Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów

Funkcje Greena w teorii kwantów

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera 2Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona

Tutaj zapoznamy się z zastosowaniem funkcji Greena w celu wyliczenia funkcji falowej rządzącej danym problemem fizycznym, w tym celu należy przed wyznaczeniem wyznaczyć funkcję Greena. Tutaj rozważamy problem Schrödingera i Klieina-Gordona.

Funkcje Greena dla hamiltonianu Schrödingera

Rozważmy równanie własne operatora energii całkowitej dla przestrzeni trójwymiarowej, w której występuje kwadrat operatora ∇ ten operator mnożenia energii potencjalnej oraz funkcja i wartość własna operatora całkowitej energii całkowitej, piszemy przez równanie:

$\left(-{{\hbar ^{2}} \over {2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})\right)\psi ({\vec {r}})=E\psi ({\vec {r}})\;$

(31.1)

Pomnóżmy równanie własne (31.1) przez stałą, będącą kombinacją stałych fizycznych $-{{2m} \over {\hbar ^{2}}}\;$, aby stało się ono prostsze w dalszych obliczeniach, można napisać:

$\left(\nabla ^{2}-{{2mV({\vec {r}})} \over {\hbar ^{2}}}\right)\psi ({\vec {r}})=-{{2mE} \over {\hbar ^{2}}}\psi ({\vec {r}})\;$

(31.2)

Połóżmy występujące w równaniu (31.2) na funkcję $V({\vec {r}})\;$ i wartość własną E definicję pewnych stałych, w taki sposób, by nasze końcowe równanie nie zależało od masy cząstki i od stałych fizycznych, których definicję tych stałych podamy poniżej:

$E={{\hbar ^{2}k_{0}^{2}} \over {2m}}\geq 0\;$

(31.3)

$V({\vec {r}})={{\hbar } \over {2m}}U({\vec {r}})\;$

(31.4)

Na podstawie (31.3) (definicja stałej E) i (31.4) (definicja $V({\vec {r}})\;$), wzór (31.2) przybiera inną równoważną postać:

$\left(\nabla ^{2}-U({\vec {r}})\right)\psi ({\vec {r}})=-k_{0}^{2}\psi \;$

(31.5)

Widzimy, że wyrażenie (31.5) spełnia kryteria, które na nią wcześniej nałożyliśmy w postaci pewnych znaczeń. W równaniu (31.5) przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, otrzymujemy:

$\left(\nabla ^{2}+k_{0}^{2}\right)\psi ({\vec {r}})=U({\vec {r}})\psi ({\vec {r}})\;$

(31.6)

Porównując równanie (31.6) z (MMF-20.1), otrzymujemy wzory na dwie tożsamości:

$K({\vec {r}})=U({\vec {r}})\psi ({\vec {r}})\;$

(31.7)

${\hat {O}}=\nabla ^{2}+k_{0}^{2}\;$

(31.8)

Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy ją w sposób:

$\psi ({\vec {r}})=\psi _{0}({\vec {r}})+\psi _{1}({\vec {r}})\;$

(31.9)

Jeśli zaburzenie jest małe, to w niektórych przypadkach możemy zapisać:

$\psi ({\vec {r}})\simeq \psi _{0}({\vec {r}})\;$

(31.10)

Mamy sobie równanie (31.6), które możemy porównać ze wzorem (MMF-20.1), stąd dochodzimy do wniosku (31.7), wykorzystując przy tym fakt, że funkcja własna operatora energii jest (8.118), wiedząc, że w nim zachodzi przybliżenie (31.10), wtedy możemy napisać funkcję (31.9), która zależy od funkcji Greena:

$\psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}_{0}{\vec {r}}}+\int U({\vec {r}}^{'})e^{i{\vec {k}}_{0}{\vec {r}}^{'}}G({\vec {r}},{\vec {r}}^{'})d^{3}{\vec {r}}\;$

(31.11)

Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu (31.11) według jego definicji (MMF-20.4) i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej (MMF-14.39), w której będziemy mogli napisać operator ${\hat {O}}\;$ (31.8) dla przestrzeni trójwymiarowej, także wymnażać będziemy funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, by otrzymać:

$G({\vec {r}},{\vec {r}}^{'})={\hat {O}}^{-1}\delta ^{3}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})=\;{{1} \over {(2\pi )^{3}}}\int d^{3}{\vec {k}}{\hat {O}}^{-1}e^{i{\vec {k}}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})}={{1} \over {(2\pi )^{3}}}\int d^{3}{\vec {k}}{{1} \over {{\hat {O}}e^{-i{\vec {k}}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})}}}={{1} \over {(2\pi )^{3}}}\int d^{3}{\vec {k}}{{1} \over {\left(\nabla ^{2}+k_{0}^{2}\right)e^{-i{\vec {k}}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})}}}=\;$
$={{1} \over {(2\pi )^{3}}}\int d^{3}{\vec {k}}{{1} \over {(-k^{2}+k_{0}^{2})e^{-i{\vec {k}}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})}}}={{1} \over {(2\pi )^{3}}}\int d^{3}{\vec {k}}{{e^{i{\vec {k}}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})}} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}\;$

(31.12)

Następnym krokiem jest wyznaczenie funkcji Greena (31.12) w postaci zwartej, wpierw wyznaczmy całkę, ale przedtem załóżmy, że różnica wektorów ${\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}\;$ leży na osi rzędnych OY:

${{1} \over {(2\pi )^{3}}}\int d^{3}{\vec {k}}{{e^{i{\vec {k}}({\vec {r}}-{\vec {r}}^{'})}} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}={{1} \over {(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{k^{2}} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\pi }d\psi \sin \psi e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|\cos \psi }=\;$
$={{1} \over {4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{{k^{2}} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}\int _{1}^{-1}-due^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|u}={{1} \over {4\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{{k^{2}dk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}\left[{{e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|u}} \over {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\right]_{-1}^{1}=\;$
$={{1} \over {4\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\int _{0}^{\infty }{{k^{2}dk} \over {(k_{0}^{2}-k^{2})k}}{{e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}-e^{-ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}} \over {2i}}={{1} \over {4i\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\left[\int _{0}^{\infty }{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}-\int _{0}^{\infty }{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{-ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\right]=\;$
$={{1} \over {4i\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\left[\int _{0}^{\infty }{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}-\int _{0}^{-\infty }{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\right]=\;$
$={{1} \over {4i\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\int _{-\infty }^{\infty }{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}={{1} \over {4i\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\int _{-\infty }^{\infty }{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}={{1} \over {4i\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\;$

(31.13)

Całkowanie po linii prostej na osi rzeczywistej możemy zastąpić całkowaniem po półkręgu o środku w punkcie (0,0) wraz z odcinkiem łączących dwa końcowe punkty tego półokręgu w płaszczyźnie zespolonej, to całka na półokręgu dąży do zera, a całka na odcinku (-R,R) na osi rzeczywistej do linii prostej dla R→∞ ,a to z kolei dąży do (31.13), ale najpierw napiszmy zamiast k liczbę zespoloną $R\cos \theta +iR\sin \theta \;$, zatem jeśli $k\rightarrow \pm \infty \;$, to R→∞, wtedy możemy przecałkować po półokręgu dla ε skończonego, ale nierównego zero, zobaczymy co nam wyjdzie dalej:

$\left|\int _{O}{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\right|=\left|\int _{O}{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}e^{iR|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|\cos \theta }e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|\sin \theta }\right|\leq \int _{O}\left|{{k} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}\right|e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|\sin \theta }|dk|\leq \;$
$\leq \max _{k\in O}\left|{{k} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}\right|R\int _{0}^{\pi }e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|\sin \theta }d\theta \;$

(31.14)

Aby policzyć powyższą całkę należy skorzystać z symetrii funkcji sinus na przedziale $(0,{{\pi } \over {2}})\;$, gdzie funkcja y=sin x jest zawsze większa niż prosta $y={{2} \over {\pi }}x\;$, zatem zachodzi:$\sin x\geq {{2} \over {\pi }}x\Rightarrow -\sin x\leq -{{2} \over {\pi }}x\;$, zatem przedział całkowania w (31.14) należy ograniczyć do omawianego przedziału, a wynik pomnożyć przez dwa, zatem:

$\int _{0}^{\pi }e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|\sin \theta }d\theta \leq 2\int _{0}^{{\pi } \over {2}}e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|{{2} \over {\pi }}\theta }d\theta ={{2} \over {-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|{{2} \over {\pi }}}}\left[e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|{{2} \over {\pi }}\theta }\right]_{0}^{{\pi } \over {2}}={{2} \over {-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|{{2} \over {\pi }}}}\left(e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}-1\right)=\;$
$={{\pi } \over {R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\left(1-e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\right)\;$

(31.15)

Całka (31.14), na podstawie obliczeń (31.15), jest równa:

$\left|\int _{O}{{kdk} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\right|\leq \max _{k\in O}\left|{{k} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}\right|R{{\pi } \over {R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\left(1-e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\right)=\;$
$=\max _{k\in O}\left|{{k} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}\right|{{\pi } \over {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\left(1-e^{-R|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\right)\;$

(31.16)

Punkty na półkregu leżą nieskończenie daleko od jej środka, zatem $|k|\rightarrow \infty \;$, bo $R\rightarrow \infty \;$, zatem wyznaczmy granice i zobaczymy co wyjdzie:

$\lim _{|k|\rightarrow \infty }\left|{{k} \over {k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon }}\right|=\lim _{|k|\rightarrow \infty }{{|k|} \over {|k|^{2}\left|{{k_{0}^{2}} \over {|k|^{2}}}-{{k^{2}} \over {|k|^{2}}}+{{i\epsilon } \over {|k|^{2}}}\right|}}=\lim _{|k|\rightarrow \infty }{{1} \over {|k|}}{{1} \over {\left|{{k_{0}^{2}} \over {|k|^{2}}}-{{k^{2}} \over {|k|^{2}}}+{{i\epsilon } \over {|k|^{2}}}\right|}}=0\cdot 1=0\;$

(31.17)

bo jest skończone i równe jeden w podwyrażeniu (31.17):

$\left|{{k_{0}^{2}} \over {|k|^{2}}}-{{k^{2}} \over {|k|^{2}}}+{{i\epsilon } \over {|k|^{2}}}\right|\leq {{|k_{0}|^{2}} \over {|k|^{2}}}+1+{{|\epsilon |} \over {|k|^{2}}}{\xrightarrow[{|k|\rightarrow \infty }]{}}1\;$

Całka na półokręgu (31.16) dąży do zera na podstawie (31.17), bo jak powiedzeliśmy wcześniej dla omawianego półokręgu $|k|\rightarrow \infty \;$, wtedy całkowanie po półokręgu dąży do zera, zatem nasz wynik dla R nieskończonego leży na odcinku $(-R,R)\;$, dochodzimy więc do wniosku, że całkowanie dokonujemy po pewnym konturze, tzn. po półokręgu dla $R\rightarrow \infty \;$ wraz z odcinkiem łączący oba punkty naszego półokręgu, ale z twierdzenia z analizy matematycznej, całkowanie nie zależy od konturu wokół pewnego punktu osobliwości po jakim całkujemy, zatem całkowanie możemy ograniczyć po okręgu o promieniu ρ dążących do zera wokół omawianego punktu osobliwowego. W całce (31.13) dokonajmy podstawienia $k_{0}^{2}-k^{2}+i\epsilon =\rho e^{i\theta }\;$, co stąd po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy $-2kdk=\rho e^{i\theta }id\theta \Rightarrow kdk=-{{1} \over {2}}\rho e^{i\theta }id\theta \;$, wykorzystując te podstawienia do całki (31.13) oraz wykorzystując, że funkcja podcałkowa w omawianej całce ma osobliwości w punktach $k=\pm {\sqrt {k_{0}^{2}+i\epsilon }}=\pm {\sqrt {k_{0}^{2}\left(1+{{i\epsilon } \over {k_{0}^{2}}}\right)}}\simeq \pm k_{0}\pm {{i\epsilon } \over {2k_{0}^{2}}}\;$. Gdy ε>0, to do wewnątrz półokręgu należy oczywiście punkt $k=k_{0}+{{i\epsilon } \over {2k_{0}^{2}}}\rightarrow k_{0}\;$, a drugi nie należy, ale gdy natomiast ε<0, to do wewnątrz półokręgu należy drugi punkt $k=-k_{0}-{{i\epsilon } \over {2k_{0}^{2}}}\rightarrow -k_{0}\;$, a pierwszy nie należy. Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku $\epsilon \rightarrow 0\;$, więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu, po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich.

$G({\vec {r}},{\vec {r}}^{'})={{1} \over {4i\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\lim _{\rho \rightarrow 0}\int _{0}^{2\pi }(-1){{{{1} \over {2}}\rho e^{i\theta }id\theta } \over {\rho e^{i\theta }}}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}=-{{1} \over {4i\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}i{{1} \over {2}}\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\lim _{\rho \rightarrow 0}\int _{0}^{2\pi }d\theta e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}=\;$
$=-{{1} \over {8\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\lim _{\epsilon \rightarrow 0}e^{\pm i(k_{0}+{{i\epsilon } \over {2k_{0}^{2}}})|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}\int _{0}^{2\pi }d\theta =-{{1} \over {8\pi ^{2}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}e^{\pm ik_{0}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}2\pi =-{{1} \over {4\pi }}{{e^{\pm ik_{0}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}} \over {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\;$

(31.18)

Otrzymaliśmy według obliczeń (31.18), że funkcja Greena ma dwie postacie zapisane w postaci ogólnej:

$G({\vec {r}},{\vec {r}}^{'})=-{{1} \over {4\pi }}{{e^{\pm ik_{0}|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}} \over {|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}\;$

(31.19)

Funkcję Greena (31.19) można wstawić do równania (31.11), w ten sposób można obliczyć funkcję własne równania własnego operatora energii według kwantowej mechaniki klasycznej Schrödingera.

Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona

Gęstość Lagrangianu (29.24) uzupełnijmy o dodatkowy wyraz wprowadzając źródło nowych fal, wtedy go napiszemy:

${\mathfrak {L}}={{1} \over {2}}\partial _{\mu }\psi \partial ^{\mu }\psi -{{1} \over {2}}{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi ^{2}+J\psi \;$

(31.20)

Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a (29.23), w tym celu pochodne (29.26) i (29.27) są takie same dla (29.24) jak dla (31.20) tylko jedyna różnica jest dla pochodnej (29.28), który tutaj wynosi:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \psi }}=-{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi +J\;$

(31.21)

Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu:

$\partial _{0}^{2}\psi -\partial _{k}^{2}\psi +{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\psi -J=0\Rightarrow \nabla ^{2}-{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}-{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}=-J\;$

(31.22)

Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w (31.22), wtedy rozważane równanie różniczkowe jest bardzo podobne do równania Kleina-Gordona (29.31), bo w tym równaniu zachodzi $J({\underline {x}})\equiv 0\;$, a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, zapisujemy w formie:

$\left(\square -{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\right)\psi ({\underline {x}})=-J({\underline {x}})\;$

(31.23)

Równanie (31.23) jest bardzo podobne do równania operatorowego (31.1), gdzie definicja operatora ${\hat {O}}\;$ i funkcji $K({\underline {x}})\;$ jest zarysowana:

${\hat {O}}=\square -{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\;$

(31.24)

${\hat {O}}K({\underline {x}})=-J({\underline {x}})\;$

(31.25)

Zatem równanie na funkcję Greena według równości (MMF-20.5), którego definicja dla naszego przypadku przestawiamy wzorem:

$\left(\square -{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\right)G({\underline {x}},{\underline {x}}^{'})=\delta ^{4}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})\;$

(31.26)

Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie (MMF-20.4) oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej:

$G({\underline {x}},{\underline {x}}^{'})={{1} \over {(2\pi )^{4}}}\int {\hat {O}}^{-1}e^{ik({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})}={{1} \over {(2\pi )^{4}}}\int d^{4}{\underline {k}}{{1} \over {{\hat {O}}e^{-i{\underline {k}}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})}}}={{1} \over {(2\pi )^{4}}}\int d^{4}{\underline {k}}{{1} \over {\left(\square -{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}\right)e^{-i{\underline {k}}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})}}}=\;$
$={{1} \over {(2\pi )^{4}}}\int d^{4}{\underline {k}}{{e^{i{\underline {k}}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})}} \over {-(k_{i}k_{i}-k_{0}^{2})-{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}}}={{1} \over {(2\pi )^{4}}}\int d^{4}{\underline {k}}{{e^{i{\underline {k}}({\underline {x}}-{\underline {x}}^{'})}} \over {k^{2}-{{m_{0}^{2}c^{2}} \over {\hbar ^{2}}}}}\;$

(31.27)

W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:${\underline {k}}{\underline {x}}=k_{\mu }x^{\mu }\;$. Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena (31.27) oraz wyznaczone równania różniczkowego niejednorodne (31.23) dla J=0, to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego jest wedle (MMF-20.7).