Autor:Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna:Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.
Tutaj zapoznamy się z zastosowaniem funkcji Greena w celu wyliczenia funkcji falowej rządzącej danym problemem fizycznym, w tym celu należy przed wyznaczeniem wyznaczyć funkcję Greena. Tutaj rozważamy problem Schrödingera i Klieina-Gordona.
Funkcje Greena dla hamiltonianu SchrödingeraEdytuj
Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora ∇ ten operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna operatora całkowitej energii całkowitej, piszemy przez równanie:
(30.1)
Pomnóżmy równanie własne (30.1) przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych , aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach, można napisać:
(30.2)
Połóżmy występujące w równaniu (30.2) na funkcję i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób, by nasze końcowe równanie nie zależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:
(30.3)
(30.4)
Na podstawie (30.3) (definicja stałej E) i (30.4) (definicja ), wzór (30.2) przybiera inną równoważną postać:
(30.5)
Widzimy, że wyrażenie (30.5) spełnia kryteria, które na nią wcześniej nałożyliśmy w postaci pewnych znaczeń.
W równaniu (30.5) przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, otrzymujemy:
(30.6)
Porównując równanie (30.6) z (MMF-20.1), otrzymujemy wzory na dwie tożsamości:
(30.7)
(30.8)
Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy ją w sposób:
(30.9)
Jeśli zaburzenie jest małe, to w niektórych przypadkach możemy zapisać:
(30.10)
Mamy sobie równanie (30.6), które możemy porównać ze wzorem (MMF-20.1), stąd dochodzimy do wniosku (30.7), wykorzystując przy tym fakt, że funkcja własna operatora energii jest (8.118), wiedząc, że w nim zachodzi przybliżenie (30.10), wtedy możemy napisać funkcję (30.9), która zależy od funkcji Greena:
(30.11)
Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu (30.11) według jego definicji (MMF-20.4) i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej (MMF-14.39), w której będziemy mogli napisać operator (30.8) dla przestrzeni trójwymiarowej, także wymnażać będziemy funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, by otrzymać:
(30.12)
Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena (30.12) w postaci zwartej, wpierw wyznaczmy całkę, ale przedtem załóżmy, że różnica wektorów leży na osi rzędnych OY:
(30.13)
Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie (0,0) wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla R→∞ ,a to z kolei dąży do (30.13), ale najpierw napiszmy zamiast k liczbę zespoloną , zatem jeśli , to R→∞, wtedy możemy przecałkować po półokręgu dla ε skończonego, ale nierównego zero, zobaczymy co nam wyjdzie dalej:
(30.14)
Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale , gdzie funkcja y=sin x jest zawsze większa niż prosta , zatem zachodzi:, zatem przedział całkowania w (30.14) należy ograniczyć do omawianego przedziału, a wynik pomnożyć przez dwa, zatem:
(30.15)
Całka (30.14), na podstawie obliczeń (30.15), jest równa:
(30.16)
Punkty na półkregu leżą nieskończenie daleko od jej środka, zatem , bo , zatem wyznaczmy granice i zobaczymy co wyjdzie:
(30.17)
bo jest skończone i równe jeden w podwyrażeniu (30.17):
Całka na półokręgu (30.16) dąży do zera na podstawie (30.17), bo jak powiedzeliśmy wcześniej dla omawianego półokręgu , wtedy całkowanie po półokręgu dąży do zera, zatem nasz wynik dla R nieskończonego leży na odcinku , dochodzimy więc do wniosku, że całkowanie dokonujemy po pewnym konturze, tzn. po półokręgu dla wraz z odcinkiem łączący oba punkty naszego półokręgu, ale z twierdzenia z analizy matematycznej, całkowanie nie zależy od konturu wokół pewnego punktu osobliwości po jakim całkujemy, zatem całkowanie możemy ograniczyć po okręgu o promieniu ρ dążących do zera wokół omawianego punktu osobliwowego.
W całce (30.13) dokonajmy podstawienia , co stąd po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy , wykorzystując te podstawienia do całki (30.13) oraz wykorzystując, że funkcja podcałkowa w omawianej całce ma osobliwości w punktach .
Gdy ε>0, to do wewnątrz półokręgu należy oczywiście punkt , a drugi nie należy, ale gdy natomiast ε<0, to do wewnątrz półokręgu należy drugi punkt , a pierwszy nie należy.
Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku , więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu, po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich.
(30.18)
Otrzymaliśmy według obliczeń (30.18), że funkcja Greena ma dwie postacie zapisane w postaci ogólnej:
(30.19)
Funkcję Greena (30.19) można wstawić do równania (30.11), w ten sposób można obliczyć funkcję własne równania własnego operatora energii według kwantowej mechaniki klasycznej Schrödingera.
Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-GordonaEdytuj
Gęstość Lagrangianu (28.24) uzupełnijmy o dodatkowy wyraz wprowadzając źródło nowych fal, wtedy go napiszemy:
(30.20)
Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a (28.23), w tym celu pochodne (28.26) i (28.27) są takie same dla (28.24) jak dla (30.20) tylko jedyna różnica jest dla pochodnej (28.28), który tutaj wynosi:
(30.21)
Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu:
(30.22)
Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w (30.22), wtedy rozważane równanie różniczkowe jest bardzo podobne do równania Kleina-Gordona (28.31), bo w tym równaniu zachodzi , a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, zapisujemy w formie:
(30.23)
Równanie (30.23) jest bardzo podobne do równania operatorowego (30.1), gdzie definicja operatora i funkcji jest zarysowana:
(30.24)
(30.25)
Zatem równanie na funkcję Greena według równości (MMF-20.5), którego definicja dla naszego przypadku przestawiamy wzorem:
(30.26)
Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie (MMF-20.4) oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej:
(30.27)
W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:.
Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena (30.27) oraz wyznaczone równania różniczkowego niejednorodne (30.23) dla J=0, to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego jest wedle (MMF-20.7).