Mechanika kwantowa/Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

Wiadomo jednak, że gęstość prawdopodobieństwa w mechanice kwantowej klasycznej zdefiniowana jest jako moduł kwadratu funkcji falowej opisywanej dany stan kwantowy:

$\rho ({\vec {r}},t)=|\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi \;$

(14.1)

Korzystając przy tym z równań (11.82) (równania zależnego od czasu równania Schrödingera) i (11.83) (sprzężonego po zespolonemu do równania Schrödingera), to pochodna cząstkowa gęstości prawdopodobieństwa (14.1) względem czasu:

${{\partial \rho ({\vec {r}},t)} \over {\partial t}}={{\partial \psi ^{*}\psi } \over {\partial t}}=\psi ^{*}{{\partial \psi } \over {\partial t}}+\psi {{\partial \psi ^{*}} \over {\partial t}}=\psi ^{*}{{{\hat {H}}\psi } \over {i\hbar }}-\psi {{{\hat {H}}^{*}\psi ^{*}} \over {i\hbar }}={{1} \over {i\hbar }}\left\{\psi ^{*}{\hat {H}}\psi -\psi {\hat {H}}^{*}\psi ^{*}\right\}\;$

(14.2)

Operator energii całkowitej cząstki z uwzględnieniem potencjału wektorowego w elektrodynamice klasycznej przedstawia się według wzoru (6.41), przy wykorzystaniu równania (14.2):

${{\partial \rho ({\vec {r}},t)} \over {\partial t}}={{1} \over {i\hbar }}\left\{\psi ^{*}\left[{{\left(-i\hbar \nabla -q{\vec {A}}\right)^{2}} \over {2m}}+q\phi \right]\psi -\psi \left[{{\left(-i\hbar \nabla -q{\vec {A}}\right)^{2}} \over {2m}}+q\phi \right]^{*}\psi ^{*}\right\}=$

$={{1} \over {2mi\hbar }}\left\{\psi ^{*}\left[-i\hbar \nabla -q{\vec {A}}\right]^{2}\psi -\psi {\left[-i\hbar \nabla -q{\vec {A}}\right]^{2}}^{*}\psi ^{*}\right\}={{1} \over {2mi\hbar }}{\Bigg \{}\psi ^{*}\left[-\hbar ^{2}\nabla ^{2}+q^{2}{\vec {A}}^{2}+i\hbar q\nabla {\vec {A}}\cdot +i\hbar q{\vec {A}}\nabla \right]\psi +$
$-\psi \left[-\hbar ^{2}\nabla ^{2}+q^{2}{\vec {A}}^{2}+i\hbar q\nabla {\vec {A}}\cdot +i\hbar q{\vec {A}}\nabla \right]^{*}\psi ^{*}{\Bigg \}}={{\hbar } \over {2mi}}\left[\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi \right]+{{q} \over {2m}}{\big [}\psi ^{*}\nabla {\vec {A}}\psi +\psi ^{*}{\vec {A}}\nabla \psi +\psi \nabla {\vec {A}}\psi ^{*}+\;$
$+\psi {\vec {A}}\nabla \psi ^{*}{\big ]}={{\hbar } \over {2mi}}\left[\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi \right]+{{q} \over {2m}}\left[\psi ^{*}{\vec {A}}\nabla \psi +\psi ^{*}\left(\nabla {\vec {A}}\right)\psi +\psi ^{*}{\vec {A}}\nabla \psi +\psi {\vec {A}}\nabla \psi ^{*}+\psi \left(\nabla {\vec {A}}\right)\psi ^{*}+\psi {\vec {A}}\nabla \psi ^{*}\right]=\;$

$={{\hbar } \over {2mi}}\left[\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi \right]+{{q} \over {m}}\left[\psi ^{*}{\vec {A}}\nabla \psi +\psi \left(\nabla {\vec {A}}\right)\psi ^{*}+\psi {\vec {A}}\nabla \psi ^{*}\right]\;$

(14.3)

Na podstawie (14.3) udowodniliśmy złożoną tożsamość, która mamy zamiar uprościć.

${{\partial \rho ({\vec {r}},t)} \over {\partial t}}+{{\hbar } \over {2mi}}\left[\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}\right]-{{q} \over {m}}\left[\psi ^{*}{\vec {A}}\nabla \psi +\psi \left(\nabla {\vec {A}}\right)\psi ^{*}+\psi {\vec {A}}\nabla \psi ^{*}\right]=0\;$

(14.4)

Zdefiniujmy wyrażenie, które nazwiemy gęstością prądu prawdopodobieństwa i zapiszemy je przy pomocy potencjału wektorowego magnetycznego i funkcji falowej opisującej cząstkę:

${\vec {j}}={{\hbar } \over {2mi}}\left[\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right]-{{q} \over {m}}{\vec {A}}\psi ^{*}\psi \;$

(14.5)

Wyznaczmy dywergencję wielkości zdefiniowanej w (14.5), czyli gęstości prądu prawdopodobieństwa ${\vec {j}}\;$:

$\nabla {\vec {j}}={{\hbar } \over {2mi}}\left[\nabla \psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi -\nabla \psi \nabla \psi ^{*}-\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}\right]-{{q} \over {m}}\left[\psi ^{*}{\vec {A}}\nabla \psi +\psi {\vec {A}}\nabla \psi ^{*}+\psi ^{*}(\nabla {\vec {A}})\psi \right]=\;$
$={{\hbar } \over {2mi}}\left[\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}\right]-{{q} \over {m}}\left[\psi ^{*}{\vec {A}}\nabla \psi +\psi {\vec {A}}\nabla \psi ^{*}+\psi ^{*}(\nabla {\vec {A}})\psi \right]\;$

(14.6)

Drugi i trzeci składnik razem wzięte w (14.4) są identyczne jak dywergencja gęstości prądu prawdopodobieństwa (14.6), zatem wyrażenie (14.4) piszemy:

${{\partial \rho ({\vec {r}},t)} \over {\partial t}}+\nabla {\vec {j}}=0\;$

(14.7)

Równanie (14.7) jest równaniem ciągłości znane z mechaniki kwantowej klasycznej z gęstością prawdopodobieństwa zdefiniowanego w (14.1) i gęstością prądu zdefiniowaną w (14.5).