Mechanika kwantowa/Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje

Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Fala asymptotyczna i jego przekrój różniczkowy i całkowity

Przez σ(φθ) oznaczamy liczbę cząstek rozproszonych w jednostce czasu, w jednostce kąta bryłowego przypadającego na jednostkę strumienia padającego nazywamy różniczkowym przekrojem czynnym. Całkowitym przekrojem czynnym nazywamy całkę po różniczkowym przekroju czynnym względem kąta bryłowego po całym możliwym kącie bryłowym jakie może zachodzić w rozważanym przypadku:

$\sigma =\int \sigma (\phi \theta )d\Omega$

(32.1)

Kątem bryłowym nazywamy wyrażenie zdefiniowanej jako infinitezymalna powierzchnia na sferze podzielona przez promień krzywizny tej powierzchni:

$d\Omega ={{dS} \over {r^{2}}}={{r\sin \phi d\theta rd\phi } \over {r^{2}}}={{r^{2}\sin \phi d\theta d\phi } \over {r^{2}}}=\sin \phi d\theta d\phi \;$

(32.2)

Weźmy pod oszczał równanie własne operatora energii (8.123) i pomnóżmy go przez odwrotność wyrażenia będącego kombinacją masy cząstki badanej i jednej stałej fizycznej: $-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}$, otrzymamy równość:

$\left\{\nabla ^{2}-V(r){{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right\}\psi =-E{{2m} \over {\hbar ^{2}}}\psi$

(32.3)

W otrzymanym równaniu (32.3) przenosimy wyraz z prawej strony w tym równaniu różniczkowym, który jest funkcją energii własnej równania własnego operatora energii, na jego lewą stronę dając równanie:

$\left\{\nabla ^{2}+{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}-{{2mV(r)} \over {\hbar ^{2}}}\right\}\psi =0$

(32.4)

Następnie wprowadźmy poniższe oznaczenia stałej k² i W(r) poprzez energię własną cząstki (pierwsze oznaczenie) i przez energię potencjalną cząstki (drugie oznaczenie), które będą nam potrzebne do dalszych obliczeń:

$k^{2}={{2mE} \over {\hbar ^{2}}}$

(32.5)

$W(r)={{2mV(r)} \over {\hbar ^{2}}}$

(32.6)

Przy oznaczeniach powyższych (32.5) (k²) i (32.6) (W(r)) do równania (32.4), to wspomniane równanie zapisujemy:

$\left\{\nabla ^{2}+k^{2}-W(r)\right\}\psi =0$

(32.7)

Połóżmy jako rozwiązanie równania różniczkowego (32.7) jako sumę rozwiązań funkcji bez energii potencjalnej (W(r)=0) dla fali płaskiej rozchodzącej się równoległe do osi "z" i z zaburzeniem zależnym od promienia r względem kulistego układu współrzędnych, możemy go zapisać w postaci:

$\psi \sim e^{ikz}+f(\phi ){{e^{ikr}} \over {r}}$

(32.8)

Druga cześć (32.8) przedstawia falę kulistą zależną od położenia radialnego r cząstki. Ponieważ kwadrat modułu funkcji falowej jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki, a zatem infinitezymalne prawdopodobieństwo w pewnym elemencie objętości na jednostkę czasu jest równe:

$\left|{{f(\phi )e^{ikz}} \over {r}}\right|^{2}vdS={{|f(\phi )|^{2}} \over {r^{2}}}vdS=v|f(\phi )|^{2}d\Omega$

(32.9)

Różniczkowym przekrojem czynnym nazywamy liczbę cząstek rozproszonym w jednostce czasu i kąta bryłowego, czyli v|f(φ)|², przypadające na jednostkę strumienia padającego "v" przez strumień padający "v", zatem przekrojem czynnym, korzystając z definicji kąta bryłowego (32.2), nazywamy wyrażenie:

$\sigma (\phi )d\Omega ={{v|f(\phi )|^{2}d\Omega } \over {v}}=|f(\phi )|^{2}d\Omega \;$

(32.10)

Zatem przekrój czynny na podstawie (32.10), wyraża się jako kwadrat modułu funkcji f(φ), który występuje w wyrażeniu (32.8):

$\sigma (\phi )=|f(\phi )|^{2}\;$

(32.11)

A całkowity przekrój czynny, według (32.1), wyraża się jako całka z przekroju różniczkowego z definiowanej przez (32.11):

$\sigma =\int \sigma (\phi )d\Omega =d\Omega =\int |f(\phi )|^{2}d\Omega \;$

(32.12)

Asymptotyczne rozwiązanie Hamiltonianu a przybliżenie Borna

Rozwiązaniem własnym hamiltonianu (operatora energii) jest przybliżenie:

$\psi =\psi _{0}+\psi _{1}\;$

(32.13)

• gdzie ψ₀ jest to rozwiązanie hamiltonianu niezaburzonego, czyli operatora energii kinetycznej,
• ψ₁ jest to rozwiązanie hamiltonianu zaburzonego o człon energii potencjalnej.

Możemy wykorzystać wzór (32.7) oraz przybliżenie (32.13), można zapisać wspomniane pierwsze równanie wedle sposobu:

$\left\{\nabla ^{2}+k^{2}-W(r)\right\}\psi =0\Rightarrow \left\{\nabla ^{2}+k^{2}-W(r)\right\}\left(\psi _{0}+\psi _{1}\right)=0$

(32.14)

Po dalszych przekształceniach wzoru (32.14), tzn. wykorzystując twierdzenie rozdzielności mnożenia względem dodawania, otrzymujemy:

$\left\{\nabla ^{2}+k^{2}\right\}(\psi _{0}+\psi _{1})-W(r)(\psi _{0}+\psi _{1})=0\Rightarrow \left\{\nabla ^{2}+k^{2}\right\}\psi _{0}+\left\{\nabla ^{2}+k^{2}\right\}\psi _{1}-W(r)(\psi _{0}+\psi _{1})=0$

(32.15)

Wykorzystajmy warunek na ψ₀ w (32.15), który jest rozwiązaniem wynikających z równania na operator energii kinetycznej (hamiltonianu niezaburzonego), tzn. z równania wynikającego z równania własnego energii kinetycznej, których to rozwiązaniem jest funkcja falowa ψ₀.

$\left\{\nabla ^{2}+k^{2}\right\}\psi _{0}=0$

(32.16)

Udowodnimy, czy rzeczywiście równanie (32.16) jest równaniem własny operatora energii kinetycznej, jak założyliśmy wcześniej, zatem to równanie różniczkowe przy pomocy oznaczenia stałej k² wedle (32.5) piszemy:

$\left\{\nabla ^{2}+{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\right\}\psi =0\Rightarrow -{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\psi _{0}=E\psi \;$

(32.17)

Co kończy nasz dowód.

Możemy wykorzystać wzór (32.16) przy pisaniu wzoru (32.15), dostaniemy inne wynikowe równanie:

$\left\{\nabla ^{2}+k^{2}\right\}\psi _{1}=W(r)(\psi _{0}+\psi _{1})=0$

(32.18)

Korzystając że w rachunku zaburzeń, dowiadujemy się, że funkcja ψ₁ jest zbyt małą funkcją w porównaniu z funkcją ψ₀, czyli ψ₀>>ψ₁, czyli ze ścisłego równania różniczkowego dochodzimy do równania przybliżonego wynikającego ze wzoru (32.17):

$\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi _{1}=W(r)\psi _{0}$

(32.19)

Rozwiązaniem niezaburzonego równania własnego hamiltonianu dla fali płaskiej rozchodzącą się równolegle do osi "z", jest napisana w postaci rozwiązania:

$\psi _{0}=e^{ikz}\;$

(32.20)

Równanie (32.19) przy pomocy rozwiązania niezaburzonego hamiltonianu (32.20) zapisujemy:

$\left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\psi _{1}=W(r)e^{ikz}$

(32.21)

Rozwiązaniem równania (32.21) jest rozwiązanie w postaci funkcji (MMF-20.7), bo wykorzystaliśmy przybliżenie (32.13) i obliczoną funkcję Greena (31.19) dla równania nieratywistycznego Schrödingera ze znakiem plus w eksponensie, bo interesują nas fale rozchodzące się od źródła, zatem poprawka rozwiązania do rozwiązania fali płaskiej jest zapisana w sposób:

$\psi _{1}=\int W(r)e^{ikz}G({\vec {r}},{\vec {r}}^{'})d^{3}{\vec {r}}^{'}=-{{1} \over {4\pi }}\int W(r^{'})e^{ikx}{{e^{ik_{0}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}} \over {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\;$

(32.22)

Całe przybliżone rozwiązanie równania (32.7) z poprawką do fali płaskiej rozchodzących się od źródła (32.22) wyraża się wedle równania:

$\psi (r)=e^{ikz}-{{1} \over {4\pi }}\int W(r^{'})e^{ikx}{{e^{ik_{0}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}} \over {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}d^{3}{\vec {r}}^{'}$

(32.23)

wyznaczmy czemu jest równy kwadrat modułu różnicy wektora ${\vec {r}}\;$ i ${\vec {r}}^{'}\;$, gdy mamy do czynienia z bardzo dużą odległością r od źródła fal. Z dobrym przybliżeniem dla bardzo dużych odległości od środka układu kulistego można zapisać przybliżenie:

$|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|^{2}\simeq |{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|r$

(32.24)

Ale i też z drugiej strony można powiedzieć, wiedząc co to jest kwadrat modułu różnicy wektora, i dalej będziemy robić przekształcenia, jak podnieść tą różnice do kwadratu ze wzorów skróconego mnożenia:

$|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|^{2}=r^{2}+{r^{'}}^{2}-2{\vec {r}}{\vec {r}}^{'}\simeq r^{2}+{r^{'}}^{2}-{r^{'}}{r^{'}}-{\vec {r}}{\vec {r}}^{'}=r^{2}-{\vec {r}}{\vec {r}}^{'}$

(32.25)

Zatem na podstawie (32.24) i (32.25), zapisujemy na pewno:

$|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|r\simeq r^{2}-{\vec {r}}{\vec {r}}^{'}$

(32.26)

Rysunek obrazujący przybliżenie (32.27).

Równanie (32.26) dzielimy obustronnie przez wielkość r, otrzymujemy:

$|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|\simeq r-{{{\vec {r}}{\vec {r}}^{'}} \over {r}}$

(32.27)

Widzimy na rysunku obok, że różnica ${\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}\;$ jest prawie równoległa do ${\vec {r}}\;$, zatem ta nasza różnica dwóch wektorów nieprimowanego i primowanego jest równa różnicy dwóch wektorów równoległych, a wartość tej różnicy, tzn. różnicy długości r i małego odcinka jest widoczna na rysunku, tak jak we wzorze (32.27).

Pomnóżmy obustronnie (32.27) przez k, wtedy wprowadzamy pewne oznaczenia co do parametru ${\vec {k}}^{'}\;$, pamiętając o tym, otrzymujemy:

$k|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|\simeq kr-k{{{\vec {r}}{\vec {r}}^{'}} \over {r}}=kr-{\vec {k}}^{'}r^{'}$ bo ${\vec {k}}^{'}=k{{\vec {r}} \over {r}}$

(32.28)

Wyznaczmy wyrażenie poniżej w sposób przybliżony, korzystając przy tym z wyrażenia przybliżonego występującego (32.28), zatem:

${{\exp(ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|)} \over {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}={{k\exp(i(kr-{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'}))} \over {kr-{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'}}}={{k\exp(ikr)} \over {kr-{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'}}}\exp(-{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\simeq {{e^{ikr}} \over {r}}e^{-{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'}}$

(32.29)

Przybliżenie (32.29) możemy wykorzystać do wzoru na funkcję (32.23), która jest rozwiązaniem równania różniczkowego (32.7), przy dokonywaniu obliczeń:

$\psi =e^{ikz}-{{1} \over {4\pi }}\int {{e^{ikr}} \over {r}}e^{-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'}}W(r^{'})e^{ikz^{'}}d^{3}{\vec {r}}^{'}=e^{ikz}-{{1} \over {4\pi }}{{e^{ikr}} \over {r}}\int e^{-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'}}e^{ikz^{'}}W(r^{'})d^{3}{\vec {r}}^{'}=\;$
$=e^{ikz}-{{1} \over {4\pi }}{{e^{ikr}} \over {r}}\int e^{i(kz^{'}-{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})}W(r^{'})d^{3}{\vec {r}}^{'}$

(32.30)

Porównujemy obliczenia (32.30) do (32.8), które te wzory oznaczają to samo, zatem dostajemy wzór na funkcję f(φ), która jak się przekonamy poniżej jest całką po całej trójwymiarowej przestrzeni trzywymiarowej względem wektora wodzącego primowanego ${\vec {r}}^{'}\;$:

$f(\phi )=-{{1} \over {4\pi }}\int e^{i(kz^{'}-{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})}W(r^{'})d^{3}{\vec {r}}^{'}$

(32.31)

Doszliśmy do wniosku, że przybliżenie asymptotyczne Borna (32.8) jest twierdzeniem prawdziwym (dla odległości od źródła dla r bardzo dużych).

Również można udowodnić, że zachodzi tożsamość:

$kz^{'}-{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'}=k_{x}x^{'}-k_{y}y^{'}-(k_{z}-k)z^{'}={\vec {n}}{\vec {r}}^{'}$

(32.32)

W wyrażeniu (32.32) prowadziliśmy definicję wektora ${\vec {n}}\;$, którego definicja jest napisana poniżej, i ten wektor jest zależny od liczby falowej k fali płaskiej bez zaburzenia wraz z wielkościami współrzędnych primowanych $k_{i}^{'}\;$ zdefiniowanej wedle opisu (32.28):

${\vec {n}}=\left(k_{x}^{'},-k_{y}^{'},-(k_{z}^{'}-k)\right)$

Możemy wykorzystać wyrażenie (32.32) i podstawić go do wzoru (32.31), wtedy dostajemy bardziej uproszczone wyrażenie na funkcję f(φ).

$f(\phi )=-{{1} \over {4\pi }}\int e^{i{\vec {n}}{\vec {r}}^{'}}W({\vec {r}}^{'})d^{3}{\vec {r}}^{'}$

(32.33)

Wprowadźmy taki układ, w którym wektor ${\vec {n}}$ ma kierunek równoległy do osi zetowej, wtedy całkę (32.33) we współrzędnych kulistych możemy policzyć w sposób bardzo łatwy i przyjemny.

$f(\phi )=-{{1} \over {4\pi }}\int e^{inr^{'}\cos(\phi ^{'})}W(r^{'})\sin \phi ^{'}d\phi ^{'}d\theta ^{'}{r^{'}}^{2}dr^{'}={{1} \over {4\pi }}\int e^{inr^{'}\cos \phi ^{'}}W(r^{'})d\cos \phi ^{'}d\theta ^{'}{r^{'}}^{2}dr^{'}=\;$
$={{1} \over {4\pi }}\int \left[{{e^{inr^{'}\cos \phi ^{'}}} \over {inr^{'}}}\right]_{0}^{\pi }W(r^{'}){r^{'}}^{2}dr^{'}d\theta ^{'}={{1} \over {4\pi }}\int \left({{e^{-inr^{'}}-e^{inr^{'}}} \over {inr^{'}}}\right)W(r^{'}){r^{'}}^{2}dr^{'}d\theta ^{'}=\;$
$=-{{1} \over {2\pi }}\int \left({{e^{inr^{'}}-e^{-inr^{'}}} \over {2inr^{'}}}\right)W(r^{'}){r^{'}}^{2}dr^{'}d\theta ^{'}=-{{1} \over {2\pi }}\int {{\sin nr^{'}} \over {nr^{'}}}{r^{'}}^{2}W(r^{'})dr^{'}d\theta ^{'}=-\int {{\sin nr^{'}} \over {nr^{'}}}{r^{'}}^{2}W(r^{'})dr^{'}$

(32.34)

Policzmy czemu jest równy kwadrat wektora ${\vec {n}}\;$, czyli będziemy wyznaczać wielkość n², zatem nasze obliczenia, które przeprowadziliśmy poniżej, doprowadzą nasz do zależności tej wielkości tylko od współrzędnych kątowej i od liczby falowej fali materii rozchodzącej się wzdłuż osi zetowej.

$n^{2}=(k_{x}^{'})^{2}+{k_{y}^{'}}^{2}+(k-k_{z}^{'})^{2}={k_{x}^{'}}^{2}+{k_{y}^{'}}^{2}+{k_{z}^{'}}^{2}+k^{2}-2k_{z}^{'}k={k^{'}}^{2}+k^{2}-2kk_{z}^{'}\simeq k^{2}+k^{2}-2kk_{z}^{'}=2k^{2}-2kk_{z}^{'}=\;$
$=2k^{2}-2kk\cos \phi =2k^{2}(1-\cos \phi )=4k^{2}\sin ^{2}{{\phi } \over {2}}$

(32.35)

Ostatecznie otrzymujemy długość wektora ${\vec {n}}\;$, zdefiniowanego wcześniej:

$n\simeq 2k\sin {{\phi } \over {2}}$

(32.36)

Udowodniliśmy, że wektor zdefiniowany według wzoru powyżej ma długość zależną od stałej k (liczby falowej fali) i od kąta zenitalnego φ.

Rozwinięcie w falach cząstowych S,P,D,...

Rozwinięcie funkcji rozwiązania operatora energii kinetycznej

Rozwinięcie funkcji e^ikz w bazie funkcji ortogonalnych Legendre'a (MMF-9.33) piszemy wedle wzoru (MMF-11.78), które określiliśmy w punkcie w podręczniku z metod matematycznych fizyki, którego wzór ten przypomnimy tutaj dla przejrzystości dalszego toku wykładu:

$e^{ikz}=\sum _{l=0}^{\infty }i^{n}(2l+1){{\sin \left(kr-l{{\pi } \over {2}}\right)} \over {kr}}P_{l}(\phi )\;$

(32.37)

Asymptotyczne rozwinięcie funkcji falowej rozwiązania Hamiltonianu

Poszukujemy rozwiązania asyptotycznego równania różniczkowego (32.7), który zapisujemy jako iloczyn funkcji kątowej (Lagrange'a) i radialnej, w którym zapisujemy w sposób ogólny jako rozwiązania dla ściśle określonej liczby kwantowej orbitalnego momentu pędu:

$\psi _{l}=P_{l}(\cos \phi )F_{l}(r)\;$

(32.38)

Niech funkcja zależąca od współrzędnej radialnej F_l(r) w układzie współrzędnych kulistych dla tożsamości (32.38) spełnia warunek poprzez funkcję R(r) w sposób:

$F_{l}(r)={{R(r)} \over {r}}\Rightarrow R(r)=rF_{l}(r)$

(32.39)

Ponieważ ∇²=Δ jest zdefiniowany według równania (6.51) we współrzędnych kulistych, wtedy nasze rozważane równanie różniczkowego (32.7), które wynika z równania własnego mechaniki kwantowej klasycznej, jeśli wykorzystamy wartości własne operatora momentu pędu poprzez liczby kwantowe "l", przyjmuje postać:

${{d^{2}R(r)} \over {dr^{2}}}+\left[k^{2}-W(r)-{{l(l+1)} \over {r^{2}}}\right]R(r)=0$

(32.40)

Dla dużych r funkcja W(r) nie pozostawia śladów w asymptotycznym rozwiązaniu (32.38), bo ona spełnia warunek w granicy dla położenia radialnego nieskończonego:

$\lim _{r\rightarrow \infty }W(r)=0$

(32.41)

Zatem funkcja F_l(r) ma bardzo podobną asymptotyczną podstać do funkcji f_l(r) (32.53), ale w funkcji sinus występuje przesunięcie w fazie, zatem tą funkcję zapisujemy wedle sposobu:

$F_{l}(r){\xrightarrow[{r\rightarrow \infty }]{}}{{1} \over {kr}}\sin(kr-{{1} \over {2}}l\pi +\alpha _{l})$

(32.42)

Rozłóżmy funkcję własną ψ w bazie funkcji (32.38), bo stany kwantowe orbitalnej liczby kwantowej mogą być różne, a więc całkowita funkcja jest kombinacją liniową funkcji ψ_l, która jest rozwiązaniem pełnym dla równania różniczkowego (32.7), ale już na pewno dla równania różniczkowego (32.40), zatem:

$\psi (r,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }B_{l}P_{l}(\cos \phi )F_{l}(r)={{1} \over {kr}}\sum _{l=0}^{\infty }B_{l}P_{l}(\cos \phi )\sin(kr-{{1} \over {2}}l\pi +\alpha _{l})$

(32.43)

Całkowita funkcja własna dla równania różniczkowego (32.7), jest przedstawiana według (32.8), przekształcając ją odpowiednio, by wyznaczyć drugi składnik tej sumy, można zapisać:

${{f(\phi )} \over {r}}e^{ikr}=\psi (r,\phi )-e^{ikz}$

(32.44)

Wykorzystajmy rozwinięcie odjemnika w (32.44) według rozważań w (32.43) i rozwinięcia funkcji fali płaskiej w bazie funkcji Legendre'a (32.37), wtedy równanie powyższe pomnożoną obustronnie przez promień r zapisujemy:

$f(\phi )e^{ikr}={{1} \over {k}}\sum _{l=0}^{\infty }\left\{-(2l+1)i^{l}\sin(kr-{{1} \over {2}}\pi l)+B_{l}\sin(kr-{{1} \over {2}}\pi l+\alpha _{l})\right\}P_{l}(\cos \phi )$

(32.45)

Zdefiniujmy tożsamość, która zależy od położenia radialnego r w układzie kulistych zdefiniowanej za pomocą zmiennej ρ_l:

$k\rho _{l}=kr-{{1} \over {2}}l\pi$

(32.46)

Wtedy wyrażenie (32.45), na podstawie napisanej tożsamości zapisanej w punkcie (32.46), zapisujemy:

$f(\phi )e^{ikr}={{1} \over {k}}\sum _{l=0}^{\infty }\left\{-(2l+1)i^{l}\sin(k\rho _{l})+B_{l}\sin(k\rho _{l}+\alpha _{l})\right\}P_{l}(\cos \phi )$

(32.47)

Jeśli będziemy dokonywać operacji zastępowania funkcji sinus przez jego odpowiednik przy pomocy eksponensów, którego jego potęgi o podstawie liczby "e" mają wykładniki, które są liczbami urojonymi:

$\sin(x)={{e^{ix}-e^{-ix}} \over {2i}}$

(32.48)

wtedy wyrażenie (32.47) na podstawie tożsamości znanej z algebry (32.48) zapisujemy na pewno według:

$f(\phi )e^{ikr}={{1} \over {2ki}}\sum _{l=0}^{\infty }\left\{e^{ik\rho }\left[B_{l}e^{i\alpha _{l}}-(2l+1)i^{l}\right]-e^{-ik\rho }\left[B_{l}e^{-i\alpha _{l}}-(2l+1)i^{l}\right]\right\}P_{l}(\cos \phi )$

(32.49)

Aby prawa strona równania (32.49) była bardzo podobna do jego lewej strony tegoż równania, to drugi wyraz występujący we wspomnianym wzorze musi się zerować, zatem na podstawie tego wniosku, otrzymujemy warunek na stałe B_l zależne od liczby kwantowej l.

$B_{l}=e^{i\alpha _{l}}(2l+1)i^{l}$

(32.50)

Wiedząc coś o współczynnikach (32.50), wtedy drugi wyraz zeruje się, a pozostaje pierwszy wyraz wzoru (32.49), w takim przypadku funkcję zapisaną poniżej redukuje się do prostszej tożsamości niż poprzednio:

$f(\phi )e^{ikr}={{1} \over {2ik}}\sum _{l=0}^{\infty }e^{ik\rho _{l}}(2l+1)i^{l}(e^{2i\alpha _{l}}-1)P_{l}(\cos \phi )$

(32.51)

Można udowodnić, że na podstawie definicji parametru kρ_l wprowadzonej w punkcie (32.46), że zachodzi tożsamość:

$e^{ik\rho _{l}}i^{l}=e^{kr-{{1} \over {2}}\pi l}e^{{{1} \over {2}}il\pi }=e^{kr-{{1} \over {2}}\pi l+{{1} \over {2}}il\pi }=e^{ikr}$

(32.52)

A także można zapisać inną znowu tożsamość korzystając z tożsamości znanej z algebry (32.48), która jest definicją sinusa z argumentu x w zależności od funkcji eksponencjalnych, w takim przypadku ta nasza rozważane wyrażenie piszemy:

${{1} \over {2i}}\left(e^{2i\alpha _{l}}-1\right)={{1} \over {2i}}e^{\alpha _{l}}\left(e^{i\alpha _{l}}-e^{-i\alpha _{l}}\right)=e^{i\alpha _{l}}{{e^{i\alpha _{l}}-e^{-i\alpha _{l}}} \over {2i}}=e^{i\alpha _{l}}\sin \alpha _{l}$

(32.53)

Aby napisać (32.51) należy skorzystać z tożsamości udowodnionych w punktach (32.52) i (32.53), wtedy dochodzimy do wniosku, że zachodzi wzór na f(φ)e^ikr, który jest:

$f(\phi )e^{ikr}={{1} \over {k}}\sum _{l=0}^{\infty }e^{ikr}(2l+1)\sin \alpha _{l}e^{i\alpha _{l}}P_{l}(\cos \phi )$

(32.54)

Dzielimy teraz obustronnie (32.54) przez wyrażenie będące eksponentem z liczby ikr, czyli będącej wyrażeniem e^ikr, otrzymujemy równość:

$f(\phi )={{1} \over {k}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\sin \alpha _{l}e^{i\alpha _{l}}P_{l}(\cos \phi )$

(32.55)

Znając funkcję f(φ) (32.55) w rozwiązaniu (32.8) równania różniczkowe pełnego (ogólnego) (32.7), w ten sposób mamy całkowitą funkcją falową równania własnego falowego dla dużych wartości promienia wodzącego, czyli mamy rozwiązanie asymptotyczne, które dąży do właściwego rozwiązania dla r→∞.