Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a

Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

W rozdziale tym będziemy zajmować się podaniem w postaci jawnej gęstości Lagrangianu i na jej podstawie będziemy wyznaczać równanie Klieina-Gordona i Diraca, czyli równania kwantów fizyki relatywistycznej, korzystając przy tym ze sygnatury (1,-1,-1,-1) znanej z szczególnej teorii względności jako jedna z dwóch sygnatur (obie sygnatury różnią się w tensorze metrycznym znakami).

Przejście między równaniem Eulera-Lagrange'a a równaniem Newtona

(Rys. 29.1) Dowolny rozwój w czasie pomiędzy dwoma punktami

Rozważmy ruch N cząstek, którymi rządzą równania Newtona. Dla każdej cząstki możemy napisać 3 równania, dla każdej współrzędnej z osobna. Razem tych równań jest 3N; równania te numeruje indeks i=1,2,3,...,3N, każdemu "i" odpowiada jedno równanie skalarne.

$m{\ddot {q}}_{i}(t)=F_{i}(t)\;$

(29.1)

• gdzie: q_i oznaczają współrzędne kartezjańskie x,y,z wektorów położeń poszczególnych cząstek w przestrzeni, przy czym dla pierwszej cząstki współrzędne te mają odpowiednio indeksy i=1,2,3, dla drugiej i=4,5,6, itd.

Rozważmy pole potencjalne, czyli pole, dla którego praca sił pola zleży jedynie od punktu początkowego i końcowego, a nie zależy od drogi łączącej te punkty. Siła potencjalna, która występuje w równania (29.1), jest wyrażona:

$F_{i}=-{{dV} \over {dq_{i}}}\;$

(29.2)

Aby otrzymać równania Newtona, tzn. (29.1) (drugie prawo Newtona) z (29.2) (wzór na siłę pola potencjalnego), podejdźmy do tych równań ze strony Lagrangianu, z której według zasady wariacyjnej możemy zapisać:

$\delta S=0\;$

(29.3)

Określmy funkcjonał, który zależy od współrzędnych uogólnionych oraz od ich pochodnych względem czasu, które opisują cząstkę, który ten Lagrangian otrzymujemy po scałkowaniu jej względem czasów, po których odbywa się ruch, zatem ten funkcjonał ma się:

$S[q(t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t)]dt\;$

(29.4)

Równanie różniczkowe dla lagrangianu występujący pod całką w funkcjonale (29.4) piszemy:

${{d} \over {dt}}\left({{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{{\partial L} \over {\partial q_{i}}}=0\;$

(29.5)

Jeśli oznaczymy Lagrangian jako różnica energii kinetycznej i potencjalnej cząstki, to według mechaniki klasycznej mamy:

$L=E_{k}-E_{p}=m{{{\dot {q}}^{2}} \over {2}}-V(q)\;$

(29.6)

To z równania różniczkowego Eulera-Lagrange'a (29.5) po podstawieniu do niego Lagrangianu określonego według wzoru (29.6) można przejść do równań Newtona (29.1) z (29.2). Zatem równania Newtona (29.1) z (29.2) są równoważne z równaniem Eulera-Lagrange'a.

Przejście od układu sprężynek o długości a do układu ciągłego i jego Lagrangian

Zauważmy, że mamy układ sprężyn rozłożonych w sposób liniowy, w których występuje n kulek, które są połączone n+1 sprężynkami:

(Rys. 29.2) Liniowy układ ciał o jednakowych masach i współczynniku sprężystości k

Całkowita długość wszystkich sprężyn występująca w układzie, przy czym zakładając, że długość początkowa każdej sprężyny z osobna jest równa długości "a", jest równa:

$l=(n+1)a\;$

(29.7)

Energia kinetyczna wszystkich kulek razem umieszczonym między sprężynami jest równa sumie energii kinetycznej każdej kulek z osobna:

$T={{1} \over {2}}\sum _{i=1}^{n}m{\dot {\phi }}_{i}^{2}\;$

(29.8)

Energia potencjalna każdej z sprężynek osobna możemy przedstawić jako sumą energii potencjalnych sprężynek każdej z osobna:

$E_{p}={{1} \over {2}}k\sum _{i}\left(\phi _{i+1}-\phi _{i}\right)^{2}\;$

(29.9)

A siła działająca na kulkę o numerze "i" jest wyrażona jako pochodna energii potencjalnej układu sprężynek względem położenia jaki dana kulka o numerze "i" może posiadać:

$F_{i}=-{{dE_{p}} \over {\partial \phi _{i}}}=k(\phi _{i+1}+\phi _{i-1}-2\phi _{i})\;$

(29.10)

Wyprowadźmy wzór (29.10) ze wzoru na energię potencjalną układu (29.9), oraz pamiętając, że kulki są połączone ze sobą siłami sprężystości, z definicji siły potencjalnej poprzez energię potencjalną sprężynek, korzystając przy tym z pochodnej cząstkowej tej energii względem położenia danej kulki i to wyrażenie wzięte z minusem, otrzymujemy wzór na siłę potencjalną działająca na daną kulkę w zależności od położeń danych kulek towarzyszących tej kulce jako najbliżsi przyjaciele:

$F_{i}=-k{{\Delta _{i}E_{p}} \over {\partial \phi }}={{1} \over {2}}{{\Delta _{i}} \over {\partial \phi }}\sum _{i=1}^{n}k(\phi _{i+1}-\phi _{i})^{2}=-{{1} \over {2}}k{{\partial } \over {\partial \phi _{i}}}[(\phi _{2}-\phi _{1})^{2}+...+(\phi _{i}-\phi _{i-1})^{2}+...+(\phi _{i+1}-\phi _{i})^{2}+\;$
$+..+(\phi _{n+1}-\phi _{n})]=-{{1} \over {2}}k{{\partial } \over {\partial \phi _{i}}}(\phi _{i}^{2}+\phi _{i-1}^{2}-2\phi _{i-1}\phi _{i}+\phi _{i+1}^{2}+\phi _{i}^{2}-2\phi _{i+1}\phi _{i}]=-{{1} \over {2}}k\left(2\phi _{i}-2\phi _{i-1}+2\phi _{i}-2\phi _{i+1}\right)=\;$
$=k(\phi _{i+1}+\phi _{i-1}-2\phi _{i})=ka^{2}{{{{\phi _{i+1}-\phi _{i}} \over {a}}-{{\phi _{i}-\phi _{i-1}} \over {a}}} \over {a}}\;$

(29.11)

Co kończy powyższy dowód (29.10). Łącząc niezrównoważoną siły działającą na daną kulkę według (29.11) z drugą zasadą dynamiki Newtona opisującą ten obiekt, zapisujemy:

${{m} \over {a}}{\ddot {\phi }}_{i}-ka{{{{\phi _{i+1}-\phi _{i}} \over {a}}-{{\phi _{i}-\phi _{i-1}} \over {a}}} \over {a}}=0\;$

(29.12)

Obierzmy stałe: $\mu ={{m} \over {a}}\;$ oraz Y=ka, wtedy równanie ruchu (29.12) ma się:

$\mu {\ddot {\phi }}_{i}-Y{{\partial ^{2}\phi _{i}} \over {\partial x^{2}}}=0\;$

(29.13)

A nasz Lagrangian, który jest różnicą sumy energii kinetycznej kulek i sumy energii potencjalnej sprężynek, przy powyższych oznaczeniach μ i Y, jest pisany:

$L={{1} \over {2}}\sum _{i=1}^{n}a\mu {\dot {\phi }}_{i}^{2}-{{1} \over {2}}\sum _{i=1}^{n}aY\left({{\phi _{i+1}-\phi _{i}} \over {a}}\right)^{2}\;$

(29.14)

Jeśli dodatkowo oznaczymy przechodząc do granicy dla parametru a→0, oznaczając ten parametr przez różniczkę odległości pomiędzy kulkami a=dx, który dla nasz ten parametr w tym przypadku jest wielkością infinitezymalną, wtedy wyrażenie na Lagrangian (29.14) przyjmuje postać:

$L={{1} \over {2}}\int _{0}^{l}\left\{\mu {\dot {\phi }}_{i}^{2}-Y\left({{\partial \phi } \over {dx}}\right)^{2}\right\}dx=\int _{0}^{l}{\mathfrak {L}}dx\;$

(29.15)

Gęstość Lagrangianu, według wzoru (29.15) wyrażamy wzorem poniżej, jest funkcją pochodnej względem czasu danej kulki i pochodnej cząstkowej względem wielkości x:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {2}}\left\{\mu {\dot {\phi }}_{i}^{2}-Y\left({{\partial \phi } \over {dx}}\right)^{2}\right\}\;$

(29.16)

Działanie Lagrangianu określmy poprzez gęstość Lagrangianu, która jest wyrażona wzorem (29.16) względem współrzędnej liniowej x:

$S[\phi (x,t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\int _{0}^{l}dx{\mathfrak {L}}\left[\phi (x,t),{\dot {\phi }}(x,t),{{\partial \phi } \over {dx}}\right]\;$

(29.17)

A zatem nasze równanie różniczkowe opisujące ruch wszystkich kulek używająca gęstości Lagrangianu napisaną wzorem (29.16) jest napisana przez wyrażenie:

${{\partial } \over {\partial t}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \left({{\partial \phi } \over {\partial t}}\right)}}\right)+{{\partial } \over {\partial x}}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \left({{\partial \phi } \over {\partial x}}\right)}}\right)-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \phi }}=0\;$

(29.18)

Widzimy, że powyższe równanie Eulera-Lagrange'a zależy od pochodnych cząstkowych wielkości położenia danej kulki względem czasu i pochodnych cząstkowych położenia x, a także zależy od wielkości położenia danej kulki.

Sprzężenie hermitowskie pochodnej tensorowej

Prowadźmy oznaczenia jako konwencja Eulera-Lagrange dla operatorów różniczkowania w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) kowariantnych i kontrkowariantnych przedstawiając ich pełne znaczenie rozpisując je w sposób pełny, co oznaczając przy czym je literami greckimi numerowanych od zero do trzech, a numerowanie literami łacińskimi jest to numerowanie od jeden do trzech, czyli bez współrzędnej czasowej (zerowej), w postaci:

$\partial _{\mu }={{\partial } \over {\partial x^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{k}\right)=\left({{\partial } \over {\partial ct}},{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\right)\;$

(29.19)

$\partial ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }={{\partial } \over {\partial x_{\mu }}}=\left(\partial _{0},-\partial _{k}\right)=\left({{\partial } \over {\partial ct}},-{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\right)\;$

(29.20)

Udowodnijmy, że na podstawie definicji operatora sprzężonego po hermitowsku, dla operatorów zdefiniowanych według (29.19) lub (29.20), tylko że kierunek różniczkowania określa strzałka u góry tychże operatorów, zachodzi tożsamość:

${\overset {\rightarrow }{\partial }}^{+}=-{\overset {\leftarrow }{\partial }}\;$

(29.21)

Zatem przejdźmy do dowodu tożsamości (29.21) dla operatorów różniczkowania kowariantnych. Dla operatorów różniczkowania kontrawariantnych dowód przebiega identycznie tylko ze wskaźnikami u góry zamiast u dołu.

$({\overset {\rightarrow }{\partial }}_{\mu }\psi |\phi )=\int _{a}^{b}{\overset {\rightarrow }{\partial }}_{\mu }\psi ^{*}\phi d\tau =\left[\psi ^{*}\phi \right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\psi {\overset {\rightarrow }{\partial }}_{\mu }\phi d\tau =(\psi |-{\overset {\rightarrow }{\partial }}_{\mu }\phi )=(-{\overset {\leftarrow }{\partial }}_{\mu }^{+}\psi |\phi )\;$

(29.22)

Zakładamy w (29.22), że funkcje ψ i φ zerują się w punktach "a" i "b".

Z definicji sprzężenia hermitowskiego i dowodu (29.22) wynika własność (29.21), a zwrot strzałki nad $\partial \;$, wynika, czy ten operator pochodnej działa na prawą czy lewą stronę względem pozycji jaki on się znajduje, czyli względem której strony różniczkowanie jest napisane.

Relatywistyczne równanie Kliena-Gordona, pole, jego Lagrangian

Stosując konwencję Eulera-Lagrange, a także dodatkowo konwencję Einsteina, to równanie (29.18) zapiszmy dla przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni), zamiast przestrzeni dwuwymiarowej (czasoprzestrzeni), w postaci:

$\partial _{\mu }\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \left(\partial _{\mu }\psi \right)}}\right)-{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \psi }}=0\;$

(29.23)

W prowadźmy Lagrangian, z którego wyprowadzimy równanie mechaniki kwantowej Kliena-Gordona, które jest zależne od pochodnych cząstkowych drugiego rzędu, jest też zależna od kwadratu funkcji falowej, która jest rozwiązaniem równania Klieina-Gordona:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {2}}{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\partial _{\mu }\psi \partial ^{\mu }\psi -{{1} \over {2}}m_{0}c^{2}\psi ^{2}\;$

(29.24)

Pierwszy człon jest związany z energią kinetyczną kwantowej cząstki, a drugi masowy człon jest związany z energią potencjalną.

Na podstawie definicji tensorowych pochodnych napiszmy wyrażenie, które można rozpisać względem współrzędnych czasowych i przestrzennych:

$\partial _{\mu }\psi \partial ^{\mu }\psi =\partial _{0}\psi \partial _{0}\psi -\partial _{k}\psi \partial _{k}\psi \;$

(29.25)

• gdzie: $k=0,1,2\;$.

Można udowodnić na podstawie definicji Lagrangianu (29.25), że zachodzi dla pierwszego wyrazu we wzorze Eulera-Lagrange'a (29.23), pisząc pochodną gęstości lagrangianu względem czasu, a później względem współrzędnych przestrzennych:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial (\partial _{0}\psi )}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \left({{\partial \psi } \over {\partial ct}}\right)}}={{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\partial _{0}\psi \;$

(29.26)

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial (\partial _{k}\psi )}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \left({{\partial \psi } \over {\partial x_{k}}}\right)}}=-{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\partial _{k}\psi \;$

(29.27)

Obliczamy ostatni wyraz występujący w równaniu Eulera-Lagrange'a (29.23), który jest pochodną gęstości Lagrangianu względem funkcji falowej.

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \psi }}=-m_{0}c^{2}\psi \;$

(29.28)

Równość (29.23), który jest zapisany przy pomocy pochodnej czasowej i przestrzennej, wyznaczamy biorąc pochodną czasową wyrażenia (29.26) i pochodną przestrzenną wyrażenia (29.27):

$\partial _{\mu }\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{0}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial (\partial \psi _{0})}}\right)+\partial _{k}\left({{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial (\partial \psi _{k})}}\right)=\partial _{0}^{2}\psi -\partial _{k}^{2}\psi ={{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left({{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial ^{2}t}}-\nabla ^{2}\psi \right)\;$

(29.29)

W sposób ostateczny podstawiając (29.28) (pochodna względem funkcji falowej gęstości Lagrangianu) i (29.29) (drugich pochodnych względem współrzędnej czasowej i współrzędnych przestrzennych) do wzoru wariacyjnego (29.21), otrzymujemy:

${{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}}}\left({{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\psi \right)+{{1} \over {2}}m_{0}c^{2}\psi =0\Rightarrow {{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}}}\left[{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\psi \right]=-{{1} \over {2}}m_{0}c^{2}\psi \Rightarrow {{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\psi =-{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi \Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(\nabla ^{2}-{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial t^{2}}}\right)\psi ={{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi$

(29.30)

lub łatwiej korzystając z definicji operatora d'Alemberta (25.7):

$\square \psi ={{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

(29.31)

Równanie (29.31) jest to równaniem mechaniki Klieina-Gordona teorii kwantów nieuwzględniający spinów cząstek.

Relatywistyczne równanie Diraca, pole i jego Lagrangian

Wiemy, że Hamiltonian równania Diraca przyjmuje postać zlinearyzowaną określoną według wzoru (29.7), a jego równanie zależne od czasu jest w postaci (29.4). Podstawiając Hamiltonian Diraca do równania Diraca równania zależnego od czasu, dostajemy:

$\left\{c{\hat {\alpha }}{\hat {p}}+m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}\right\}\psi =i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial t}}\;$

(29.32)

Podstawiamy definicję operator pędu (6.11) do równania Diraca (29.32), dochodzimy do wniosku:

$\left\{-ic{\hat {\alpha }}\hbar \nabla +m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}\right\}\psi =i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial t}}\;$

(29.33)

Dokonując prostych przenosin wyrazów z związanych z pochodną czasową z prawej strony wzoru na jej lewą, dalej włączając je pod nawias przed czynnikiem, który jest iloczynem jednostki urojonej i stałej kreślonej Plancka:

$\left\{i\hbar \left({{\partial \psi } \over {\partial t}}+c{\hat {\alpha }}\nabla \right)-m_{0}c^{2}{\hat {\beta }}\right\}\psi =0\;$

(29.34)

Mnożymy obustronnie równość (29.34) przez operator ${\hat {\beta }}\;$, oraz wykorzystujemy, że zachodzi tożsamość operatorowa (26.10), wiemy:

$\left\{i\hbar c\left({\hat {\beta }}{{\partial } \over {\partial ct}}+{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\nabla \right)-m_{0}c^{2}\right\}\psi =0\;$

(29.35)

W prowadźmy zdefiniowany tensor poniżej, który nazwiemy kontrkowariantnym tensorem γ^μ:

$\gamma ^{\mu }=\left({\hat {\beta }},{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}\right)\;$

(29.36)

Przy pomocy (29.36) i definicji czterooperatora kowariantnego różniczkowania (29.19) wyrażenie (29.35) przyjmuje bardziej zwartą tensorową postać:

$\left(i\hbar c\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{0}c^{2}\right)\psi =0\;$

(29.37)

W kwantowej mechanice relatywistycznej Diraca przyjmujemy definicje oparte na tensorach czterowektorów pochodnych kowariantnych (29.19) i kontrkowariantnych (29.20) oraz zdefiniujemy nową funkcję ${\overline {\psi }}\;$, których definicję poznamy poniżej:

${\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}=\gamma ^{\mu }{\overset {\rightarrow }{\partial }}_{\mu }\;$

(29.38)

${\overset {\leftarrow }{\not {\partial }}}=\gamma ^{\mu }{\overset {\leftarrow }{\partial }}_{\mu }\;$

(29.39)

${\overset {\leftrightarrow }{\not {\partial }}}=\gamma ^{\mu }{\overset {\leftrightarrow }{\partial }}_{\mu }\;$

(29.40)

${\overline {\psi }}=\psi ^{+}\gamma ^{0}=\psi ^{+}{\hat {\beta }}\;$

(29.41)

Równanie (29.37) dzielimy obustronnie przez wyrażenie urojone $i\hbar \;$, dostajemy tożsamość:

$\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+i{{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)\psi =0\Rightarrow \left({\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}+i{{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)\psi =0\;$

(29.42)

Jest to równanie ruchu Diraca dla cząstki kwantowej. Z skonstruujemy gęstość lagrangianu dla pola opisujących kwantowe cząstki o spinie równym $s={{1} \over {2}}\;$ w równaniu Diraca , co prowadzi do definicji tejże wielkości:

${\mathfrak {L}}={\overline {\psi }}(i\hbar c{\overset {\leftrightarrow }{\not {\partial }}}-m_{0}c^{2})\psi \;$

(29.43)

• gdzie zachodzi tożsamość:

${\overset {\leftrightarrow }{\partial }}={{1} \over {2}}{\overset {\rightarrow }{\partial }}+{{1} \over {2}}{\overset {\rightarrow }{\partial }}^{+}={{1} \over {2}}{\overset {\rightarrow }{\partial }}-{{1} \over {2}}{\overset {\leftarrow }{\partial }}\;$

(29.44)

Równanie (29.43) możemy zapisać w postaci rozwiniętej, jeśli przy czym skorzystamy z definicji operatora zdefiniowanego w punkcie (29.44), ten nasz wspomniany Lagrangian Diraca możemy rozpisać wedle sposobu:

${\mathfrak {L}}={{i\hbar c} \over {2}}{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }({\overset {\rightarrow }{\partial _{\mu }}}\psi )-{{i\hbar c} \over {2}}({\overline {\psi }}{\overset {\leftarrow }{\partial _{\mu }}})\gamma ^{\mu }\psi -m_{0}c^{2}{\overline {\psi }}\psi \;$

(29.45)

Można policzyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem współrzędnych czasoprzestrzeni czterowymiarowej dla gęstości Lagrangianu napisanego wedle (29.45), zatem mamy:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial (\partial _{\mu }{\overline {\psi }})}}=-{{i\hbar c} \over {2}}\gamma ^{\mu }\psi \;$

(29.46)

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\overline {\psi }}}}={{i\hbar c} \over {2}}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m_{0}c^{2}\psi \;$

(29.47)

Co ostatecznie z równania (29.21) (równanie Eulera-Lagrange) przy pomocy obliczonych już wyrażeń (29.46) i (29.47), oraz łącząc te dwie pochodne w wspomniane powyżej równania wariacyjnego, dostajemy:

$\partial _{\mu }\left(-{{i\hbar c} \over {2}}\gamma ^{\mu }\psi \right)-{{i\hbar c} \over {2}}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +m_{0}c^{2}\psi =0\;$

(29.48)

Z wyrażeniu (29.48) redukujemy wyrazy podobne, mamy:

$-i\hbar c\partial _{\mu }\gamma ^{\mu }\psi +m_{0}c^{2}\psi =0\;$

(29.49)

Równanie (29.49) dzielimy obustronnie przez stałą urojoną $-i\hbar c\;$, dochodzimy do wniosku, że:

$\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+i{{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)\psi =0\;$

(29.50)

Otrzymaliśmy równanie (29.50), które jest takie same jak w punkcie (29.42), które jest równaniem mechaniki kwantowej Diraca.

Jeśli będziemy różniczkować po ψ, a nie po ${\overline {\psi }}\;$, to otrzymamy inne równanie:

${\overline {\psi }}\left({\overset {\leftarrow }{\not {\partial }}}-i{{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)=0\;$

(29.51)

Udowodnimy, że równanie (29.51) jest równoważne równaniu (29.42). Wykorzystując definicję funkcji ${\overline {\psi }}\;$ zapisaną w schemacie (29.41) w równaniu (29.51) dostajemy:

$\psi ^{+}{\hat {\beta }}\left({\overset {\leftarrow }{\not {\partial }}}-{{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)=0\;$

(29.52)

Mnożymy prawostronnie równanie (29.52) przez operator ${\hat {\beta }}\;$, to wiemy wtedy na pewno:

$\psi ^{+}\left({\hat {\beta }}\gamma ^{\mu }{\hat {\beta }}{\overset {\leftarrow }{\partial _{\mu }}}-i{\hat {\beta }}^{2}{{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)=0\;$

(29.53)

Wyznaczmy sprzężenie hermitowskie operatora występującego w równaniu (29.53) - po tej operacji dostaniemy operator (29.36).

$({\hat {\beta }}\gamma ^{\mu }{\hat {\beta }})^{+}={\hat {\beta }}{\left(\gamma ^{\mu }\right)}^{+}{\hat {\beta }}={\hat {\beta }}({\hat {\beta }},{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}){\hat {\beta }}=({\hat {\beta }}{\hat {\beta }}{\hat {\beta }},{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}{\hat {\beta }}{\hat {\beta }})=({\hat {\beta }},{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k})=\gamma ^{\mu }\;$

(29.54)

Jeśli przedtem wykorzystamy wzór operatorowy (26.10), a potem będziemy sprzęgać po hermitowsku wyrażenie różniczkowe (29.53), korzystając przy tym z tożsamości operatorowej (29.54), to otrzymamy równanie (29.50), które jest równoważne równaniu (29.37).

Równanie Kleina-Gordona, a równania Diraca w teorii kwantów

Podziałajmy prawostronnie na równanie Diraca mechaniki relatywistycznej opisujących cząstki spinie połówkowym (29.42) operatorem: ${\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}-i{{m_{0}c} \over {\hbar }}\;$, otrzymujemy:

$\left({\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}-i{{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)\left({\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}+i{{m_{0}c} \over {\hbar }}\right)\psi =0\;$

(29.55)

Podczas działania operatorem w tym przypadku różniczkowania cząstkowego na prawą i lewą stronę równań Diraca, to ono prawostronnie jest równe zero. Sprawdźmy, czy dostaniemy równanie Klieina-Gordona. Jeśli otrzymamy to równanie, to zbiór rozwiązań równania Diraca jest podzbiorem zbioru rozwiązań równania Kliena-Gordona dla ruchu swobodnego. Dokonując wymnożeń w (29.55), mamy:

$\left({\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}^{2}+i{{m_{0}c} \over {\hbar }}{\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}-i{{m_{0}c} \over {\hbar }}{\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}+{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\right)\psi =0\Rightarrow \left({\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}^{2}+{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\right)\psi =0\;$

(29.56)

Ale jeśli na równość różniczkową (29.56) podziałamy operatorem odwrotnym do ${\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}-i{{m_{0}c} \over {\hbar }}\;$ to otrzymamy równanie Diraca (29.42), wtedy równania Diraca zawierają sobie zbiór rozwiązań równania Klieina-Gordona. Zatem na podstawie poprzednich rozważań dostajemy, że rozwiązania w obu teoriach są takie same. Wyznaczmy kwadrat operatora (29.38) występujących w równaniu (29.54), korzystając przy tym z definicji operatora (29.38) poprzez (29.19), zatem:

${\overset {\rightarrow }{\not {\partial }}}^{2}=\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\right)^{2}=\left({\hat {\beta }}{{\partial } \over {c\partial t}}+{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}\nabla _{k}\right)^{2}=\left({\hat {\beta }}{{\partial } \over {c\partial t}}+{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{l}\nabla _{l}\right)\left({\hat {\beta }}{{\partial } \over {c\partial t}}+{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}\nabla _{k}\right)={\hat {\beta }}^{2}\left({{\partial } \over {\partial ct}}\right)^{2}+{\hat {\beta }}{{\partial } \over {c\partial t}}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}\nabla _{k}+\;$
$+{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{l}\nabla _{l}{\hat {\beta }}{{\partial } \over {c\partial t}}+{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{l}\nabla _{l}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}_{k}\nabla _{k}={{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}-{{1} \over {2}}\{{\hat {\alpha }}_{k},{\hat {\alpha }}_{l}\}\nabla _{k}\nabla _{l}={{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}-\nabla _{l}\nabla _{l}={{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\overset {\rightarrow }{\partial }}^{2}=-\square \;$

(29.57)

Równanie (29.54), na podstawie (29.57) otrzymanej tożsamości na operatorach różniczkowania według konwencji Eulera-Lagrange, przyjmuje postać:

$\left({\overset {\rightarrow }{\partial }}^{2}+{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\right)\psi =0\Rightarrow \square \psi ={{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi \;$

Ostatnie równanie jest zgodne z równaniem (29.29), a więc z równaniem Kliena-Gordona, czyli nasze rozważania co do mechaniki Klieina-Gordona opisujących cząstki o spinie zerowym i co do mechaniki Diraca są poprawne.