Mechanika kwantowa/Postulat czwarty mechaniki kwantowej

Postulat czwarty mechaniki kwantowej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Postulat czwarty mechaniki kwantowej (Pos.  11.1)
Ten postulat dotyczy o rozwoju funkcji falowej w czasie, którego równanie jest określone przez równanie falowe zależne od czasu.

W przyrodzie wszystko się zmienia, a więc jest zależne od czasu, rzadko się zdarza, aby układ falowy był niezależny od czasu. Równanie zależne od czasu jest:

${\hat {H}}\psi _{\lambda \mu }=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi _{\lambda \mu }\;$

(11.1)

Wyprowadzenie równania falowego zależnego i niezależnego od czasu

W poniższych rozważaniach mówimy, że wektor położenia, pędu, czy wektora falowego, mówimy, że są to wektory kolejno poszczególnych cząstek wchodzących w skład układu zamkniętego, tzn.:

${\vec {r}}=[{\vec {r}}_{i}]_{nN\times 1}\;$

(11.2)

${\vec {p}}=[{\vec {p}}_{i}]_{nN\times 1}\;$

(11.3)

${\vec {k}}=[{\vec {k}}_{i}]_{nN\times 1}\;$

(11.4)

• Gdzie $n\;$ to liczba wymiarów przestrzeni, a $N\;$ jest to liczba cząstek.

Prawa mechaniki nierelatywistycznej kwantowej Schrödingera rozważane są słuszne jedynie dla pól elektromagnetostatycznych, czyli dla pól elektrycznych i magnetycznych, stałych w czasie.

Rozważania ogólne

Wyprowadzimy według mechaniki klasycznej dlaczego operator pędu, momentu pędu, energii i równanie zależne od czasu jest takie a nie inne. Wprowadźmy równanie całkowitej funkcji falowej. Wiadomo, że liczba falowa w zależności od pędu uogólnionego wyraża się wzorem (1.26), stąd można wyznaczyć wektor liczby falowej:

${\vec {k}}={{\vec {p}} \over {\hbar }}$

(11.5)

W równaniu (11.5), jeśli znamy wektor pędu uogólniony cząstki ${\vec {p}}\;$, jeśli traktować cząstki jako korpuskuły, możemy wyznaczyć wektor falowy ${\vec {k}}\;$, jeśli traktować cząstki jak fale. Częstotliwością kołową wyrażamy ze wzoru (1.15):

$\omega ={{E} \over {\hbar }}\;$

(11.6)

W równaniu (11.6), jeśli znamy energię cząstki $E\;$, to można policzyć jej częstotliwość kołową, jeśli fotony traktować jako fale. Jeśli potraktować cząstki jako fale, to jego funkcja falowa w zależności od wektora liczby falowej i jego częstotliwości kołowej jest:

$\psi ({\vec {r}},t,{\vec {k}},\omega )=Ae^{i\left({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t\right)}{\mbox{ gdzie }}{\vec {k}}{\vec {r}}=\sum _{i=1}^{nN}k_{i}x_{i}$

(11.7)

W (11.7) iloczyn skalarny wektora falowego i wektora położenia dla N cząstek jest napisany po wszystkich współrzędnych cząstek wektora falowego i położenia cząstek. Gdzie $A\;$ jest to stała normująca funkcję falową (11.7). Podstawiając wielkość za ${\vec {k}}\;$ wzór (11.5) (zależność od wektora pędu uogólnionego) i za ω wzór (11.6) (zależność od energii niesionej przez falę), mamy wtedy funkcję falową dla skokowych wartości $E_{i}\;$ i ${\vec {p}}_{i}\;$:

$\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{k},E_{k})=Ae^{i\left({{{\vec {p}}_{k}} \over {\hbar }}{\vec {r}}-{{E_{k}} \over {\hbar }}t\right)}=Ae^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}_{k}\cdot {\vec {r}}-E_{k}t\right)}=Ae^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}_{k}\cdot {\vec {r}}-E_{k}t\right)}\Rightarrow \psi ({\vec {r}},t)=\sum _{k}c({\vec {p}}_{k},E_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{k},E_{k})\;$

(11.8)

Lub dla ciągłych zmian wartości $E\;$ i ${\vec {p}}\;$:

$\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=Ae^{i\left({{\vec {p}} \over {\hbar }}{\vec {r}}-{{E} \over {\hbar }}t\right)}=Ae^{{{i} \over {n\hbar }}\left({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et\right)}=Ae^{{{i} \over {\hbar }}\left({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et\right)}\Rightarrow \psi ({\vec {r}},t)=\int c({\vec {p}},E)\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)d^{nN}{\vec {k}}\;$

(11.9)

W równaniach (11.8) i (11.9) pęd jest to pęd uogólniony po wszystkich współrzędnych N cząstek, czyli tych współrzędnych jest 3N, a tak samo wektor położenia ${\vec {r}}\;$ jest po 3N współrzędnych przestrzennych. Albo dla dyskretno-ciągłych zmian wektora $E\;$ i ${\vec {p}}\;$, tzn. gdy całkowita funkcja falowa jest sumą części dyskretnej i ciągłej ortogonalne między sobą:

$\psi ({\vec {r}},t)=\psi _{d}({\vec {r}},t)+\psi _{c}({\vec {r}},t)=\sum _{k}c({\vec {p}}_{k},E_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{k},E_{k})+\int c({\vec {p}},E)\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)d^{nN}{\vec {k}}\;$

(11.10)

W równaniach odpowiednio (11.8) i (11.9) w funkcjach na $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{i},E_{i})\;$ i $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ wyznaczamy stałą $A\;$ normując je dla $t=0\;$ odpowiednio do delty Kroneckera albo delty Diraca. W (11.8) i (11.9) we wzorach na $\psi ({\vec {r}},t)\;$ można powiązać energię z pędem uogólnionym według wzoru na równanie własne energii równania niezależnego od czasu. Funkcje $\psi ({\vec {r}},t)\;$ w powyższych dwóch wzorach to są funkcje falowe przedstawiające fale prawdopodobieństwa. Wyznaczmy wyrażenie, czyli pierwszą pochodną wyrażenia funkcji falowej $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ (11.8) i (11.9) zależną od liczby pędu i energii (jeśli traktować cząstki jako fale) względem i-tej współrzędnej położenia:

${{\partial } \over {\partial x_{k}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=Ae^{{{i} \over {\hbar }}({\vec {p}}{\vec {r}}-Et)}{{ip_{m}\delta _{km}} \over {\hbar }}=\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E){{ip_{k}} \over {\hbar }}$

(11.11)

A k-ta współrzędna operatora pędu według (11.12) tak samo jak dla operatora pędu zdefiniowanej w mechanice kwantowej, czyli tak jak w punkcie (6.3) jest zdefiniowana jako:

${\hat {p}}_{k}=-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{k}}}\Rightarrow {\hat {p}}_{k}=-i\hbar \nabla _{k}$

(11.12)

Na podstawie (11.11) i (11.12) mamy równanie, które jest równaniem własnym operatora pędu dla współrzędnej k-tej bo (11.12):

$-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{k}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow {\hat {p}}_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})$

(11.13)

Sumujemy funkcje falowe $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})\;$ dla stanów dla pędu uogólnionego k-tej współrzędnej $p_{k}\;$ oraz ogólnie różnych energii $E\;$ otrzymując:

${\hat {p}}_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})=p_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})$

(11.14)

Wyprowadzenie współrzędnych operatora momentu pędu jest oczywiste bo możemy podziałać na (11.14) operatorowo wyrażeniem ${\vec {r}}\times \;$, co w końcu sumując ze współczynnikami funkcje $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {L}})$ dla takich samych ${\vec {L}}\;$ i różnych ${\vec {p}}\;$, otrzymujemy równanie własne operatora momentu pędu:

${\vec {r}}\times {\hat {p}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})={\vec {r}}\times {\vec {p}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})\Rightarrow {\hat {L}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})={\vec {L}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}})\Rightarrow {\hat {L}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {L}})={\vec {L}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {L}})$

(11.15)

Operator momentu pędu ${\hat {L}}\;$ i wektor momentu pędu ${\vec {L}}\;$ są po 3N współrzędnych.

Dowód niepełny

Następnie wyznaczmy drugą pochodną wyrażenia falowego (11.8) i (11.9) względem k-tej współrzędnej położenia, co stąd dla pędu uogólnionego:

${{\partial ^{2}} \over {\partial x_{k}^{2}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})={{\partial } \over {\partial x_{k}}}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})={{\partial } \over {\partial x_{k}}}i{{p_{k}} \over {\hbar }}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=i{{p_{k}} \over {\hbar }}i{{p_{k}} \over {\hbar }}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=-{{p_{k}^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=\;$
$=-{{p_{k}^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow (-i\hbar \nabla _{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow {\hat {p}}^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})$

(11.16)

Na podstawie (11.14) możemy zapisać równanie własne operatora różnicy operatora pędu ${\hat {p}}_{k}\;$ i iloczynu dla ciała o ładunku $q_{k}\;$ przez potencjał wektorowy pola magnetycznego $A_{k}\;$, wiedząc, że wskaźnik $k\;$ jest po 3N współrzędnych (wskaźnik $k\;$ jest od 1 do 3N) dla N cząstek, $q_{3i},q_{3i+1},q_{3i+2}\;$ jest to oznaczenie tego samego ładunku i-tej cząstki (wskaźnik $i\;$ jest do 1 do N), który to wszystko razem zapisujemy:

${\hat {p}}_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=p_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\wedge q_{k}A_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=q_{k}A_{k}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow ({\hat {p}}_{k}-q_{k}A_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=\;$
$=(p_{k}-q_{k}A_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow ({\hat {p}}_{k}-q_{k}A_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({p}_{k}-q_{k}A_{k})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$

(11.17)

Zakładamy, że ${\hat {p}}_{k}-q_{k}A_{k}\;$, jest operatorem zależnym ogólnie od czasu i od położenia, a $({p}_{k}-q_{k}A_{k})\;$ jest jego wartością własną. Na równanie własne (11.17) podziałajmy operatorem ${\hat {p}}_{k}-q_{k}A_{k}\;$ obustronnie, tak by otrzymać równanie własne kwadratu tego naszego operatora, otrzymujemy:

$({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\hat {p}}-q{\vec {A}})({\vec {p}}-q{\vec {A}})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow ({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\vec {p}}-q{\vec {A}})({\hat {p}}-q{\vec {A}})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})+iq\hbar (\nabla A)\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})$
$\Rightarrow ({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\vec {p}}-q{\vec {A}})({\vec {p}}-q{\vec {A}})\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\Rightarrow ({\hat {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$

(11.18)

• Powyższe równanie zachodzi przy polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym) przy cechowaniu Coulomba $\nabla {\vec {A}}=0\;$ dla działu magnetostatyki, bo wektor ${\vec {A}}\;$ jest funkcją.

Wtedy równanie (11.18) dla różnych $k\;$ (cząstek) możemy przepisać:

$({\hat {\vec {p}}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})=({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},{\vec {E}})\;$

(11.19)

Energia mechaniczna cząstki w polu elektromagnetycznym z uwzględnieniem potencjału wektorowego i skalarnego przedstawia się:

$E=\sum _{i}{{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\underbrace {\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}} _{U}$

(11.20)

• gdzie:
• ${\vec {p}}\;$ jest to pęd uogólniony cząstki w polu wektorowym magnetycznym ${\vec {A}}\;$.
• m-masa cząstki
• $U$ jest energia potencjalna układu cząstek.
• $E\;$ energia mechaniczna układu cząstek.

Wymnóżmy obie strony (11.20) przez funkcję $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$, idąc dalej podstawiamy wzór (11.19) do tak otrzymanego wzoru, a dokładniej do części z energią kinetyczną, mamy:

$E\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\left[\sum _{i}{{({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right]\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=\;$
$=\left[\sum _{i}{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}\right]\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)$

(11.21)

Oznaczmy jako operator energii wyrażenie w postaci:

${\hat {H}}=\sum _{i}{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}+\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}\cdot +\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}\cdot +\sum _{ij,i<j}U_{ij}\cdot +\sum _{i}U_{i}\cdot \;$

(11.22)

Wyrażenie w równaniu (11.22) nazwijmy Hamiltonianiem według (6.41), wtedy otrzymujemy równanie własne energii stanu $E\;$ przy pomocy definicji operatora Hamiltonianu (11.22), wtedy równość (11.21) piszemy:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=E\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$

(11.23)

Sumując $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t,E)\;$ biorąc takie $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ by były dla stanów dla energii $E\;$ oraz ogólnie różnych pędów uogólnionych ${\vec {p}}\;$, wtedy:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,E)=E\psi ({\vec {r}},t,E)\;$

(11.24)

Równość (11.24) jest równaniem własnym operatora energii. Jak widzimy w (11.24) operator ${\hat {H}}\;$ jest to operator energii mechanicznej cząstki bo wartością własną jest ta właśnie energia tego stanu, tzn. $E\;$. Policzmy pochodną wyrażenia funkcji falowej (11.8) i (11.9) względem czasu:

${{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=-i{{E} \over {\hbar }}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)$

(11.25)

A zatem z równania różniczkowego (11.25) po przekształceniach, mamy:

$E\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)$

(11.26)

Sumując $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t,E)\;$ we wzorze (11.26) biorąc takie $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ by były dla stanów dla energii $E\;$ oraz ogólnie różnych pędów uogólnionych ${\vec {p}}\;$, mamy:

$E\psi ({\vec {r}},t,E)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,E)$

(11.27)

A zatem, jeśli zachodzi (11.23) i (11.26) oraz łącząc te dwa wspomniane wzory, tzn. lewą stronę pierwszego wzoru z prawą stroną tego drugiego, dostajemy:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)$

(11.28)

Sumujemy funkcje $\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E)\;$ ze współczynnikami do $\psi ({\vec {r}},t)\;$ dla stanów dla ogólnie różnych energii $E\;$ i pędów uogólnionych ${\vec {p}}\;$, wtedy:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)$

(11.29)

Dowód pełny

Napiszmy wzór na średni kwadrat pędu klasyczny mając pęd uogólniony i potencjał tensorowy pola elektromagnetycznego, jako (10.1), wtedy napiszmy, gdy długość funkcji falowej jest równa jedynce, wtedy:

${\overline {T}}=\sum _{i}{\overline {{({\vec {p}}-q{\vec {A}})_{i}^{2}} \over {2m_{i}}}}=\sum _{i}{{\left(\psi \left|{{({\hat {p}}-q{\vec {A}})_{i}^{2}} \over {2m_{i}}}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=\sum _{i}\sum _{j}{{({\vec {p}}-q{\vec {A}})_{ij}^{2}} \over {2m_{i}}}|c_{ij}|^{2}+\sum _{i}\int _{\vec {k}}{{({\vec {p}}-q{\vec {A}})_{i}^{2}} \over {2m_{i}}}({\vec {k}})|c_{i}({\vec {k}})|^{2}d^{n}{\vec {k}}$

(11.30)

• Powyższe równanie zachodzi przy polu magnetostatycznym (w polu magnetycznym stałym) przy cechowaniu Coulomba $\nabla {\vec {A}}=0\;$ dla działu magnetostatyki, bo wektor ${\vec {A}}\;$ jest funkcją.

A średnia operatora energii potencjalnej:

${\overline {U}}={{\left(\psi \left|{\hat {U}}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=\sum _{i}U_{i}|c_{i}|^{2}+\int _{\vec {k}}U({\vec {k}})|c({\vec {k}})|^{2}d^{nN}{\vec {k}}\;$

(11.31)

I średnia wartości energii mechanicznej układu:

${\overline {E}}={{\left(\psi \left|E\right|\psi \right)} \over {\left(\psi |\psi \right)}}=\sum _{i}E_{i}|c_{i}|^{2}+\int _{\vec {k}}E({\vec {k}})|c({\vec {k}})|^{2}d^{nN}{\vec {k}}\;$

(11.32)

• Równanie (11.30) jest dla pojedynczej cząstki dla przestrzeni $n\;$-wymiarowej, dla funkcji falowej $\psi \;$ dla $N\;$ cząstek.

Widzimy na podstawie wzorów na (11.30), (11.31) i (11.32), ale końcowe obliczenia, że są to średnie wielkości jakiś operatorów, z definicji średniej operatora, a $|c_{i}|^{2}\;$ i $|c(k)|^{2}\;$ mają kolejno sens prawdopodobieństwa i gęstości prawdopodobieństwa w przestrzeni Euklidesowej n-wymiarowej. Napiszmy równanie na energię mechaniczną (hamiltonian), wtedy dowiemy się jak wyprowadzić wzór na równanie własne niezależne od czasu:

${\overline {T}}+{\overline {U}}={\overline {E}}\wedge {\overline {H}}={\overline {E}}\Rightarrow \sum _{i}{{\overline {({\vec {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}}} \over {2m_{i}}}+{\overline {\underbrace {\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}} _{\overline {U}}}}={\overline {E}}\;$

(11.33)

Podstawmy wzór na definicję średnią wartość kwadratu pędu klasycznego, tzn. (11.30), operatora energii potencjalnej, tzn. (11.31) i operatora energii całkowitej (mechanicznej), tzn. (11.32), do wzoru (11.33), zatem:

$\sum _{i}{{\left(\psi \left|{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi {\Bigg |}\psi \right)}}+{{\left(\psi \left|\underbrace {\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}} _{\hat {U}}\right|\psi \right)} \over {\left(\psi {\Bigg |}\psi \right)}}=\;$
$={{\left(\psi \left|E\right|\psi \right)} \over {\left(\psi {\Bigg |}\psi \right)}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(\psi \left|\underbrace {\underbrace {\sum _{i}{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}} _{\hat {T}}+\underbrace {\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}+\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}+\sum _{ij,i<j}U_{ij}+\sum _{i}U_{i}} _{\hat {U}}} _{\hat {H}}-E)\right|\psi \right)=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \left(\psi \left|{\hat {H}}-E\right|\psi \right)=0\;$

(11.34)

Do dowodu będzie potrzebny lemat:

Twierdzenie lematu na iloczynach skalarnych (Twier.  11.1)
Niech mamy spełniony wzór dla dowolnych $x\;$ i $y$, to:

$(x|{\hat {A}}|x)=0\Leftrightarrow (x|{\hat {A}}|y)=0\;$

(11.35)

Dowód twierdzenia (Twier. 11.1) na iloczynach skalarnych (Dow.  11.1)
Udowodnijmy tożsamość, wykorzystując (11.35):

$0=\left((x+y)|{\hat {A}}|(x+y)\right)=2\operatorname {Re} (x|{\hat {A}}|y)\Rightarrow \operatorname {Re} (x|{\hat {A}}|y)=0\;$

(11.36)

Też można powiedzieć na podstawie dowodu (11.36) przy dowolnym wektorze $y\;$, robiąc $y\rightarrow -iy\;$:

$0=\operatorname {Re} (x|{\hat {A}}|-iy)=\operatorname {Re} \left(-i(x|{\hat {A}}|y)\right)\Rightarrow \operatorname {Im} (x|{\hat {A}}|y)=0\;$

(11.37)

Na podstawie dowodu: (11.36) i (11.37), mamy:

$(x|{\hat {A}}|y)=\operatorname {Re} (x|{\hat {A}}|y)+i\operatorname {Im} (x|{\hat {A}}|y)=0+0=0\Rightarrow (x|{\hat {A}}|y)=0\;$

(11.38)

Odwrotny dowód też jest prawdziwy, bo z oczywistych powodów, mamy wtedy $y=x\;$:

$(x|{\hat {A}}|y)=0\Rightarrow (x|{\hat {A}}|x)=0\;$

(11.39)

Co dowód ukończono twierdzenia (11.35).

Z definicji iloczyny skalarnego z (11.34) z twierdzenia (Twier. 11.1) według praw algebry na iloczynach skalarnych w matematyce o funkcjach falowych ogólnie zespolonych:

$\left(\phi |{\hat {H}}-E|\psi ({\vec {r}},t,E)\right)=0\;$

(11.40)

Też nożna powiedzieć naz podstawie (Twier. 11.1) elementy macierzowe względem dwóch dowolnych funkcji:

$\left(\phi |{\hat {H}}-E|\psi \right)=0\;$

(11.41)

Dla dowolnego wektora $\phi \;$ przy ściśle określonej bazie funkcji $\psi ({\vec {r}},t,E)$ otrzymujemy równanie niezależne od czasu własne operatora energii mechanicznej:

$({\hat {H}}-E)\psi ({\vec {r}},t,E)=0\Rightarrow {\hat {H}}({\vec {r}},t)\psi ({\vec {r}},t,E(t))=E(t)\psi ({\vec {r}},t,E(t))\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\hat {H}}({\vec {r}},t=0)\psi ({\vec {r}},t=0,E(t=0))=E(t=0)\psi ({\vec {r}},t=0,E(t=0))\;$

(11.42)

Weźmy równanie własne hamiltonianu zależne od parametru czasowego, wtedy dowiemy się, że energia jako wartość własna nie zależy od czasu:

${\hat {H}}({\vec {r}},t,E(t))\psi ({\vec {r}},t,E(t))=E(t)\psi ({\vec {r}},t,E(t))\Rightarrow T^{+}{\hat {H}}({\vec {r}},t,E(t))TT^{+}\psi ({\vec {r}},t,E)=E(t)T^{+}\psi ({\vec {r}},t,E(t))\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\hat {H}}({\vec {r}},0,E(0))\psi ({\vec {r}},0,E(0))=E(t)\psi ({\vec {r}},0,E(0))\Rightarrow E(t)=E(0)=E\;$

(11.43)

Czyli na podstawie (11.43) wartość własna $E\;$ jest niezależna od czasu.

Twierdzenie spełnioności dowolnych średnich w mechanice kwantowej (Twier.  11.2)
Jeżeli mamy:

${\hat {A}}\psi (\lambda )=\lambda \psi (\lambda )$

(11.44)

To zachodzi dla dowolnych funkcji $\phi \;$:

$(\phi |({\hat {A}}-\lambda )|\psi (\lambda ))=0\;$

(11.45)

Wzór (11.45), możemy zsumować względem $\lambda \;$ przy współczynnikach, wtedy otrzymamy, mając:

$\phi =\sum _{i}c(\lambda _{i})\psi (\lambda _{i})+\int c(\lambda )\psi (\lambda )d\lambda \;$

(11.46)

Na podstawie (11.46) orzymujemy z (11.45):

$(\phi |({\hat {A}}-\lambda )|\phi )=0\Rightarrow (\phi |{\hat {A}}|\phi )=(\phi |\lambda |\phi )\Rightarrow {{(\phi |{\hat {A}}|\phi )} \over {(\phi |\phi )}}={{(\phi |\lambda |\phi )} \over {(\phi |\phi )}}\Rightarrow {\overline {\hat {A}}}={\overline {\lambda }}\;$

(11.47)

Gdy średnia jest spełniona dla jednej funkcji własnej jakiegoś operatora dla $\phi =\psi (\lambda )\;$ (tutaj średnią podobnie się udowadnia jak w (11.47)), to jest spełniona dla jego dowolnych, bo (11.47) przy (11.46), mając (11.45).

Średnie jakiś wielkości (operatora) w równaniu na średnich są spełnione dla dowolnych funkcji na podstawie twierdzenia (Twier. 11.2), jeżeli wiadomo, że jego jedna średnia tego, dla jednej funkcji własnej tego operatora, jest spełniona w nim, w mechanice nierelatywistycznej kwantowej Schrödingera.

• Gdzie operator hamiltonianu jest równy:

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {U}}\wedge {\hat {H}}={\hat {E}}\wedge {\hat {T}}=\sum _{i}{{({\hat {p}}_{i}-q_{i}{\vec {A}}_{i})^{2}} \over {2m_{i}}}\wedge {\hat {U}}=\sum _{ij,i<j}q_{i}\varphi _{ij}\cdot +\sum _{i}q_{i}\varphi _{i}\cdot +\sum _{ij,i<j}U_{ij}\cdot +\sum _{i}U_{i}\cdot \;$

(11.48)

Napisz równanie wektora falowego:

$\psi ({\vec {r}},t)=\psi _{d}({\vec {r}},t)+\psi _{c}({\vec {r}},t)=\sum _{k}c({\vec {p}}_{k},E_{k}(t=0))\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}}_{k},E_{k}(t=0))+\int c({\vec {p}},E({\vec {k}},t=0))\psi ({\vec {r}},t,{\vec {p}},E(t=0))d^{nN}{\vec {k}}=\;$
$=\sum _{k}c(E_{k}(t=0))\psi ({\vec {r}},t=0,E_{k}(t=0))\psi (t,E_{k}(t=0))+\int c({\vec {\lambda }},E({\vec {\lambda }},t=0))\psi ({\vec {r}},t=0,E({\vec {\lambda }},t=0))\psi (t,E(t=0))d^{nN}{\vec {\lambda }}\;$

(11.49)

Funkcje falowe $\psi ({\vec {r}},t=0,E_{k}(t=0))\;$ i $\psi ({\vec {r}},t=0,E({\vec {\lambda }},t=0))\;$ są wartościami własnymi równania falowego własnego (11.42), dalej $\psi (t,E(t=0))=Ae^{-{{i} \over {\hbar }}E(t=0)t}\;$, a tego napiszmy równanie różniczkowe w postaci:

${{\partial } \over {\partial t}}\psi (t,E(t=0))=-{{i} \over {\hbar }}E(t=0)\psi (t,E(t=0))\Rightarrow i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi (t,E(t=0))=E(t=0)\psi (t,E(t=0))\;$

(11.50)

Równanie własne (11.42) pomnóżmy przez $\psi (t,E(t=0))$, a równanie (11.50) pomnóżmy przez $\psi ({\vec {r}},t=0,E(t=0))$, w takim razie, zakładając, że operator hamiltonianu ${\hat {H}}({\vec {r}},t)={\hat {H}}({\vec {r}},t=0)\;$ na podstawie operatora transformacji operatora hamiltonianu po przesunięciu w czasie od t=0 to t nierównej zero, generowanej przez operator ${\hat {H}}\;$, bo ${\hat {S}}={\hat {H}}\;$ i $a=-{{t} \over {\hbar }}\;$, na podstawie prawa (24.17) i definicji operatora transformacji (ewolucji) (24.7) ((11.73)):

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,E(t=0))=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t,E(t=0))\;$

(11.51)

Końcowe równanie składamy dla różnych $E(t=0)\;$ składamy liniowo względem stałych współczynników, wtedy na podstawie (11.49):

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)\;$

(11.52)

Równość (11.42) jest równaniem operatora energii niezależnym od czasu, równaniem jego własnym, a (11.52) jest równaniem zależnym od czasu operatora energii, czyli mamy na podstawie tego dwie równości:

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t,E)=E\psi ({\vec {r}},t,E)$

(11.53)

${\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)\;$

(11.54)

Równanie własne pędu i operatora momentu pędu jest w postaci kolejno: (11.14) i (11.15).

Nieoznaczność czasu i energii (dowód)

Napiszmy położenie statystyczne cząstki wiedząc, że $v_{i}\;$ możemy przenieść przed całkę zastępując ją przez jego wartość średnią, w zależności od czasu i położenia początkowego wiedząc ${\overline {v}}_{i}\;$ jest czasową średnią prędkości wewnątrz czasu $\Delta t\;$:

$x_{i}=\int v_{i}dt+x_{0i}={\overline {v}}_{i}\int dt+x_{0i}={\overline {v}}_{i}\Delta t+x_{0i}\Rightarrow x_{i}={\overline {v}}_{i}\Delta t+x_{0i}\Rightarrow x_{i}-x_{0i}={\overline {v}}_{i}\Delta t\Rightarrow \Delta x_{i}=|{\overline {v}}_{i}|\Delta t\;$

(11.55)

Jak wiemy cząstka od punktu $x_{0i}\;$ do punktu $x_{i}\;$ porusza się przy ogólnie niestałej prędkości, zakładamy, że cząstka porusza się statytycznie przy stałej prędkości od pierwszego punktu do drugiego z prędkością ${\overline {v}}_{i}\;$, w takim razie policzmy wzór na różniczkę statystycznego położenia w zależności od czasu $t\;$ i położenia początkowego $x_{0}\;$ w czasie $t_{0}\;$ w przedziale $(t_{0}+\Delta t,t_{0})\;$ wychodząc od:

$x_{i}={\overline {v}}_{i}(t-t_{0})+x_{0}$

(11.56)

To zależność różniczki położenia $x_{i}\;$ w zależności od różniczki czasu wykorzystując (11.56) przedstawia się:

$\partial x_{i}=\partial {\overline {v}}_{i}(t-t_{0})+{\overline {v}}_{i}\partial t={\overline {v}}_{i}\partial t\;$

(11.57)

Wykorzystując wzór na operator pędu (11.12) możemy ją przedstawić w zależności od czasu wykorzystując tożsamość (11.57):

${\hat {p}}_{i}=-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{i}}}=-i\hbar {{1} \over {{\overline {v}}_{i}}}{{\partial } \over {\partial t}}$

(11.58)

Wyznaczmy średnią operatora pędu wykorzystując tożsamość (11.58), co nam wyjdzie, że ona jest równa średniej energii wziętej z minusem podzielonej przez i-tą współrzędną średniej prędkości wiedząc, że prędkość ${\overline {v}}_{i}\;$ możemy włożyć przed całkę lub sumę w postaci ${\overline {v}}_{i}\;$ wykorzystując równanie zależne od czasu mechaniki kwantowej (11.29):

${\overline {p}}_{i}=\left(\psi \left|{\hat {p}}_{i}\right|\psi \right)=\left(\psi \left|-i\hbar {{\partial } \over {\partial x_{i}}}\right|\psi \right)=\left(\psi \left|-i\hbar {{1} \over {{\overline {v}}_{i}}}{{\partial } \over {\partial t}}\right|\psi \right)=-{{1} \over {{\overline {v}}_{i}}}\left(\psi \left|{\hat {H}}\right|\psi \right)=-{{1} \over {{\overline {v}}_{i}}}{\overline {E}}\;$

(11.59)

Wyznaczmy nieoznaczność pędu wiedząc, że prędkość ${\overline {v}}_{i}^{2}\;$ możemy włożyć ją przed całkę lub sumę wiedząc, że zachodzi równanie zależne od czasu operatora energii (11.29), średnia operatora pędu (11.59) i równanie zależne od czasu kwadratu operatora energii (11.29):

$(\Delta p_{i})^{2}=\left(\psi \left|\left({\hat {p}}_{i}-{\overline {p}}_{i}\right)^{2}\right|\psi \right)=\left(\left({\hat {p}}_{i}-{\overline {p}}_{i}\right)\psi {\Big |}\left({\hat {p}}_{i}-{\overline {p}}_{i}\right)\psi \right)={{1} \over {{\overline {v}}_{i}^{2}}}\left(\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-{\overline {E}}\right)\psi {\Big |}\left(i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}-{\overline {E}}\right)\psi \right)=\;$
$={{1} \over {{\overline {v}}_{i}^{2}}}\left(\left({\hat {H}}-{\overline {E}}\right)\psi {\Big |}\left({\hat {H}}-{\overline {E}}\right)\psi \right)={{1} \over {{\overline {v}}_{i}^{2}}}\left(\psi \left|\left({\hat {H}}-{\overline {E}}\right)^{2}\right|\psi \right)={{1} \over {{\overline {v}}_{i}^{2}}}(\Delta E)^{2}\Rightarrow \Delta p_{i}={{1} \over {|{\overline {v}}_{i}|}}\Delta E\;$

(11.60)

Na podstawie (11.60) i nierówności (10.65) można zapisać nieoznaczoność czasu i energii, mówiąc z jaką nieoznacznością zmierzymy daną energię ΔE, jeśli dany układ kwantowy istnieje w czasie Δt wykorzystując, że zachodzi (11.60) i nieoznaczność położenia w zależności od nieoznaczności czasu (11.55):

$\Delta p_{i}\Delta x_{i}={{1} \over {|{\overline {v}}_{i}|}}\Delta E|{\overline {v}}_{i}|\Delta t=\Delta E\Delta t\geq {{1} \over {2}}\hbar \Rightarrow \Delta E\Delta t\geq {{1} \over {2}}\hbar$

(11.61)

Stąd otrzymujemy nieoznaczność czasu i energii, co kończy tego dowód.

Rozwiązanie równania zależnego od czasu przy hamiltonianie niezależnym od czasu

Załóżmy, że hamiltonian jest niezależny od czasu i funkcje falowe, a więc załóżmy, że rozwiązanie jego jest iloczyn funkcji f zależnej od współrzędnych przestrzennych i funkcji g zależnej od wartości czasu:

$\psi (xyzt)=f(xyz)g(t)\;$

(11.62)

Podstawmy przypuszczalne rozwiązanie (11.62) do równania falowego zależnego od czasu (11.1), to równanie przyjmuje wtedy takową postać:

${\hat {H}}f(xyz)g(t)=i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}f(xyz)g(t)\;$

(11.63)

Teraz dzielimy obie strony równania (11.63) przez funkcję f(xyz)g(t), wtedy otrzymujemy:

${{{\hat {H}}f(xyz)} \over {f(xyz)}}=i\hbar {{{{\partial } \over {\partial t}}g(t)} \over {g(t)}}\;$

(11.64)

Ponieważ prawa strona jest zależna tylko od czasu, a lewa od xyz, jeśli hamiltonian cząstki jest niezależny od czasu (energia potencjalna jest niezależna od czasu w badanym układzie), to:

${{{\hat {H}}f(xyz)} \over {f(xyz)}}=i\hbar {{{{\partial } \over {\partial t}}g(t)} \over {g(t)}}=C\;$

(11.65)

W równaniu (11.65) lewa strona jest zależna tylko od współrzędnych przestrzennych, a prawa od współrzędnych czasowej, aby prawa i lewa strona były sobie równe, to obie strony powinny być równe stałej. Równanie (11.65) możemy rozdzielić na dwa niezależne równania od siebie w postaci:

${{{\hat {H}}f(xyz)} \over {f(xyz)}}=C\;$

(11.66)

$i\hbar {{{{\partial } \over {\partial t}}g(t)} \over {g(t)}}=C\;$

(11.67)

Oznaczmy przez C=E, jako energię cząstki w układzie, bo ona jest wartością własną operatora energii całkowitej cząstki (8.106), a zatem można powiedzieć, że z (11.66) i (11.67) wynikają dwa następne równania:

${\hat {H}}f(xyz)=Ef(xyz)\;$

(11.68)

$i\hbar {{{\partial } \over {\partial t}}g(t) \over {g(t)}}=E\;$

(11.69)

Dzielimy obie strony równania (11.69) przez stałą $i\hbar \;$, wtedy dostajemy inne równoważne równanie:

${{{\partial } \over {\partial t}}g(t) \over {g(t)}}=-i{{E} \over {\hbar }}\;$

(11.70)

Dokonajmy całkowania obu stron równoności różniczkowej (11.70) względem czasu:

$\ln g(t)=-i{{E} \over {\hbar }}t\Rightarrow g(t)=e^{-i{{E} \over {\hbar }}t}\;$

(11.71)

Rozwiązanie równania (11.1) wedle iloczynu funkcji zależnej od współrzędnej przestrzennych f(xyz) i czasu g(t) wedle (11.62), ale pamiętając, że (11.62) jest jednych z rozwiązań równania falowego niezależnego od czasu, czyli mamy przy tym, że to równanie może mieć więcej takich f(xyz), a każdej tej funkcji odpowiada odpowiednia energia E_λ, to rozwiązanie zapisujemy w postaci sumy ze współczynnikami rozwinięcia a_λ:

$\psi (xyzt)=\sum _{\lambda }a_{\lambda }f_{\lambda }(xyz)e^{-i{{E_{\lambda }t} \over {\hbar }}}\;$

(11.72)

Operator ewolucji

Operatorem ewolucji nazywamy operator zdefiniowany w postaci eksponentu z funkcji proporcjonalnej do iloczynu z minusem czasu i operatora energii:

${\hat {S}}=e^{-it{{\hat {H}} \over {\hbar }}}\;$

(11.73)

Całkowite rozwiązanie dla t=0, które jest rozwiązaniem Hamiltonianu (równania falowego zależnego od czasu), możemy zapisać wedle schematu przy współczynnikach rozwinięcia a_λ:

$\psi (xyz)=\sum _{\lambda }a_{\lambda }f_{\lambda }(xyz)\;$

(11.74)

Pomocnym równaniem własnym do równania własnego operatora energii jest równanie w postaci:

${\hat {H}}^{n}\psi =E^{n}\psi \;$

(11.75)

Równanie własne (11.75) udowodnijmy na podstawie indukcji matematycznej, zatem dla n=1 wspomniane równanie przechodzi w równanie niezależne od czasu (8.121). Następnym krokiem jest założenie, że równanie (11.75) jest spełnione i udowodnijmy, że ono jest spełnione dla n+1, pomnóżmy obustronnie równanie (11.75) przez operator energii, dostajemy, że:

${\hat {H}}{\hat {H}}^{n}\psi ={\hat {H}}E^{n}\psi \;$

(11.76)

Ponieważ operator energii jest liniowy, zatem możemy potęgę Eⁿ przenieść przed ten operator, zatem po te operacji i z definicji równania własnego operatora energii możemy zapisać wychodząc od wzoru (11.76):

${\hat {H}}^{n+1}\psi =E^{n}{\hat {H}}\psi \Rightarrow {\hat {H}}^{n+1}\psi =E^{n}E\psi \Rightarrow {\hat {H}}^{n+1}\psi =E^{n+1}\psi \;$

(11.77)

Co kończy dowód twierdzenia (11.75).

Podziałajmy eksponencjalnym operatorem ewolucji (11.73) na funkcję własną rozwiązania równania własnego operatora energii dla t=0, czyli (11.74), wykorzystując rozwinięcie funkcji eksponecjalnej tegoż operatora w szereg Taylora:

${\hat {S}}\psi (xyz)=e^{-it{{\hat {H}} \over {\hbar }}}\sum _{\lambda }a_{\lambda }f_{\lambda }(xyz)=\sum _{\lambda }a_{\lambda }e^{-it{{\hat {H}} \over {\hbar }}}f_{\lambda }(xyz)=\sum _{\lambda }a_{\lambda }\left(1-{{it} \over {\hbar }}{\hat {H}}-{{t^{2}} \over {\hbar ^{2}}}{\hat {H}}^{2}+i{{t^{3}} \over {\hbar ^{3}}}{\hat {H}}^{3}+...\right)f_{\lambda }(xyz)=\;$
$=\sum _{\lambda }a_{\lambda }\left(1-{{it} \over {\hbar }}{\hat {H}}f_{\lambda }(xyz)-{{1} \over {2!}}{{t^{2}} \over {\hbar ^{2}}}{\hat {H}}^{2}f_{\lambda }(xyz)+i{{1} \over {3!}}{{t^{3}} \over {\hbar ^{3}}}{\hat {H}}^{3}f_{\lambda }(xyz)+...\right)=\;$
$=\sum _{\lambda }a_{\lambda }\left(1-{{it} \over {\hbar }}E_{\lambda }f_{\lambda }(xyz)-{{1} \over {2!}}{{t^{2}} \over {\hbar ^{2}}}E_{\lambda }^{2}f_{\lambda }(xyz)+i{{1} \over {3!}}{{t^{3}} \over {\hbar ^{3}}}E_{\lambda }^{3}f_{\lambda }(xyz)+...\right)=\sum _{\lambda }a_{\lambda }f_{\lambda }(xyz)e^{-it{{E_{\lambda }} \over {\hbar }}}\;$

(11.78)

Zatem na podstawie (11.78) otrzymaliśmy wyrażenie podczas działania operatora ewolucji na funkcję własną operatora energii:

${\hat {S}}\psi (xyz)=\sum _{\lambda }a_{\lambda }f_{\lambda }(xyz)e^{-it{{E_{\lambda }} \over {\hbar }}}\;$

(11.79)

Prawa strona równania (11.79) jest taka sama jak w rozwiązaniu własnym (11.72), zatem porównujemy oba te równania, dostajemy że:

$\psi (xyzt)=e^{-it{{\hat {H}} \over {\hbar }}}\psi (xyz)\;$

(11.80)

Rozwiązanie własne operatora energii we jego funkcjach własnych jest to rozwiązanie równania zależnego od czasu (11.1) w chwili t=0, zatem znając jego funkcję własną dla chwili zerowej możemy wyznaczyć na podstawie (11.80) funkcję własną dla dowolnej chwili, w której znajdowała się cząstka opisywana przez funkcję falową ψ(xyzt).

Gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej

Tutaj udowodnimy, że gęstość znalezienia cząstki w całej przestrzeni trójwymiarowej, której jest rozwiązaniem równania falowego (11.1) jest równe jeden i nie zmienia się w czasie. Pochodna zupełna normy funkcji falowej jest równa po jego rozpisaniu:

${{d} \over {dt}}||\psi ||={{d} \over {dt}}\int _{{\vec {r}}\in R^{3}}|\psi |^{2}d^{3}{\vec {r}}=\int _{{\vec {r}}\in R^{3}}\left({{\partial } \over {\partial t}}|\psi |^{2}\right)d^{3}{\vec {r}}=\int _{{\vec {r}}\in R^{3}}\left(\psi ^{*}{{\partial } \over {\partial t}}\psi +\psi {{\partial } \over {\partial t}}\psi ^{*}\right)d^{3}{\vec {r}}$

(11.81)

Z równania (8.121) można otrzymać inne równanie zależne od czasu w sposób przekształcony, powstały w taki sposób do poprzedniego dzieląc jego obydwie strony przez iloczyn stałej kreślonej Plancka i jednostki urojonej, dalej korzystając z definicji odwrotności jednostki urojonej mamy:

${\hat {H}}\psi =i\hbar {{\partial } \over {\partial t}}\psi \Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\psi =-{{i} \over {\hbar }}{\hat {H}}\psi$

(11.82)

Na równanie końcowego wynikowego (11.82) możemy podziałać sprzężeniem zespolonym po obu jego stronach, dostajemy następne wynikowe równoważne do poprzedniego równanie:

${{\partial } \over {\partial t}}\psi ^{*}={{i} \over {\hbar }}{\hat {H}}^{*}\psi ^{*}$

(11.83)

Podstawiamy równania końcowe (11.82) (przekształcone równanie falowe zależne od czasu) i (11.83) (sprzężone zespolono do poprzedniego przekształconego wzoru równania falowego zależnego od czasu) do wzoru (11.81), który jest ilorazem zmiany normy funkcji falowej przez zmianę czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dostajemy, że:

${{d} \over {dt}}||\psi ||=\int _{{\vec {r}}\in R^{3}}\left(\psi ^{*}(-1){{i} \over {\hbar }}{\hat {H}}\psi +\psi {{i} \over {\hbar }}{\hat {H}}^{*}\psi ^{*}\right)d^{3}{\vec {r}}={{i} \over {\hbar }}(({\hat {H}}\psi ,\psi )-(\psi ,{\hat {H}}\psi ))$

(11.84)

Ponieważ operator energii ${\hat {H}}$ jest operatorem hermitowskim, to (11.84) można tak przekształcić, by zachodziła równość $(\psi ,{\hat {H}}\psi )=({\hat {H}}\psi ,\psi )$ z definicji operatora hermitowskiego, a zatem dokonajmy tego:

${{i} \over {\hbar }}(({\hat {H}}\psi ,\psi )-(\psi ,{\hat {H}}\psi ))={{i} \over {\hbar }}(({\hat {H}}\psi ,\psi )-({\hat {H}}\psi ,\psi ))=0$

(11.85)

Porównując wzór (11.85) z równaniem (11.84) przy naszych obliczeniach wynikające z hermitowskości operatora energii dochodzimy do wniosku, że jeśli prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całej przestrzeni jest równe jeden dla t=0, to dla t≠0 gęstość znalezienia cząstki też jest równe jeden i nie zmienia się wcale w czasie.

Charakter falowy funkcji stanu

W wspomnianych rozdziałach o mechanice kwantowej dotychczas nie wspomnieliśmy jak wykorzystać aparat matematyczny dotyczący mechaniki kwantowej do konkretnych przypadków. Całkowita funkcja falowa, która jest rozwiązaniem równania (11.1) w bazie wektorów własnych (8.16) równania własnego iksowego operatora pędu (8.11) wyrażając przy tym energię cząstki poprzez wartość wektora falowego w postaci (8.120) przedstawia się:

$\psi \left(x,t\right)={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }a\left(k\right)e^{ikx}e^{-i{{E\left(k\right)} \over {\hbar }}t}dk={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }a\left(k\right)e^{ikx-i{{\hbar k^{2}} \over {2m}}t}dk$

(11.86)

Na podstawie (11.86) częstotliwość kołowa fali jako jednych z parametrów drań harmonicznych funkcji falowej cząstki średnio spoczywającej mającej liczbę falową k jest napisana jako:

$\omega ={{\hbar k^{2}} \over {2m}}\;$

(11.87)

Współczynniki rozwinięcia a(k) w bazie pędowej funkcji całkowitej nie mogą zależeć od czasu, a więc je policzmy możemy dla t=0 według (10.16) funkcjach bazy w przestrzeni pędowej:

$a\left(k\right)={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int \psi \left(x,t=0\right)e^{-ikx}dx$

(11.88)

Policzmy teraz prędkość fazową naszej cząstki, którą definiujemy jako iloraz częstotliwości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest (11.87) w zależności od liczby falowej k, przez liczbę falową. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt (8.15), do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki.

$v_{f}={{\omega } \over {k}}={{{\hbar k^{2}} \over {2m}} \over {k}}={{\hbar k} \over {2m}}={{\hbar } \over {2m}}{{p} \over {\hbar }}={{p} \over {2m}}={{mv} \over {2m}}={{v} \over {2}}\;$

(11.89)

A zatem na podstawie (11.89) dostajemy wzór na prędkość fazową cząstki w zależności od prędkości cząstki w postaci:

$v_{f}={{v} \over {2}}$

(11.90)

A zatem prędkość fazowa cząstki równa się połowie prędkości cząstki. Policzmy teraz prędkość grupową naszej cząstki, którą definiujemy jako pochodną częstotliwości kołowej, którego definicja dla naszego problemu kwantowego jest (11.87) w zależności od liczby falowej k, względem liczby falowej. Do tak otrzymanej równości wykorzystujemy fakt (8.15), do której wykorzystujemy definicję pędu klasycznego cząstki.

$v_{g}={{d\omega } \over {dk}}={{d{{\hbar k^{2}} \over {2m}}} \over {dk}}={{2\hbar k} \over {2m}}={{\hbar k} \over {m}}={{p} \over {m}}={{mv} \over {m}}=v\;$

(11.91)

A zatem na podstawie (11.91) dostajemy, że prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki, jak moglibyśmy przypuszczać:

$v_{g}=v\;$

(11.92)

Według (11.92) prędkość grupowa cząstki jest równa prędkości cząstki. Napiszmy paczkę falową dla t=0. A więc wystarczy przyjąć dla t=0 funkcję falową, dla której będziemy liczyli stałą normalizacyjną:

$\psi \left(x,0\right)=Ne^{-{{x^{2}} \over {2a^{2}}}}$

(11.93)

W analizie matematycznej występuje całka niewłaściwa, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach.

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}dx={\sqrt {{\pi } \over {a}}}\;$

(11.94)

Jak każda funkcja falowa w mechanice kwantowej powinna być unormowana do jedynki, czyli norma funkcji falowej (11.93) powinna wynosić jeden, co można wykorzystać tą całkę niewłaściwą (11.94) przy wyznaczaniu stałej N w naszej funkcji falowej, która jest słuszna dla t=0.

$1=\left(\psi \left(x,0\right),\psi \left(x,0\right)\right)=\int _{-\infty }^{\infty }Ne^{-{{x^{2}} \over {2a^{2}}}}Ne^{-{{x^{2}} \over {2a^{2}}}}dx=N^{2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{{x^{2}} \over {a^{2}}}}dx=N^{2}{\sqrt {{\pi } \over {{1} \over {a^{2}}}}}=N^{2}{\sqrt {\pi a^{2}}}\;$

(11.95)

Z warunku normalizacyjnego (11.95) funkcji falowej (11.93) wynika, że jego stałą normalizacyjną przedstawiamy wedle wzoru:

$N=\left(a^{2}\pi \right)^{-{{1} \over {4}}}$

(11.96)

Policzmy naszą całkę, która jest jakoby wersją całki (11.94), tylko że bardziej utrudnioną.

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}-ibx}dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a\left(x+i{{b} \over {2a}}\right)^{2}-{{b^{2}} \over {4a}}}=e^{-{{b^{2}} \over {4a}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}={\sqrt {{\pi } \over {a}}}e^{-{{b^{2}} \over {4a}}}$

(11.97)

Teraz policzmy współczynniki a(k) rozwinięcia w bazie pędowej znając już unormowaną funkcję falową dla t=0, tzn. (11.93) przy stałej normalizacyjnej (11.96), te współczynniki wyznaczamy wedle wzoru, który jest pewną wersją wzoru (10.16) dla początkowego czasu. Oczywiste jest, że te współczynniki nie zależą w jakim czasie będziemy liczyć przy pomocy całkowitej funkcji falowej (11.86) opisującą naszą kwantową cząstkę:

$a\left(k\right)={{N} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\underbrace {e^{-{{x^{2}} \over {2a^{2}}}}} _{\psi \left(x,0\right)}e^{-ikx}dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{{x^{2}} \over {2a^{2}}}-ikx}dx=e^{-{{a^{2}} \over {2}}k^{2}}\left({{a^{2}} \over {\pi }}\right)^{{1} \over {4}}$

(11.98)

Teraz pozostało nam policzyć funkcję falową zależną od współrzędnej iksowej i dowolnego czasu, tzn.$\psi \left(x,t\right)$ według (11.86), napisanej w przestrzeni pędowej znając już jego współczynniki rozwinięcia, które wyliczyliśmy dla t=0, czyli (11.98), wtedy tą funkcję możemy policzyć w sposób zwarty:

$\psi \left(x,t\right)=\left({{a^{2}} \over {4\pi ^{3}}}\right)^{{1} \over {4}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{{a^{2}} \over {2}}k^{2}}e^{-ikx-i{{\hbar } \over {2m}}k^{2}t}dk=\left({{a^{2}} \over {4\pi ^{3}}}\right)^{{1} \over {4}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-k^{2}\left({{a^{2}} \over {2}}+i{{\hbar } \over {2m}}t\right)-ikx}dk=$
$=\left({{a^{2}} \over {4\pi ^{3}}}\right)^{{1} \over {4}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left({{a^{2}} \over {2}}+i{{\hbar } \over {2m}}t\right)\left(k+{{ix} \over {2\left({{a^{2}} \over {2}}+i{{\hbar } \over {2m}}t\right)}}\right)^{2}-{{x^{2}} \over {2\left(a^{2}+i{{\hbar } \over {m}}t\right)}}}dk=\left({{a^{2}} \over {4\pi ^{3}}}\right)^{{1} \over {4}}e^{-{{x^{2}} \over {2\left(a^{2}+i{{\hbar } \over {m}}t\right)}}}{\sqrt {{\pi } \over {{{a^{2}} \over {2}}+i{{\hbar } \over {2m}}t}}}=\;$
$=\left(\pi a^{2}\right)^{-{{1} \over {4}}}{\left(1+i{{\hbar } \over {ma^{2}}}t\right)}^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{x^{2}} \over {2\left(a^{2}+i{{\hbar } \over {m}}t\right)}}}$

(11.99)

Następnym krokiem jest policzenie gęstości prawdopodobienstwa znalezienia cząstki w przestrzeni jednowymiarowej, w tym celu należy policzyć kwadrat modułu funkcji falowej, który jest w zwartej postaci (11.99), liczymy je tak by po jego prawej stronie wyszła liczba rzeczywista, bo gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją o wartościach rzeczywistych.

$|\psi \left(x,t\right)|^{2}=\psi ^{*}\left(x,t\right)\psi \left(x,t\right)=\left[\left(\pi a^{2}\right)^{-{{1} \over {4}}}{\left(1+i{{\hbar } \over {ma^{2}}}t\right)}^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{x^{2}} \over {2\left(a^{2}+i{{\hbar } \over {m}}t\right)}}}\right]^{*}\left[\left(\pi a^{2}\right)^{-{{1} \over {4}}}{\left(1+i{{\hbar } \over {ma^{2}}}t\right)}^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{x^{2}} \over {2\left(a^{2}+i{{\hbar } \over {m}}t\right)}}}\right]=$
$=\left(\pi a^{2}\right)^{-{{1} \over {2}}}\left[\left(1-i{{\hbar } \over {ma^{2}}}t\right)\left(1+i{{\hbar } \over {ma^{2}}}t\right)\right]^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{x^{2}} \over {2\left(a^{2}-i{{\hbar } \over {m}}t\right)}}-{{x^{2}} \over {2\left(a^{2}+i{{\hbar } \over {m}}t\right)}}}=\left(\pi a^{2}\right)^{-{{1} \over {2}}}\left(1+{{\hbar ^{2}t^{2}} \over {m^{2}a^{4}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{x^{2}} \over {2}}{{a^{2}+i{{\hbar } \over {m}}t+a^{2}-i{{\hbar } \over {m}}t} \over {\left(a^{2}-i{{\hbar } \over {m}}t\right)\left(a^{2}+i{{\hbar } \over {m}}t\right)}}}=\;$
$=\left(\pi a^{2}\right)^{-{{1} \over {2}}}\left(1+{{\hbar ^{2}t^{2}} \over {m^{2}a^{4}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{x^{2}} \over {2}}{{2a^{2}} \over {a^{4}+{{\hbar ^{2}t^{2}} \over {m^{2}}}}}}=\left(\pi a^{2}\right)^{-{1 \over 2}}\left(1+{{\hbar ^{2}t^{2}} \over {m^{2}a^{4}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{x^{2}} \over {a^{2}+{{\hbar ^{2}t^{2}} \over {m^{2}a^{2}}}}}}$

(11.100)

Zatem na podstawie (11.100) otrzymujemy, że gęstość prawdopodobieństwa cząstki zmienia się w czasie według:

$|\psi \left(x,t\right)|^{2}=\left(\pi a^{2}\right)^{-{1 \over 2}}\left(1+{{\hbar ^{2}t^{2}} \over {m^{2}a^{4}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{x^{2}} \over {a^{2}+{{\hbar ^{2}t^{2}} \over {m^{2}a^{2}}}}}}\;$

(11.101)

Wedle przedstawionego wzoru (11.101), że po bardzo dużym czasie cząstkę można znaleźć gdzieś na osi iksowej, w niekreślonym punkcie, bo gęstość prawdopodobieństwa napisanej wspomnianym wzorem rozpływa się w czasie i po nieskończenie dużym czasie jest w przybliżeniu równa zero.