Mechanika kwantowa/Komutacja operatorów fizycznych

Komutacja operatorów fizycznych

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Poniżej przedstawimy komutacje różnych operatorów fizycznych na podstawie definicji komutatorów. Podstawowe wiadomości o komutatorach można znaleźć w module "Wprowadzenie do teorii operatorów liniowych" w książce o metodach matematycznych fizyki, a definicję samego komutatora przestawiamy w punkcie (MMF-15.18) w tejże książce.

Komutacja współrzędnych operatora położenia

Sprawdźmy, czy elementy operatorów położenia komutują się ze sobą i jak się przekonamy rzeczywiście tak jest ze względu, że operatory współrzędnych położeń są zwykłymi operatorami mnożenia:

$\left[q_{k},q_{l}\right]=q_{k}q_{l}-q_{l}q_{k}=0\;$

(7.1)

A zatem na podstawie (7.1) dochodzimy do wniosku, że operatory współrzędnych ze sobą komutują.

$\left[q_{k},q_{l}\right]=0\;$

(7.2)

Wedle (7.2) różne elementy operatora położenia mają tą samą funkcję własną.

Komutacja współrzędnych operatora pędu

Sprawdźmy, czy elementy operatora pędu komutują się ze sobą, jak się przekonamy tak rzeczywiście jest ze względu, że współrzędne operatora pędu z dokładnością do urojonego czynnika, który jest liczbą, jest operatorem pochodnej cząstkowej względem współrzędnej przestrzennej. Ponieważ różniczkowanie tych operatorów w różnych kolejności nie zmienia wyniku, nawet dla tych samych numerów współrzędnych operatora pędu, a dowód tej komutacji:

$\left[p_{k},p_{l}\right]=p_{k}p_{l}-p_{l}p_{k}=\left(-i\hbar {{\partial } \over {\partial q_{k}}}\right)\left(-i\hbar {{\partial } \over {\partial q_{l}}}\right)-\left(-i\hbar {{\partial } \over {\partial q_{l}}}\right)\left(-i\hbar {{\partial } \over {\partial q_{k}}}\right)=-\hbar ^{2}\left({{\partial ^{2}} \over {\partial q_{l}\partial q_{k}}}-{{\partial ^{2}} \over {\partial q_{k}\partial q_{l}}}\right)=0$

(7.3)

Dochodzimy więc do wniosku na podstawie dowodu (7.3), że operatory pędu ze sobą komutują:

$\left[p_{k},p_{l}\right]=0\;$

(7.4)

Na podstawie (7.4) różne elementy (współrzędne) operatora pędu mają tę samą funkcję własną, która jest funkcją własną operatora pędu.

Komutacja współrzędnych operatorów położenia i pędu

Wyznaczmy, jak się przedstawia komutacja operatora położenia i pędu, udowodnimy, że dla różnych numerów współrzędnych tychże operatorów nasz komutator jest równy zero, tak się dzieje ponieważ operator współrzędnej położenia jest w innych zmiennych niż operator pędu. Dla tych samych numerów natomiast te operatory nie komutują ze sobą:

$\left[q_{k},p_{l}\right]=q_{k}p_{l}-p_{l}q_{k}=-i\hbar \left(q_{k}{{\partial } \over {\partial q_{l}}}-{{\partial } \over {\partial q_{l}}}q_{k}\cdot \right)=-i\hbar \left(q_{k}{{\partial } \over {\partial q_{l}}}-q_{k}{{\partial } \over {\partial q_{l}}}-{{\partial q_{k}} \over {\partial q_{l}}}\right)=-i\hbar (-\delta _{kl})=i\hbar \delta _{kl}$

(7.5)

A zatem ostatecznie komutacja współrzędnych operatora pędu i współrzędnych operatora położenia na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie (7.5) jest taka:

$\left[q_{k},p_{l}\right]=i\hbar \delta _{kl}\;$

(7.6)

Na podstawie (7.6) funkcja własna operatora położenia jest funkcją własną inną niż funkcja własna operatora pędu dla tych samych numerów współrzędnych, natomiast dla różnych numerów współrzędnych komutator jak powiedzieliśmy jest równy zero, co oznacza, że te operatory te mają takie same funkcje własne.

Komutacja współrzędnych operatora pędu i momentu pędu

Sprawdźmy, czy zachodzi komutacja współrzędnych operatora pędu i momentu pędu, zatem napiszmy:

$[{\hat {p}}_{i},l_{j}]={\hat {p}}_{i}\epsilon _{jkl}x_{k}{\hat {p}}_{l}-\epsilon _{jkl}x_{k}{\hat {p}}_{l}{\hat {p}}_{i}=\epsilon _{jkl}\left[\left({\hat {p}}_{i}x_{k}\right){\hat {p}}_{l}+x_{k}{\hat {p}}_{i}{\hat {p}}_{l}\right]-\epsilon _{jkl}x_{k}{\hat {p}}_{l}{\hat {p}}_{i}=-\epsilon _{jkl}i\hbar \delta _{ik}{\hat {p}}_{l}=-i\hbar \epsilon _{jil}p_{l}=i\hbar \epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow [{\hat {p}}_{i},l_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijl}{\hat {p}}_{l}$

(7.7)

Powyższy wniosek zachodzi na podstawie komutacji współrzędnych operatorów pędu (7.4). Na podstawie wniosku (7.7) ogólnie operatory współrzędnych pędu i momentu pędu nie komutują ze sobą.

Komutacja współrzędnych operatora momentu pędu

Zdefiniujmy, operator moment pędu (6.43), jeśli wiemy, że operator pędu jest zdefiniowany wedle (6.11), a więc ta nasza rozważana współrzędna operatora momentu pędu przedstawiana za pomocą symbolu Leviego-Civity:

${\hat {l}}_{i}=\left({\hat {r}}\times {\hat {p}}\right)_{i}=-i\hbar \left({\hat {r}}\times \nabla \right)_{i}=-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}\nabla _{k}=-i\hbar \epsilon _{ijk}x_{j}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}$

(7.8)

Ten komutator zdefiniowany jest przy pomocy składowych momentu pędu o składowych i-tej i j-tej, to obliczmy jakiemu operatorowi nasz ten obiekt jest równy:

$\left[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}\right]={\hat {l}}_{i}{\hat {l}}_{j}-{\hat {l}}_{j}{\hat {l}}_{i}=-i\hbar \epsilon _{ikl}x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\left(-i\hbar \epsilon _{jmn}x_{m}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}\right)+i\hbar \epsilon _{jmn}x_{m}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}\left(-i\hbar \epsilon _{ikl}x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\right)=$
$=-\hbar ^{2}\left(\epsilon _{ikl}\epsilon _{jmn}x_{k}x_{m}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{l}\partial x_{n}}}+\epsilon _{ikl}\epsilon _{jmn}x_{k}\delta _{lm}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}-\epsilon _{ikl}\epsilon _{jmn}x_{k}x_{m}{{\partial ^{2}} \over {\partial x_{l}\partial x_{n}}}-\epsilon _{ikl}\epsilon _{jmn}x_{m}\delta _{kn}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\right)=\;$
$=-\hbar ^{2}\left(\epsilon _{ikl}\epsilon _{jmn}x_{k}\delta _{lm}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}-\epsilon _{ikl}\epsilon _{jmn}x_{m}\delta _{kn}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\right)=-\hbar ^{2}\left(\epsilon _{ikl}\epsilon _{jln}x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}-\epsilon _{ikl}\epsilon _{jmk}x_{m}{{\partial } \over {\partial x_{l}}}\right)$

(7.9)

Na drugim wyrazie w (7.9) w nawiasie wykonujemy przemianowania wskaźników l na n i m na k i odwrotne, po to by można było za nawias wyciągnąć wyraz z operatorem pochodnej cząstkowej:

$\left[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}\right]=-\hbar ^{2}\left(\epsilon _{ikl}\epsilon _{jln}x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}-\epsilon _{imn}\epsilon _{jkm}x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}\right)=-\hbar ^{2}\left(\epsilon _{ikl}\epsilon _{jln}-\epsilon _{imn}\epsilon _{jkm}\right)x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}$

(7.10)

Podwójny symbol Leviego-Civity możemy zapisać za pomocą różnicy dwóch iloczynów pewnych w sposób ściśle zdefiniowanych delty Kroneckera wedle sposobu:

$\epsilon _{pil}\epsilon _{ljk}=\delta _{pj}\delta _{ik}-\delta _{kp}\delta _{ij}\;$

(7.11)

Dalej dokonując przesunięć wskaźników i włączania znaku minus w pod nawias, a także wykorzystując definicję podwójnego iloczynu symboli Leviego-Civity, dostajemy:

$\left[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}\right]=\hbar ^{2}\left(\epsilon _{inm}\epsilon _{mkj}-\epsilon _{ikl}\epsilon _{lnj}\right)x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}=\hbar ^{2}\left[\delta _{ik}\delta _{nj}-\delta _{ji}\delta _{nk}+\delta _{in}\delta _{kj}-\delta _{ji}\delta _{kn}\right]x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}=\hbar ^{2}\left(\delta _{ik}\delta _{nj}-\delta _{in}\delta _{kj}\right)x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}=$
$=\hbar ^{2}\epsilon _{ijl}\epsilon _{lkn}x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}=i\hbar \epsilon _{ijl}\left(-i\hbar \epsilon _{lkn}x_{k}{{\partial } \over {\partial x_{n}}}\right)=i\hbar \epsilon _{ijl}{\hat {l}}_{l}=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {l}}_{k}$

(7.12)

Na podstawie obliczeń w (7.12) dostajemy, że komutator dwóch dowolnych współrzędnych operatora momentu pędu wyrażamy przez:

$\left[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {l}}_{k}\;$

(7.13)

Na podstawie wzoru komutacyjnego (7.13) współrzędne operatora momentu pędu nie mają wspólnych funkcji własnych.

Komutacja operatorów kwadratu momentu pędu i pewnej współrzędnej operatora momentu pędu

Rozparzmy teraz komutację operatora kwadratu całkowitego momentu pędu z jakąś współrzędną operatora momentu pędu, wtedy możemy napisać drugi składnik w tym komutatorze, w który jest kwadratem operatora momentu pędu, i tak go rozpisujemy jako sumą składników kwadratów momentów pędów odpowiednich współrzędnych, idąc dalej taki komutator możemy rozpisać na sumę komutatorów, i dalej będziemy korzystać z własności na komutatorach (MMF-15.20), po tych operacjach możemy skorzystać ze wzoru, którego składnikami są współrzędnymi operatorów momentu pędu, czyli według wzoru (7.13). Nasze obliczenia na podstawie tego przeprowadzamy jako:

$\left[{\hat {l}}_{m},{\hat {l}}^{2}\right]=\left[{\hat {l}}_{m},\sum _{j}{\hat {l}}_{j}^{2}\right]=\sum _{j}\left[{\hat {l}}_{m},{\hat {l}}_{j}^{2}\right]=\sum _{j}{\hat {l}}_{j}\left[{\hat {l}}_{m},{\hat {l}}_{j}\right]+\sum _{j}\left[{\hat {l}}_{m},{\hat {l}}_{j}\right]{\hat {l}}_{j}=\sum _{j,k}i\hbar \epsilon _{mjk}{\hat {l}}_{j}{\hat {l}}_{k}+\sum _{j,k}i\hbar \epsilon _{mjk}{\hat {l}}_{k}{\hat {l}}_{j}=\;$
$=\sum _{j,k}i\hbar \epsilon _{mjk}{\hat {l}}_{j}{\hat {l}}_{k}+\sum _{j,k}i\hbar \epsilon _{mkj}{\hat {l}}_{j}{\hat {l}}_{k}=i\hbar \sum _{j,k}(\epsilon _{mjk}l_{j}l_{k}-\epsilon _{mjk}l_{j}l_{k})=i\hbar \cdot 0=0$

(7.14)

Na podstawie dowodu (7.14) operator kwadratu całkowitego momentu pędu z jakimś elementem (jakąś współrzędną) operatora momentu pędu komutują ze sobą:

$\left[{\hat {l}}_{m},{\hat {l}}^{2}\right]=0$

(7.15)

Na podstawie (7.15) funkcja własna jakieś współrzędnej operatora momentu pędu jest taka sama jak dla kwadratu operatora całkowitego momentu pędu.

Komutacja operatorów ciąg dalszy

Mając definicję operatorów współrzędnych momentu pędu, możemy zdefiniować go w oparciu o nie inne operatory, np:${\hat {l}}_{+},{\hat {l}}_{-},{\hat {l}}_{0}\;$ za pomocą operatorów momentu pędu zdefiniowanych wcześniej. Jak powiedzieliśmy wcześniej, operatory:${\hat {l}}_{+}\;$ (6.57) i ${\hat {l}}_{-}\;$ (6.58) nie są hermitowskie. Sprawdźmy komutację ${\hat {l}}_{+}\;$ z ${\hat {l}}_{-}\;$, co dowód przeprowadzamy, korzystając z (7.13), przekonamy się, że on jest równy podwojonemy operatorowi (6.59):

$\left[{\hat {l}}_{+},{\hat {l}}_{-}\right]={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left[{\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y},{\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y}\right]={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left(\left[{\hat {l}}_{x},{\hat {l}}_{x}\right]-i\left[{\hat {l}}_{x},{\hat {l}}_{y}\right]+i\left[{\hat {l}}_{y},{\hat {l}}_{x}\right]+\left[{\hat {l}}_{y},{\hat {l}}_{y}\right]\right)=-i{{2} \over {\hbar ^{2}}}\left[{\hat {l}}_{x},{\hat {l}}_{y}\right]=\;$
$=-i{{2} \over {\hbar ^{2}}}i\hbar {\hat {l}}_{z}={{2} \over {\hbar }}{\hat {l}}_{z}=2{\hat {l}}_{0}$

(7.16)

Sprawdźmy komutację operatora ${\hat {l}}_{0}\;$ (6.59) z operatorem ${\hat {l}}_{+}\;$ (6.57) i jak udowodnimy, równy on jest operatorowi zdefiniowanego w (6.57) korzystając znów ze wzoru wcześniej pokazanego (7.13):

$\left[{\hat {l}}_{0},{\hat {l}}_{+}\right]={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y}\right]={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left(\left[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{x}\right]+i\left[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{y}\right]\right)={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left(i\hbar {\hat {l}}_{y}-ii\hbar {\hat {l}}_{x}\right)={{1} \over {\hbar }}({\hat {l}}_{x}+i{\hat {l}}_{y})={\hat {l}}_{+}$

(7.17)

Sprawdźmy komutację operatora ${\hat {l}}_{0}\;$(6.59) z ${\hat {l}}_{-}\;$(6.58), udowodnimy, że on równy jest operatorowi (6.58) z minusem korzystając co poprzednio jeszcze raz z tożsamości (7.13):

$\left[{\hat {l}}_{0},{\hat {l}}_{-}\right]={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y}\right]={{1} \over {\hbar ^{2}}}\left(\left[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{x}\right]-i\left[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{y}\right]\right)={{1} \over {\hbar }}(i{\hat {l}}_{y}+ii{\hat {l}}_{x})=-{{1} \over {\hbar }}({\hat {l}}_{x}-i{\hat {l}}_{y})=-{\hat {l}}_{-}$

(7.18)

Zatem na podstawie przeprowadzonych obliczeń wedle (7.16), (7.17) oraz (7.18) zachodzą warunki komutacyjne:

$\left[{\hat {l}}_{+},{\hat {l}}_{-}\right]=2{\hat {l}}_{0}\;\;$

(7.19)

$\left[{\hat {l}}_{0},{\hat {l}}_{+}\right]={\hat {l}}_{+}\;$

(7.20)

$\left[{\hat {l}}_{0},{\hat {l}}_{-}\right]=-{\hat {l}}_{-}\;$

(7.21)

Na podstawie (7.19), (7.20), (7.21) operatory ${\hat {l}}_{0}\;$, ${\hat {l}}_{+}\;$, ${\hat {l}}_{-}\;$ nie komutują ze sobą, a więc nie mają wspólnych funkcji własnych.