Mechanika kwantowa/Równanie Ehrenfesta

Równanie Ehrenfesta

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Równanie Ehrenfesta 2Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu bez potencjału wektorowego magnetycznego 3Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu z potencjałem wektorowym i skalarnym magnetycznym

Tutaj wyznaczymy równanie Ehrenfesta dla operatora ${\hat {O}}\;$ gdy jest jakiś operator energii ${\hat {H}}\;$(Hamiltonian) oraz zastosujemy go to cząstki w polu elektrycznym i magnetycznym o potencjale skalarnym elektrycznym $\varphi \;$ lub też innym potencjale, które ogólnie piszemy przez $V(r)\;$, i potencjale elektrycznym wektorowym ${\vec {A}}\;$. W szczególności potencjał magnetyczny ${\vec {A}}\;$ jest równy zero.

Równanie Ehrenfesta

Wiemy, że wartość średnia operatora ${\hat {O}}$ przy zadanych funkcjach falowych w mechanice kwantowej, jest zdefiniowana wzorem (10.1), więc dokonajmy wyliczenia pochodnej zupełnej względem czasu tejże omawianej średniej względem czasu, tą pochodną zupełną wkładamy pod całkę po prawej stronie definicji używanej tutaj wielkości, zamieniając ją na pochodną cząstkową względem czasu wyrażenia podcałkowego, który występuje pod całką, i który to z kolei z twierdzenia pochodnej iloczynu możemy tą wielkość bardziej rozpisać:

${{d{\overline {O}}} \over {dt}}=\int \left\{{{\partial \psi ^{*}} \over {\partial t}}{\hat {O}}\psi +\psi ^{*}{\hat {O}}{{\partial \psi } \over {\partial t}}+\psi ^{*}{{\partial {\hat {O}}} \over {\partial t}}\psi \right\}d\tau$

(13.1)

Z równania falowego zależnego od czasu wyznaczmy pochodną czasową funkcji czasowej z równania (11.1), czyli te równania (11.82) (równanie falowe zależne od czasu) i (11.83) (sprzężone po zespolonemu równanie falowe zależne od czasu) podstawiamy do równania (13.1), otrzymujemy inne wynikowe równanie:

${{d{\overline {O}}} \over {dt}}=\int \left[\left({{i} \over {\hbar }}\right){\hat {H}}^{*}\psi ^{*}{\hat {O}}\psi +\int \psi ^{*}{\hat {O}}{{-i} \over {\hbar }}{\hat {H}}\psi +\int \psi ^{*}{{\partial {\hat {O}}} \over {\partial t}}\psi \right]d\tau =\int \left[\psi ^{*}\left({{i} \over {\hbar }}{\hat {H}}\right){\hat {O}}\psi +\int \psi ^{*}{\hat {O}}{{-i} \over {\hbar }}{\hat {H}}\psi +\int \psi ^{*}{{\partial {\hat {O}}} \over {\partial t}}\psi \right]d\tau$

(13.2)

Korzystając z definicji komutatora równanie (13.2) przechodzi w równoważne bardziej mniej skomplikowane równanie, którego jak widzimy, że średnia wartość danego operatora zależy od wartości średniej komutatora $\left[{\hat {H}},{\hat {O}}\right]\;$ i od wartości średniej pochodnej cząstkowej względem czasu operatora dla której liczymy tą średnią:

${{d{\overline {O}}} \over {dt}}=\int \psi ^{*}\left[{{i} \over {\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {O}}]+{{\partial {\hat {O}}} \over {\partial t}}\right]\psi d\tau$

(13.3)

Biorąc definicję wartości średniej (10.1) znane z mechaniki kwantowej jako postulat trzeci, to równanie na zmianę wartości średniej w czasie (13.3) przechodzi w równoważne równanie:

${{d{\overline {O}}} \over {dt}}={{i} \over {\hbar }}{\overline {[{\hat {H}},{\hat {O}}]}}+{\overline {{\partial {\hat {O}}} \over {\partial t}}}$

(13.4)

Jeśli zachodzi (13.4) dla wartości średniej operatora ${\hat {O}}\;$, to zmiana operatora ${\hat {O}}\;$ w czasie policzona jest jako pochodna zupełna:

${{d{\hat {O}}} \over {dt}}={{i} \over {\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {O}}]+{{\partial {\hat {O}}} \over {\partial t}}\;$

(13.5)

Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu bez potencjału wektorowego magnetycznego

Niech operator ${\hat {O}}$ będzie operatorem pędu ${\hat {p}}\;$, który nie zależy od czasu, zatem policzmy komutator dla Hamiltonianu z definiowanego w (6.38), gdy potencjał wektorowy magnetyczny jest równy zero:

$\left[{\hat {H}},{\hat {p}}\right]_{i}=\left({{{\hat {p}}^{2}} \over {2m}}+V(r)\cdot \right){\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{i}\left({{{\hat {p}}^{2}} \over {2m}}+V(r)\cdot \right)={{{\hat {p}}^{2}{\hat {p}}_{i}} \over {2m}}+V(r){\hat {p}}_{i}-{{{\hat {p}}_{i}{\hat {p}}^{2}} \over {2m}}-{\hat {p}}_{i}V(r)\cdot =-{\hat {p}}_{i}V(r)\cdot +V(r){\hat {p}}_{i}=\;$
$=-({\hat {p}}_{i}V(r))-V(r){\hat {p}}_{i}+V(r){\hat {p}}_{i}=-({\hat {p}}_{i}V(r))=-(-i\hbar )\nabla _{i}V(r)$

(13.6)

Wyliczony komutator w (13.6) podstawiamy do równania (13.4) i po krótkich przekształceniach dochodzimy do wniosku, że pochodna zupełna średniej pędu względem czasu jest równa średniej z gradientu potencjału skalarnego V(r):

${{d{\overline {p}}} \over {dt}}={{i} \over {\hbar }}i\hbar {\overline {\nabla V(r)}}\Rightarrow {{d{\overline {p}}} \over {dt}}=-{\overline {\operatorname {grad} V(r)}}$

(13.7)

Powyższy średni gradient można potraktować jako definicję siłę znanej z mechaniki klasycznej Newtona:

${\vec {F}}=-\operatorname {grad} V(r)$

(13.8)

A średnią wielkość operatora pędu oznaczmy jako pęd cząstki znany z tej samej mechaniki co poprzednio i w ten sposób dostaliśmy drugie prawo dynamiki Newtona.

Równanie Ehrenfesta dla cząstki w polu z potencjałem wektorowym i skalarnym magnetycznym

Niech operator ${\hat {O}}\;$ będzie operatorem pędu klasycznego ${\hat {p}}_{kl}={\hat {p}}-q{\vec {A}}\;$, zatem policzmy komutator dla Hamiltonianu z definiowanego w (6.41), gdy potencjał wektorowy magnetyczny nie jest równy w ogólności zero:

$[{\vec {H}},{\hat {p}}-q{\vec {A}}]_{i}=\left({{({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}+q\varphi \right)\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)_{i}-\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)_{i}\left({{({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}} \over {2m}}+q\varphi \right)={{1} \over {2m}}\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}({\hat {p}}_{i}-qA_{i})+\;$
$+q\varphi ({\hat {p}}_{i}-qA_{i})-{{1} \over {2m}}({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}-({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}q\varphi ={{1} \over {2m}}\left[\left({\hat {p}}-q{\vec {A}}\right)^{2}({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}-({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\right]+\;$
$+q\varphi ({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}-({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}q\varphi ={{1} \over {2m}}\left[\left({\hat {p}}^{2}-q{\hat {p}}{\vec {A}}-q{\vec {A}}{\hat {p}}+q^{2}{\vec {A}}^{2}\right)({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}-({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}({\hat {p}}^{2}-q{\hat {p}}{\vec {A}}-q{\vec {A}}{\hat {p}}+q^{2}{\vec {A}}^{2})\right]+\;$
$+q\varphi {\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{i}q\varphi ={{1} \over {2m}}{\Bigg [}{\hat {p}}^{2}{\hat {p}}_{i}-q{\hat {p}}{\vec {A}}{\hat {p}}_{i}-q{\vec {A}}{\hat {p}}{\hat {p}}_{i}+q^{2}{\vec {A}}^{2}{\hat {p}}_{i}-q{\hat {p}}^{2}A_{i}+q^{2}{\hat {p}}{\vec {A}}A_{i}+q^{2}{\vec {A}}{\hat {p}}A_{i}-q^{3}{\vec {A}}^{2}A_{i}-{\hat {p}}_{i}{\hat {p}}^{2}+{\hat {p}}_{i}q{\hat {p}}{\vec {A}}+\;$
$+{\hat {p}}_{i}q{\vec {A}}{\hat {p}}-{\hat {p}}_{i}q^{2}{\vec {A}}^{2}+qA_{i}{\hat {p}}^{2}-A_{i}q^{2}{\hat {p}}{\vec {A}}-A_{i}q^{2}{\vec {A}}{\hat {p}}+A_{i}q^{3}{\vec {A}}^{2}{\Bigg ]}+q\varphi {\hat {p}}_{i}-q({\hat {p}}_{i}\varphi )-q\varphi {\hat {p}}_{i}={{1} \over {2m}}{\Bigg [}q{\hat {p}}({\hat {p}}_{i}{\vec {A}})+q({\hat {p}}_{i}{\vec {A}}){\hat {p}}+\;$
$-q^{2}({\hat {p}}_{i}{\vec {A}}^{2})-q{\hat {p}}({\hat {p}}A_{i})-q({\hat {p}}A_{i}){\hat {p}}+q^{2}A({\hat {p}}A_{i})+q^{2}{\vec {A}}({\hat {p}}A_{i}){\Bigg ]}+i\hbar q\nabla _{i}\varphi ={{1} \over {2m}}{\Bigg [}{\bigg (}q({\hat {p}}-q{\vec {A}})({\hat {p}}_{i}{\vec {A}})+\;$
$+q({\hat {p}}_{i}{\vec {A}})({\vec {p}}-q{\vec {A}}){\bigg )}+2q^{2}{\vec {A}}({\hat {p}}_{i}{\vec {A}})-2q^{2}{\vec {A}}({\hat {p}}_{i}{\vec {A}})-{\Bigg (}q({\hat {p}}-q{\vec {A}})({\hat {p}}A_{i})+q({\hat {p}}A_{i})({\hat {p}}-q{\vec {A}}){\Bigg )}-2q^{2}{\vec {A}}({\hat {p}}A_{i})+\;$
$+2q^{2}{\vec {A}}({\hat {p}}{\vec {A}}_{i}){\Bigg ]}+i\hbar q\nabla _{i}\varphi =-qi\hbar {\Bigg \{}{{1} \over {2}}\left[q{\hat {v}}(\nabla _{i}{\vec {A}})+(\nabla _{i}{\vec {A}}){\hat {v}}\right]-{{1} \over {2}}\left[({\hat {v}}\nabla )A_{i}+((\nabla A_{i})({\hat {v}}))\right]{\Bigg \}}+i\hbar q\nabla _{i}\varphi =\;$
$=-qi\hbar {\Bigg \{}{{1} \over {2}}{\bigg [}{\hat {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})-(\nabla \times {\vec {A}})\times {\hat {v}}{\bigg ]}_{i}-\nabla _{i}\varphi {\Bigg \}}$

(13.9)

Gdzie ${\hat {v}}={{{\hat {p}}-q{\vec {A}}} \over {m}}\;$ jest to operator prędkości. Napiszemy pochodną zupełną wartości średniej operatora pędu klasycznego czyli różnicy operatora pędu i iloczynu ładunku i potencjału elektrycznego na podstawie równania Ehrenfesta (13.5):

${{d{\overline {({\hat {p}}-q{\vec {A}})}}} \over {dt}}=q{\overline {{{1} \over {2}}\left[{\hat {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})-(\nabla \times {\vec {A}})\times {\hat {v}}\right]}}+q{\overline {\left(-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right)}}\;$

(13.10)

Siła występujące w (13.10) nazywamy kolejno średnią siłą magnetyczną i elektryczną (pamiętając przy okazji, że rotacja potencjału magnetycznego jest to po prostu indukcja magnetyczna), co one są równe:

${\overline {{\vec {F}}_{mag}}}=q{\overline {{{1} \over {2}}\left[{\hat {v}}\times (\nabla \times {\vec {A}})-(\nabla \times {\vec {A}})\times {\hat {v}}\right]}}=q{\overline {{{1} \over {2}}\left[{\hat {v}}\times {\vec {B}}-{\vec {B}}\times {\hat {v}}\right]}}$

(13.11)

${\overline {{\vec {F}}_{el}}}=q{\overline {\left(-\nabla \varphi -{{\partial {\vec {A}}} \over {\partial t}}\right)}}=q{\overline {\vec {E}}}\;$

(13.12)

A ponieważ średnia wartość ${\overline {{\hat {p}}-q{\vec {A}}}}\;$ jest to po prostu średnia wartość operatora pędu klasycznego ${\overline {\hat {p}}}_{kl}\;$. Stąd na podstawie średnich sił (13.11) i (13.12) wzór (13.10) możemy przedstawić w postaci:

${{d{\overline {{\hat {p}}_{kl}}}} \over {dt}}={\overline {{\vec {F}}_{mag}}}+{\overline {{\vec {F}}_{el}}}\;$

(13.13)

Co wzór (13.13) zgadza się z przestawieniem drugiej zasady dynamiki Newtona, tylko, że prawo (13.13) jest dla wartości średnich, a prawa Newtona dla dokładnych.