Mechanika kwantowa/Podstawy mechaniki kwantowej

Podstawy mechaniki kwantowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

W tym rozdziale przedstawimy podstawowe prawa mechaniki kwantowej będące podwalinami tejże teorii.

Zasada Huygensa

(Rys. 1.1) Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków.

(Rys. 1.2) Dyfrakcja falowa według zasady Huygensa.

Zasada Huygensa mówi, iż punkt (żółte kropki), do którego dotarła rozchodząca się fala, jest znów źródłem nowych fal. Poszczególne fale ulegają superpozycji, oznacza to, że ich odchylenia od stanu normalnego dodają się jak liczby zespolone, jako w bazie dyskretnej (1.1) i ciągłej (1.2):

$\psi ({\underline {x}},t)=\sum _{i}\psi _{i}^{'}({\underline {x}},t)\;$

(1.1)

$\psi ({\underline {x}},t)=\int _{\underline {k}}\psi ^{'}({\underline {x}},t,{\underline {k}})d^{n}{\underline {k}}\;$

(1.2)

Albo w bazie dyskretno-ciągłej (1.3):

$\psi ({\underline {x}},t)=\sum _{i}\psi _{i}^{'}({\underline {x}},t)+\int _{\underline {k}}\psi ^{'}({\underline {x}},t,{\underline {k}})d^{n}{\underline {k}}\;$

(1.3)

Ogólnie superpozycję dowolnej liczby fal zakładając, że $\psi _{i}^{'}\;$ określa funkcję falową znalezienia cząstki w fali prawdopodobieństwa, wiedząc, że bazę funkcji wszystkich $\psi _{i}^{'}\;$, które są wykorzystane w (1.1), można znormalizować, bo one tworzą przestrzeń liniową tych wersorów bazowych, a więc (1.1) można zapisać w funkcjach bazy:

$\psi ({\underline {x}},t)=\sum _{i}c_{i}\psi _{i}({\underline {x}},t)\;$

(1.4)

Lub w postaci ciągłej, tzn. gdy parametr charakteryzujący poszczególne fale jest wielkością ciągłą:

$\psi ({\underline {x}},t)=\int c({\underline {k}})\psi ({\underline {x}},t,{\underline {k}})d^{n}{\underline {k}}\;$

(1.5)

Lub mówiąc inaczej w (1.1) (suma) i (1.2) (całka) normalizujemy funkcje falowe (tutaj nazwiemy je bazowymi) do siebie ortogonalne (w mechanice kwantowej są tylko takie), wtedy przy funkcjach falowych pojawiają się współczynniki w sumie (baza dyskretna) i całce (baza ciągła), takie, by końcowa uzyskana funkcja była równoważna z tą początkową. Stąd zgodnie z zasadą Huygensa końcowe równanie (1.4) w bazie dyskretnej i (1.5) w bazie ciągłej, a także (1.7) w bazie dyskretno-ciągłej, spełniają mechanikę kwantową, w której te wnioski są przyjęte jako postulat o funkcjach falowych. Jeśli założymy, iż wielkość ${\underline {k}}\;$ jest skalarem, a ${\underline {x}}\;$ jest wektorem wodzącym w przestrzeni trójwymiarowej, to ${\vec {r}}={\underline {x}}\;$, wówczas ostatnie równanie będzie miało postać następującą:

$\psi ({\vec {r}},t)=\int c(k)\psi ({\vec {r}},t,k)dk\;$

(1.6)

Gdy funkcja falowa jest sumą części dyskretnej opisanej wzorem (1.4) i ciągłej (1.5), wtedy końcowe równanie na całkowitą funkcje falową, wiedząc, że funkcja falowa dyskretna i ciągła są do siebie ortogonalne:

$\psi ({\underline {x}},t)=\psi _{d}({\underline {x}},t)+\psi _{c}({\underline {x}},t)=\underbrace {\sum _{i}c_{i}\psi _{i}({\underline {x}},t)} _{\psi _{d}({\underline {x}},t)}+\underbrace {\int c({\underline {k}})\psi ({\underline {x}},t,{\underline {k}})d^{n}{\underline {k}}} _{\psi _{c}({\underline {x}},t)}\;$

(1.7)

$\int _{V}\psi _{d}({\underline {x}},t)\psi _{c}({\underline {x}},t)dV=0\;$

(1.8)

$1=\int _{V}\left|\psi ({\underline {x}},t)\right|^{2}dV\;$

(1.9)

Jeśli założymy, iż wielkość ${\underline {k}}\;$ jest skalarem, a ${\underline {x}}\;$ jest wektorem wodzącym w przestrzeni trójwymiarowej, to ${\vec {r}}={\underline {x}}\;$, wówczas ostatnie równanie będzie miało postać następującą:

$\psi ({\vec {r}},t)=\psi _{d}({\vec {r}},t)+\psi _{c}({\vec {r}},t)=\underbrace {\sum _{i}c_{i}\psi _{i}({\vec {r}},t)} _{\psi _{d}({\vec {r}},t)}+\underbrace {\int c(k)\psi ({\vec {r}},t,k)dk} _{\psi _{c}({\vec {r}},t)}\;$

(1.10)

$\int _{V}\psi _{d}({\vec {r}},t)\psi _{c}({\vec {r}},t)dV=0\;$

(1.11)

$1=\int _{V}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right|^{2}dV\;$

(1.12)

Łatwo zauważyć, że tożsamość (1.10) wynika bezpośrednio z (1.7).

Dualizm korpuskularno-falowy

Dualizm korpuskularno-falowy jest cechą obiektów fizycznych, np. fotonów czy elektronów, polegającą na tym, iż w pewnych sytuacjach wykazują one cechy cząstek (korpuskuł), a w innych sytuacjach cechy fal. Mechanika kwantowa, przewiduje, iż cząstka nie musi zachowywać się tylko i wyłącznie jak fala czy cząstka, lecz może jednocześnie spełniać cechy stanu pośredniego. Wówczas nie należy stosować ani teorii Huygensa (teoria fal), ani mechaniki klasycznej (teoria Newtona lub Einsteina w zależności od prędkości cząstki klasycznej), lecz w tym celu należy posłużyć się mechaniką kwantową (klasyczną lub relatywistyczną, w zależności od wartości prędkości, jaką taka cząstka posiada).

Energia kwantu energii w zależności od częstotliwości kołowej lub częstości fali

Wiadomo, że fotony są cząstkami o charakterze korpuskularnym. Według teorii Plancka energię takiego fotonu zapisujemy jako funkcję jej częstości zdefiniowanej jako odwrotność jej okresu drgań. Jeśli fotony przyjmiemy jako fale, to energia cząstki wiążąca jej charakter korpuskularny z jej charakterem falowym jest przedstawiana według zależności skwantowanej:

$E=h\nu \;$

(1.13)

Jeśli zdefiniujemy częstotliwość kołową fali fotonów jako stosunek liczby 2π przez okres drgań omawianej fali, to jego energię w zależności od jej częstotliwości kołowej drgań o stałej proporcjonalności równej stałej kreślonej Plancka jest zdefiniowana jako $\hbar ={{h}/{2\pi }}\;$, ta energia korpuskułów będących fotonami jest równa:

$E=h\nu =h{{1} \over {T}}={{h} \over {2\pi }}{{2\pi } \over {T}}=\hbar \omega \;$

(1.14)

Zatem na podstawie (1.14) energią fotonu z jej częstotliwością kołową jest przedstawiana wedle sposobu:

$E=\hbar \omega \;$

(1.15)

Należy pamiętać, że wzory (1.13) (wiążących energię korpuskułu z jej częstością przy stałej proporcjonalności stałej Plancka) i (1.14) (wiążących energię korpuskuły z jej częstotliwością kołową przy stałej proporcjonalności stałej kreślonej Plancka) są ze sobą równoważne, tylko ten pierwszy wyraża się poprzez częstość fali fotonów, a drugi przez częstotliwość kołową fali fotonów.

Efekt fotoelektryczny

(Rys. 1.3) Zjawisko efektu fotoelektrycznego opisanego przez Alberta Einsteina

W efekcie fotoelektrycznym fotony o energii $h\nu \;$ (bo (1.13)) trafiają na ekran o pracy wyjścia W, i wybijają z niego elektrony o prędkościach v. Część energii takiego fotonu o tej średniej energii jest marnowana na pracę wyjścia elektronu z metalu, a pozostałość na energię kinetyczną wybitego obiektu, zatem korzystając z zasady zachowania energii i z wyrażenia na klasyczną energię kinetyczną elektronu, to z zasady zachowania energii mamy wzór:

$h\nu ={{mv^{2}} \over {2}}+W\;$

(1.16)

Energię kinetyczną rozpatrujemy według mechaniki klasycznej a nie relatywistycznej, bo energia średnia takiego fotonu nie jest o wiele większa od energii spoczynkowej rozważanego elektronu.

Fale de Broglie'a

Energia fotonu w zależności od jej częstości fali fotonów jest tak jak we wzorze (1.13). Według wzoru (1.13) energia fotonu jest zależna liniowo od jego częstości fali fotonów, jeśli potraktować fotony jako fale mający pewną długość fali pędzących z prędkością fazową c, a więc mających pewną częstość. Według szczególnej teorii względności jego energia całkowita względem jej masy relatywistycznej (foton nie ma masy spoczynkowej, jego masa spoczynkowa jest równa zero) można przedstawić jako cząstki pędzące z prędkością grupową c napisaną według:

$E=mc^{2}\;$

(1.17)

Wzory (1.13) i (1.17) przedstawiają tą samą energię fotonu, raz jako fale pędzące z prędkością fazową równą c, a za drugim razem jako cząstki pędzące z prędkością grupową c, więc możemy je przyrównać do siebie, dostajemy:

$h\nu =mc^{2}\;$

(1.18)

Wiemy, z definicji częstości dla fotonów pędzących z prędkością światła (prędkość fazowa), co można ją przedstawić od długości fali światła pędzących z prędkością światła:

$\nu ={{1} \over {T}}={{c} \over {cT}}={{c} \over {\lambda }}\Rightarrow \nu ={{c} \over {\lambda }}\;$

(1.19)

Podstawiając wzór (1.19) przedstawiający częstość fali fotonów w zależności od długości fali tegoż obiektu do (1.18), to dostajemy równoważne równanie:

${{hc} \over {\lambda }}=mc^{2}\;$

(1.20)

Skracając obustronnie równanie (1.20) przez stałą prędkości światła w próżni c, to ono przyjmuje postać wiążącą długość fali fotonów w zależności o jej masy relatywistycznej:

${{h} \over {\lambda }}=mc\;$

(1.21)

Ponieważ pęd fotonu jest wyrażony według wzoru $p=mc\;$ występującą w szczególnej teorii względności dla cząstek bezmasowych, to wzór na pęd fotonu możemy wykorzystać do wzoru (1.21) podstawiając za tą wielkość, by otrzymać pęd fotonu w zależności od długości fali fotonów pędzących z prędkością światła, zatem:

${{h} \over {\lambda }}=p\;$

(1.22)

Z równania de Broglie'a (1.22) możemy wyznaczyć długość fali fotonów, która jest przedstawiana w zależności od pędu fotonów, wtedy:

$\lambda ={{h} \over {p}}\;$

(1.23)

Powyższe równanie jest słuszne tylko dla fotonu (dla cząstek nie mającej masy spoczynkowej i ładunku), ale można je uogólnić dla dowolnej cząstki o masie spoczynkowej różnej od zera dla cząstek mających ładunek $q\;$, czyli zachodzi: $m_{0}\neq 0\;$, wtedy oznaczenia dla równania (1.23) dla dowolnej cząstki:

• $p\;$- to jest pęd uogólniony relatywistyczny lub nierelatywistyczny cząstki,
• $h\;$- stała Plancka,
• $\lambda \;$- długość fal materii de Broglie dla dowolnej cząstki, jeśli potraktować cząstki masowe lub fotony jako fale o pewnej długości fali i prędkości fazowej.

Zapiszmy pęd uogólniony cząstki w zależności od jej liczby falowej znając jej definicję oraz stałą kreśloną Plancka:

$p={{h} \over {\lambda }}=h{{1} \over {\lambda }}={{h} \over {2\pi }}{{2\pi } \over {\lambda }}=\hbar k\;$

(1.24)

Zatem pęd uogólniony cząstki jest napisany w zależności od wartości liczby falowej:

$p=\hbar k\;$

(1.25)

Ale wiadomo, że wektory ${\vec {p}}\;$ (pęd uogólniony cząstki) i ${\vec {k}}\;$ (wektor liczby falowej) są współliniowe i mają te same zwroty), to równanie (1.25) wektorowo możemy zapisać w postaci:

${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}\;$

(1.26)

Oczywiste jest, że wzór skalarny (1.25) wynika ze wzoru wektorowego (1.26). Napiszmy wzór na energię mechaniczną cząstki znanego z mechaniki klasycznej przy pomocy wzoru (1.26). Energia kinetyczna z definicji jest ona wyrażona przy pomocy pędu klasycznego danej cząstki . Jeśli wektor pędu uogólnionego wyrazimy przy pomocy wzoru wektorowego, czyli równania (1.26), to jego energia mechaniczna w zależności od liczby falowej przy istnieniu potencjału magnetycznego, jeśli potraktować cząstki jako fale materii o pewnej długości $\lambda \;$, zapisujemy dla teorii Newtona w postaci:

$\hbar \omega =E=T+U=\sum _{i}{{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}=\;$
$=\sum _{i}\underbrace {{(\hbar {\vec {k}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}} _{T}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\;$

(1.27)

A dla teorii Einsteina:

$\hbar \omega =E=E_{r}+E_{p}=\sum _{i}{\sqrt {c^{2}({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}=\;$
$=\sum _{i}{\sqrt {c^{2}(\hbar {\vec {k}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}$

(1.28)

Widzimy, że wzór na energię mechaniczną jest zależny od masy ciała, liczby falowej jeśli traktować cząstki jako fale de Broglie'a, ładunku cząstki oraz potencjału elektrycznego i magnetycznego.

Ciało doskonale czarne według Plancka

Foton jest bozonem więc w dowolnym stanie może znajdować się $n=0,1,2,...,\infty \;$fotonów, a więc energia tych fotonów w tym stanie jest skwantowana tzn. jest zależna od całkowitego współczynnika $n\;$ i częstości fotonów, jeśli potraktować je jako fale, przedstawia się jako $E_{n}\;$ powstająca po pomnożeniu przez $n\;$ energii pojedynczego fotonu (1.13) i oznaczamy ją przez $E_{n}=nE\;$: Energia fotonów w dowolnym stanie, tzn. $E_{n}\;$ (1.13) jest wielokrotnością energii podstawowej $E=h\nu \;$ według postulatu Plancka, ta energia fotonu jest zależna liniowo od częstości fali fotonów. Prawdopodobieństwo, że cząstki (fotony) mają energię $E_{n}$ jest określona przez wzór Boltzmanna w zależności od temperatury w jakim układ się on znajduje:

$P(E_{n})=Ae^{-{{E_{n}} \over {k_{B}T}}}\;$

(1.29)

We wzorze (1.29) energia danego poziomu E_n jest napisana przez równanie (1.13). Średnia energia fotonu opisana jako średnia energia fotonu w układzie wyrażona przy pomocy prawdopodobieństwa danego stanu o numerze n określonej przez wzór (1.29) jest pisana:

${\overline {E}}={{\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}e^{-{{E_{n}} \over {k_{B}T}}}} \over {\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{{E_{n}} \over {k_{B}T}}}}}={{\sum _{n=0}^{\infty }nEe^{-{{nE} \over {k_{B}T}}}} \over {\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{{nE} \over {k_{B}T}}}}}=k_{B}T{{\sum _{n=0}^{\infty }n{{E} \over {k_{B}T}}e^{-{{nE} \over {k_{B}T}}}} \over {\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{{nE} \over {k_{B}T}}}}}\;$

(1.30)

gdzie:

• $E=h\nu \;$, bo $E_{n}=nE\;$

Obierzmy wielkość, która zależy od temperatury układu i energii podstawowej stanu podstawowego (n=1) zależąca tylko od częstości fali fotonów w jakim może znajdować się bezmasowy foton:

$x={{E} \over {k_{B}T}}\;$

(1.31)

Średnia energia fononu w układzie napisana jest według (1.30), co po podstawieniu do niego (1.31), który jest zależny od temperatury układu i jego stanu podstawowego E, a to z kolei jest zależny od częstości fotonu znajdujących się w naszym rozważanym układzie:

${\overline {E}}=k_{B}T{{\sum _{n=0}^{\infty }nxe^{-nx}} \over {\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}}}\;$

(1.32)

Wiadomo z analizy matematycznej, że zachodzi tożsamość wynikająca z własności szeregu potęgowego, bo eksponens e^-nx tworzy pewnego rodzaju szereg potęgowy o ilorazie e^-x₀:

$\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}=\lim _{n\rightarrow \infty }{{1-e^{-nx}} \over {1-e^{-x}}}={{1} \over {1-e^{-x}}}\;$

(1.33)

Tożsamość (1.33) możemy wykorzystać do policzenia mianownika wyrażenia (1.32). Zróżniczkujemy obustronnie równanie (1.33) względem x₀, otrzymujemy:

$\sum _{n=0}^{\infty }-ne^{-nx}=-{{-(-e^{-x})} \over {(1-e^{-x})^{2}}}\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-nx}={{e^{-x}} \over {(1-e^{-x})^{2}}}\Rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }nxe^{-nx}=x{{e^{-x}} \over {(1-e^{-x})^{2}}}\;$

(1.34)

Tożsamość (1.34) możemy użyć do policzenia licznika równania (1.32). Po podstawieniu tożsamości (1.34) i (1.33) do wzoru (1.32) oraz wykorzystując podstawienie (1.31) dostajemy wzór na średnią energię fotonu o danej częstości w układzie:

${\overline {E}}=k_{B}T{{x{{e^{-x}} \over {(1-e^{-x})^{2}}}} \over {{1} \over {1-e^{-x}}}}=k_{B}Tx{{e^{-x}} \over {1-e^{-x}}}{{e^{x}} \over {e^{x}}}=k_{B}Tx{{1} \over {e^{x}-1}}=k_{B}T{{h\nu } \over {k_{B}T}}{{1} \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}=h\nu {{1} \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}\;$

(1.35)

A zatem średnia energia całkowita fotonu w układzie jest zależna od jej częstości i temperatury układu fotonów, jest wyrażona według wzoru (1.35):

${\overline {E}}={{h\nu } \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}\;$

(1.36)

Zakładamy, że mamy sześcian o boku L, którego wartość odchyleń amplitud fali fotonów na brzegach sześcianu jest jednakowa i równa zero:

$\sum _{i}n_{i}{{\lambda _{i}} \over {2}}=L\Rightarrow [n_{1},n_{2},n_{3}][\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}]=2L\;$

(1.37)

Ponieważ wektor liczb falowych nieujemnych ${\vec {n}}=[n_{1},n_{2},n_{3}]\;$ jest wektorem równoległym do wektora ${\vec {\lambda }}=[\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}]\;$, także ${\vec {\lambda }}^{2}=\lambda ^{2}\;$ jest to kwadrat długości fali fotonów, te wspomniane wektory również mają ten sam zwrot, zatem mając wyrażenie (1.38) podnosimy je do kwadratu, to z definicji iloczynu skalarnego dla wektorów mających ten sam kierunek i zwrot:

$(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2})\lambda ^{2}=\left(2L\right)^{2}\Rightarrow n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=\left({{2L} \over {\lambda }}\right)^{2}\;$

(1.38)

Promień naszej kuli jest wyrażony według (1.38), w której są pewne wartości n_i, która jest zależna od jakieś długości fali jaką foton może posiadać:

$R={{2L} \over {\lambda }}={{2L} \over {c}}\nu \;$

(1.39)

Ale musi zachodzić n_i≥0, aby ten warunek był spełniony musimy rozważyć ${{1} \over {8}}\;$ sfery o grubości dR, jeszcze trzeba uwzględnić to, że foton ma spin 1, który występuje w dwóch stanach, zatem liczba stanów, których może znajdować się foton o częstości podstawowej ν w danej objętości V, jest zapisana wedle schematu:

$dn=2{{1} \over {8}}4\pi R^{2}dR=\pi R^{2}dR=\pi \left({{2L} \over {c}}\right)^{3}\nu ^{2}d\nu =8\pi V{{\nu ^{2}} \over {c^{3}}}d\nu \;$

(1.40)

Energia fotonów wypromieniowana na jednostkę czasu, objętości i jego częstości, o średniej energii ${\overline {E}}\;$, zależy od częstości, zatem moc wypromieniowania z układu fotonu o danej częstości fotonów jest równa:

$r_{\nu }={{1} \over {V}}{{dn} \over {d\nu }}{\overline {E}}={{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}{\overline {E}}\;$

(1.41)

Jeśli przyjmować będziemy fizykę klasyczną, to średnia energia fotonu dla jednego kierunku jest zapisana jako energia zależna tylko od temperatury układu kwantowego liczona z rozkładu Boltzmanna:

${\overline {E}}={{\int _{0}^{\infty }h\nu e^{-\beta h\nu }d\nu } \over {\int _{0}^{\infty }e^{-\beta h\nu }d\nu }}=-k_{B}T{{\int _{0}^{\infty }(-1)\beta h\nu e^{-\beta h\nu }d(-\beta h\nu )} \over {\int _{0}^{\infty }e^{-\beta h\nu }d(-\beta h\nu )}}=-k_{B}T{{-\beta h\nu e^{-\beta h\nu }|_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }e^{-\beta h\nu }d(-\beta h\nu )} \over {-1}}=k_{B}T\Rightarrow {\overline {E}}=k_{B}T\;$

(1.42)

Wzór (1.42), który jest wzorem na średnią energię fotonu podstawiamy do (1.41), co wtedy:

$r_{\nu }={{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}k_{B}T\;$

(1.43)

Wzór (1.43) nazywamy wzorem Rayleigha-Jeansa. Z tego wzoru wynika nieskończoną wartość r_ν dla ν bardzo dużego, co nazywamy katastrofą ultrafioletową. Gdy przyjmować będziemy według Plancka, tzn. podstawiając za średnią energię wzór (1.36) zależny nie tylko od temperatury układu, ale też od częstości fotonów wypromieniowaną z układu, to moc wypromieniowana z układu jest wyrażona:

$r_{\nu }={{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}{{h\nu } \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}\;$

(1.44)

(Rys. 1.4) Rozkład Plancka dla różnych temperatur. Moc (kJ/s) promieniowania ciała o powierzchni 1m² do kąta bryłowego pełnego w zakresie długości fal 1 nm.

Gdy uwzględnimy "h" bardzo małe, czyli matematycznie mówiąc h→0, to wzór (1.44) przechodzi w równanie:

$r_{\nu }={{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}{{h\nu } \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}\rightarrow {{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}{{h\nu } \over {{h\nu } \over {k_{B}T}}}={{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}k_{B}T\;$

(1.45)

Czyli po tych zabiegach dochodzimy znów do wzoru Rayleigha-Jeansa wyprowadzonej w pozycji (1.43). Dla dużych częstości, tzn.:ν»0, to wzór (1.44), w którym eksponens występujący w mianowniku staje się bardzo duży w stosunku do jedynki, zatem tą jedynkę występującą w mianowniku możemy pominąć, co staje się jasne:

$r_{\nu }={{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}{{h\nu } \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}\rightarrow {{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}{{h\nu } \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}}}={{8\pi h\nu ^{3}} \over {c^{3}}}e^{-{{h\nu } \over {k_{B}T}}}={{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}h\nu e^{-{{h\nu } \over {k_{B}T}}}=\;$
$={{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}\underbrace {h\nu n(h\nu )} _{\overline {E}}\;$

(1.46)

Wzór Wiena (1.46) możemy również otrzymać z (1.41), podstawiając do niego za średnią energię fotonu iloczyn energii fotonu (1.13) i ilości fotonów wynikających z rozkładu Boltzmanna, wiedząc, że potencjał chemiczny w nim jest równy zero $\mu =0\;$.

Prawo Stefana-Boltzmanna

Całkowita energia wypromieniowana przez ciało doskonale czarne o wszystkich możliwych częstości liczona jest przy pomocy wzoru wyrażenia dla jednej częstości, która jest przedstawiona przez wzór (1.44), jest to całką mocy promieniowania dla wszystkich częstości fotonu w jakim występuje foton na jednostkę objętości:

$R_{\nu }=\int _{\nu =0}^{\infty }r_{\nu }d\nu =\int _{\nu =0}^{\infty }{{8\pi \nu ^{2}} \over {c^{3}}}{{h\nu } \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}d\nu ={{8\pi h} \over {c^{3}}}\int _{\nu =0}^{\infty }{{\nu ^{3}} \over {e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}d\nu ={\begin{Bmatrix}x={{h\nu } \over {k_{B}T}}\\\nu ={{xk_{B}T} \over {h}}\\d\nu ={{k_{B}T} \over {h}}dx\end{Bmatrix}}={{8\pi h} \over {c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\left({{k_{B}T} \over {h}}\right)^{4}x^{3}} \over {e^{x}-1}}dx=\;$
$={{8\pi k_{B}^{4}} \over {c^{3}h^{3}}}T^{4}\int _{0}^{\infty }{{x^{3}} \over {e^{x}-1}}dx={{8\pi k_{B}^{4}} \over {c^{3}h^{3}}}T^{4}{{\pi ^{4}} \over {15}}={{8\pi ^{5}k_{B}^{4}} \over {15c^{3}h^{3}}}T^{4}=\sigma T^{4}\;$

(1.47)

W równaniu (1.47) dokonaliśmy podstawienia w końcowym wyniku:

$\sigma ={{8\pi ^{5}k_{B}^{4}} \over {15c^{3}h^{3}}}\;$

(1.48)

Jest ona zależna od stałych fizycznych, tzn. od stałej Boltzmanna ($k_{B}\;$), stałej prędkości światła w próżni ($c\;$), stałej Plancka ($h\;$) i jednej stałej matematycznej $\pi \;$. Całkowita energia na jednostkę objętości jest zapisana według wzoru:

$R_{\nu }=\sigma T^{4}\;$

(1.49)

We wzorze (1.49) stała σ została wyjaśniona w punkcie (1.48). Powyższe wyrażenie jest zależne od czwartej potęgi temperatury T (wyrażonej w kelwinach) przy stałej proporcjonalności (1.48), jest to moc wypromieniowana przy ciało doskonale czarne przy wszystkich możliwych częstościach na jednostkę objętości.

Prawo przesunięć Wiena

Wyznaczmy dla jakich ν funkcja r_ν wzór (1.44) (rozkład Placka ciała doskonale czarnego) przyjmuje maksimum dla danej temperatury T układu, czyli dla jakich ν, natężenie promieniowania jest największe, czyli matematycznie mówiąc maksimum występuje, gdy pochodna natężenia promieniowania na jednostkę objętości w rozkładzie Plancka jest równa zero, czyli musimy policzyć pochodną wyrażenia (1.44) względem częstości fotonów z jakich może drgać fala, jeśli przyjmować, że fotonowi odpowiada pewna fala według teorii korpuskularno-cząsteczkowej:

$0={{dr_{\nu }} \over {d\nu }}={{8\pi h} \over {c^{3}}}{{d} \over {d\nu }}{{\nu ^{3}} \over {e^{{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1}}}={{8\pi h} \over {c^{3}}}{{\left(3\nu ^{2}\left(e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1\right)-\nu ^{3}{{h} \over {k_{B}T}}e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}\right)} \over {\left(e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1\right)^{2}}}\;$

(1.50)

Wartość zerową przyjmuje licznik wyrażenia (1.50) a mianownik jest nierówny zero dla niezerowych częstości promieniowania wypromieniowanego z układu dla dowolnej skończonej temperatury większej od zera, otrzymujemy:

$0=3\nu ^{2}\left(e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1\right)-\nu ^{3}{{h} \over {k_{B}T}}e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}\;$

(1.51)

Dzielimy równanie (1.51) obustronnie przez kwadrat częstości fotonów ν², także wiemy, że w ogólności częstość fali fotonów jest różna od zera, zatem dochodzimy do wniosku, że:

$0=3\left(e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}-1\right)-\nu {{h} \over {k_{B}T}}e^{{h\nu } \over {k_{B}T}}\;$

(1.52)

Obierzmy podstawienie we wzorze (1.52), tzn. za wielkość zależną od temperatury układu i częstości fali fotonów wypromieniowaną z układu o maksymalnym natężeniu, która jest wielkością bezwymiarową, czyli dokonajmy podstawienia:

$x={{h\nu } \over {k_{B}T}}\;$

(1.53)

Równanie (1.52) po podstawieniu do niego wielkości bezwymiarowej (1.53) przedstawia się:

$3(e^{x}-1)-xe^{x}=0\Rightarrow 3e^{x}-xe^{x}-3=0\;$

(1.54)

Rozwiązując równanie (1.54) numerycznie dla x≠0, w których jest ściśle określone x, a zatem jeśli mamy x, to ze wzoru (1.53) dostajemy równanie po wyznaczeniu częstości zależącej od x i od temperatury układu:

$\nu =x{{k_{B}T} \over {h}}\;$

(1.55)

Wiemy jednak, że częstość fali jest zależna od odwrotności długości fali fotonów w sposób: $\nu ={{c} \over {\lambda }}\;$ oraz przyjmujemy, że fotony będziemy przyjmować jako fale o długości λ rozchodzących się z prędkością fazową c, wtedy:

${{c} \over {\lambda }}=x{{k_{B}T} \over {h}}\Rightarrow \lambda ={{ch} \over {xk_{B}}}{{1} \over {T}}\Rightarrow \lambda ={{C} \over {T}}\;$

(1.56)

W równaniu (1.56) widzimy, że czym większa temperatura układu, to jest mniejsza długość fali promieniowania o największej mocy wypromieniowana z układu. A zatem z równania (1.56), dostajemy następne równoważne równanie:

$\lambda T=C\;$, gdzie: $C=2.9\cdot 10^{-3}m\cdot K$

(1.57)

Iloczyn długości fali promieniowania o największej mocy z układu przez temperaturę układu jest wielkością stałą i niezależną od innych parametrów charakteryzujących układ.

Paczki falowe w nowej teorii kwantów

Paczka falowa inaczej zwany pakiet falowy, jest to fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni. Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach kołowych według zasada Huygensa .

(Rys. 1.5) Paczka falowa jako superpozycja fal harmonicznych z pewnego przedziału dla liczb falowych

Aby w tym celu usunąć całkowitą lokalizację cząstki a jej delokalizacją wprowadza się funkcję falową opisującą falę płaską o długości fali zależnej od jej liczby falowej, która też charakteryzuje falę w sposób: $\lambda ={{2\pi } \over {k}}\;$ propagującą się w kierunku osi x, którą można przedstawić w postaci:

$\psi (x,t)=Ce^{i(\omega t-kx)}\;$

(1.58)

Wykorzystajmy wzór (1.15) oraz (1.26), to wyrażenie (funkcję falową) (1.58) zapisujemy jako funkcję energii cząstki o ściśle określonym pędzie, gdy ona znajduje się w położeniu x i w czasie t, która przedstawia się:

$\psi (x,t)=Ce^{{{i} \over {\hbar }}(Et-px)}\;$

(1.59)

Wprowadźmy superpozycję fal o liczbach falowych z przedziału (k₀-Δk,k₀+Δk) o różnych amplitudach przy pomocy liczb funkcji falowych z definiowanych wedle schematu (1.58) i obierzmy jego całkę po omawianych zakresie zmienności liczby falowej k.

$\psi (x,t)=\int _{k_{0}-\Delta k}^{k_{0}+\Delta k}C(k)e^{i(\omega t-kx)}dk\;$

(1.60)

Rozłóżmy w szereg Taylora częstotliwość kołową drgań cząstki względem funkcji falowej fali k naszej rozważanej fali płaskiej i napiszmy ten nasz szereg Taylora do drugiego rzędu wyrazy włącznie, a dalsze wyrazy oznaczamy wielokropkami:

$\omega (k)=\omega _{0}+\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}(k-k_{0})+{{1} \over {2}}\left({{d^{2}\omega } \over {dk^{2}}}\right)_{k=k_{0}}(k-k_{0})^{2}+...\;$

(1.61)

Zakładamy, że jest małe odchylenie zmiennej k od punktu k₀, to w wyrażeniu (1.61) wyrazy kwadratowe i wyższe pomijamy, wtedy w wyrażeniu (1.60), w którym będziemy zakładać, że C(k) słabo zależy od k w tymże rozważanym przedziale zmienności k, zatem możemy przejąć w przybliżeniu, że zachodzi C(k)≈C(k₀), wtedy je piszemy:

$\psi (x,t)=e^{i(\omega _{0}t-k_{0}x)}\int _{k_{0}-\Delta k}^{k_{0}+\Delta k}C(k)e^{i\left[\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}(k-k_{0})t-(k-k_{0})x\right]}dk\simeq C(k_{0})e^{i(\omega _{0}t-k_{0}x)}\int _{-\Delta k}^{\Delta k}e^{i\left[\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}t-x\right]\xi }d\xi =\;$
$=2C(k_{0})\Delta ke^{i(\omega _{0}t-k_{0}x)}{{e^{i\left[\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}t-x\right]\Delta k}-e^{-i\left[\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}t-x\right]\Delta k}} \over {2i\left[\Delta k\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}t-x\right]}}=2C(k_{0})\Delta ke^{i(\omega _{0}t-k_{0}x)}{{\sin \left[\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}t-x\right]\Delta k} \over {\left[\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}t-x\right]\Delta k}}\;$

Na podstawie obliczeń występujących w ostatnich dokonanych operacjach na formułach, otrzymujemy ostateczny wzór dla paczki falowej, która jest superpozycją fal prostych o bardzo małym zakresie zmienności wartości stałej falowej k wokół liczby falowej k₀, wtedy:

$\psi (x,t)=2C(k_{0})\Delta ke^{i(\omega _{0}t-k_{0}x)}\left\{{{\sin \left[\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}t-x\right]\Delta k} \over {\left[\left({{d\omega } \over {dk}}\right)_{k=k_{0}}t-x\right]\Delta k}}\right\}\;$

(1.62)

Wyrażenie (1.62) przedstawia pewną paczkę, która jest superpozycją różnych fal o małym zakresie zmienności liczby falowej wokół punktu k₀, którego wykres w czasie jest przedstawiony obok.

Prędkość grupowa paczki falowej i prędkość cząstki oraz dowód wzoru na fale de Broglie'a i energię kwantu Plancka

Policzmy pochodną energii cząstki względem jej pędu uogólnionego w mechanice klasycznej Newtona:

${{\partial E} \over {\partial {\vec {p}}_{i}}}={{\partial } \over {\partial {\vec {p}}_{i}}}\left(\sum _{i}{{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right)={{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})} \over {m_{i}}}={{{\vec {p}}_{kli}} \over {m_{i}}}={{m_{i}{\vec {v}}_{i}} \over {m_{i}}}={\vec {v}}_{i}\;$

(1.63)

Widzimy, że według mechaniki klasycznej pochodna energii cząstki względem pędu uogólnionego jest równa prędkości cząstki klasycznej, co nie powinno być zaskoczeniem. Następnie rozpatrzmy cząstkę relatywistyczną o energii relatywistycznej wyrażonej przy pomocy pędu uogólnionego cząstki i jej masy spoczynkowej m₀, która może być równa zero, znając definicję pędu klasycznego:

${{\partial E} \over {\partial {\vec {p}}_{i}}}={{\partial } \over {\partial {\vec {p}}_{i}}}\left(\sum _{i}{\sqrt {c^{2}({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right)={{2c^{2}({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})} \over {2{\sqrt {c^{2}({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}}}=\;$
$={{c^{2}{\vec {p}}_{kli}} \over {\sqrt {c^{2}p_{kli}^{2}+m_{0i}^{2}c^{4}}}}={{c^{2}{\vec {p}}_{kli}} \over {E_{i}}}={{c^{2}{\vec {p}}_{kli}} \over {m_{i}c^{2}}}={{{\vec {p}}_{kli}} \over {m_{i}}}={{m_{i}{\vec {v}}_{i}} \over {m_{i}}}={\vec {v}}_{i}\;$

(1.64)

Widzimy, że według szczególnej teorii względności, że pochodna energii cząstki względem pędu uogólnionego jest równa prędkości cząstki klasycznej. Z szczególnej teorii względności i teorii klasycznej Newtona wiadomo, że prędkość cząstki jest równa pochodnej energii cząstki względem pędu uogólnionego, bo ((1.63) i (1.64)), a jeżeli potraktować cząstki jako falę, to wtedy ta prędkość powinna być równa prędkości grupowej fali, która jest równa pochodnej częstotliwości kątowej względem liczby falowej, a jeżeli przyrównać ją do prędkości cząstki, to dochodzimy do wniosku, że spełniony jest wzór na energię kwantu (1.15) i wzór na fale de Broglie'a (1.26), bo:

$\left({\vec {v}}_{gi}={{\partial \omega } \over {\partial {\vec {k}}_{i}}}={{\partial \hbar \omega } \over {\partial \hbar {\vec {k}}_{i}}}\wedge {\vec {v}}_{i}={{\partial E} \over {\partial {\vec {p}}_{i}}}\wedge v_{gi}=v_{i}\right)\Rightarrow E=\hbar \omega \wedge {\vec {p}}_{i}=\hbar {\vec {k}}_{i}\;$

(1.65)

Prędkość grupowa fali o wektorze falowym ${\vec {k}}_{i}\;$ przedstawia prędkość energii fali, a w przypadku korpuskularnym cząstka porusza się z pewną prędkością, która określa prędkość poruszania się energii (korpuskułu), a więc obie te prędkości są sobie równe.

Warunek Braggów, a doświadczenie, fale materii

(Rys. 1.6) Rysunek pozwalający wyprowadzenie warunku Braggów.

Różnica dróg optycznych między górnym a dolnym promieniem jest zależna od odległości pomiędzy warstwami między dwoma płaszczyznami atomów i od kąta $\theta \;$ do płaszczyzny z atomami, pod którą pada fala elektromagnetyczna X:

${{\delta } \over {d}}=\sin \theta \Rightarrow \Delta s=2\delta =2d\sin \theta \;$

(1.66)

Różnica faz między promieniem drugim a pierwszym, bo promień drugi przebywa dłuższą drogę optyczną niż pierwszy, jest równa:

${{\Delta \phi } \over {\Delta s}}={{2\pi } \over {\lambda }}\Rightarrow \Delta \phi ={{2\pi } \over {\lambda }}\Delta s={{2\pi } \over {\lambda }}2d\sin \theta ={{4d\pi \sin \theta } \over {\lambda }}\;$

(1.67)

Równanie fal materii pierwszej i drugiej uwzględniają przesunięcie fazowe tychże fal przed ugięciem fal, a także przesunięcie drugiej fali względem pierwszej po ugięciu tegoż obiektu, zapisujemy je wedle sposobu:

$\psi _{1}=Ae^{i(\omega t-ks+\delta _{0})}\;$

(1.68)

$\psi _{2}=Ae^{i(\omega t-ks+\delta _{0}-\Delta \phi )}\;$

(1.69)

Według zasady Huygensa musimy dodać fale (1.68) do (1.69), które ulegają superpozycji w bardzo dużej odległości od kryształu, co można zapisać w przybliżeniu, że te dwie fale poruszają się po liniach prostych i równoległych do siebie przed dojściem do kryształu i po jego wyjściu:

$\psi =\psi _{1}+\psi _{2}=A\left(e^{i\left(\omega t-ks+\delta _{0}\right)}+e^{i\left(\omega t-ks+\delta _{0}-\Delta \phi \right)}\right)=Ae^{i\left(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}}\right)}\left(e^{i\left({{\Delta \phi } \over {2}}\right)}+e^{i\left(-{{\Delta \phi } \over {2}}\right)}\right)=\;$
$=2Ae^{i\left(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}}\right)}\cos \left({{\Delta \phi } \over {2}}\right)=2Ae^{i\left(\omega t-ks+\delta _{0}-{{\Delta \phi } \over {2}}\right)}\cos {{2d\pi \sin \theta } \over {\lambda }}\;$

(1.70)

W wyrażeniu (1.70) kosinus przyjmuje wartość jeden lub minus jeden, gdy w wyrażeniu pod kosinusem jest nπ, to moduł wspomnianego wyrażenia przyjmuje wartość maksymalną, gdy zachodzi zależność:

$n\pi ={{2d\pi \sin \theta } \over {\lambda }}\Rightarrow n\lambda =2d\sin \theta \;$

(1.71)

Na podstawie ostatniego wyrażenia w (1.71) dochodzimy do wniosku, że równanie Braggów jest zapisywane w postaci:

$2d\sin \theta =n\lambda \;$

(1.72)

Jest ona zależna od odległości między dwoma płaszczyznami d, od długości fali λ i od kąta θ padania promieniowania elektromagnetycznego X, dzięki któremu fala elektromagnetyczne ulegnie wzmocnieniu na ekranie, na której badamy wzmocnienia fal elektromagnetycznych dla jakiegoś parametru n, jeśli w ogóle istnieje.