Mechanika kwantowa/Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

Niech operator energii składa się z dwóch części, tzn. z członu niezaburzonego z poprawką do całkowitego Hamiltonianu $\delta {\hat {H}}\;$, co ten cały hamiltonian z zaburzeniem jest:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {H}}'\;$

(20.1)

Parametr λ jest mały w porównaniu z energią stanu niezaburzonego stanu (bez poprawki), to dla stanu niezaburzonego piszemy ją:

${\hat {H}}_{0}\psi _{n}^{(0)}=E_{n}^{(0)}\psi _{n}^{(0)}\;$

(20.2)

Dla stanu zaburzonego jest to równanie własne operatora energii stanu zaburzonego (20.1):

$({\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {H}}')\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}\;$

(20.3)

Funkcja własna stanu zaburzonego da się rozwinąć w szereg potęgowy względem $\lambda \;$:

$\psi _{n}=\psi _{n}^{(0)}+\lambda \psi _{n}^{(1)}+\lambda ^{2}\psi _{n}^{(2)}+\ldots \;$

(20.4)

A energia w stanie zaburzonym, też rozwijamy w szereg Taylora względem tego samego co poprzednio parametru $\lambda \;$, wtedy ta rozwinięta energia:

$E_{n}=E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\ldots \;$

(20.5)

Jeśli mamy równanie własne (20.3), to podstawiając do niego rozwinięcie operatora hamiltonianu zaburzonego ${\hat {H}}\;$ (20.1) i rozwinięcie funkcji $\psi \;$ (20.4), a także rozwinięcie wartości własnej hamiltonianu zaburzonego $E\;$ (20.5) do równania własnego stanu zaburzonego, otrzymujemy:

$({\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {H}}')(\psi _{n}^{(0)}+\lambda \psi _{n}^{(1)}+\lambda ^{2}\psi _{n}^{(2)}+...)=(E_{n}^{0}+\lambda E^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\ldots )(\psi _{n}^{(0)}+\lambda \psi _{n}^{(1)}+\lambda ^{2}\psi _{n}^{(2)}+...)\;$

(20.6)

Dokonajmy teraz odpowiednich wymnożeń i grupowań wyrazów względem potęg $\lambda \;$ równania różniczkowego (20.6) po obu jego stronach:

${\hat {H}}_{0}\psi ^{(0)}+\lambda ({\hat {H}}_{0}\psi _{n}^{(1)}+{\hat {H}}'\psi _{n}^{0})+\lambda ^{2}({\hat {H}}_{0}\psi _{n}^{(2)}+{\hat {H}}'\psi _{n}^{(1)})+...=E_{n}^{(0)}\psi _{n}^{(0)}+\lambda (E_{n}^{(0)}\psi _{n}^{(1)}+E_{n}^{(1)}\psi _{n}^{0})+\;$
$+\lambda ^{2}(E_{n}^{(0)}\psi _{n}^{(2)}+E_{n}^{(1)}\psi _{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)}\psi _{n}^{(0)})+\ldots \;$

(20.7)

Porównajmy obie strony otrzymanego równania (20.7) do siebie względem tych samych potęg parametru $\lambda \;$:

${\hat {H}}_{0}\psi ^{(0)}=E_{n}^{(0)}\psi _{n}^{(0)}\;$

(20.8)

${\hat {H}}_{0}\psi _{n}^{(1)}+{\hat {H}}'\psi _{n}^{0}=E_{n}^{(0)}\psi _{n}^{(1)}+E_{n}^{(1)}\psi _{n}^{0}\;$

(20.9)

${\hat {H}}_{0}\psi _{n}^{(2)}+{\hat {H}}'\psi _{n}^{(1)}=E_{n}^{(0)}\psi _{n}^{(2)}+E_{n}^{(1)}\psi _{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)}\psi _{n}^{(0)}\;$

(20.10)

W bazie funkcji $\psi _{k}^{0}\;$ własnych hamiltonianu niezaburzonego rozwińmy funkcję $\psi _{n}^{(1)}\;$ w sposób:

$\psi _{n}^{(1)}=\sum _{k}a_{k}^{(n)}\psi _{k}^{0}\;$

(20.11)

Wykorzystajmy teraz wzór na rozwinięcie pierwszej pochodnej o numerze n względem funkcji własnej rozwiązania hamiltonianu niezaburzonego (20.11) i podstawiając go (20.9), otrzymujemy:

${\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}+{\hat {H}}_{0}\sum _{k}a_{k}^{(n)}\psi _{k}^{0}=E_{n}^{(0)}\sum _{k}a_{k}^{(n)}\psi _{k}^{0}+E_{n}^{(1)}\psi _{n}^{(0)}\;$

(20.12)

Mając równanie własne (20.2), to równanie (20.12) przyjmuje postać:

${\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}+\sum _{k}a_{k}^{(n)}E_{k}^{(0)}\psi _{k}^{(0)}=E_{n}^{(0)}\sum _{k}a_{k}^{(n)}\psi _{k}^{0}+E_{n}^{(1)}\psi _{n}^{(0)}\;$

(20.13)

Dokonajmy teraz mnożenia powyższego równania obustronnie przez funkcję ${\psi _{l}^{(0)}}^{*}\;$ oraz obie strony tego równania jednocześnie całkując, otrzymujemy:

$\int {\psi _{l}^{(0)}}^{*}{\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}+\sum _{k}a_{k}^{(n)}E_{k}^{(0)}\int {\psi _{l}^{(0)}}^{*}\psi _{k}^{(0)}=E_{n}^{(0)}\sum _{k}a_{k}^{(n)}\int {\psi _{l}^{(0)}}^{*}\psi _{k}^{0}+E_{n}^{(1)}\int {\psi _{l}^{(0)}}^{*}\psi _{n}^{(0)}\;\;$

(20.14)

Wykorzystując, że wektory bazy hamiltonianu niezaburzonego są z ortonormalizowane do delty Kroneckera, to wyrażenie całkowe (20.14), piszemy:

$\int {\psi _{l}^{(0)}}^{*}{\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}+\sum _{k}a_{k}^{(n)}E_{k}^{(0)}\delta _{lk}=E_{n}^{(0)}\sum _{k}a_{k}^{(n)}\delta _{lk}+E_{n}^{(1)}\delta _{ln}\;\;$

(20.15)

Zatem ostatecznie z równania całkowego (20.15) po niezbędnych działaniach dzięki deltom Kroneckera, które to działania należy wykonać, by one możliwie nie występowały, jeśli się da:

$\int {\psi _{l}^{0}}^{*}{\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}d\tau +a_{l}^{(n)}E_{l}^{(0)}=E_{n}^{(0)}a_{l}^{(n)}+E_{n}^{'}\delta _{ln}\;$

(20.16)

Rozpatrzmy dwa przypadki występujące w (20.16), pierwszy przypadek jest dla l=n, a drugi dla warunku $l\neq n\;$. Rozpatrzmy teraz pierwszy przypadek względem ostatniego wspomnianego równania, to w naszym ostatnim równaniu delta Kroneckera staje się równa jeden, ze względu na równość obu parametrów opisujących deltę i to równanie zapisujemy dla tego przypadku:

$\int {\psi _{n}^{0}}^{*}{\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}d\tau +a_{n}^{(n)}E_{n}^{(0)}=E_{n}^{(0)}a_{n}^{(n)}+E_{n}^{'}\;$

(20.17)

Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych wyznaczając $E_{n}^{'}\;$ w (20.17), dostajemy:

$E_{n}^{'}=\int {\psi _{n}^{(0)}}^{*}{\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}d\tau \;$

(20.18)

A zatem poprawka do energii zaburzonego hamiltonianu jest iloczynem parametru $\lambda \;$ i wartości policzonej za pomocą równania (20.18).

$\lambda E_{n}^{'}=\int {\psi _{n}^{(0)}}^{*}(\lambda {\hat {H}}')\psi _{n}^{(0)}d\tau \;$

(20.19)

Teraz rozpatrzmy drugi przypadek według (20.16), tzn. gdy zachodzi warunek $l\neq n\;$, to drugi wyraz lewej strony wspomnianego równania wskaźnikowego znika, ze względu na różność parametrów "l" i "n", co wynika z własności delty Kroneckera, która w tym przypadku jest równa zero.

$\int {\psi _{l}^{0}}^{*}{\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}d\tau +a_{l}^{(n)}E_{l}^{(0)}=E_{n}^{(0)}a_{l}^{(n)}\;$

(20.20)

Policzmy teraz współczynnik $a_{l}^{(n)}\;$ przy pomocy równania (20.20):

$a_{l}^{(n)}(E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)})=\int {\psi _{l}^{(0)}}^{*}{\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}d\tau \;$

(20.21)

A zatem te współczynniki, według tożsamości (20.21), są zależne od energii własnej równania własnego niezaburzonego względem współczynników "n" i "l" i elementu macierzonego ${\hat {H}}_{ln}^{'}\;$ występującego w (20.21), którego to równanie jest definicją wspomnianego elementu macierzowego:

$a_{l}^{(n)}={{\int {\psi _{l}^{(0)}}^{*}{\hat {H}}'\psi _{n}^{(0)}d\tau } \over {E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}}={{{\hat {H}}_{ln}^{'}} \over {E_{n}^{(0)}-E_{l}^{(0)}}}\;$

(20.22)

A także przyjmujemy czynnik rozwinięcia w funkcji stojącej, czyli $\lambda \;$, przy (20.4) w równaniu własnym zaburzonego hamiltonianu względem samych funkcji własnych niezaburzonego hamiltonianu, które są funkcjami własnymi niezaburzonego hamiltonianu wedle (20.11), a zatem poprawka do funkcji falowej jest taka, że nie ma w nim wyrazów dla k=n, które są równe zero, zatem poprawka do omawianej funkcji falowej (20.11) przy definicji współczynników (20.22) przedstawia się jako:

$\lambda \psi _{n}^{'}=\lambda \sum _{k,k\neq n}{{{\hat {H}}_{kn}^{'}} \over {E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\psi _{k}^{0}\;$

(20.23)

W rachunku zaburzeń pierwszego rzędu, na podstawie (20.19) (poprawka do energii własnej danego układu dla niezaburzonego hamiltonianu, stąd otrzymujemy w ten sposób w wyniku obliczeń przybliżonych całkowitą energię opisywanego układu) i (20.23) (poprawka do funkcji własnej do niezaburzonego hamiltonianu), dochodzimy więc do wniosku, że poszczególne energie (wartości własne) i funkcje falowe (funkcje własne) są napisane z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu:

$E_{n}=E_{0}+\lambda E_{n}^{'}=E_{0}+\lambda H_{nn}^{'}\;$

(20.24)

$\psi _{n}=\psi _{n}^{(0)}+\lambda \psi _{n}^{(1)}=\psi _{n}^{(0)}+\lambda \sum _{k,k\neq n}{{{\hat {H}}_{kn}^{'}} \over {E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\psi _{k}^{0}\;$

(20.25)

Napiszmy teraz równanie własne poprawki do operatora całkowitej energii własnej układu, z którego wynikają pewne wartości własne, które są poprawkami do energii własnej układu opisującego przez hamiltonian zaburzony:

$\lambda {\hat {H}}'\psi =E\psi \;$

(20.26)

A kolejne elementy macierzowe operatora $\lambda {\hat {H}}^{'}\;$ przedstawiają się:

$(\lambda {\hat {H}})_{mn}=\int \psi _{m}^{(0)}(\lambda {\hat {H}}')\psi _{n}^{(0)}d\tau \;$

(20.27)

Czyli na podstawie tego możemy policzyć równanie macierzowe, przy czym wiedząc, że ψ jest to macierz funkcji własnych operatora energii, a $\lambda {\hat {H}}^{'}\;$ jest macierzą elementów macierzowych obliczonych przy pomocy wzoru (20.27):

$\lambda {\hat {H}}^{'}\psi =E\psi \Rightarrow (\lambda {\hat {H}}^{'}-{\hat {I}}E)\psi =0\;$

(20.28)

Zastępując operator ${\hat {H}}^{'}\;$ przez macierz $H^{'}\;$ według jej definicji (20.27), a operator jednostkowy w (20.28) macierzą jednostkową $I\;$, a funkcjami własnymi w ten sposób otrzymanego równania jest wektor funkcji własnych równania (20.26):

$(\lambda H^{'}-IE){\vec {\psi }}=0\;$

(20.29)

Musi być jednocześnie spełnione, aby funkcje własne ${\vec {\psi }}\;$ nie były tożsamościowo równe zero w równaniu (20.29):

$\det(\lambda H'-IE)=0\;$

(20.30)

Wyrażenie (20.30) przedstawiamy:

${\begin{vmatrix}\lambda H'_{11}-E&\lambda H'_{12}&\cdots &\lambda H'_{1k}\\\lambda H'_{21}&\lambda H'_{22}-E&\cdots &\lambda H'_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda H'_{k1}&\lambda H'_{k2}&\cdots &\lambda H'_{kk}-E\end{vmatrix}}=0\;$

(20.31)

Z powyższego równania możemy wyznaczyć poprawkę do wartości własnej energii dla całego układu stanu niezaburzonego i dodając właśnie tą poprawkę do całkowitej energii opisywanego przez hamiltonian niezaburzony.