Mechanika kwantowa/Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przedstawimy tutaj kwantową teorię momentu pędu, przy sumowaniu odpowiedniej liczby momentów pędu. Zapoznamy się ze współczynniki Clebscha-Gordona (sumowanie dwóch wektorów momentu pędu) i współczynniki Racah (sumowanie trzech wektorów momentu pędu).

Dodawanie dwóch momentów pędu a współczynniki Clebscha-Gordona

Mamy dwie wartości własne operatora momentu pędu ${\vec {j}}_{1}\;$ i ${\vec {j}}_{2}\;$, to suma tych wektorów momentów pędu jest przedstawiona:

${\vec {J}}={\vec {j}}_{1}+{\vec {j}}_{2}\;\;$

(22.1)

Całkowita liczba kwantowa charakteryzujący kwadrat całkowitego momentu pędu jest napisana poprzez cząstkowe liczby kwantowe charakteryzujące momenty pędu dla dwóch cząstek:

$J=|j_{1}-j_{2}|,|j_{1}-j_{2}+1|,...,j_{1}+j_{2}-1,j_{1}+j_{2}\;\;$

(22.2)

A magnetyczne liczby kwantowe zetowej współrzędnej operatora momentu pędu względem cząstkowych wartości liczb kwantowych charakteryzujący cząstkowe kwadraty momentów pędów są przestawione:

$-j_{1}\leq m_{1}\leq j_{2}\;\;$

(22.3)

$-j_{2}\leq m_{2}\leq j_{2}\;\;$

(22.4)

Całkowita liczba magnetyczna orbitalnego momentu pędu jest:

$M=m_{1}+m_{2}\;\;$

(22.5)

Można udowodnić, że całkowita magnetyczna liczba falowa spełnia warunek:

$-j_{1}-j_{2}\leq M\leq j_{1}+j_{2}\;$

(22.6)

Funkcja falowa, po złożeniu dwóch momentów pędu operatora całkowitego momentu pędu w zależności od funkcji falowej cząstkowych operatorów momentu pędu $|j_{1}m_{1}\rangle {\mbox{ i }}|j_{2}m_{2}\rangle \;\;$, można ją przestawić jako:

$|(j_{1}j_{2})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{m_{1}=j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{m_{2}=j_{2}}(j_{1}m_{1},j_{2}m_{2}|JM)|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \;\;$

(22.7)

Sumowanie (22.7) jest tak dokonane, by liczba kwantowa całkowitego operatora momentu pędu oraz całkowita magnetyczna liczba kwantowa miały pewną określoną wartość przy ustalonych wartościach momentów magnetycznych cząstkowych.

Współczynniki $(j_{1}m_{1},j_{2}m_{2}|JM)\;$ nazywamy współczynnikami Clebscha-Gordona.

Ortogonalizacja współczynników Clebscha-Gordona

Współczynniki Clebscha-Gordona są symetryczne, tzn. mają wartości rzeczywiste, tzn. współczynnik Clebscha-Gordona ze w sprzężeniem hermitowskim jest równy współczynnikowi bez tego sprzężenia, tzn.:

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM)=(JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2})\;$

(22.8)

Relacje ortogonalizacji współczynników Clebscha-Gordona spełniają zależności:

$\sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle JM|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}\;$

(22.9)

A także spełniają drugą własność:

$\sum _{m_{1}m_{2}}\langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|J'M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.\;$

(22.10)

Przy czym w (22.9) i (22.10) skorzystaliśmy z operatora jedynki zdefiniowanego w (21.33).

Tabela współczynników Clebscha-Gordona

Współczynniki Clebscha-Gordona w sposób bardziej ogólny można je zapisać według wzoru:

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM)={\sqrt {{(2J+1)(J+j_{1}-j_{2})!(J-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}-J)!(J-M)!(J+M)!} \over {(J+j_{1}+j_{2}+1)!}}}\cdot \;$

$\times {\sqrt {(j_{1}+m_{1})!(j_{2}+m_{2})!(j_{1}-m_{1})!(j_{2}-m_{2})!}}\cdot \;$

$\cdot \sum _{n}{{(-1)^{n}} \over {n!(j_{1}+j_{2}-J-n)!(j_{1}-m_{1}-n)!(J-j_{2}+m_{1}+n)!(j_{2}+m_{2}-n)!(J-j_{1}-m_{2}+n)!}}\;$

(22.11)

Wzory rekurencyjne w bardziej szczególnych przypadkach można przedstawić:

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM)=(j_{2}-m_{2}j_{1}-m_{1}|J-M)\;\;$

(22.12)

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}JM)=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}(j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM)\;$

(22.13)

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM)=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}(j_{1}-m_{1}j_{2}-m_{2}|J-M)\;$

(22.14)

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM)=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {{2J+1} \over {2j_{2}+1}}}(j_{1}m_{1}J-M|j_{2}-m_{2})\;$

(22.15)

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM)=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {{2J+1} \over {2j_{1}+1}}}(J-Mj_{2}m_{2}|j_{1}-m_{1})\;$

(22.16)

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM)=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {{2J+1} \over {2j_{2}+1}}}(j_{1}-m_{1}JM|j_{2}m_{2})\;$

(22.17)

$(j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM)=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {{2J+1} \over {2j_{1}+1}}}(j_{2}-m_{2}JM|j_{1}m_{1})\;$

(22.18)

Dodawanie trzech momentów pędu a współczynniki Racah

Złożenie trzech wektorów momentów pędu można przedstawić, jeśli najpierw będziemy dodawać liczby kwantowe operatorów momentów pędu $j_{1}\;$ i $j_{2}\;$ w sposób odpowiedni do $J_{12}\;$, to funkcja falowa całkowitego momentu pędu przy określonych liczbach kwantowych cząstkowych dwóch pierwszych momentów pędu, przy określonym $J_{12}\;$ i $J\;$ i $M\;$ spełnia zależność:

$|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{M_{12}=-J_{12}}^{J_{12}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|(j_{1}j_{2})J_{12}M_{12}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle \langle J_{12}M_{12}j_{3}m_{3}|JM\rangle \;$

(22.19)

Także dodając najpierw liczby kwantowe $j_{2}\;$ i $j_{3}\;$ (dwóch ostatnich momentu pędu) odpowiednio do $J_{23}\;$, dostajemy:

$|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}}|j_{1}m_{1}\rangle |(j_{2}j_{3})J_{23}M_{23}\rangle \langle j_{1}m_{1}J_{23}M_{23}|JM\rangle \;$

(22.20)

Wiemy jednak, że cząstkowe liczby kwantowe zetowego operatora momentu pędu spełniają warunki:

$m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{3}=-j_{3},\ldots ,j_{3}.\;$

(22.21)

Współczynniki: $\langle J_{12}M_{12}j_{3}m_{3}|JM\rangle \;$ a także: $\langle j_{1}m_{1}J_{23}M_{23}|JM\rangle \;$ nazywamy współczynnikami Racah.

Model jednocząstkowego momentu magnetycznego

Związek między operatorem orbitalnego momentu pędy lub spinowego momentu pędu z jego momentem magnetycznym dla orbity lub dla spinu przedstawiamy dla tych dwóch rodzajów momentów pędu:

${\hat {\mu }}_{l}=-{{e} \over {2m_{e}}}{\hat {l}}\;$ :orbita

(22.22)

${\hat {\mu }}_{s}=-{{e} \over {m_{e}}}{\hat {s}}\;$ :spin

(22.23)

Całkowity operator momentu magnetycznego na podstawie (22.22) i (22.23), jest w postaci

${\hat {\mu }}={\hat {\mu }}_{l}+{\hat {\mu }}_{s}=-{{e} \over {2m_{e}}}{\hat {l}}-{{e} \over {m_{e}}}{\hat {s}}=-{{e} \over {2m_{e}}}({\hat {l}}+2{\hat {s}})=-\mu _{B}({\hat {l}}+2{\hat {s}})=-\mu _{B}({\hat {l}}+{\hat {s}}+{\hat {s}})=-\mu _{B}({\hat {j}}+{\hat {s}})\;$

(22.24)

• gdzie:

$\mu _{B}={{e} \over {2m_{e}}}\;$

(22.25)

Przepis (22.25) nazywamy magnetonem Bohra. Jeśli mamy wektor w przestrzeni Hilberta, jako $|lm_{1}sm_{2}\rangle \;$, to działając na niego zetowym operatorem momentu magnetycznego, wtedy:

$\mu _{z}|lm_{1}sm_{2}\rangle =-\mu _{B}(m_{1}+2m_{2})|lm_{1}sm_{2}\rangle \;$

(22.26)

Wartość średnia momentu magnetycznego zetowego jest przedstawiona w sposób:

${\overline {s}}_{z}=\langle (ls)jm|{\hat {s}}_{z}|(ls)jm\rangle =\sum _{m_{1}m_{2}^{'}}(lm_{1}sm_{2}|jm)(lm_{1}^{'}sm_{2}^{'}|jm)(lm_{1}|lm_{1}^{'})(sm_{2}|s_{z}|sm_{2}^{'})=\;$
$=\sum _{m_{1}m_{1}^{'}}(lm_{1}sm_{2}|jm)(lm_{1}^{'}sm_{2}^{'}|jm)\delta _{m_{1}^{'}m_{1}^{'}}\delta _{m_{2}m_{2}^{'}}m_{2}^{'}=\sum _{m_{1}}m_{2}(lm_{1}sm_{2}|jm)^{2}\;$

(22.27)

To średnia wartość momentu magnetycznego współrzędnej zetowej, wykorzystując przy tym (22.24), jest równa:

$\langle (ls)jm|{\hat {\mu }}_{z}|(ls)jm\rangle =-\langle (ls)jm|\mu _{B}({\hat {j}}_{z}+{\hat {s}}_{z})|(ls)jm\rangle =-\mu _{B}\langle (ls)jm|{\hat {j}}_{z}|(ls)jm\rangle -\mu _{B}\langle (ls)jm|{\hat {s}}_{z}|(ls)jm\rangle =\;$
$=-\mu _{B}m-\mu _{B}\langle (ls)jm|{\hat {s}}_{z}|(ls)jm\rangle \;$

(22.28)

Wykorzystując wzory Clebscha-Gordona do wyrażenia (22.27), otrzymujemy:

$\langle (ls)jm|{\hat {s}}_{z}|(ls)jm\rangle =\pm {{m} \over {2l+1}}\;$

(22.29)

Mając średnią wartość na moment spinowy (22.29), to można policzyć średni całkowity moment magnetyczny według wzoru na średnią wartość zetowego momentu magnetycznego wedle wzoru (22.28).

${\overline {\mu }}_{z}=\langle (ls)jm|{\hat {\mu }}_{z}|(ls)jm\rangle =-\mu _{B}m\mp \mu _{B}{{m} \over {2l+1}}=-\mu _{B}m\left(1\pm {{1} \over {2l+1}}\right)\;$

(22.30)

Przyjmuje się według umowy, że moment magnetyczny określamy dla stanu, w którym zetowy moment pędu, a właściwie liczba kwantowa charakteryzująca ten stan, tzn. magnetyczna liczba kwantowa, odpowiedzialnej za zetowy całkowity moment pędu, jest równy całkowitej liczbie kwantowej momentu pędu $j=m\;$, to wzór (22.30) przyjmuje postać:

${\overline {\mu }}_{z}=-\mu _{B}(m=j)\left(1\pm {{1} \over {2l+1}}\right)=-\mu _{B}j\left(1\pm {{1} \over {2l+1}}\right)=-\mu _{B}jg\;$

(22.31)

• Współczynnik giromagnetyczny przyjmuje postać:

$g=1\pm {{1} \over {2l+1}}\;$

(22.32)

Ogólnie współczynnik giromagnetyczny, uwzględniający te dwa przypadki wedle wzoru (22.32) (tzn. z plusem lub z minusem), można zapisać w sposób bardziej ogólny według schematu:

$g=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)} \over {2j(j+1)}}\;$

(22.33)

Całkowity moment pędu "j"jest zależny od orbitalnej liczby kwantowej "l" i spinowej "s" (spin elektronu ma dwa wykluczające sie zwroty) przestawiamy przepisami przy załozeniu, że całkowity moment pędu "j" przedstawiamy w dwojaki sposób:

$j=l+{{1} \over {2}}\;$

(22.34)

$j=l-{{1} \over {2}}\;$

(22.35)

$s={{1} \over {2}}\;$

(22.36)

Udowodnimy, że dla tych "s" (22.36) i "j" (22.34) nasz współczynnik giromagnetyczny (22.33) przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny (22.32), wzbierajc tam plus, który jest zależny tylko od l:

$g_{j=l+{{1} \over {2}},s={{1} \over {2}}}=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)} \over {2j(j+1)}}=1+{{(l+{{1} \over {2}})(l+{{1} \over {2}}+1)-l(l+1)-{{3} \over {4}}} \over {2(l+{{1} \over {2}})(l+{{1} \over {2}}+1)}}=\;$
$=1+{{(l+{{1} \over {2}})(l+{{3} \over {2}})-l(l+1)-{{3} \over {4}}} \over {2(l+{{1} \over {2}})(l+{{3} \over {2}})}}=1+{{l^{2}+{{3} \over {2}}l+{{1} \over {2}}l+{{3} \over {4}}-l^{2}-l+{{3} \over {4}}} \over {2(l+{{1} \over {2}})(l+{{3} \over {2}})}}=1+{{l+{{3} \over {2}}} \over {2(l+{{1} \over {2}})(l+{{3} \over {2}})}}=\;$
$=1+{{l+{{3} \over {2}}} \over {2(l+{{1} \over {2}})(l+{{3} \over {2}})}}=1+{{1} \over {2l+1}}\;$

(22.37)

Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny (22.37) wyraża się wzorem (22.32) (wybierając tam plus) dla całego zestawy $l\;$. Udowodnimy, że dla tych s (22.36) i j (22.35) nasz współczynnik giromagnetyczny (22.33) przechodzi w poprzedni współczynnik giromagnetyczny (22.32), wzbierajc tam minus, który jest zależny tylko od l.

$g_{j=l-{{1} \over {2}},s={{1} \over {2}}}=1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)} \over {2j(j+1)}}=1+{{(l-{{1} \over {2}})(l-{{1} \over {2}}+1)-l(l+1)+{{3} \over {4}}} \over {2(l-{{1} \over {2}})(l-{{1} \over {2}}+1)}}=\;$
$=1+{{l^{2}+{{1} \over {2}}l-{{1} \over {2}}l-{{1} \over {2}}-l^{2}-l+{{3} \over {4}}} \over {2(l-{{1} \over {2}})(l+{{1} \over {2}})}}=1-{{l-{{1} \over {2}}} \over {2(l-{{1} \over {2}})(2l+1)}}=1-{{1} \over {2l+1}}\;$

(22.38)

Udowodniliśmy, że ogólnej postaci nasz współczynnik giromagnetyczny (22.38) wyraża się wzorem (22.32) (wybierając tam minus) dla calego zestawy $l\;$.

W ogólnym przypadku moment magnetyczny cząstki przedstawiamy za pomocą współczynnika żyromagnetycznego orbitalnego $g_{l}\;$ i współczynnika żyromagnetycznego $g_{s}\;$:

${\hat {\mu }}=g_{l}{\hat {l}}+g_{s}{\hat {s}}=g_{l}({\hat {j}}-{\hat {s}})+g_{s}{\hat {s}}=g_{l}{\hat {j}}+g_{s}{\hat {s}}-g_{l}{\hat {s}}=g_{l}{\hat {j}}+(g_{s}-g_{l}){\hat {s}}\;$

(22.39)

Dokonując podobnych rachunków jak poprzednio, możemy dojść do wniosku:

$g=g_{l}\pm {{g_{s}-g_{l}} \over {2l+1}}\;$

(22.40)

Energia sprzężenia spin-orbita w polu magnetycznym

Energia układu o pewnym momencie magnetycznym przedstawiana jest wzorem (19.5), zatem operator energii jednocząstkowego modelu w polu magnetycznego zapisujemy:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+D{\hat {l}}{\hat {s}}+{{e} \over {2m_{e}}}{\vec {B}}\left({\hat {l}}+2{\hat {s}}\right)\;$

(22.41)

• gdzie hamiltonian w (22.41) w centralnym polu elektrycznym jądra atomowego wodoru.

${\hat {H}}_{0}=-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{e}}}\nabla ^{2}-{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\;$

(22.42)

Widzimy, że w hamiltonianie (22.41) uwzględniono oddziaływanie orbity ze spinem elektronu (drugi wyraz naszego hamiltonianu ${\hat {H}}\;$), a także uwzględniono oddziaływanie całkowitego momentu magnetycznego (wraz z momentem magnetycznym pochodzących od spinu elektronu) z polem magnetycznym zewnętrznym (trzeci wyraz rozważanego hamiltonianu).

Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku silnego pola magnetycznego

Jeśli pole magnetyczne jest takie, że w (22.41) czwarty wyraz jest o wiele większy niż jego drugi składnik, biorąc pod uwagę, że kwantowe momenty pędu spinowego czy orbitalnego są rzędu stałej kreślonej Plancka.

${{e\hbar } \over {2m_{e}}}>>|D|\hbar ^{2}\;$

(22.43)

We wzorze (22.43) uwzględniono, że oddziaływanie spin-orbita nie jest na tyle mocne od oddziaływania momentu magnetycznego elektronu w polu jadra atomowego w polu silnego zewnętrznego pola magnetycznego. W tym przypadku zaburzeniem w rachunku zaburzeń dla rozważanego hamiltonianu (22.41) nazywamy wyrażenie:

$\delta {\hat {H}}=D{\hat {l}}{\hat {s}}\;$

(22.44)

Cały hamiltonian wraz zaburzeniem uwzględniający wzór (22.44), przyjmuje postać:

${\hat {H}}={\hat {H}}^{'}+\delta {\hat {H}}\;$

(22.45)

• gdzie pierwszy wyraz (operator) w (22.45) jest hamiltonianem niezaburzonym i jest zdefiniowany:

${\hat {H}}^{'}={\hat {H}}_{0}+{{e{\vec {B}}} \over {2m_{e}}}({\hat {l}}+2{\hat {s}})\;$

(22.46)

Jeśli założymy, że pole magnetyczne jest zwrócone wzdłuż osi z, to hamiltonian niezaburzony zdefiniowany wedle definicji (22.46) zapisujemy w postaci:

${\hat {H}}^{'}={\hat {H}}_{0}+{{eB_{z}} \over {2m_{e}}}({\hat {l_{z}}}+2{\hat {s}}_{z})\;$

(22.47)

Równanie własne przy operatorze (22.47) jest dobrze znane i rozwiązane jest podobne do tego, gdy nie ma spinowego momentu pędu wedle rozdziału Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana. Energia własna operatora (22.47) wraz zaburzeniem do tej energii przyjmuje postać:

$E=E^{'}+\delta E\;$

(22.48)

• gdzie $E^{'}\;$ jest to wartość własna dla równania własnego (22.47).

Energia własna hamiltonianu niezaburzonego jest zapisana:

$E^{'}=E_{n}+{{e\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}(m_{l}+2m_{s})\;$

(22.49)

• Ale $E_{n}\;$ jest to dobrze znana energia rozpatrywana dla atomu wodoru bez uwzględniania jego spinu i bez oddziaływania spin-orbita.

A zaburzenie do energii, który należy dodać do wartości własnej hamiltonianu, która razem z tą poprawką jest opisywana przez hamiltonian zaburzony (22.48):

$\delta E=D\langle nlm_{l}sm_{s}|{\hat {l}}{\hat {s}}|nlm_{l}sm_{s}\rangle \;$

(22.50)

Wyznaczmy więc to zaburzenie według wzoru (22.50), tak by wyznaczyć wzór (22.48) na całkowitą energię zaburzonego hamiltonianu:

$\langle nlm_{l}sm_{s}|{\hat {l}}{\hat {s}}|nlm_{l}sm_{s}\rangle =\sum _{j^{'}j}\langle lm_{l}sm_{s}|jm\rangle \langle lm_{l}sm_{s}|j^{'}m\rangle \langle nlsjm|{\hat {l}}{\hat {s}}|nlsj^{'}m\rangle =\sum _{j}{{\hbar ^{2}} \over {2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]{\langle lm_{l}sm_{s}|jm\rangle }^{2}=\;$
$=(-1)^{m_{s}-{{1} \over {2}}}{{m_{l}} \over {2}}\hbar ^{2}\;$

(22.51)

Wzór na całkowitą energię w silnym polu magnetycznym (założenie (22.43)) przedstawia się:

$E=E_{n}+{{eB_{z}\hbar } \over {2m_{e}}}(m_{l}+2m_{s})+(-1)^{m_{s}-{{1} \over {2}}}{{m_{l}} \over {2}}\hbar ^{2}D\;$

(22.52)

Energia sprzężenia spin-orbita w przypadku słabego pola magnetycznego

Jeśli pole magnetyczne jest takie, że trzeci wyraz (22.41) od drugiego wyrazu są takiego rzędu, że ten pierwszy jest o wiele mniejszy niż drugi:

${{e\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}<<|D|\hbar ^{2}\;$

(22.53)

Powyżej wykorzystano, że momenty pędu, czy to spinowe, czy to orbitalnego momentu pędu są rzędu kreślonej stałej Plancka. Widzimy, że pole magnetyczne jest na tyle słabe od oddziaływania spin-orbita, to Hamiltonian (22.41) wraz zaburzeń zapisujemy:

${\hat {H}}={\hat {H}}^{'}+\delta {\hat {H}}\;$

(22.54)

Pierwszy wyraz we wyrażeniu (22.54) jest napisany wedle schematu:

${\hat {H}}^{'}={\hat {H}}_{0}+D{\hat {l}}{\hat {s}}\;$

(22.55)

Zaburzenie w (22.54) (drugi wyraz) w całkowitym hamiltonianie zaburzonym jest równe:

$\delta {\hat {H}}={{eB_{z}} \over {2m_{2}}}({\hat {l}}_{z}+2{\hat {s}}_{z})\;$

(22.56)

Energia zaburzenia dla operatora zaburzonego (22.56), zapisujemy wedle wzoru (20.18):

$\delta E=\langle nlsjm|\delta {\hat {H}}|nlsjm\rangle \;$

(22.57)

A całkowita energia układu jądra z elektronem jest równa energii jako wartości hamiltonianu niezaburzonego (22.55) wraz zaburzeniem zdefiniowanym w punkcie (22.57).

$E=E^{'}+\delta E\;$

(22.58)

Wartość własna stanu niezaburzonego według poprawki obliczonej w (22.57) cząstki ze spinem, gdy mamy oddziaływanie spinu z orbitą wedle wzoru (18.86), mamy tutaj na myśli tylko samą poprawkę, tylko zamiast oscylatora harmonicznego tutaj mamy na myśli elektron krążący wokół jądra atomowego, ale poprawka jest ta sama.

$E^{'}=E_{n}+\hbar ^{2}{{D} \over {2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]\;$

(22.59)

Na podstawie wcześniej obliczonego średniej wartości zetowego momentu pędu ${\overline {\mu }}_{z}\;$ (spin i orbita) ale przedtem musimy wykorzystać definicję momentu magnetycznego (22.31) ze współczynnikiem zdefiniowanej w sposób ogólny wedle wzoru (22.54), wtedy poprawka do energii własnej operatora energii, czyli wartości własnej zaburzenia hamiltonianu:

$\delta E={{em\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}\left[1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)} \over {2j(j+1)}}\right]\;$

(22.60)

Całkowita energia wraz z obliczonym zaburzeniem do energii hamiltonianu niezaburzonego (22.60) jest równa:

$E=E_{n}+\hbar ^{2}{{D} \over {2}}\left[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\right]+{{em\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}\left[1+{{j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)} \over {2j(j+1)}}\right]\;$

(22.61)