Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera

Zasada wariacyjna Schwingera

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera 2Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona 3Zasada wariacyjna, a pole Diraca 4Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona

Kwantowo mechaniczne równanie Diraca zostało otrzymane z pominięciem zasady konstrukcji równania własnego. Nade wszystko, to równanie otrzymaliśmy konstruując gęstość Lagrangianu, aby otrzymać później równanie Klieina-Gordona lub Diraca.

Pierwszym krokiem do mechaniki kwantowej było zastąpienie funkcji pędu i położenia przez ich operatory co to nazywamy pierwszą kwantyzacją. Metodą podaną przez Schwingera jest zastąpienie funkcji pola Φ i ich pochodne czasowe ${\dot {\Phi }}\;$(w teorii Kliena-Gordona) lub ich sprzężenia (w teorii Diraca) przez ich odpowiednie operatory, tzn. ${\hat {\Phi }}\;$, ${\hat {\Pi }}\;$, których nazwijmy operatorami "położenia" i "pędu" (lub prędkości), tą procedurę nazywamy drugą kwantyzacją.

Przejście między klasycznym i kwantowym Hamiltonianem, a zasada wariacyjna Schwingera

Ideom mechaniki kwantowej jest prowadzenie pewnych operatorów w zamian za wielkości skalarne lub wektorowe w mechanice kwantowej, co wykorzystamy w metodzie kwantyzacji Schwingera. W mechanice teoretycznej wprowadzono tożsamość na nawiasach Poissona (MT-8.22), dzięki której możemy udowodnić tożsamość, którą przestawimy wzorem (MT-8.28), które jeszcze raz tutaj powtórzymy:

${{dF} \over {dt}}=\{F,{\mathcal {H}}\}_{P}+{{\partial F} \over {\partial t}}\;$

(33.1)

W mechanice kwantowej jest podobny wzór (13.5), które jest to równania Ehrenfesta, które dla funkcji operatora ${\hat {F}}\;$ piszemy jako pochodna zupełna tejże funkcji względem czasu:

${{d{\hat {F}}} \over {dt}}=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {H}}]+{{\partial {\hat {F}}} \over {\partial t}}\;$

(33.2)

• gdzie: ${\hat {H}}\;$ jest to hamiltonian (operator energii całkowitej układu lub cząstki) według mechaniki kwantowej.

Równania kwantowe propagacji operatora ${\hat {F}}\;$ (33.2) można otrzymać z równań klasycznych propagacji funkcji F (33.1) poprzez podstawienie według zasady:

$\{F,G\}_{P}\rightarrow -{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {G}}]\;$

(33.3)

Jeśli mamy lagrangian, to utwórzmy o nie oznaczoną całkę działania według schematu:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i},{\dot {q}}_{i})dt\;$

(33.4)

Naapiszmy wariancję S podanej według definicji (33.4) rozpisując ją według przepisu:

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\sum _{m=1}^{f}\left({{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}\delta q_{m}+{{L} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\delta {\dot {q}}_{m}\right)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}\delta q_{m}+{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}{{d} \over {dt}}(\delta q_{m})\right]=\;$
$=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}\delta q_{m}-\left({{d} \over {dt}}{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}+{{d} \over {dt}}\left({{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\delta q_{m}\right)\right]=\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\delta q_{m}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\right]\delta q_{m}\;$

(33.5)

Drugi wyraz ostatniej całki znika, bo zakładamy, że prawa fizyki są takie, że jest spełniona zasada najmniejszego działania Eulera-Lagrange'a, ten wyraz przedstawiamy:

${{\partial {L}} \over {\partial q_{m}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial {L}} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}=0\;$

(33.6)

We wzorze (33.5) drugi wyraz znika, bo zachodzi (33.6), a jego pierwszy wyraz nie znika, bo w mechanice kwantowej są to punkty ruchome, ponieważ w punktach końcowych i początkowych wariacja $\delta q_{m}\;$ nie zeruje się nigdy, natomiast w mechanice klasycznej (po pominięciu efektów kwantowych) rozważana wariacja znika, tą naszą zasadę wariacji nazywamy kwantową zasadą wariacyjną Schwingera, to wyrażenie na wariację funkcjonału S przyjmuje dla naszego przypadku postać:

$\delta S=G_{q}(t_{2})-G_{q}(t_{1})\;$

(33.7)

Ale funkcje $G_{q_{m}}(t)\;$ patrząc na równania (33.5), a także na (33.7), są w postaci:

$G_{q_{m}}(t)=\sum _{m}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{m}}}\delta q_{m}=\sum _{m}p_{m}\delta q_{m}\;$

(33.8)

Policzmy dla dowolnej funkcji F(q) nawias Poissona:

$\{F,G_{q_{i}}\}_{P}=\sum _{i=1}^{f}{{\partial F} \over {\partial q_{m}}}{{\partial G_{q_{i}}} \over {\partial p_{m}}}-{{\partial F} \over {\partial p_{m}}}{{\partial G_{q_{i}}} \over {\partial q_{m}}}=\sum _{m=1}^{f}\delta _{im}{{\partial F} \over {\partial q_{m}}}\delta q_{i}={{\partial F} \over {\partial q_{i}}}\delta q_{i}=\delta F(q_{i})\;$

(33.9)

Odpowiednikiem nawiasu Poissona według $\{F,G_{q}\}_{P}\;$ w mechanice kwantowej jest operator napisany jako $-{{i} \over {\hbar }}[F,{\hat {G}}_{q}]\;$, bo (33.3), zatem możemy napisać na postawie (33.9), ale kwantowo.

$\delta {\hat {F}}(q_{i})=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {G}}_{q_{i}}]\;$

(33.10)

Jeśli $F(q_{i})={\hat {q}}_{i}\;$, to według (33.10), korzystając przy okazji jednocześnie z komutacji operatorów współrzędnych położenia i pędu (7.6), możemy przejść do obliczeń na liczbach ogólnych:

$\delta {\hat {q}}_{i}=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{i}\delta {\hat {q}}_{i}]=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{i}]\delta {\hat {q}}_{i}=-{{i} \over {\hbar }}i\hbar \delta {\hat {q}}_{i}=\delta {\hat {q}}_{i}\;$

(33.11)

A więc otrzymaliśmy tożsamość, tzn. doszliśmy do tego, że skrajnie lewa i skrajnie prawa strona wyprowadzenia (33.11) są sobie równe, a więc zasada (33.10) jest poprawnie skonstruowane.

Dla układu cząstek zachodzi operator w mechanice kwantowej (operatorowo):

${\hat {G}}_{q}=\sum _{i=1}^{f}{\hat {p}}_{j}\delta {\hat {q}}_{j}\;$

(33.12)

A więc, jeśli $F(p_{i}q_{i})={\hat {q_{i}}}\;$, to wariacja funkcji F napisaną wzorem (33.10) jest napisana według praw mechaniki kwantowej dotyczące komutacji pewnych operatorów według obliczeń:

$\delta {\hat {q}}_{i}=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},\sum _{j}{\hat {p}}_{j}\delta {\hat {q}}_{j}]=-{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}[{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{j}]\delta {\hat {q}}_{j}=-{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}i\hbar \delta _{ij}\delta {\hat {q}}_{j}=\delta {\hat {q}}_{i}\;$

(33.13)

Napiszemy sobie funkcję G_p, która jest zdefiniowana w reprezentacji pędowej w analogii do G_q, którego to definiujemy w reprezentacji położeniowej podanych w punkcie (33.12):

${\hat {G}}_{p}=-\sum _{j}{\hat {q}}_{j}\delta {\hat {p}}_{j}\;$

(33.14)

A także podamy wzór na wariację operatora ${\hat {F}}(p)\;$, którego definicja jest podana przy pomocy komutatora:

$\delta {\hat {F}}(p)=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}}(p),{\hat {G}}_{p}]\;$

(33.15)

Udowodniając wzór (33.15) przy pomocy nawiasów Poissona według mechaniki klasycznej można wykazać:

$\{F,G_{p_{i}}\}_{P}=\sum _{m=1}^{f}\left[{{\partial F} \over {\partial q_{m}}}{{\partial G_{p_{i}}} \over {\partial p_{m}}}-{{\partial F} \over {\partial p_{m}}}{{\partial G_{p_{i}}} \over {\partial q_{m}}}\right]=-\sum _{m=1}^{f}{{\partial F} \over {\partial p_{m}}}{{\partial G_{p_{i}}} \over {\partial q_{m}}}={{\partial F} \over {\partial p_{i}}}\delta p_{i}=\delta F(p_{i})\;$

(33.16)

Zamienimy nawias Poissona na komutator w (33.16), według zasady (33.3). W ten sposób udowodniliśmy na podstawie (33.16), że wyrażenie (33.15) jest zupełną prawdą. A teraz zdefiniujmy nowy operator ${\hat {G}}\;$, który można otrzymać z poprzednich operatorów $G_{q}\;$, $G_{p}\;$ definiując go wedle:

${\hat {G}}={{1} \over {2}}({\hat {G}}_{q}+{\hat {G}}_{p})={{1} \over {2}}\sum _{j}({\hat {p}}_{j}\delta q_{j}-{\hat {q}}_{j}\delta p_{j})\;$

(33.17)

Jeśli mamy funkcję F(pq), to jej wariację możemy zdefiniować wedle zasady:

$\delta {\hat {F}}(pq)=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}}(q,p),{\hat {G}}]\;$

(33.18)

Według mechaniki klasycznej na nawiasach Poissona, jeśli zdefiniujemy G (33.17), czyli jako sumę wyrażeń (33.12) i (33.14), to można przejść do właściwego sedna dowodu na nawiasach Poissona:

$2\{F,G\}_{P}=2{{1} \over {2}}\left(\{F,G_{p}\}_{P}+\{F,G_{q}\}_{P}\right)=\left({{\partial F} \over {\partial q}}\delta q+{{\partial F} \over {\partial p}}\delta p\right)=\delta F(p,q)\;$

(33.19)

Ze wzoru (33.18) można przejść od wzoru (33.19) poprzez zastąpienie wyrażenia, który jest nawiasem Poissona jej odpowiednikiem kwantowym wedle zasady (33.3). Jeśli w mechanice kwantowej zachodzi relacja ${\hat {F}}(p_{i}q_{i})={\hat {q}}_{i}\;$, to możemy napisać:

$\delta {\hat {q}}_{i}=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},{{1} \over {2}}\sum _{j}\left({\hat {p}}_{j}\delta {\hat {q}}_{j}-{\hat {q}}_{j}\delta {\hat {p}}_{j}\right)]=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},\sum _{j}{\hat {p}}_{j}dq_{j}]+{{i} \over {\hbar }}[{\hat {q}}_{i},\sum _{j}{\hat {q}}_{j}\delta {\hat {p}}_{j}]=-{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}[{\hat {q}}_{i},{\hat {p_{j}}}]\delta {\hat {q}}_{j}+{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}[{\hat {q}}_{i},{\hat {q}}_{j}]\delta {\hat {p}}_{j}=\;$
$=-{{i} \over {\hbar }}\sum _{j}i\hbar \delta _{ij}\delta {\hat {q}}_{j}=\delta {\hat {q}}_{i}\;$

(33.20)

Na podstawie dowodu (33.20) udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość, według zasady (33.18) otrzymaliśmy czego się spodziewaliśmy.

Zasada wariacyjna, a pole Kleina-Gordona

Znając gęstość Lagrangianu policzymy czemu jest równy operator Schwingera w "pędowej" i "położeniowej" reprezentacji i policzymy komutatory będących kombinacją tychże wielkości według naszej zasady wariacyjnej. Gęstość Lagrangianu ${\mathfrak {L}}\;$ z definicji gęstości lagrangianu dla teorii Kleina-Gordona, która jest napisana w punkcie (28.24), co jego definicję tutaj przepiszemy:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {2}}{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left[{{1} \over {c^{2}}}\left({{\partial \Phi } \over {\partial t}}\right)^{2}-\left(\nabla \Phi \right)^{2}\right]-{{1} \over {2}}m_{0}c^{2}\Phi ^{2}\;$

(33.21)

Napiszmy funkcjonał S, który jest całką z gęstości Lagrangianu (33.21) względem współrzędnych czasoprzestrzennych:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dtL={{1} \over {c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}cdt\int d^{3}x{\mathfrak {L}}={{1} \over {2c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\left\{{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left[{{1} \over {c^{2}}}\left({{\partial \Phi } \over {\partial t}}\right)^{2}-\left(\nabla \Phi \right)^{2}\right]-m_{0}c^{2}\Phi ^{2}\right\}d^{4}x\;$

(33.22)

Policzmy wariacje funkcjonału δS według wzoru podanego w punkcie (33.22) wykorzystując przy tym definicję o pochodnej iloczynu:

$\delta S={{1} \over {2c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}d^{4}x\left\{{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left[{{1} \over {c^{2}}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}{{\partial } \over {\partial t}}(\delta {\hat {\Phi }})-\nabla \Phi \nabla (\delta {\hat {\Phi }})\right]-m_{0}c^{2}\Phi \delta {\hat {\Phi }}\right\}\;$

(33.23)

Wykonajmy częściowe całkowanie drugiego wyrażenia, który jest przestawiony we wzorze wyrażenia w (33.23) poprzez części względem współrzędnych przestrzennych:

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx\left[\nabla \Phi \nabla (\delta {\hat {\Phi }})\right]_{x}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{{\partial \Phi } \over {\partial x}}{{\partial } \over {\partial x}}\delta \Phi =\left[{{\partial \Phi } \over {\partial x}}\delta {\hat {\Phi }}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial x^{2}}}\delta {\hat {\Phi }}=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}dx{{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial x^{2}}}\delta {\hat {\Phi }}\;$

W powyższych obliczeniach wykorzystano, że wariacja δΦ w punktach końcowych znika względem współrzędnych przestrzennych. Wykonajmy całkowanie przez części pierwszego wyrażenia w (33.23) względem czasu:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}cdt\left[{{\partial \Phi } \over {\partial ct}}{{\partial } \over {\partial ct}}(\delta {\hat {\Phi }})\right]={{1} \over {c}}\left[{{\partial \Phi } \over {\partial t}}\delta {\hat {\Phi }}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-{{1} \over {c}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial t^{2}}}\delta {\hat {\Phi }}\;$

Mając dwa ostatnie obliczenia podstawmy je do wzoru (33.23), to otrzymujemy całkę działania z pewnej funkcji:

$\delta S={{1} \over {2c}}\int d^{4}x\left[{{\hbar ^{2}} \over {m_{0}}}\left(\nabla ^{2}\Phi -{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\Phi } \over {\partial t^{2}}}\right)-m_{0}c^{2}\Phi \right]\delta {\hat {\Phi }}+{{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x\left[\left({{\partial \Phi } \over {\partial t}}\delta {\hat {\Phi }}\right)\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=G_{\Phi }(\tau _{2})-G_{\Phi }(\tau _{1})\;$

(33.24)

Pierwszy składnik sumy w (33.24) jest to równanie relatywistyczne mechaniki kwantowej (28.30) i dlatego według powyższej tożsamości po skorzystaniu z tychże omówień możemy powiedzieć:

$G_{\Phi }={{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x\left({{\partial \Phi } \over {\partial t}}\delta {\Phi }\right)={{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x\Pi \delta \Phi \;$

(33.25)

• gdzie funkcja pola "pędu" określamy jako pochodna cząstkowa funkcji "położenia" względem czasu:

$\Pi ={{\partial \Phi } \over {\partial t}}\;$

(33.26)

W reprezentacji pędowej, podobnie jak w (33.25), definiujemy jako całkę z iloczynu funkcji położenia i wariacji funkcji "pędu" z dokładnością do stałej, którą jest odwrotność prędkości światła:

$G_{\Pi }=-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x\Phi \delta \Pi \;$

(33.27)

Zastępując funkcję Φ przez operator położenia ${\hat {\Phi }}\;$, a Π przez operator pędu ${\hat {\Pi }}\;$, otrzymujemy wzory na operatory ${\hat {G}}_{\Phi }\;$ i ${\hat {G}}_{\Pi }\;$, których definicja jest przestawiona w postaci całkowania względem współrzędnych przestrzennych:

${\hat {G}}_{\Phi }={{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x{\hat {\Pi }}\delta {\hat {\Phi }}\;$

(33.28)

${\hat {G}}_{\Pi }=-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x{\hat {\Phi }}\delta {\hat {\Pi }}\;$

(33.29)

Mając operator Schwingera ${\hat {G}}_{\Phi }\;$ możemy napisać, że wariacja operatora ${\hat {F}}\;$ jest równa wyrażeniu zbudowanej przy pomocy komutatora w sposób:

$\delta {\hat {F}}=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {G}}_{\Phi }]\;$

(33.30)

Policzmy wariancję $\delta {\hat {\Phi }}\;$ kładąc ${\hat {F}}({\hat {\Phi }})={\hat {\Phi }}\;$, wiedząc że rolę współrzędnych spełnia operator ${\hat {\Phi }}\;$, a pędu operator "pędu" ${\hat {\Pi }}\;$, korzystając z faktu (33.28), a także (33.30), jeszcze będziemy wykorzystywać fakt, że operatory ${\hat {\Phi }}\;$ i $\delta {\hat {\Phi }}\;$ są nawzajem przemienne.

$\delta {\hat {\Phi }}(x,t)=-{{i} \over {\hbar }}[{\hat {\Phi }}(x,t),{{\hbar ^{2}} \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x_{1}{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)=-{{i\hbar ^{2}} \over {2m_{0}\hbar c^{2}}}\int d^{3}x_{1}[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)=\;$
$=-{{i\hbar } \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x_{1}[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)$

(33.31)

Równość (33.31) jest spełniona gdy nasza funkcja podcałkowa jest wprost proporcjonalna do delty Diraca pomnożonej przez iloczyn prędkości światła, stałej Plancka i jednostki urojonej.

$[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]=i{{2m_{0}c^{2}} \over {\hbar }}\delta ^{3}(x-x_{1})\;$

(33.32)

Możemy wykorzystać (33.32) i udowodnić stwierdzenie (33.31), który jest pewnym komutatorem, by dojść potem do tożsamości:

$-i{{\hbar } \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x_{1}[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)=\int d^{3}x\delta ^{3}(x-x_{1})\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)=\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)\;$

(33.33)

Zdefiniujemy nowy operator ${\hat {G}}\;$, który możemy przestawić jako sumę operatorów w reprezentacji położeniowej ${\hat {G}}_{\Phi }\;$ (33.28) i pędowej ${\hat {G}}_{\Pi }\;$ (33.29), jako:

${\hat {G}}(x,t)={{1} \over {2}}\left({\hat {G}}_{\hat {\Phi }}+{\hat {G}}_{\hat {\Pi }}\right)\;$

(33.34)

Ogólnie mamy według zasady (33.18) możemy napisać wariację operatora ${\hat {F}}\;$, którego definicja jest:

$\delta {\hat {F}}({\hat {\Phi }},{\hat {\Pi }})=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {\hat {F}}},{\hat {G}}]\;$

(33.35)

Podstawiając za ${\hat {G}}_{\hat {\Phi }}\;$ (33.28) i za ${\hat {G}}_{\hat {\Pi }}\;$ (33.29) we (33.34), a także przyporządkujemy za funkcję ${\hat {F}}({\hat {\Phi }},{\hat {\Pi }})\;$ operator położenia, czyli napiszemy jego definicję ${\hat {F}}({\hat {\Phi }},{\hat {\Pi }})={\hat {\Phi }}\;$, na podstawie (33.35) możemy dojść do wniosku:

$\delta {\hat {\Phi }}=-{{i\hbar } \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Phi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Pi }}(x_{1},t)-{{i\hbar } \over {2m_{0}c^{2}}}\int d^{3}x[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]\delta {\hat {\Phi }}(x_{1},t)\;$

(33.36)

By tożsamość (33.36) była spełniona, to powinny być spełnione tożsamości na operatorach "położenia", a podobnie zachodzi na operatorach "pędu":

$[{\hat {\Phi }}(x,t),{\hat {\Phi }}(x_{1},t)]=0\;$

(33.37)

$[{\hat {\Pi }}(x,t),{\hat {\Pi }}(x_{1},t)]=0\;$

(33.38)

Zasada wariacyjna, a pole Diraca

Całkę działania w teorii wariacyjnej możemy zapisać dla mechaniki kwantowej Diraca, jeśli skorzystamy przy tym z definicji gęstości Lagrangianu, którego definicji jest podana w punkcie (28.43) dla mechaniki kwantowej Diraca, naszą wspomnianą całkę działania przy pomocy tej ostatniej wielkości możemy przepisać w postaci:

$S={{1} \over {c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\mathfrak {L}}={{1} \over {c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\left(i\hbar c{\overset {\leftrightarrow }{\not {\partial }}}-m_{0}c^{2}\right)\psi =\;$
$={{1} \over {c}}\left[{{i\hbar c} \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -{{i\hbar c} \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}\psi \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\psi }}-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}m_{0}c^{2}\psi {\overline {\psi }}\right]\;$

(33.39)

Następnie policzmy wariację działania S względem funkcji własnej równania własnego Diraca zależnego od czasu, czyli funkcji ψ, korzystając z definicji funkcjonału (33.39):

$\delta S_{\psi }={{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\delta \psi )-{{1} \over {c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}\left({{i\hbar c} \over {2}}\psi \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\psi }}+m_{0}c^{2}{\overline {\psi }}\right)\delta \psi \;$

(33.40)

Pierwszy składnik w (33.40) możemy rozpisać przy wykorzystaniu definicji operatora $\gamma ^{\mu }\;$ (28.37).

${{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\delta \psi )={{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\beta {{\partial } \over {\partial t}}(\delta \psi )+{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\beta \alpha \nabla (\delta \psi )\;$

(33.41)

Dokonajmy całkowania pierwszej całki występujące w obliczeniach (33.41) poprzez całkowanie przez części:

${{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\beta {{\partial } \over {\partial ct}}(\delta \psi )={{i\hbar } \over {2}}\left[\int d^{3}x_{1}{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}\delta \psi \right]_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{{\partial {\overline {\psi }}} \over {\partial t}}{\hat {\beta }}(\delta \psi )\;$

(33.42)

Dokonajmy całkowania drugiej całki występujące w obliczeniach (33.41) przez części, zatem:

${{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\nabla (\delta \psi )={{i\hbar } \over {2}}\left[\int d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\psi \right]_{x_{1}}^{x_{2}}-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x\nabla {\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\delta \psi =-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x\nabla {\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\delta \psi$

(33.43)

W obliczeniach na liczbach ogólnych wykorzystano, że $\delta \Phi \;$ znika w punkcie początkowym i końcowym dla krzywych mającej punkty końcowe stałe w przestrzeni, tylko krzywa pomiędzy tymi punktami może inaczej przebiegać. Wyrażenie (33.41), przy pomocy obliczeń (33.42) i (33.43), piszemy:

${{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }(\delta \psi )={{i\hbar } \over {2}}\left[\int d^{3}x_{1}{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}\delta \psi \right]_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}{{\partial {\overline {\psi }}} \over {\partial t}}{\hat {\beta }}(\delta \psi )-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x\nabla {\overline {\psi }}{\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}\delta \psi =\;$
$={{i\hbar } \over {2}}\left[\int d^{3}x_{1}{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}\delta \psi \right]_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x\partial _{\mu }{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }{\hat {\alpha }}\delta \psi \;$

(33.44)

Następnie wstawiamy wyrażenie (33.44) do wariancji funkcjonału (33.40), mamy:

$\delta S_{\psi }={{i\hbar } \over {2}}\left[\int d^{3}x_{1}{\overline {\psi }}{\hat {\beta }}\delta \psi \right]_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{{i\hbar } \over {2}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}\partial _{\mu }{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }{\hat {\alpha }}\delta \psi -{{1} \over {c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}\left({{i\hbar c} \over {2}}\psi \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\psi }}+m_{0}c^{2}{\overline {\psi }}\right)\delta \psi =\;$
$={{i\hbar } \over {2}}\left[\int d^{3}x_{1}\psi ^{+}\delta \psi \right]_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{{1} \over {c}}\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d^{4}x_{1}\left(i\hbar c\psi \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\psi }}+m_{0}c^{2}{\overline {\psi }}\delta \psi \right)\;$

(33.45)

Drugi wyraz w (33.45) jest równy zero według równania Diraca w mechanice kwantowej relatywistycznej (28.35), to powiemy, że zachodzą związki na funkcje skalarne na funkcję "pędu" i "położenia":

$G_{\psi }(\tau )={{i\hbar } \over {2}}\int d^{3}x_{1}\psi ^{+}\delta \psi \;$

(33.46)

$G_{\psi ^{+}}(\tau )=-{{i\hbar } \over {2}}\int d^{3}x_{1}(\delta \psi ^{+})\psi \;$

(33.47)

Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy ψ operatorem "pędu" ${\hat {\psi }}\;$ a ψ⁺ operatorem "pędu" ${\hat {\psi }}^{+}\;$, wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. ${\hat {G}}_{\psi }\;$ i ${\hat {G}}_{\psi ^{+}}\;$, które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni:

${\hat {G}}_{\psi }(\tau )={{i\hbar } \over {2}}\int d^{3}x_{1}{\hat {\psi }}^{+}\delta {\hat {\psi }}\;$

(33.48)

${\hat {G}}_{\psi ^{+}}(\tau )=-{{i\hbar } \over {2}}\int d^{3}x_{1}(\delta {\hat {\psi }}^{+}){\hat {\psi }}\;$

(33.49)

Napiszmy operator Schwingera w następującej postaci przy definicjach odpowiedników operatorowych do (33.48) i (33.49), zatem:

${\hat {G}}={\hat {G}}_{\psi }+{\hat {G}}_{\psi ^{+}}\;$

(33.50)

Napiszmy zasadę wariacyjną w mechanice kwantowej Diraca przy pomocy operatora ${\hat {F}}\;$ i definicji operatora ${\hat {G}}\;$ podaną w punkcie (33.50):

$\delta {\hat {F}}({\hat {\psi }})=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {F}},{\hat {G}}]\;$

(33.51)

Korzystając ze wzoru (33.18), który jest słuszny również tutaj przy definicji (33.50), i biorąc funkcje ${\hat {F}}={\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t)\;$ korzystając z założenia, że operatory ${\hat {\psi }}\;$ oraz $\delta {\hat {\psi }}\;$ antykomutują ze sobą, wtedy można napisać z definicji funkcji operatorowej ${\hat {G}}\;$ (33.50) wniosek:

$\delta {\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t)=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),{\hat {G}}]=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),{{i\hbar } \over {2}}\int d^{3}x_{1}{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\delta {\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)-{{i\hbar } \over {2}}\int d^{3}x_{1}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t){\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)]=\;$
$=\int [{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\delta {\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)]d^{3}x_{1}-\int [{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),\delta {\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t){\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)]d^{3}x_{1}=\;$
$=\int \left\{{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t){\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\right\}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }d^{2}x_{1}+\int \{{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)\}d^{3}x_{1}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\;$

(33.52)

We obliczeniach (33.52) zauważamy, że zachodzą wnioski antykomutacyjne na operatorach "pędu" i "położenia", to przepisy tychże antykomutatorów są:

$\{{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\}=\delta _{\alpha \beta }\delta ^{3}(x-x_{1})\;$

(33.53)

$\{{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)\}=0\;$

(33.54)

Wtedy wyrażenie (33.52) przy pomocy (33.53) możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest:

$\delta {\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t)=\int \left\{{\hat {\psi }}_{\alpha },{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\right\}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }+\int \{{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)\}d^{3}x_{1}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)=\delta _{\alpha \beta }\delta {\hat {\psi }}_{\beta }+\int 0d^{3}x_{1}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)=\delta {\hat {\psi }}(x,t)\;$

(33.55)

Dalej, gdy obierzemy inny operator ${\hat {F}}_{\alpha }={\hat {\psi }}^{+}\;$, możemy dojść do następnych równań przy założeniu, że poniższe wyrażenie jest tożsamością:

$\delta {\hat {\psi }}_{\alpha }^{+}(x,t)=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {\psi }}_{\alpha }^{+}(x,t),{\hat {G}}]=-2{{i} \over {\hbar }}[{\hat {\psi }}_{\alpha }^{+}(x,t),{{i\hbar } \over {2}}\int d^{3}x_{1}{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\delta {\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)-{{i\hbar } \over {2}}\int d^{3}x_{1}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\delta {\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t){\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)]=\;$
$=\int [{\hat {\psi }}_{\alpha }^{+}(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\delta {\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)]d^{3}x_{1}-\int [{\hat {\psi }}_{\alpha }^{+}(x,t),\delta {\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t){\hat {\psi }}_{\beta }(x_{1},t)]d^{3}x_{1}=\;$
$=\int \left\{{\hat {\psi }}_{\alpha }^{+}(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\right\}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }d^{2}x_{1}+\int \{{\hat {\psi }}_{\alpha }(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\}d^{3}x_{1}\delta {\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\;$

(33.56)

W obliczeniach (33.56) nalezy wykorzystać warunek (33.54) i na jej podstawie wynika też tożsamość:

$\left\{{\hat {\psi }}_{\alpha }^{+}(x,t),{\hat {\psi }}_{\beta }^{+}(x_{1},t)\right\}=0\;$

(33.57)

Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona

Napiszmy rozwiązanie równania pola Kleina-Gordona i jego sprzężenie zespolone, przepisy ich są:

$\Phi (x,t)=e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}-i\omega _{k}t}\;$

(33.58)

$\Phi ^{*}(x,t)=e^{-i{\vec {k}}{\vec {r}}+i\omega _{k}t}\;$

(33.59)

Wstawiamy równanie (33.58) do równania pola Kleina-Gordona (28.30) dla przestrzeni trójwymiarowej, otrzymujemy:

$-{{1} \over {c^{2}}}\omega ^{2}+k^{2}=-{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\Rightarrow \omega _{k}^{2}=k^{2}c^{2}+{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\;$

(33.60)

Założymy, że cząstka znajduje się w sześcianie o długości jakiegoś jednego bogu równym L. Warunkami brzegowymi dla naszego przypadku są to przepisy zapisane jako:

$\Phi (0,y,z,t)=\Phi (L,y,z,t)\;$

(33.61)

$\Phi (x,0,z,t)=\Phi (x,L,z,t)\;$

(33.62)

$\Phi (x,y,0,t)=\Phi (x,y,L,t)\;$

(33.63)

Wszystkie te trzy warunki tzn. (33.61), (33.62) oraz (33.63) sprowadzają się do jednego równania dla współrzędnej j-tej wektora położenia dla j=1,2,3:

$e^{0}=e^{ik_{j}L}\Rightarrow 0=k_{j}L-2\pi n_{j}\Rightarrow k_{j}={{2\pi } \over {L}}n_{j}\;$

(33.64)

Wektor falowy, na podstawie obliczeń (33.64), możemy przestawić w postaci ogólnego wzoru przy pomocy trójki liczb całkowitych podanej też w tej linijce:

${\vec {k}}={{2\pi } \over {L}}[n_{1},n_{2},n_{3}]\;$

(33.65)

$n_{j}=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...\;$

(33.66)

Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona (28.30), możemy napisać w bazie na funkcjach $\Phi ({\vec {r}},t)\;$ (33.71), $\Phi ^{*}({\vec {r}},t)\;$ (33.72), przyjmuje postać:

$\Phi ({\vec {r}},t)=\sum _{k}\left({{\hbar \omega _{k}L^{3}} \over {m_{0}c^{2}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\left(b_{k}^{-}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}-i\omega _{k}t)+b_{k}^{+}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}+i\omega _{k}t)\right)\;$

(33.67)

Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" (33.26), co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując (33.67) względem czasu, stąd:

$\Pi ({\vec {r}},t)={\dot {\Phi }}({\vec {r}},t)=-i\sum _{k}\left({{m_{0}c^{2}\omega _{k}} \over {\hbar L^{3}}}\right)^{{1} \over {2}}\left(b_{k}^{-}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}-i\omega _{k}t)-b_{k}^{+}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}+i\omega _{k}t)\right)\;$

(33.68)

W (33.67) i (33.68) uważaliśmy za pewne funkcje $\Phi ({\vec {r}},t)\;$ i ${\dot {\Phi }}({\vec {r}},t)\;$ jako pewne funkcje skalarne zależne od współrzędnych w czteroprzestrzeni, a teraz niech te funkcje uważajmy jako operatory, tzn.: jako ${\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)\;$ oraz ${\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)\;$, którego definicję podamy najpierw dla operatora ${\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)\;$ zapisanej według tożsamości (33.67) zastępując przy okazji b⁺ i b^- przez operatory kreacji i anihilacji, i w ten sposób dostajemy wniosek:

${\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)=\sum _{k}\left({{\hbar \omega _{k}L^{3}} \over {m_{0}c^{2}}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\left({\hat {b}}_{k}^{-}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}-i\omega _{k}t)+{\hat {b}}_{k}^{+}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}+i\omega _{k}t)\right)\;$

(33.69)

A później dla operatora ${\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)\;$ zapisanej według tożsamości (33.68) zastępując w nim przy okazji b⁺ i b^- przez operatory kreacji i anihilacji by otrzymać:

${\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)=-i\sum _{k}\left({{m_{0}c^{2}\omega _{k}} \over {\hbar L^{3}}}\right)^{{1} \over {2}}\left({\hat {b}}_{k}^{-}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}-i\omega _{k}t)-{\hat {b}}_{k}^{+}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}+i\omega _{k}t)\right)\;$

(33.70)

Operator (33.69) mnożymy przez $\omega _{k}\;$, a (33.70) przez jednostkę urojoną $i\;$, następnie dodajemy i odejmujemy je od siebie, w ten sposób otrzymujemy następujący układ równań:

${\begin{cases}\omega _{t}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)+i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)=\left({{4m_{0}c^{2}\omega _{k}} \over {L^{3}\hbar }}\right)^{{1} \over {2}}\sum _{k}{\hat {b}}_{k}^{-}\exp(ikx-i\omega _{k}t)\\\omega _{t}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)-i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)=\left({{4m_{0}c^{2}\omega _{k}} \over {\hbar L^{3}}}\right)^{{1} \over {2}}\sum _{k}{\hat {b}}_{k}^{+}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}+i\omega _{k})\end{cases}}\;$

(33.71)

Pomnóżmy pierwszą równość układu równań (33.71) przez: $\exp(-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}+i\omega _{t})\;$, a drugą przez: $\exp(-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}+i\omega _{t})\;$, dalej scałkujemy te dwa równania otrzymując:

${\begin{cases}\int _{{\vec {r}}\in L^{3}}d^{3}{\vec {r}}\exp(-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}+i\omega _{k^{'}}t)\left(\omega _{k}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)+i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)\right)=\left({{4m_{0}c^{2}L^{3}\omega _{k}} \over {\hbar }}\right)^{{1} \over {2}}{\hat {b}}_{k}^{-}\\\int _{{\vec {r}}\in L^{3}}d^{3}{\vec {r}}\exp(i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}-i\omega _{k^{'}}t)\left(\omega _{k}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)-i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)\right)=\left({{4L^{3}m_{0}c^{2}\omega _{k}} \over {\hbar }}\right)^{{1} \over {2}}{\hat {b}}_{k}^{+}\end{cases}}\;$

(33.72)

Przy obliczeniach (33.72) w celu wyprowadzenie wyrażeń na operatory kreacji i anihilacji skorzystaliśmy z własności:

$\int _{{\vec {r}}\in L^{3}}d^{3}{\vec {r}}\exp(i(k_{j}^{'}-k_{j})x_{j})dx=L^{3}\delta _{k^{'}k}\;$

Z układu równań (33.72) można otrzymać układ równań na operatory kreacji ${\hat {b}}^{+}\;$ i anihilacji ${\hat {b}}^{-}\;$ w zależności od operatorów "położenia" ${\hat {\Phi }}\;,$ i "pędu" ${\hat {\Pi }}\;$ w postaci układu dwóch równań:

${\begin{cases}{\hat {b}}_{k}^{-}=({{4m_{0}c^{2}L^{3}\omega _{k}} \over {\hbar }})^{-{{1} \over {2}}}\int _{{\vec {r}}\in L^{3}}d^{3}{\vec {r}}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}+i\omega _{k}t)\left(\omega _{k}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)+i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)\right)\\{\hat {b}}_{k}^{+}=({{4m_{0}c^{2}L^{3}\omega _{k}} \over {\hbar }})^{-{{1} \over {2}}}\int _{{\vec {r}}\in L^{3}}d^{3}{\vec {r}}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}-i\omega _{k}t)\left(\omega _{k}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)-i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t)\right)\end{cases}}\;$

(33.73)

Policzmy teraz komutator $[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k'}^{+}]\;$ korzystając z układu równań (33.73):

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k'}^{+}]={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k'}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int _{{\vec {r}}\in L^{3}}\int _{{\vec {r}}^{'}\in L^{3}}d^{2}{\vec {r}}d^{2}{\vec {r}}^{'}\exp(i({\vec {k}}^{'}-{\vec {k}}){\vec {r}})\exp(i(\omega _{k}-\omega _{k'})t)\cdot \;$
$\cdot [\omega _{k}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)+i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),\omega _{k^{'}}{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)-i{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]\;$

(33.74)

Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu (33.74), który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:

$[\omega _{k}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)+i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),\omega _{k^{'}}{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)-i{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]=\omega _{k}\omega _{k^{'}}[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]-i\omega _{k}[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]+i\omega _{k^{'}}[{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]+\;$
$+[{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]=-i(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]$

(33.75)

Wyrażenie (33.74), które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie (33.75), do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne (33.32), (33.37) i (33.38), by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k^{'}}^{+}]=-i{{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}(\omega _{k}\omega _{k^{'}})^{-{{1} \over {2}}}(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})\exp(i(\omega _{k}-\omega _{k^{'}})t)\cdot \int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(i({\vec {k}}'-{\vec {k}}){\vec {r}})[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]=\;$
$=-i{{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}(\omega _{k}\omega _{k^{'}})^{-{{1} \over {2}}}(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})\exp(i(\omega _{k}-\omega _{k^{'}})t)\cdot \int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(i({\vec {k}}'-{\vec {k}}){\vec {r}})i{{2m_{0}c^{2}} \over {\hbar }}\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})=\;$
$={{1} \over {2L^{3}}}(\omega _{k}\omega _{k^{'}})^{-{{1} \over {2}}}(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})\exp(i(\omega _{k}-\omega _{k^{'}})t)\int d^{3}{\vec {r}}\exp(i({\vec {k}}^{'}-{\vec {k}}){\vec {r}})={{1} \over {2L^{3}}}(\omega _{k}\omega _{k^{'}})^{-{{1} \over {2}}}(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})\exp(i(\omega _{k}-\omega _{k^{'}})t)L^{3}\delta _{k^{'}k}\;$

(33.76)

Gdy założymy w obliczeniach (33.76), że mamy $k\neq k^{'}\;$, to otrzymujemy tożsamość:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k^{'}}^{+}]=0\;$

(33.77)

Ale gdy założymy w obliczeniach (33.76), że zachodzi: $k=k^{'}\;$, to na pewno otrzymujemy:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k}^{+}]={{1} \over {2L^{3}}}\omega _{k}^{-1}2\omega _{k}L^{3}=1\;$

(33.78)

Udowodniliśmy na podstawie dwóch otrzymanych równań, że ogólnie równanie łączące dwie tożsamości zapisanej powyżej, tzn. (33.77) i (33.78) dla dowolnego k i k', można zapisać według ogólnej zasady:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k^{'}}^{+}]=\delta _{kk^{'}}\;$

(33.79)

Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów (33.73):

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k^{'}}^{-}]={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(-i({\vec {k}}{\vec {r}}-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\exp(i(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})t)\cdot [\omega _{k}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)+i{\hat {\Pi }},\omega _{k^{'}}{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)+\;$
$+i{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\exp(i\omega _{k}t+i\omega _{k^{'}}t)\cdot \;$

$\cdot {\Bigg \{}\omega _{k}\omega _{k^{'}}[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]+\omega _{k}i[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]+i\omega _{k^{'}}[{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]-[{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]{\Bigg \}}=\;$

$={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\exp(i\omega _{k}t+i\omega _{k^{'}}t){\Bigg \{}\omega _{k}i[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]+\;$
$+i\omega _{k^{'}}[{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]{\Bigg \}}={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(-i{\vec {k}}{\vec {r}}-i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\exp(i\omega _{k}t+i\omega _{k^{'}}t)\cdot \;$
$\cdot \left\{\omega _{k}ii{{2m_{0}c^{2}} \over {\hbar }}\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})-ii{{2m_{0}c^{2}} \over {\hbar }}\omega _{k^{'}}\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})\right\}={{1} \over {2L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int d^{3}{\vec {r}}\exp(-i({\vec {k}}+{\vec {k}}^{'}){\vec {r}})\exp(i(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})t)\cdot \;$
$\cdot (\omega _{k^{'}}-\omega _{k})={{1} \over {2L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\exp(i(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})t)(\omega _{k^{'}}-\omega _{k})\int \exp(-i({\vec {k}}+{\vec {k}}^{'}){\vec {r}})d^{3}{\vec {r}}=0\;$

(33.80)

W obliczeniach w (33.80) wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów:

$[{\hat {b}}_{k}^{-},{\hat {b}}_{k^{'}}^{-}]=0\;$

(33.81)

Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji:

$[{\hat {b}}_{k}^{+},{\hat {b}}_{k^{'}}^{+}]={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}+i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\exp(-i(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})t)[\omega _{k}{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t)-i{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),\omega _{k^{'}}{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)+\;$
$-i{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}+i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\exp(-i\omega _{k}t-i\omega _{k^{'}}t)\cdot \;$
$\cdot {\Bigg \{}\omega _{k}\omega _{k^{'}}[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]-\omega _{k}i[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]-i\omega _{k^{'}}[{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]+i[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]{\Bigg \}}=\;$
$={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}+i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\exp(-i\omega _{k}t-i\omega _{k^{'}}t)\cdot {\Big \{}-\omega _{k}i[{\hat {\Phi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Pi }}({\vec {r}}^{'},t)]+\;$
$-i\omega _{k^{'}}[{\hat {\Pi }}({\vec {r}},t),{\hat {\Phi }}({\vec {r}}^{'},t)]{\Big \}}={{\hbar } \over {4m_{0}c^{2}L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int \int d^{3}{\vec {r}}d^{3}{\vec {r}}^{'}\exp(i{\vec {k}}{\vec {r}}+i{\vec {k}}^{'}{\vec {r}}^{'})\exp(-i\omega _{k}t-i\omega _{k^{'}}t)\cdot \;$
$\cdot \left\{-\omega _{k}ii{{2m_{0}c^{2}} \over {\hbar }}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})+ii{{2m_{0}c^{2}} \over {\hbar }}\omega _{k^{'}}\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})\right\}={{1} \over {2L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\int d^{3}{\vec {r}}\exp(i({\vec {k}}+{\vec {k}}^{'}){\vec {r}})\exp(-i(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})t)\cdot \;$
$\cdot (\omega _{k}-\omega _{k^{'}})={{1} \over {2L^{3}}}\left(\omega _{k}\omega _{k^{'}}\right)^{-{{1} \over {2}}}\exp(-i(\omega _{k}+\omega _{k^{'}})t)(\omega _{k}-\omega _{k^{'}})\int \exp(i({\vec {k}}+{\vec {k}}^{'}){\vec {r}})d^{3}{\vec {r}}=0\;$

(33.82)

W obliczeniach w (33.82) wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu:

$[{\hat {b}}_{k}^{+},{\hat {b}}_{k^{'}}^{+}]=0\;$

(33.83)

W tym rozdziale otrzymaliśmy ogólne prawa komutacyjne operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów, które podaliśmy z dowodami, ale innym sposobami niż w rozdziale "Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów".