Mechanika kwantowa/Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek

Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Układy nierozróżnialnych cząstek kwantowych jednakowego rodzaju 1.1Przypadek układu dwóch cząstek kwantowych 1.2Przypadek układu n cząstek kwantowych

Układy nierozróżnialnych cząstek kwantowych jednakowego rodzaju

Według mechaniki klasycznej dwie cząstki należące do układu są rozróżnialne, nawet gdy są to cząstki jednakowego rodzaju. W mechanice kwantowej dwie jednakowe cząstki nie są rozróżnialne. Nawet wtedy, gdy początkowo funkcje falowe nie pokrywają się ze sobą (cząstki są odseparowane), po pewnym czasie te owe funkcje mogą się pokryć i ta nierozróżnialność ma sens.

Przypadek układu dwóch cząstek kwantowych

Niech nasz Hamiltonian dla układu dwóch cząstek będzie:

${\hat {H}}={{\left({\hat {p}}_{1}-q{\vec {A}}_{1}\right)^{2}} \over {2m_{q}}}+{{\left({\hat {p}}_{2}-q{\vec {A}}_{2}\right)^{2}} \over {2m_{q}}}+{{q^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|}}+{{qQ} \over {4\pi \epsilon _{0}r_{1}}}+{{qQ} \over {4\pi \epsilon _{0}r_{2}}}\;$

(16.1)

Równanie falowe dla dwóch różnych cząstek przyjmuje kształt:

${\hat {H}}(1,2)\psi (1,2)=E\psi (1,2)\;$

(16.2)

Dokonajmy przedstawienia współrzędnych obu cząstek w równania własnym dla dwóch cząstek w (16.2), otrzymujemy:

${\hat {H}}(2,1)\psi (2,1)=E\psi (2,1)\;$

(16.3)

Ponieważ Hamiltonian (16.1) jest symetryczny względem zamiany miejscami dwóch cząstek, to mamy:

${\hat {H}}(1,2)={\hat {H}}(2,1)\;$

(16.4)

To równanie własne (16.3) na podstawie własności (16.4) przyjmuje postać:

${\hat {H}}(1,2)\psi (2,1)=E\psi (2,1)\;$

(16.5)

Wprowadźmy operator wymiany cząstek, który zamienia miejscami współrzędne dwóch cząstek i jak się przekonamy istnieją dwa rodzaje funkcji, które napiszemy jako funkcję symetryczną i antysymetryczną. Działanie operatora wymiany cząstek piszemy:

${\hat {P}}\psi (1,2)=\psi (2,1)\;$

(16.6)

Podziałajmy obustronnie równanie (16.6) jeszcze raz operatorem wymiany cząstek, w tym celu jeszcze raz skorzystamy z równania ostatnio wspomnianego:

${\hat {P}}^{2}\psi (1,2)={\hat {P}}\psi (2,1)\Rightarrow {\hat {P}}^{2}\psi (1,2)=\psi (1,2)\;$

(16.7)

Na podstawie (16.7) dla dowolnych funkcji (16.7) kwadrat operatora wymiany cząstek jest operatorem tożsamościowym:

${\hat {P}}^{2}={\hat {I}}\;$

(16.8)

W celu wyznaczenia wartości własnych operatora wymiany cząstek ${\hat {P}}\;$, napiszmy równanie własne operatora wymiany cząstek dla dwóch cząstek:

${\hat {P}}\psi (1,2)=\pi \psi (1,2)\;$

(16.9)

Podziałajmy obustronnie równanie własne (16.9) operatorem ${\hat {P}}\;$ i jeszcze raz skorzystajmy z równania (16.9), a także z tożsamości (16.8), zatem:

${\hat {P}}^{2}\psi (1,2)={\hat {P}}\pi \psi (1,2)\Rightarrow \psi (1,2)=\pi {\hat {P}}\psi (1,2)\Rightarrow \psi (1,2)=\pi ^{2}\psi (1,2)\;$

(16.10)

Aby powyższe równanie wynikowe było tożsamością dla dowolnego $\psi (1,2)\;$, to kwadrat liczby $\pi \;$ musi być jeden, czyli:

$\pi ^{2}=1\;$

(16.11)

Z równości (16.11) wynika, że:

$\pi =-1,1\;$

(16.12)

Wartością własną operatora wymiany cząstek jest wartość minus jeden lub plus jeden. Mamy dwa stany symetryczny i antysymetryczny, dla tych stanów, w celu odróżnienia dwóch rodzajów funkcji, funkcję $\psi _{S}(1,2)\;$ nazwijmy funkcją symetryczną, a funkcję $\psi _{A}(1,2)\;$ nazwijmy funkcją asymetryczną, działanie operatora wymiany cząstek na te dwie rodzaje funkcji, które wspomnieliśmy, są napisane:

${\hat {P}}\psi _{S}(1,2)=\psi _{S}(1,2)\;$

(16.13)

${\hat {P}}\psi _{A}(1,2)=-\psi _{A}(1,2)\;$

(16.14)

Teraz zbudujmy funkcję falową całkowicie symetryczną i całkowicie antysymetryczną, stąd można powiedzieć, że te funkcje wyglądają:

$\psi _{S}(1,2)={{1} \over {\sqrt {2}}}\left\{\psi (1,2)+\psi (2,1)\right\}\;$

(16.15)

$\psi _{A}(1,2)={{1} \over {\sqrt {2}}}\left\{\psi (1,2)-\psi (2,1)\right\}\;$

(16.16)

Operator wymiany współrzędnych (cząstek) ${\hat {P}}\;$, którego równanie własne jest (16.9) przy wartościach własnych (16.12) komutuje z Hamiltonianem, jeśli nasz komutator jest symetryczny względem wymiany cząstek wedle (16.4), a oto jego dowód:

${\hat {P}}{\hat {H}}(1,2)\psi (1,2)={\hat {H}}(2,1)\psi (2,1)={\hat {H}}(1,2)\psi (2,1)={\hat {H}}(1,2){\hat {P}}\psi (1,2)\;$

(16.17)

A zatem na podstawie (16.17) mamy związek komutacyjny:

$[{\hat {P}},{\hat {H}}]=0\;$

(16.18)

Na podstawie wzoru Ehrenfesta (13.4) średnia wartość operatora wymiany współrzędnych jest zachowana, jeśli jest spełniona komutacja między operatorem wymiany współrzędnych, a operatorem energii całkowitej wedle tożsamości komutacyjnej (16.18), przy wspomnianych powyżej warunkach.

Przypadek układu n cząstek kwantowych

Rozważmy hamiltonian dla n cząstek jednakowych w postaci:

${\hat {H}}=\sum _{i}{{\left({\hat {p}}_{i}-q{\vec {A}}_{i}\right)^{2}} \over {2m_{q}}}+\sum _{i<j}{{q^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|}}+\sum _{i}{{qQ_{i}} \over {4\pi \epsilon _{0}r_{i}}}\;$

(16.19)

Rozważmy funkcję falową n cząstek, zamiana miejscami dwóch cząstek z układu cząstek, która powinna zmienić najwyżej tylko znak funkcji lub pozostawiać bez zmiany znaku:

$\psi (1,3,2,..,n)=\pm \psi (1,2,3,..,n)\;$

(16.20)

Rozważmy przypadek, że zamiana cząstek jeden i trzy, to jego funkcja falowa nie zmienia znaku, a zamiana dwa i trzy zmienia znak jego funkcja falowa, zatem jeśli mamy, w pierwszym przypadku:

$\psi (1,2,3,...,n)=-\psi (1,3,2,...,n)=-\psi (3,1,2,...,n)=\psi (2,1,3,..,n)\;$

(16.21)

W drugim przypadku:

$\psi (1,2,3,...,n)=\psi (3,2,1,...,n)=-\psi (2,3,1,...,n)=-\psi (2,1,3,...,n)\;$

(16.22)

A zatem dochodzimy do sprzeczności. Takiej sprzeczności nie będzie, jeśli funkcja będzie całkowicie symetryczna lub całkowicie antysymetryczna. Dla układu n jednakowych i nieoddziaływających cząstek obsadzających n różnych stanów kwantowych $\{\alpha _{i}\}\;$ można utworzyć dużo funkcji całkowicie symetrycznych, ale jedną tylko funkcję antysymetryczną. Funkcje taką można zapisać za pomocą wyznacznika:

$\psi _{a}(1,2,...,n)={{1} \over {\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{\alpha _{1}}(1)&\psi _{\alpha _{2}}(1)&\cdots &\psi _{\alpha _{n}}(1)\\\psi _{\alpha _{1}}(2)&\psi _{\alpha _{2}}(2)&\cdots &\psi _{\alpha _{n}}(2)\\\vdots &\vdots &\ddots \vdots \\\psi _{\alpha _{1}}(n)&\psi _{\alpha _{2}}(n)&\cdots &\psi _{\alpha _{n}}(n)\end{vmatrix}}\;$

(16.23)