Mechanika kwantowa/Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych

Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału

(Rys. 12.1) Nieskończona studnia kwantowa

Wewnątrz studni potencjału, jak na rysunku obok, panuje zerowy elektryczny potencjał skalarny. Nie ma natomiast wektorowego potencjału magnetycznego. Równanie własne tego obszaru wygląda następująco:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =E\psi \Rightarrow {{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-{{2Em} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(12.1)

Przyjmijmy oznaczenia, czyli wprowadźmy nową stałą w oparciu o inne wielkości występujące w równaniu (12.1), który charakteryzuje ruch swobodnej cząstki w przedziale (-a/2,a/2):

$k^{2}={{2Em} \over {\hbar ^{2}}}\;$

(12.2)

Równanie (12.1) przyjmuje postać

${{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-k^{2}\psi \;$

(12.3)

.

Jeśli założymy, że $E>0\;$, to $k^{2}>0\;$, zatem jego rozwiązaniem jest kombinacja liniowa funkcyj trygonometrycznych:

$\psi (x)=A\sin kx+B\cos kx\;$

(12.4)

Zajmijmy się warunkami brzegowymi dla nieskończonej studni potencjału według rysunku obok dla punktów: $x=\pm {{a} \over {2}}\;$. Funkcja falowa w tychże punktach powinna przyjmować wartość zero, ze względu na hermitowskość operatora pędu.

${\begin{cases}\psi (-{{a} \over {2}})=0\Rightarrow 0=-A\sin k{{a} \over {2}}+B\cos k{{a} \over {2}}\\\psi ({{a} \over {2}})=0\Rightarrow 0=A\sin k{{a} \over {2}}+B\cos k{{a} \over {2}}\end{cases}}\;$

(12.5)

Aby współczynniki układu równań (12.5) były niezerowe musimy stworzyć wyznacznik z elementów stojących przy stałych $A$ i $B$, a jego wartość przyrównać do zera oraz wyznaczyć wartość zmiennej $k$

$0={\begin{vmatrix}-\sin k{{a} \over {2}}&\cos k{{a} \over {2}}\\\sin k{{a} \over {2}}&\cos k{{a} \over {2}}\end{vmatrix}}\Rightarrow \sin k{{a} \over {2}}\cos k{{a} \over {2}}=0\;$

(12.6)

Z równości, które otrzymaliśmy dostajemy alternatywę równań:

$\sin k{{a} \over {2}}=0\;\vee \;\cos k{{a} \over {2}}=0\Rightarrow k{{a} \over {2}}=n\pi \;\vee \;k{{a} \over {2}}=n\pi -{{\pi } \over {2}}\Rightarrow k={{2n\pi } \over {a}}\;\vee \;k={{(2n-1)\pi } \over {a}}\Rightarrow k={{n\pi } \over {a}}\;$

(12.7)

Powyżej dowiedzieliśmy się, że stała n jest zależna od liczby nieparzystej $2n-1$ lub liczby parzystej $2n$, które można połączyć w jedno rozwiązanie, gdzie $n$ zależy od liczby naturalnej większej od zera. Ze wzoru (12.2) wyznaczmy energię cząstki:

$E={{\hbar ^{2}k^{2}} \over {2m}}={{\pi ^{2}\hbar ^{2}n^{2}} \over {2ma^{2}}}\;\;$

(12.8)

• gdzie: n=1,2,3,...

Załóżmy, że k zależy od liczby n dla rozwiązania nieparzystego, mamy A=0, a także $B\neq 0\;$ według (12.5), zatem przy wartościach tych stałych rozwiązanie (12.4) zapisujemy poniżej, z którego w tej samej linijce wyznaczymy stałą B.

$\psi (x)=B\cos {{(2n-1)\pi } \over {a}}x\Rightarrow 1=B^{2}\int _{-{{a} \over {2}}}^{{a} \over {2}}\cos ^{2}{{(2n-1)\pi } \over {a}}x={{B^{2}} \over {2}}\int _{-{{a} \over {2}}}^{{a} \over {2}}\left(1+\cos {{2(2n-1)\pi } \over {a}}x\right)={{B^{2}} \over {2}}a\Rightarrow B={\sqrt {{2} \over {a}}}\;$

(12.9)

Ale już dla przypadku, gdy k dla rozwiązania parzystego, której funkcję falową można zapisać przy pomocy A≠0 i B=0 według (12.5), zatem przy wartościach tych stałych rozwiązanie (12.4) zapisujemy równanie, z którego w tej samej linijce wyznaczać będziemy stałą A.

$\psi (x)=A\sin {{2n\pi } \over {a}}x\Rightarrow 1=A^{2}\int _{-{{a} \over {2}}}^{{a} \over {2}}\sin ^{2}{{2n\pi } \over {a}}x={{A^{2}} \over {2}}\int _{-{{a} \over {2}}}^{{a} \over {2}}\left(1-\cos {{4n\pi } \over {a}}x\right)={{A^{2}} \over {2}}a\Rightarrow A={\sqrt {{2} \over {a}}}\;$

(12.10)

Na podstawie ostatnich obliczeń dla rozwiązania nieparzystego (12.9) i dla parzystego (12.10) ogólne dla rozwiązania zależnego od n parzystego mamy do czynienia z rozwiązaniem parzystym, i dla n nieparzystego mamy do czynienia z rozwiązaniem nieparzystym, ono jest zapisane przy pomocy funkcji trygonometrycznych funkcji sinus dla rozwiązania parzystego, i z funkcji kosinus dla rozwiązania nieparzystego, w których co w tych funkcjach występuje zmienna x pomnożona przez nπ/a.

$\psi (x)={\begin{cases}{\sqrt {2/a}}\sin {{n\pi } \over {a}}x&{\mbox{ dla n=2,4,6,...}}\\{\sqrt {2/a}}\cos {{n\pi } \over {a}}x&{\mbox{ dla n=1,3,5,..}}\end{cases}}\;$

(12.11)

Funkcjami równania własnego równania niezależnego od czasu są zatem dwa rozwiązania dla $n\;$ parzystego (pierwsze rozwiązanie w (12.11)) i nieparzystego (drugie rozwiązanie w (12.11)), które można je połączyć w jedno rozwiązanie dla n naturalnego (bez zera) do (12.12), które rozkładamy z definicji funkcji trygometrycznych do (12.13), które jak widzimy dla odpowiednich $n\;$ przechodzi w (12.11). Przykładowe wykresy dla n=1, n=2 i n=3 są wykreślone na rysunkach w (Rys. 12.2), (Rys. 12.3) i (Rys. 12.4).

(Rys. 12.2) Nieskończona studnia kwantowa dla rozwiązania nieparzystego (n=1) dla a=1 (wykres funkcji falowej)

(Rys. 12.3) Nieskończona studnia kwantowa dla rozwiązania parzystego (n=2) dla a=1 (wykres funkcji falowej)

(Rys. 12.4) Nieskończona studnia kwantowa dla rrozwiązania nieparzystego (n=3) dla a=1 (wykres funkcji falowej)

Rysunki przedstawiają prawdopodobieństwo znalezienia cząstki (oś igrekowa) w zależności od położenia cząstki (oś iksowa). według (12.11) kolejno dla n=1,2,3 oraz dla a=1.

Rozwiązanie (12.11) zapisujemy w sposób ogólny:

$\psi (x)={\sqrt {2/a}}\sin \left({{n\pi } \over {a}}x+{{1} \over {2}}n\pi \right)\;$

(12.12)

W celu udowodnienia równoważności równań (12.12) z równaniami (12.11) z dokładnością do znaku należy ostatnie równanie przepisać:

$\psi (x)={\sqrt {2/a}}\cos {{1} \over {2}}n\pi \sin {{n\pi } \over {a}}x+{\sqrt {2/a}}\sin {{1} \over {2}}n\pi \cos {{n\pi } \over {a}}x\;$

(12.13)

Widzimy w zależności od n, czy jest parzyste czy nie, to przechodzi w równanie w pierwsze czy drugie z układu równań (12.11) z dokładnością do znaku.

Cząstka w skończonej studni potencjału

(Rys. 12.5) Cząstka w skończonej studni potencjału

Będziemy się tutaj zajmować stanami, w których cząstka może się znajdować, a mianowicie w dwóch stanach. W stanach o energii ujemnej i w stanach o energii dodatniej. W stanach o energii ujemnej będziemy się zajmować tylko stanami, których wartość bezwzględna całkowitej energii |E| jest mniejsza niż głębokość studni U.

Stany związane

Rozpatrzmy stany o energii ujemnej E, tzn. związane, ale tak by było spełnione E+U>0. Równanie Schrödingera w obszarach 1 i 3, w których panuje zerowa postać potencjału skalarnego, możemy zapisać:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =E\psi \Rightarrow {{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(12.14)

Na rysunku obok zakładamy, że energia cząstki jest ujemna, zatem możemy wprowadzić oznaczenie zależne od ujemnej energii cząstki w skończonej studni potencjału, masy cząstki i jednej stałej fizycznej stałej kreślonej Plancka:

$\kappa ^{2}=-{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\;$

(12.15)

Wprowadzimy oznaczenie stałej $\kappa ^{2}\;$ (12.15) do równania własnego zdefiniowanej w (12.14), dochodzimy do wniosku, że:

${{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =\kappa ^{2}\psi \;$

(12.16)

Rozwiązaniem równania (12.15) są dwie funkcje eksponecjalne jako wektory bazy, ale na razie nie wiemy czy ta baza jest ciągła, czy nawet dyskretna, ale przekonamy się, że ta baza jest skwantowana, wtedy funkcje własne (12.16) są:

$\psi (x)=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}\;$

(12.17)

Równanie własne (12.15) powinno być słuszne dla obszaru 1 i 3, czyli była całkowalna z kwadratem, to musi zachodzić warunek:

$\psi _{1}(x)=A_{1}e^{\kappa x}\;$

(12.18)

$\psi _{3}(x)=B_{3}e^{-\kappa x}\;$

(12.19)

Widzimy, że dla zakresu obowiązywania tych funkcji, tzn. (12.18) i (12.19) powyższe funkcje nie mają wartości nieskończonej.

Wyprowadźmy rozwiązanie równania falowego dla obszaru 2:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi -U\psi =E\psi \Rightarrow {{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-{{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(12.20)

W prowadźmy oznaczenie zależne od energii cząstki, głębokości studni potencjału i stałych fizycznych:

$k^{2}={{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}\;$

(12.21)

Przy oznaczeniu przy stałej k² (12.21) równanie różniczkowe (12.20) przyjmuje inną równoważną postać:

${{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-k^{2}\psi \;$

(12.22)

Rozwiązaniem równania różniczkowego (12.22) w obszarze 2 jest rozwiązanie w postaci kombinacji funkcji trygometrycznych, tzn. kosinusa i sinusa i piszemy ją dla tego obszaru w postaci:

$\psi _{2}=A_{2}\cos kx+B_{2}\sin kx\;$

(12.23)

Na granicy obszarów 1 i 2 oraz 2 i 3 funkcje oraz jego pochodne muszą być ciągłe, tzn. muszą zachodzić związki:

$\psi _{1}(-a)=\psi _{2}(-a)\;$

(12.24)

$\psi _{2}(a)=\psi _{3}(a)\;$

(12.25)

$\psi _{1}^{'}(-a)=\psi _{2}^{'}(-a)\;$

(12.26)

$\psi _{2}^{'}(a)=\psi _{3}^{'}(a)\;$

(12.27)

Na podstawie powyższych warunków otrzymujemy układ równań:

${\begin{cases}A_{1}e^{-\kappa a}-A_{2}\cos ka+B_{2}\sin ka=0\\A_{1}\kappa e^{-\kappa x}-A_{2}k\sin ka-B_{2}k\cos ka=0\\B_{3}e^{-\kappa a}-A_{2}\cos ka-B_{2}\sin ka=0\\-\kappa B_{3}e^{-\kappa a}+A_{2}k\sin ka-B_{2}k\cos ka=0\end{cases}}\;$

(12.28)

Aby układ równań (12.28) miał niezerowe współczynniki musi być wyznacznik równy zero dla współczynników stojących przy niewiadomych.

$0={\begin{vmatrix}e^{-\kappa a}&-\cos ka&\sin ka&0\\\kappa e^{-\kappa x}&-k\sin ka&-k\cos ka&0\\0&-\cos ka&-\sin ka&e^{-\kappa a}\\0&k\sin ka&-k\cos ka&-\kappa e^{-\kappa a}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}e^{-\kappa a}&-\cos ka&\sin ka&0\\0&-k\sin ka+\kappa \cos ka&-k\cos ka-\kappa \sin ka&0\\0&-\cos ka&-\sin ka&e^{-\kappa a}\\0&k\sin ka-\kappa \cos ka&-k\cos ka-\kappa \sin ka&0\end{vmatrix}}=\;$
$=e^{-\kappa a}{\begin{vmatrix}-k\sin ka+\kappa \cos ka&-k\cos ka-\kappa \sin ka&0\\-\cos ka&-\sin ka&e^{-\kappa a}\\k\sin ka-\kappa \cos ka&-k\cos ka-\kappa \sin ka&0\end{vmatrix}}=-e^{-2\kappa a}{\begin{vmatrix}-k\sin ka+\kappa \cos ka&-k\cos ka-\kappa \sin ka\\k\sin ka-\kappa \cos ka&-k\cos ka-\kappa \sin ka\end{vmatrix}}=\;$
$=-e^{-2\kappa a}{\begin{vmatrix}-k\sin ka+\kappa \cos ka&-k\cos ka-\kappa \sin ka\\0&-2k\cos ka-2\kappa \sin ka\end{vmatrix}}=2e^{-2\kappa a}\left(-k\sin ka+\kappa \cos ka\right)\left(k\cos ka+\kappa \sin ka\right)\;$

(12.29)

Z wyznacznika (12.29) otrzymujemy wynik, który jest równy zero:

$\left(-k\sin ka+\kappa \cos ka\right)\left(k\cos ka+\kappa \sin ka\right)=0\;$

(12.30)

Rozwiązaniem równania (12.30) jest takie, że po skorzystaniu przy tym z twierdzenia o alternatywie równań, to rozwiązaniem powyższego równania są dwa równania łączące parametry k z parametrem κ, których te parametry zależą od energii cząstki kwantowej, więc dojdziemy do wniosku później, że energia cząstki jest skwantowana (dyskretna) w stanach związanych.

$\kappa =k\operatorname {tg} ka\;$

(12.31)

$\kappa =-k\operatorname {ctg} ka\;$

(12.32)

Współczynniki rozwiązań parzystych

Aby układ równań (12.28) dla rozwiązań parzystych miał rozwiązania w postaci niezerowych stałych, to musi być spełniona zależność (12.31). Zajmijmy się dwoma pierwszymi równaniami (12.28), do którego podstawiamy wzór na κ, czyli (12.31):

${\begin{cases}A_{1}e^{-\kappa a}-A_{2}\cos ka+B_{2}\sin ka=0\\A_{1}k{{\sin ka} \over {\cos ka}}e^{-\kappa a}-A_{2}k\sin ka-B_{2}k\cos ka=0\Rightarrow A_{1}e^{-\kappa a}-A_{2}\cos ka-B_{2}{{\cos ^{2}ka} \over {\sin ka}}=0\end{cases}}\;$

(12.33)

Możemy odjąć od siebie dwa równania ostatniego układu równań od siebie dochodząc do wniosku, że stała B₂ jest stałą równą zero.

$B_{2}\left(\sin ka+{{\cos ^{2}ka} \over {\sin ka}}\right)=0\Rightarrow B_{2}=0\;$

Mając już wyliczoną stałą B₂ możemy wyznaczyć stałą A₂ z drugiego równania wynikowego układu równań (12.33), a także stałą B₃ z trzeciego równania układu równań (12.28), zatem wszystkie trzy stałe możemy napisać przy pomocy stałej A₁, oprócz stałej B₂ równą zero:

${\begin{cases}B_{2}=0\\A_{2}=A_{1}e^{-\kappa a}/\cos ka\\B_{3}=A_{2}e^{\kappa a}\cos ka=A_{1}e^{-\kappa a}/\cos kae^{\kappa a}\cos ka=A_{1}\;\end{cases}}$

(12.34)

Współczynniki rozwiązań nieparzystych

Mając rozwiązanie (12.32), zajmijmy się dwoma ostatnimi równaniami układu równań (12.28), możemy napisać:

${\begin{cases}B_{3}e^{-\kappa a}-A_{2}\cos ka-B_{2}\sin ka=0\\k{{\cos ka} \over {\sin ka}}B_{3}e^{-\kappa a}+A_{2}k\sin ka-B_{2}k\cos ka=0\Rightarrow B_{3}e^{-\kappa a}+A_{2}{{\sin ^{2}ka} \over {\cos ka}}-B_{2}\sin ka=0\\\end{cases}}\;$

(12.35)

Odejmując od siebie dwa równania ostatniego układu równań, dochodzimy do wniosku, że stała $A_{2}\;$ jest równa zero:

$A_{2}\left({{\sin ^{2}ka} \over {\cos ka}}-\cos ka\right)=0\Rightarrow A_{2}=0\;$

Znając już policzoną stałą A₂=0 możemy policzyć stałą B₂ z pierwszego równania układu równań (12.28), a także stałą B₃ przy pomocy trzeciego równania wspomnianego układu równań, do której wyznaczenia dalszego jest potrzebna wyznaczona stała B₂, którą podamy w tym samym układzie rozwiązań dla stałych poniżej. Wszystkie te stałe są w zależne od stałej A₁, nie licząc stałej A₂, która jest równa zero.

${\begin{cases}A_{2}=0\\B_{2}=-A_{1}e^{-\kappa a}/\sin ka\\B_{3}=B_{2}e^{\kappa a}\sin ka=-A_{1}e^{-\kappa a}/\sin kae^{\kappa a}\sin ka=-A_{1}\;\end{cases}}\;$

(12.36)

Funkcje parzyste i nieparzyste

Mamy już rozwiązania parzyste dla (12.31) przy stałych (12.34) i nieparzyste dla (12.32) przy stałych (12.36), te oba rozwiązania dla skończonej studni potencjału są:

Funkcje falowe dla rozwiązań parzystych dla (12.31)	Funkcje falowe dla rozwiązań nieparzystych dla (12.32)
${\begin{cases}\psi _{1}=A_{2}\cos kae^{\kappa (x+a)}\\\psi _{2}=A_{2}\cos kx\\\psi _{3}=A_{2}\cos kae^{\kappa (a-x)}\end{cases}}\;$ (12.37)	${\begin{cases}\psi _{1}=-B_{2}\sin kae^{\kappa (x+a)}\\\psi _{2}=B_{2}\sin kx\\\psi _{3}=B_{2}\sin kae^{\kappa (a-x)}\end{cases}}\;$ (12.38)

Należy pamiętać, że funkcja $\psi _{1}\;$ jest dla przedziału $(-\infty ,-a)\;$, funkcja $\psi _{2}\;$ dla $(-a,a)\;$, a także funkcja $\psi _{3}\;$ dla $(a,\infty )\;$. Ogólnie dla nieskończonego przedziału niech rozwiązaniem będzie funkcja $\psi \;$, którą można podzielić na poszczególne przedziały jak dla rozwiązania parzystego (12.37) i nieparzystego (12.38). Aby unormować rozwiązania parzyste (12.37) lub rozwiązania nieparzyste (12.38) należy dokonać całkowania z kwadratem:

$1=\int _{\infty }^{\infty }|\psi |^{2}dx=\left(\int _{-\infty }^{-a}+\int _{-a}^{a}+\int _{a}^{\infty }\right)|\psi |^{2}dx=\int _{-\infty }^{-a}|\psi |^{2}dx+\int _{-a}^{a}|\psi |^{2}dx+\int _{a}^{\infty }|\psi |^{2}dx=\;$
$=\int _{-\infty }^{-a}|\psi _{1}|^{2}dx+\int _{-a}^{a}|\psi _{2}|^{2}dx+\int _{a}^{\infty }|\psi _{3}|^{2}dx\;$

(12.39)

Normowanie funkcji parzystych

Wyznaczmy stałą normującą dla funkcji typu parzystych (12.37) dla skończonej jamy potencjału o głębokości U pisząc całkę z kwadratu modułu funkcji parzystych w całym przedziale nieskończonym jednowymiarowym według (12.39).

$1=A_{2}^{2}\cos ^{2}ka\int _{-\infty }^{-a}e^{2\kappa (a+x)}dx+A_{2}^{2}\int _{-a}^{a}\cos ^{2}kx+A_{2}^{2}\cos ^{2}ka\int _{a}^{\infty }e^{2\kappa (a-x)}dx={{A_{2}^{2}} \over {2\kappa }}\cos ^{2}ka+{{A_{2}^{2}} \over {2}}\int _{-a}^{a}(1+\cos 2ka)dx+\;$
$+{{A_{2}^{2}} \over {2\kappa }}\cos ^{2}ka={{A_{2}^{2}} \over {\kappa }}\cos ^{2}ka+A_{2}^{2}a+{{A_{2}^{2}} \over {2k}}\sin 2ka=A_{2}^{2}\left[{{1} \over {\kappa }}\cos ^{2}ka+a+{{1} \over {k}}\sin ka\cos ka\right]\;$

Do powyższych przekształceń skorzystamy z rozwiązania parzystego (12.31) jako warunku łączącego te nasze dwa parametry w tym wspomnianym równaniu, czyli z tego wspomnianego równania $\kappa =k\operatorname {tg} ka\Rightarrow \cos ka={{k} \over {\kappa }}\sin ka\;$ możemy wyjaśnić ile wynosi stała A₂ dla rozwiązań parzystych:

$1=A_{2}^{2}\left[{{1} \over {\kappa }}\cos ^{2}ka+a+{{1} \over {k}}\sin ka{{k} \over {\kappa }}\sin ka\right]=A_{2}^{2}\left[{{1} \over {\kappa }}\left(\cos ^{2}ka+\sin ^{2}ka\right)+a\right]=A_{2}^{2}\left[{{1} \over {\kappa }}+a\right]=A_{2}^{2}{{\kappa a+1} \over {\kappa }}$

Warunek normujący funkcje parzyste (12.37) na podstawie powyższych obliczeń jest w postaci:

$A_{2}={\sqrt {{\kappa } \over {\kappa a+1}}}\;$

(12.40)

Ta stała κ występująca w definicji stałej A₂ jest zależna od skwantowanej energii kwantowego układu, która wynika z normowania funkcji parzystych.

Normowanie funkcji nieparzystych

Wyznaczmy stałą normującą dla funkcji nieparzystych (12.38) w skończonej jamie potencjału o głębokości U z całkowaną z kwadratem w przypadku naszej funkcji własnej, które obowiązują w poszczególnych przedziałach sklejając je dochodzimy do wniosku, że one całkowite wypełniają przestrzeń nieskończoną i ta norma jest równa jeden:

$1=B_{2}^{2}\sin ^{2}ka\int _{-\infty }^{-a}e^{2\kappa (a+x)}dx+B_{2}^{2}\int _{-a}^{a}\sin ^{2}kxdx+B_{2}^{2}\sin ^{2}kx\int _{-a}^{\infty }e^{2\kappa (a-x)}dx={{B_{2}^{2}} \over {2\kappa }}\sin ^{2}ka+\;$
$+{{B_{2}^{2}} \over {2}}\int _{-a}^{a}(1-\cos 2kx)dx+\sin ^{2}ka{{B_{2}^{2}} \over {2\kappa }}={{B_{2}^{2}} \over {\kappa }}\sin ^{2}ka+B_{2}^{2}a-{{B_{2}^{2}} \over {2k}}\sin 2ka={{B_{2}^{2}} \over {\kappa }}\sin ^{2}ka+B_{2}^{2}a-{{B_{2}^{2}} \over {k}}\sin ka\cos ka\;$

Skorzystamy, ze wzoru (12.32) jako równania wiążące parametr κ z k, co przekształcając go do postaci $\kappa =-k\operatorname {ctg} ka\Rightarrow \sin ka=-{{k} \over {\kappa }}\cos ka\;$, to powyższy warunek normowania piszemy w postaci:

$1={{B_{2}^{2}} \over {\kappa }}\sin ^{2}ka+B_{2}^{2}a-{{B_{2}^{2}} \over {k}}(-{{k} \over {\kappa }})\cos ka\cos ka=B_{2}^{2}\left[{{1} \over {\kappa }}\left(\sin ^{2}ka+\cos ^{2}ka\right)+a\right]\Rightarrow 1=B_{2}^{2}{{1+\kappa a} \over {\kappa }}\;$

Stała normująca dla funkcji nieparzystych jest wyrażona przy pomocy stałej κ, która z kolei zależy od skwantowanej energii układu:

$B_{2}={\sqrt {{\kappa } \over {\kappa a+1}}}\;$

(12.41)

co kończy obliczenia dotyczące nieparzystych funkcji falowych.

Energie własne stanów związanych

Wykorzystując związki (12.15) i (12.21) wyznaczmy wyrażenie:

$(\kappa ^{2}+k^{2})a^{2}=\left(-{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}+{{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}\right)a^{2}={{2mUa^{2}} \over {\hbar ^{2}}}=C^{2}\;$

(12.42)

Udowodniliśmy, że powyższe wyrażenie, nie zależy od energii cząstki, ale zależy od głębokości studni U. Podstawiamy warunek (12.31) dla rozwiązań parzystych do (12.42), dostajemy, że:

$\left(k^{2}\operatorname {tg} ^{2}(ka)+k^{2}\right)a^{2}=C^{2}\Rightarrow (ka)^{2}\operatorname {tg} ^{2}(ka)=C^{2}-(ka)^{2}\Rightarrow \operatorname {tg} (ka)={{\sqrt {C^{2}-(ka)^{2}}} \over {ka}}\;$

(12.43)

Powyżej przyjęliśmy, że tg(ka) jest dodatnie przy dodatnich k² (12.21) i κ² (12.15) według (12.31). Podobnie podstawiamy warunek (12.32) dla rozwiązań nieparzystych do (12.42), wtedy:

$\left(k^{2}\operatorname {ctg} ^{2}(ka)+k^{2}\right)a^{2}=C^{2}\Rightarrow \operatorname {ctg} ^{2}(ka)={{C^{2}-(ka)^{2}} \over {(ka)^{2}}}\Rightarrow \operatorname {ctg} (ka)=-{{\sqrt {C^{2}-(ka)^{2}}} \over {ka}}\Rightarrow \operatorname {tg} (ka)=-{{ka} \over {\sqrt {C^{2}-(ka)^{2}}}}\;$

(12.44)

(Rys. 12.6) Graficzne rozwiązanie równań (12.31) i (12.32). Punkty α,β,γ,δ odpowiadają energiom dla parzystych rozwiązań, a punkty α',β' odpowiadanją energiom dla nieparzystych rozwiązań

(Rys. 12.7) Rozwiązania parzyste i nieparzyste dla stanów związanych dla przykładowych C=1,2,3,...,10, czwiartki okręgu to są przedstawiane wzorem (12.48), a wykresy funkcji niebieską linią są dla funkcji (12.46), a zieloną dla (12.47)

Parametr $C\;$ ma sens objętości jamy potencjału. Ponieważ w (12.44) przyjęliśmy, że ctg(ka) jest wartością ujemną przy dodatnich k² (12.21) i κ² (12.15) według (12.32). Np. dla $C=1,1.5\;$ cząstka może mieć tylko jedną wartość rozwiązania E (rozwiązania $\alpha \;$ i $\beta \;$), ale już np. dla $C=2,2.25\;$ cząstka może przyjmować dwie wartości energii (tzn. określone przez $\gamma \;$ i $\delta \;$ oraz kolejno $\alpha ^{'}\;$ i $\beta ^{'}\;$). Oczywiste jest, że dalsze powiększanie jamy potencjału powoduje pojawianie się dalszych poziomów energetycznych $E\;$, przy czym poziomy odpowiadające rozwiązaniom parzystym i nieparzystym pojawiają się na przemian, bo $ka\;$ dla rozwiązania parzystego jest mniejsze niż dla rozwiązania nieparzystego dla ściśle określonej objętości jamy potencjału $C\;$. Z rozwiązań (12.37) (rozwiązanie parzyste) i (12.38) (rozwiązanie nieparzyste) wynika, że mamy niezerowe funkcje falowe na ściankach studni potencjałów i cząstka może oczywiście wnikać w ściankę jamy potencjału, to zjawisko nie jest możliwe w mechanice klasycznej. Weźmy w równaniu (12.43) i (12.44), tzn. w pierwszych tam równościach, za zmienną $\xi \;$ dla rozwiązania parzystego (12.31) oraz dla rozwiązania nieparzystego (12.32):

$\xi =ka\;$

(12.45)

wtedy wzory na zmienną $\eta \;$ dla rozwiązań parzystych i nieparzystych piszemy:

$\eta =\kappa a=ka\operatorname {tg} ka=\xi \operatorname {tg} \xi \;$

(12.46)

$\eta =\kappa a=-ka\operatorname {ctg} ka=-\xi \operatorname {ctg} \xi \;$

(12.47)

Mając na uwadze wzory na stany energetyczne dla rozwiązań parzystych (12.31) i nieparzystych (12.32), wtedy dla nich mając na uwadze (12.42) wykorzystując (12.45) oraz (12.46) (rozwiązania parzyste) i (12.47) (rozwiązania nieparzyste), mamy:

$\eta ^{2}+\xi ^{2}=C^{2}\;$

(12.48)

Gdzie w (12.48) głębnokość studni potencjału jest zdefiniowana według (12.42). Widzimy z rysunku (Rys. 12.7), że rozwiązaniem na rysunku jest co najmniej jeden stan parzysty $E\;$, która wynika napewno z rozwiązania parzystego, dla stanów nieparzystych dla danej głębokości jamy potencjału może nie być rozwiązań nieparzystych. Ogólnie liczba rozwiązań parzystych jest co najmniej jeden, a nieparzystych co najmniej zero, dla danego $C\;$.

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału nazywamy wyrażenie dla stanów parzystych (12.37) lub nieparzystych (12.38) ze stałą $A_{2}\;$ (12.40) lub $B_{2}\;$(12.41), których ich ostateczna postać jest taka sama.

$P_{S}^{\pm }={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\int _{-a}^{a}{\begin{Bmatrix}\cos ^{2}kx\\\sin ^{2}kx\\\end{Bmatrix}}dx={{\kappa } \over {2(\kappa a+1)}}\int _{-a}^{a}{\begin{Bmatrix}1+\cos 2kx\\1-\cos 2kx\end{Bmatrix}}dx=\;$
$={{\kappa } \over {2(\kappa a+1)}}\left[2a\pm 2{{1} \over {2k}}\sin 2ka\right]={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\left[a\pm {{\sin 2ka} \over {2k}}\right]={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\left[a\pm {{\sin ka\cos ka} \over {k}}\right]\;$

(12.49)

Jest to ogólny wzór na prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wewnątrz studni potencjału. Dla rozwiązań parzystych obowiązuje wzór (12.31), z którego można napisać $\kappa =k\operatorname {tg} ka\Rightarrow \cos ka={{k\sin ka} \over {\kappa }}\;$, zatem mając wzór (12.49), po wykorzystaniu tego dochodzimy do wniosku:

$P_{S}^{+}={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\left[a+{{\sin(ka)k\sin(ka)} \over {k\kappa }}\right]={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\left[a+{{\sin ^{2}ka} \over {\kappa }}\right]\;$

(12.50)

Z elementarnych wiadomości trygonoometri, a także skorzystamy ze wzoru ze wzoru (12.31) i wyznaczmy zależność między kwadratem sinusa a kwadratem funkcji tangens.

${{1} \over {\sin ^{2}ka}}={{\cos ^{2}ka+\sin ^{2}ka} \over {\sin ^{2}ka}}=1+\operatorname {ctg} ^{2}(ka)=1+{{k^{2}} \over {\kappa ^{2}}}={{\kappa ^{2}+k^{2}} \over {\kappa ^{2}}}\;$

(12.51)

Prawdopodobieństwa dla rozwiązań parzystych powstaje podstawiając odwrotność wyrażenia (12.51) do równania (12.50) wyrażające prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w studni potencjału.

$P_{S}^{+}={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\left[a+{{\kappa ^{2}} \over {\kappa (\kappa ^{2}+k^{2})}}\right]={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\left[a+{{\kappa } \over {\kappa ^{2}+k^{2}}}\right]={{\kappa } \over {\kappa a+1}}{{a\kappa ^{2}+ak^{2}+\kappa } \over {\kappa ^{2}+k^{2}}}={{\kappa ^{2}(a\kappa +1)+ak^{2}\kappa +k^{2}-k^{2}} \over {(\kappa a+1)(\kappa ^{2}+k^{2})}}=\;$
$={{\kappa ^{2}(a\kappa +1)+k^{2}(a\kappa +1)-k^{2}} \over {(\kappa a+1)(\kappa ^{2}+k^{2})}}={{(a\kappa +1)(\kappa ^{2}+k^{2})-k^{2}} \over {(\kappa a+1)(\kappa ^{2}+k^{2})}}=1-{{k^{2}} \over {(\kappa a+1)(\kappa ^{2}+k^{2})}}$

(12.52)

Dla rozwiązań nieparzystych obowiązuje wzór (12.32), z tego wzoru możemy otrzymać tożsamość $\kappa =-k\operatorname {ctg} ka\Rightarrow \sin ka=-{{k\cos ka} \over {\kappa }}\;$ i podstawiając go do (12.49) zaznaczaniem, że mamy do czynienia, ze stanami nieparzystymi:

$P_{S}^{-}={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\left[a+{{\cos ^{2}ka} \over {\kappa }}\right]\;$

(12.53)

Z elementarnych wiadomości o trygonometrii, mamy:

${{1} \over {\cos ^{2}ka}}={{\cos ^{2}ka+\sin ^{2}ka} \over {\cos ^{2}ka}}=1+\operatorname {tg} ^{2}ka=1+{{k^{2}} \over {\kappa ^{2}}}={{\kappa ^{2}+k^{2}} \over {\kappa ^{2}}}\;$

(12.54)

Wzór (12.53) przy pomocy pomocniczych obliczeń (12.54) przyjmuje następną postać:

$P_{S}^{-}={{\kappa } \over {\kappa a+1}}\left[a+{{\kappa } \over {\kappa ^{2}+k^{2}}}\right]\;$

(12.55)

Wyrażenie (12.55) jest takie same jak wyrażenie (12.50), zatem dla obu przypadków mamy nie oznaczając je parzystością lub nieparzystością rozwiązań:

$P_{S}=1-{{k^{2}} \over {(\kappa a+1)(\kappa ^{2}+k^{2})}}\;$

(12.56)

Możemy wykorzystać wzory, które są definicjami pewnych stałych zależne od energii własnej układu, czyli od stałej (12.15) κ² i od stałej (12.21) k², i dalej należy je następnie podstawić do wzoru (12.56), dostajemy:

$P_{S}=1-{{E+U} \over {U}}{{1} \over {{\sqrt {-{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}}}a+1}}=1-{{\hbar (E+U)} \over {U({\sqrt {-2mE}}}a+\hbar )}\;$

(12.57)

Na podstawie wzoru (12.57) prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w studni potencjału, która jest niezależna od parzystości i nieparzystości rozwiązania dla naszego równania własnego, którą tutaj rozpatrywaliśmy dla naszej studni potencjału o skończonej objętości, ale jest za to zależna od energii E uzyskanej z (12.31) (rozwiązanie parzyste) lub z (12.32) (rozwiązanie nieparzyste).

Stany rozproszeniowe

W stanach rozproszeniowych całkowita energią cząstki jest większa niż maksymalny potencjał studni potencjału. Dla stanów stacjonarnych równanie Schrödingera dla obszarów 1 i 3, w których potencjał skalarny znika i jego równanie opisujących ten stan jest:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =E\psi \Rightarrow {{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(12.58)

Dla obszaru 2-ego istnieje równanie stacjonarne, w którym mamy potencjał skalarny o wartości -U, piszemy:

$-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}{{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi -U\psi =E\psi \Rightarrow {{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-{{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(12.59)

W ostanich dwóch równaniach wprowadźmy dwie stałe, które są zależne od dodatniej energii układu stanu rozproszeniowego i ta druga stała jest zależna od głębokości studni potencjału U, są one napisane wedle:

$k^{2}={{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\;$

(12.60)

$\kappa ^{2}={{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}\;$

(12.61)

Prz definicjach stałych (12.60)($k^{2}\;$) i (12.61)($\kappa ^{2}\;$) równania różniczkowe (12.58) (stan 1 i 3) i (12.59) (stan 2) przyjmują wygląd:

${{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-k^{2}\psi \;$ :obszar 1 i 3

(12.62)

${{d^{2}} \over {dx^{2}}}\psi =-\kappa ^{2}\psi \;$ :obszar 2

(12.63)

Rozwiązania dla wszystkich obszarów wedle dwóch ostatnich rozwiązań są przedstawiane:

$\psi (x)={\begin{cases}Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&{\mbox{ dla }}x<-a\\Ce^{i\kappa x}+De^{-i\kappa x}&{\mbox{ dla }}|x|<a\\Fe^{ikx}+Ge^{-ikx}&{\mbox{ dla }}x>a\end{cases}}\;$

(12.64)

Powyższe trzy równania należy zszyć dla punktów |x|=a, dla także dla ich pochodnych, by te wielkości w tych punktach były ciągłe, zatem mamy cztery równania, a sześć niewiadomych, a do tego dochodzi nienormowalność funkcji falowych symbolizującej fale płaskie. Można powiedzieć, że fala płaska dociera z lewej strony (ze strony x równy minus nieskończoność), dla punktu x=-a, część fali ulega odbicia, a następna część dobiega do drugiej granicy studni potencjału, tzn. x=a, i tak ulega ponownemu częściowemu odbiciu. Ze strony x>a, nie ma żadnej fali, która biegnie do studni potencjału i tam należy przyjąć, że G=0.

Współczynnik odbicia i transmisji

Współczynniki odbicia R i transmisji T definiujemy za pomocą kwadratów modułów odpowiednich stałych występujące w rozwiązaniu falowym równania niezależnego od czasu dla stanów rozproszeniowych, zatem współczynnik odbicia jest to stosunek kwadratu modułu stałej B przez kwadrat modułu stałej A, a współczynnik transmisji jest to stosunek kwadratu modułu stałej F przez kwadrat modułu stałej A. Należy zauważyć, że stałe B i F trzeba wyrazić przez stałą A, co o tym będziemy pamiętać i tak będziemy robić.

$R={{|B|^{2}} \over {|A|^{2}}}\;$

(12.65)

$T={{|F|^{2}} \over {|A|^{2}}}\;$

(12.66)

Widzimy, że przy wybranej metodzie dla funkcji falowych tracimy jego metodę probabilistyczną, tzn. nie możemy liczyć prawdopodobieństwa znalezienia pewnej cząstki w specjalnie obranym obszarze. Ciągłość funkcji i jej pochodnych będziemy badać dla punktu x=-a i x=a. Zatem ciągłość funkcji falowych dla x=-a prowadzi do warunku:

$Ae^{-ika}+Be^{ika}=Ce^{-i\kappa a}+De^{i\kappa a}\;$

(12.67)

Ciągłość pochodnych w tym samym punkcie prowadzi do następnego warunku:

$Ake^{-ika}-Bke^{ika}=C\kappa e^{-i\kappa a}-D\kappa e^{i\kappa a}\;$

(12.68)

Ciągłość funkcji (12.64) dla punktu x=a prowadzi do równania:

$Ce^{i\kappa a}+De^{-i\kappa a}=Fe^{ika}\;$

(12.69)

A ciągłość pochodnych w tym samym punkcie dla takiego samego układu równań prowadzi do wzoru:

$C\kappa e^{i\kappa a}-D\kappa e^{-i\kappa a}=Fke^{ika}\;$

(12.70)

Równania (12.67), (12.68), (12.69) i (12.70) stanowi układ czterech równań z pięcioma niewiadomymi. Zajmijmy się równaniami (12.69) i (12.70), wymnażając te pierwsze równanie obustronnie przez stałą $\kappa \;$:

${\begin{cases}C\kappa e^{i\kappa a}+D\kappa e^{-i\kappa a}=F\kappa e^{ika}\\C\kappa e^{i\kappa a}-D\kappa e^{-i\kappa a}=Fke^{ika}\end{cases}}\;$

(12.71)

Dwa równania ostatniego układu, tzn. układu równań (12.71) i dodajmy je od siebie dostając równanie przy wyznaczaniu stałej C w zależności od stałej F:

$2C\kappa e^{i\kappa a}=F(k+\kappa )e^{ika}\Rightarrow C={{F} \over {2}}\left(1+{{k} \over {\kappa }}\right)e^{ika-i\kappa a}\;$

(12.72)

I następne otrzymane równanie według wcześniejszych omówień, tym razem odejmijmy je do siebie dostając teraz stałą D w zależności od stałej F:

$2D\kappa e^{-i\kappa a}=F(\kappa -k)e^{ika}\Rightarrow D={{F} \over {2}}\left(1-{{k} \over {\kappa }}\right)e^{ika+i\kappa a}\;$

(12.73)

Kolejny etapem rozwiązania układu równań jest wykorzystanie równań (12.67) i (12.68) i podstawienie do nich za stałą C wyliczoną w punkcie (12.72) i stałej D obliczoną w punkcie (12.73), te owe równania możemy zapisać w postaci:

${\begin{cases}Ae^{-ika}+Be^{ika}={{F} \over {2}}\left(1+{{k} \over {\kappa }}\right)e^{ika-2i\kappa a}+{{F} \over {2}}\left(1-{{k} \over {\kappa }}\right)e^{ika+2i\kappa a}\\Ake^{-ika}-Bke^{ika}={{F} \over {2}}\left(k+\kappa \right)e^{ika-2i\kappa a}-{{F} \over {2}}\left(\kappa -k\right)e^{ika+2i\kappa a}\\\end{cases}}\;$

(12.74)

Następnym chwytem jest zastąpienie funkcji wykładniczej $e^{\pm 2i\kappa a}\;$ odpowiednimi funkcjami trygometrycznymi $\cos 2\kappa a\pm i\sin 2\kappa a\;$ które oznaczają tą samą wielkość zespoloną.

${\begin{cases}Ae^{-ika}+Be^{ika}={{F} \over {2}}\left(1+{{k} \over {\kappa }}\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a-i\sin 2\kappa a\right)+{{F} \over {2}}\left(1-{{k} \over {\kappa }}\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a+i\sin 2\kappa a\right)\\Ake^{-ika}-Bke^{ika}={{F} \over {2}}\left(k+\kappa \right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a-i\sin 2\kappa a\right)-{{F} \over {2}}\left(\kappa -k\right)e^{ika}\left(\cos 2\kappa a+i\sin 2\kappa a\right)\end{cases}}\;$

(12.75)

Po dalszych przekształceniach dostajemy:

${\begin{cases}Ae^{-ika}+Be^{ika}=Fe^{ika}\cos 2\kappa a-iF{{k} \over {\kappa }}e^{ika}\sin 2\kappa a\\Ae^{-ika}-Be^{ika}=Fe^{ika}\cos 2\kappa a-iF{{\kappa } \over {k}}e^{ika}\sin 2\kappa a\end{cases}}\;$

(12.76)

Możemy dodać do siebie dwa równania układu równań (12.76):

$2Ae^{-ika}=2Fe^{ika}\cos 2ka-iFe^{ika}\left({{k} \over {\kappa }}+{{\kappa } \over {k}}\right)\sin 2\kappa a\Rightarrow F={{Ae^{-ika}} \over {e^{ika}\cos 2\kappa a-{{i} \over {2}}e^{ika}\left({{k} \over {\kappa }}+{{\kappa } \over {k}}\right)\sin 2\kappa a}}\;$

Licznik i mianownik wyrażenia na F ostatnio napisanego mnożymy przez funkcję eksponencjalną zespoloną,. tzn. e^ika, dostajemy jego odpowiednik w bardziej uproszczonej postaci:

$F={{Ae^{-2ka}} \over {\cos 2\kappa a-{{i} \over {2}}\left({{k} \over {\kappa }}+{{\kappa } \over {k}}\right)\sin 2\kappa a}}\;$

(12.77)

By wyznaczyć stałą B odejmijmy oba równania od siebie układu równań (12.76) i wyrażając je na razie za pomocą stałej F:

$2Be^{ika}=-iF\left({{k} \over {\kappa }}-{{\kappa } \over {k}}\right)e^{ika}\sin 2\kappa a\Rightarrow B=-{{i} \over {2}}F\left({{k} \over {\kappa }}-{{\kappa } \over {k}}\right)\sin 2\kappa a\;$

(12.78)

Wtedy ostatecznie stałą B wedle końcowych obliczeń (12.78) wyznaczyć możemy przy pomocy stałej κ (12.15) i stałej k (12.21) i podstawiamy do niej wyrażenie na stałą F (12.77), która jest wyrażona przy pomocy stałej A:

$B={{{{i} \over {2}}\left({{\kappa } \over {k}}-{{k} \over {\kappa }}\right)\sin 2\kappa a} \over {\cos 2\kappa a-{{i} \over {2}}\left({{k} \over {\kappa }}+{{\kappa } \over {k}}\right)\sin 2\kappa a}}Ae^{-2ika}\;$

(12.79)

Do obliczeniach współczynników C i D wystarczą wzory (12.72) i (12.73) oraz wyrażenie F poprzez A, wystarczy skorzystać ze wzoru (12.77). Wyznaczmy kwadrat modułu wyrażenia występującej w miianowniku (12.79):

$\left|\cos 2\kappa a-{{i} \over {2}}\left({{k} \over {\kappa }}+{{\kappa } \over {k}}\right)\sin 2\kappa a\right|^{2}=\cos ^{2}2ka+{{1} \over {4}}\left({{k^{2}+\kappa ^{2}} \over {\kappa k}}\right)^{2}\sin ^{2}2\kappa a=\cos ^{2}2\kappa a+{{1} \over {4}}{{k^{4}+\kappa ^{4}+2k^{2}\kappa ^{2}} \over {\kappa ^{2}k^{2}}}\sin ^{2}2\kappa a=\;$
$=1+\sin ^{2}(2\kappa a)\cdot {{k^{4}+\kappa ^{4}+2k^{2}\kappa ^{2}-4\kappa ^{2}k^{2}} \over {4\kappa ^{2}k^{2}}}=1+\sin ^{2}(2\kappa a){{k^{4}+\kappa ^{4}-2k^{2}\kappa ^{2}} \over {4\kappa ^{2}k^{2}}}=1+\sin ^{2}(2\kappa a){{1} \over {4}}\left({{k^{2}-\kappa ^{2}} \over {\kappa k}}\right)^{2}=\;$
$=1+\sin ^{2}(2\kappa a){{1} \over {4}}\left({{k} \over {\kappa }}-{{\kappa } \over {k}}\right)^{2}\;$

(12.80)

Współczynniki odbicia (12.65) (R) zdefiniowanej przy pomocy (12.79) i transmisji (12.66) (T) przy pomocy (12.77) przedstawiają się:

$R={{{{1} \over {4}}\left({{k} \over {\kappa }}-{{\kappa } \over {k}}\right)^{2}\sin ^{2}2\kappa a} \over {1+\sin ^{2}(2\kappa a){{1} \over {4}}\left({{k} \over {\kappa }}-{{\kappa } \over {k}}\right)^{2}}}\;$

(12.81)

$T={{1} \over {1+\sin ^{2}(2\kappa a){{1} \over {4}}\left({{k} \over {\kappa }}-{{\kappa } \over {k}}\right)^{2}}}\;$

(12.82)

Od razu widać, że współczynniki odbicia (12.81) i transmisji (12.82), co jest trywialne, spełniają na pewno nastepującą zależność:

$1=R+T\;$

(12.83)

Co obrazuje prawo zachowania liczby cząstek odbitych i przechodzących przez skończoną studnię potencjału.

Rezonanse

Współczynniki odbicia i transmisji mają jeszcze jedną właściwość, gdy spełniony jest warunek:

$\sin 2\kappa a=0\Rightarrow 2\kappa a=n\pi \;$

(12.84)

Wtedy współczynniki odbicia R =0 (12.81) i transmisji T=1 (12.82), czyli dochodzimy do wniosku, że wszystkie cząstki przechodzą przez studnię potencjału. Możemy skorzystać ze wzoru na $\kappa ^{2}\;$ (12.61) i biorąc końcowy warunek wynikowy (12.84):

$n\pi =2{\sqrt {{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}}a\Rightarrow {{n^{2}\pi ^{2}} \over {4}}={{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}a^{2}\Rightarrow E+U={{n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}\;$

(12.85)

Dla stanów rezonansowych energia cząstki w zależności od liczby kwantowej "n" z jej własności uwikłanej (12.85) jest zapisana wzorem:

$E=-U+{{n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}\;$

(12.86)

Wzór (12.86) przestawia energię cząstki dla stanów rozproszeniowych, gdy dana cząstka znajduje się w stanie rezonansu.

Dyskusja o energiach rezonansowych dla rozpraszania niskoenergetycznego

Wprowadźmy oznaczenie głębokości potencjału U zdefiniowanej przy pomocy nowej stałej v:

$U={{v^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}\;$

(12.87)

Wyrażenie na energię stanów rozproszeniowych rezonansowych (12.86), którego można zapisać jako głębokość studni potencjału zdefiniowanego w (12.87), który jest zapisany przy pomocy parametry v, zatem całkowita energia cząstki jest przedstawiana w sposób:

$E=(n^{2}-v^{2}){{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}=(n+v)(n-v){{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}\;$

(12.88)

Ale (12.88) zachodzi dla stanów rezonansowych, to energia tych stanów zwanych stanami rozproszeniowymi w porównaniu z głębokością studni, gdy mamy rozpraszanie niskoenergetyczne, to całkowita energia cząstki powinna być o wiele mniejsza niż głębokość studni:

$E<<U\Rightarrow (n^{2}-v^{2}){{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}<<v^{2}{{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}\Rightarrow n^{2}{{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}<<2v^{2}{{v^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}\Rightarrow n^{2}<<2v^{2}\Rightarrow n<<{\sqrt {2}}v\;$

to dla stanów zwanych rozproszonymi nazywamy energię E dla których zachodzi $n>v\;$, to można zapisać przy pomocy p, który jest ograniczony do najbliższych liczb naturalnych, bo zachodzi ostatnie wyrażenie, czyli zachodzi własność $p<<v\;$, dla której powinno mieć miejsce:

$n=[v]+p\;$

(12.89)

• gdzie: $[v]\;$ jest to największa liczba całkowita nieprzekraczająca v.

Można napisać na podstawie wcześniejszych obliczeń i przestawienia liczby n poprzez liczby p i v, czyli poprzez wzór (12.89), na podstawie tego możemy powiedzieć:

$n<<{\sqrt {2}}v\Rightarrow [v]+p<<{\sqrt {2}}v\Rightarrow p<<{\sqrt {2}}v-[v]\Rightarrow {{p} \over {v}}<<v\left({\sqrt {2}}-{{[v]} \over {v}}\right)\;$

Nasz stosunek ${{p} \over {v}}\;$ wedle ostatnich rozważań możemy napisać, dla której $0\leq {{[v]} \over {v}}\leq 1\;$ jest liczbą bardzo małą dodatnią, czyli zachodzi $p<<v\;$, zatem możemy napisać wzór na energię rezonansowe w niskoenergetycznym rozpraszaniu wedle sposobu:

$E=([v]+p+v)([v]+p-v){{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}\simeq 2vp{{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {8ma^{2}}}=vp{{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {4ma^{2}}}\;$

(12.90)

Relację na głębokość studni (12.87), którego wyznaczmy wielkość v i podstawimy to do wzoru (12.90), dostajemy wzór na energię całkowitą cząstki dla stanów rozproszeniowych, w zalezności od liczby kwantowej p i za pomocą głębokości studni potencjału:

$E=p{\sqrt {{U8ma^{2}} \over {\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}{{\pi ^{2}\hbar ^{2}} \over {4ma^{2}}}=p{{\pi \hbar } \over {a}}{\sqrt {{U} \over {2m}}}\;$

(12.91)

Odległość między najbliższymi poziomami rezonansowymi na podstawie wzoru napisanego w punkcie (12.91) możemy zapisać w schematycznej postaci:

$\Delta E^{rez}=E_{p+1}^{rez}-E_{p}^{rez}={{\pi \hbar } \over {a}}{\sqrt {{U} \over {2m}}}\;$

(12.92)

Widzimy, że według wzoru (12.92) odległość między stanami rezonansowymi zależy od głębokości studni potencjału i innych parametrów, tzn. parametrów charakteryzujących samą cząstkę, czyli od jego masa, i szerokości studni potencjału o głębokości U, czyli od wielkości "a".

Rozpraszanie niskoenergetyczne

Rozpatrzmy stany rozproszeniowe, czyli dla których panuje energia stanów rozproszeniowych E>0 niskoenergetycznych i głębokość studni jest o wiele większa niż energia cząstki czyli stany niskoenergetyczne $E<<U\;$ lub równoważnie można zapisać:

${{E} \over {U}}<<1\;$

(12.93)

Możemy wykorzystać wzory (12.60)($k\;$) i (12.61)($\kappa \;$), można zapisać stosunek tej drugiej stałej przez pierwszą, dojdziemy do wniosku, że ten obiekt jest o wiele większy od jedynki, a więc jego odwrotność jest o wiele mniejsza od jedynki.

${{\kappa } \over {k}}={{\sqrt {{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}} \over {\sqrt {{2mE} \over {\hbar ^{2}}}}}={\sqrt {{E+U} \over {E}}}={\sqrt {1+{{U} \over {E}}}}>>1\Rightarrow {{k} \over {\kappa }}<<1\;$

(12.94)

Przy warunku (12.94) współczynnik odbicia R (12.81) i transmisji T (12.82) dla rozpraszania niskoenergetycznego możemy zapisać wedle sposobu:

$R={{{{\kappa ^{2}} \over {4k^{2}}}\sin ^{2}2\kappa a} \over {1+{{\kappa ^{2}} \over {4k^{2}}}\sin ^{2}2\kappa a}}\;$

(12.95)

$T={{1} \over {1+{{\kappa ^{2}} \over {4k^{2}}}\sin ^{2}2\kappa a}}\;$

(12.96)

Gdy zachodzi $E\rightarrow 0\;$, dochodzimy do wniosku, że ${{k} \over {\kappa }}\rightarrow 0\;$, co wynika ze wzoru (12.60), to przy tym założeniu współczynniki transmisji i odbicia spełniają warunki:

$R{\xrightarrow[{E\rightarrow 0}]{}}1\;$

(12.97)

$T{\xrightarrow[{E\rightarrow 0}]{}}0\;$

(12.98)

Dla rozpraszania niskoenergetycznego liczba cząstek odbitych od studni potencjału jest ich w istocie sto procent, a liczba cząstek przechodzących jest ich zero.

Zależność współczynnika odbicia R i transmisji T od energii cząstki

(Rys. 12.8) Zależność współczynnika transmisji T od energii cząstki E. Wykres zależności współczynnika transmisji od stosunku energii przez głębokość studni, współczynniki tak dobrano by wykres był wyraźny.

Możemy wykorzystać definicję stałych (12.60)($k^{2}\;$) i (12.61)($\kappa ^{2}\;$), to wzory na współczynnik odbicia R (12.96) i na współczynnik transmisji T (12.95) przy rozpraszaniu niskoenergetycznymi, wiedząc jeszcze, że zachodzi warunek na naszych wspomnianych parametrach:

${{\kappa ^{2}} \over {k^{2}}}={{E+U} \over {E}}\;$

(12.99)

wtedy te owe współczynniki "R" (odbicia) i "T" (transmisji) przedstawiamy dla bardzo dużej głębokości studni potencjału U w zaleności od energii cząstki "R", głębokości studni "U" i szerokości skończonej studni "a" w postaci:

$R={{{{E+U} \over {4E}}\sin ^{2}\left(2{\sqrt {{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}}a\right)} \over {1+{{E+U} \over {4E}}\sin ^{2}\left(2{\sqrt {{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}}a\right)}}\;$

(12.100)

$T={{1} \over {1+{{E+U} \over {4E}}\sin ^{2}\left(2{\sqrt {{2m(E+U)} \over {\hbar ^{2}}}}a\right)}}$

(12.101)

Obok przedstawiono wykresy zależności współczynnika transmisji T od energii cząstki.

Szerokość rezonansów

Ostatni wykres sugeruje, że rezonanse są bardzo cienkie, w tym celu wprowadźmy funkcję, która z oczywistych powodów zależy od energii cząstki E, a także od głębokości studni potencjału:

$f(E)={{1} \over {2}}{\sqrt {{U+E} \over {E}}}\sin \left[2a{\sqrt {{{2m} \over {\hbar ^{2}}}\left(U+E\right)}}\right]\;$

(12.102)

wtedy wyrażenie na współczynnik transmisji T (12.101) dla rozpraszania niskoenergetycznego, ale przy pomocy wzoru (12.102), zapisujemy jako funkcję energii cząstki znajdującej się w skończonej studni potencjału lub poza nią:

$T(E)={{1} \over {1+f^{2}(E)}}\;$

(12.103)

Gdy zachodzą rezonanse (częstości rezonansowe), wtedy T(E)=1 (12.103), co stąd wynika patrząc na nasz wspomniany wzór, że dla funkcji (12.102) własność jest takowa:

$f(E^{rez})=0\;$

(12.104)

Rozwijamy w szereg Taylora funkcję f(E), dla bardzo małych ΔE (wokół punktów rezonansowych E^rez, która jest małą liczbą z porównaniu z energiami rezonansowymi), dla których oczywiście mamy:

$E=E^{rez}+\Delta E\;$

(12.105)

Możemy rozłożyć wzór (12.102) w szereg Taylora wokół punku rezonansowego na podstawie tożsamości zachodzącej wedle (12.105), korzystając przy tym, gdy we wzorze (12.102) mamy energię rezonansową i pomijając w tym szeregu wyrazy drugiego rzędu i wyższe:

$f(E)=f(E^{rez})+\left({{\partial f(E)} \over {\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}\Delta E+...\simeq \left({{\partial f(E)} \over {\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}\Delta E\;$

(12.106)

Transmisja T (12.103) po podstawieniu do niego równania przybliżonego (12.106), który jest spełniony w małym otoczeniu energii rezonansowej, który to wzór przyjmuje postać:

$T(E)={{1} \over {1+(\Delta E)^{2}\left({{\partial f(E)} \over {\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}^{2}}}\;$

(12.107)

Transmisja T (12.107) ma wartość 1/2, zatem powinno być, że iloczyn wielkości ΔE, która jest różnicą energii rezonansu i energii, dla której T(E) przyjmuje maksymalną wartość, przez pochodną funkcji cząstkowej funkcji f(E) względem energii, co obrazujemy:

$(\Delta E)\left({{\partial f(E)} \over {\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}=1\;$

(12.108)

Wyznaczmy pochodną cząstkową funkcji f(E) zdefiniowaną w punkcie (12.106) względem energii cząstki E:

${{\partial f(E)} \over {\partial E}}={{d} \over {dE}}\left({{1} \over {2}}{\sqrt {{U+E} \over {E}}}\sin \left[2a{\sqrt {{{2m} \over {\hbar ^{2}}}\left(U+E\right)}}\right]\right)=\;$
$={{1} \over {2}}\left\{-{{U} \over {2E^{2}}}{\sqrt {{E} \over {U+E}}}\sin \left[2a{\sqrt {{{2m} \over {\hbar ^{2}}}\left(U+E\right)}}\right]+{\sqrt {{U+E} \over {E}}}\cos \left[2a{\sqrt {{{2m} \over {\hbar ^{2}}}\left(U+E\right)}}\right]\cdot 2a{\sqrt {{2m} \over {\hbar ^{2}}}}{{1} \over {2{\sqrt {U+E}}}}\right\}$

(12.109)

Liczymy powyższą pochodną dla rezonansu, jeśli mamy dla 2κa=nπ, to zachodzi na pewno wynikającego z poprzedniego warunku $\sin 2\kappa a=0\;$, czyli również można powiedzieć:

$\cos 2\kappa a=\cos \left[2a{\sqrt {{{2m} \over {\hbar ^{2}}}\left(U+E\right)}}\right]=\pm 1\;$

(12.110)

Pochodną cząstkową wyrażenia (12.102), przy znajomości tożsamości zachodzącej wedle punktu (12.110), dla punktów rezonansowych, można napisać:

$\left({{\partial f(E)} \over {\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}=\pm {{1} \over {2}}{\sqrt {{U+E^{rez}} \over {E^{rez}}}}a{\sqrt {{2m} \over {\hbar ^{2}(U+E^{rez})}}}=\pm {{a} \over {\hbar }}{\sqrt {{m} \over {2E^{rez}}}}\;$

(12.111)

Jeśli zachodzi (12.111), to na podstawie wzoru (12.109) różnica energii pomiędzy rezonansem a wartością wielkości energii E, gdy transmisja T wynosi 1/2, jest napisana wzorem w zależności od energii rezonansowej w sposób:

$\Delta E={{1} \over {\left|\left({{\partial f(E)} \over {\partial E}}\right)_{E=E^{rez}}\right|}}={{\hbar } \over {a}}{\sqrt {{2E^{rez}} \over {m}}}={{\hbar ^{2}} \over {ma}}{\sqrt {{2mE^{rez}} \over {\hbar ^{2}}}}={{\hbar ^{2}} \over {ma}}{k}^{rez}\;$

(12.112)

Szerokość rezonansowa definiujemy jako podwojona wartość bezwzględnej odległości energii rezonansowej od energii, w którym transmisja jest równa wartości połowie jedynki.

$\Gamma =2\Delta E={{2\hbar ^{2}} \over {ma}}{\sqrt {{2mE^{rez}} \over {\hbar ^{2}}}}={{2\hbar ^{2}} \over {ma}}k^{rez}\;$

(12.113)

Jak widzimy, na podstawie wzoru (12.113), że szerokość rezonansu rośnie wraz z energią rezonansową E^rez. Widzimy, że szerokość rezonansów zależy od energii E^rez, w której występuje rezonans, od masy rozważanej cząstki dla studni potencjału, a także od jej szerokości. Wyznaczmy stosunek szerokości połówkowej rezonansu (12.113) przez odległość między rezonansami (12.92):

${{\Gamma } \over {\Delta E^{rez}}}={{2\hbar } \over {a}}{\sqrt {{2E^{rez}} \over {m}}}{{a} \over {\pi \hbar }}{\sqrt {{2m} \over {U}}}={{4} \over {\pi }}{\sqrt {{E^{rez}} \over {V_{0}}}}<<1\;$

(12.114)

bo energia rezonansowa jest o wiele mniejsza niż głębokość studni przy rozpraszaniu niskoenergetycznym, zatem szerokość rezonansowa jest o wiele mniejsza niż odległość pomiędzy rezonansami.