ma wartość niedodanią lub równą zero, bo powyższe równanie kwadratowe w tej nierówności miało jeden albo zero pierwiastków:

$(b+b^{*})^{2}-4ac\leq 0$

(10.51)

Z nierówności (10.51) wyznaczmy iloczyn stałych a i c, dochodzimy do wniosku, że:

$ac\geq {{1} \over {4}}(b+b^{*})^{2}$

(10.52)

Obierzmy definicję funkcji u i v poprzez pewne operatory działające na pewne funkcje falowe przy definicjach stałych "a", "b" i "c":

$u=({\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }})\psi$

(10.53)

$v=i({\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }})\psi$

(10.54)

Następnym krokiem jest wykorzystanie wyrażenia (10.52) korzystając z definicji stałych (10.47)("a"), (10.48)("b") i (10.49)("c"), a także korzystając z definicji funkcji (10.53)("u") i (10.54)("v"), zatem nasza nierówność (10.52) przyjmuje postać:

$\int ({\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }})^{*}\psi ^{*}({\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }})\psi d\tau \int ({\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }})^{*}\psi ^{*}({\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }})\psi d\tau \geq {{1} \over {4}}\left\{i\int ({\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }})^{*}\psi ^{*}({\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }})\psi d\tau -i\int ({\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }})^{*}\psi ^{*}({\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }})\psi d\tau \right\}^{2}$

(10.55)

Ponieważ mamy doczynienia z operatorami hermitowskimi ${\hat {\Theta }}\;$ i ${\hat {\Omega }}\;$, to z korzystamy z definicji sprzężenia hermitowskiego tych operatorów oraz jeśli także skorzystamy z definicji komutatora dla wyrażenia pod nawiasem w całce dostajemy, że:

$\int ({\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }})^{*}\psi ^{*}({\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }})\psi d\tau \int ({\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }})^{*}\psi ^{*}({\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }})\psi d\tau \geq -{{1} \over {4}}\left\{\int \psi ^{*}[{\hat {\Omega }},{\hat {\Theta }}]\psi d\tau \right\}^{2}$

(10.56)

Nierówność (10.56) możemy zapisać, wykorzystując przy tym, że operatory Ω i Θ są operatorami hermitowskimi, tzn. spełniają warunek (6.1):

$\left(\int \psi ^{*}|{\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }}|^{2}\psi d\tau \right)\left(\int \psi ^{*}|{\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }}|^{2}\psi d\tau \right)\geq -{{1} \over {4}}\left\{\int \psi ^{*}[{\hat {\Omega }},{\hat {\Theta }}]\psi d\tau \right\}^{2}\;$

(10.57)

Korzystając z definicji wartości średnich dla mechaniki kwantowej (10.1), to można wyrażać średnie kwadratowe odchylenia tych wartości od wartości średnich w sposób:

$\Delta \Omega =\int \psi ^{*}|{\hat {\Omega }}-{\overline {\Omega }}|^{2}\psi d\tau \;$

(10.58)

$\Delta \Theta =\int \psi ^{*}|{\hat {\Theta }}-{\overline {\Theta }}|^{2}\psi d\tau \;$

(10.59)

A zatem ostatecznie zasadę Heisenberga (10.57), korzystając przy tym (10.58) (średnie odchylenie od wartości średniej ${\overline {\Omega }}\;$) i (10.59) (średnie odchylenie od wartości średniej ${\overline {\Theta }}\;$), możemy zapisać:

$(\Delta \Omega )^{2}(\Delta \Theta )^{2}\geq -{{1} \over {4}}\left\{\int \psi ^{*}[{\hat {\Omega }},{\hat {\Theta }}]\psi d\tau \right\}^{2}$

(10.60)

Jeśli oznaczymy kolejno kolejno za pierwszy operator ${\hat {\Theta }}\;$ operator położenia, a za drugi operator ${\hat {\Omega }}\;$ operator pędu:

${\hat {\Theta }}={\hat {x}}_{i}$

(10.61)

${\hat {\Omega }}={\hat {p}}_{i}$

(10.62)

Korzystając przy tym z definicji operatorów (10.61) i (10.62) oraz z policzonego komutatora (7.6) pędu i operatora współrzędnej położenia, to komutator operatorów Ω i Θ możemy zapisać w formie:

$[{\hat {\Omega }},{\hat {\Theta }}]=[{\hat {p}}_{i},{\hat {x}}_{i}]=-i\hbar$

(10.63)

Mając definicję operatora ${\hat {\Theta }}\;$ i ${\hat {\Omega }}\;$ i obliczony komutator (10.63), wtedy dochodzimy do wniosku:

$(\Delta p_{i})^{2}(\Delta x_{i})^{2}\geq -{{1} \over {4}}(-\hbar ^{2})\Rightarrow (\Delta p_{i})^{2}(\Delta x_{i})^{2}\geq {{1} \over {4}}\hbar ^{2}$

(10.64)

Pierwiastkujemy obie strony nierówności (10.64), wtedy otrzymujemy inne, ale równoważne do poprzedniego wyrażenie:

$\Delta p_{i}\Delta x_{i}\geq {{1} \over {2}}\hbar$

(10.65)

Według powyższego wzoru istnieje nieoznaczność położenia i pędu, czyli jeśli pęd zmierzymy z dokładnością nieskończenie małą, to w takim razie nie można zmierzyć położenia, bo jest ono w tym przypadku dowolne, i oczywiście zachodzi też odwrotnie, tym razem względem położenia.