Mechanika kwantowa/Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana

Mechanika kwantowa

Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

Wykaz modułów w książce
1Podstawy mechaniki kwantowej 2Teoria atomu wodoru Bohra 3Teoria atomu wodoru Sommerfelda 4Zjawisko Comptona 5Postulat zerowy mechaniki kwantowej 6Postulat pierwszy mechaniki kwantowej 7Komutacja operatorów fizycznych 8Postulat drugi mechaniki kwantowej 9Zaawansowane własności funkcji kulistych 10Postulat trzeci mechaniki kwantowej 11Postulat czwarty mechaniki kwantowej 12Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych 13Równanie Ehrenfesta 14Gęstość prądu prawdopodobieństwa a równanie Schrödingera 15Cząstki o spinie połówkowym 16Zakaz Pauliego dla układu wielu cząstek 17Układ dwóch cząstek w mechanice kwantowej 18Kwantowy oscylator harmoniczny 19Doświadczenie Sterna-Gerlacha i efekt Zeemana 20Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu 21Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca 22Kwantowa teoria całkowitego momentu pędu 23Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów 24Symetrie, a prawa zachowania wartości średniej 25Relatywistyczna teoria kwantów Kleina-Gordona 26Wyprowadzenie operatora hamiltonianu relatywistycznej teorii kwantów Diraca 27Dowód niepełny i pełny relatywistycznej teorii kwantów Diraca 28Wnioski wynikające z mechaniki kwantowej Diraca 29Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a 30Symetria cechowania transformacji ładunkowej 31Funkcje Greena w teorii kwantów 32Asymptotyczne właściwości wektora własnego Hamiltonianu, a jego przekroje 33Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego 34Zasada wariacyjna Schwingera

Następny rozdział: Rachunek zaburzeń dla równania Schrödingera niezależnego od czasu. Poprzedni rozdział: Kwantowy oscylator harmoniczny.

Podręcznik: Mechanika kwantowa.

Doświadczenie Sterna-Gerlacha polega na wykazaniu rozszczepieniu wiązki w niejednorodnym polu magnetycznym. Wyznaczymy skalanie moment magnetyczny w zależności od wektora momentu pędu:

\mu =IS={{e} \over {T}}\pi r^{2}=re{{1} \over {2}}{{2\pi r} \over {T}}=re{{1} \over {2}}v={{e} \over {2m_{e}}}rm_{e}v={{e} \over {2m_{e}}}l\;

(19.1)

Równanie (19.1) możemy zapisać w postaci wektorowej jako związek między orbitalnym momentem pędu elektronu a jej momentem magnetycznym podczas krążenia tego elektronu po orbicie kołowym wedle sposobu:

{\vec {\mu }}=-{{e} \over {2m_{e}}}{\vec {l}}=-{{e} \over {2m_{e}}}{\vec {l}}

(19.2)

Współrzędna zetowa momentu magnetycznego jest związana ze współrzędną zetową orbitalnego momentu pędu wedle wzoru wektorowego (19.2) napisaną:

\mu _{z}=-{{e} \over {2m_{e}}}l_{z}

(19.3)

Oczywiste jest, że $l_{z}$ posiada wartości własne przedstawiające się w zależności od magnetycznej liczby kwantowej "m" wedle przepisu (8.43), to moment magnetyczny $\mu _{z}$ też posiada skwantowaną współrzędną zetową na podstawie (19.3), którą określamy:

\mu _{z}=-{{e\hbar } \over {2m_{e}}}m

(19.4)

Gdzie m to magnetyczna liczba kwantowa o wartościach (8.83).

A energia elektronu w polu magnetycznym, na podstawie rozważań ramki o momencie magnetycznym w polu magnetycznym jednorodnym, wyraża się:

\Delta E_{m}=-{\vec {B}}{\vec {\mu }}

(19.5)

Podstawiając do wzoru (19.5), która jest poprawką do energii elektronu w atomie definicję momentu magnetycznego ${\vec {\mu }}$ zdefiniowaną wedle (19.2):

\Delta E_{m}=-{\vec {B}}\left(-{{e} \over {2m_{e}}}{\vec {l}}\right)={{e} \over {2m_{e}}}{\vec {B}}{\vec {l}}

(19.6)

Jeśli pole magnetyczne ma kierunek równoległy do osi zetowej, to poprawka do energii elektronu (patrz:(19.6)) jest:

\Delta E_{m}={{e} \over {2m_{e}}}B_{z}l_{z}\;

(19.7)

Zastępując współrzędną zetową momentu pędu przez zetowy operator momentu pędu, a poprawkę energii przez poprawkę hamiltonianu, otrzymujemy operatorowy wzór na poprawkę energii cząstki ze spinem:

\Delta {\hat {H}}={{e} \over {2m_{e}}}B_{z}{\hat {l}}_{z}\;

(19.8)

Poprawka do hamiltonianu, czyli (19.8), jest zależna od natężenia pola magnetycznego w punkcie, w którym znajduje się elektron i od operatora zetowego momentu pędu. Napiszmy teraz Hamiltoniam według (6.38) z poprawką do rozważanego hamiltonianu (19.8):

{\hat {H}}=\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{e}}}\Delta -{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}+{{e} \over {2m_{e}}}B_{z}{\hat {l}}_{z}\right\}

(19.9)

A zatem nasze równanie własne dla operatora energii całkowitej elektronu w polu magnetycznym przedstawia się:

\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{e}}}\Delta -{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}+{{e} \over {2m_{e}}}B_{z}{\hat {l}}_{z}\right\}\psi =E\psi

(19.10)

Wiedząc jak wygląda równanie własne zetowego operatora momentu pędu, mając hamiltonian uzyskany z równania własnego (19.10), który komutuje z operatorem zetowym momentu pędu, a także też on komutuje z mniejszym operatorem energii (hamiltonian bez uwzględnienia pola magnetycznego), a także z zetowym operatorem momentu pędu, a także oba hamiltoniany (z polem magnetycznym lub bez) komutują ze sobą, to na podstawie tych przemyśleń dochodzimy do wniosku:

{\hat {H}}\psi _{nlm}=\left\{-{{\hbar ^{2}} \over {2m_{e}}}\Delta -{{e^{2}} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\right\}\psi _{nlm}+{{e} \over {2m_{e}}}B_{z}{\hat {l}}_{z}\psi _{nlm}=E_{0}\psi _{nlm}+{{eB_{z}} \over {2m_{e}}}m\hbar \psi _{nlm}=\left\{E_{0}+{{e\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}m\right\}\psi _{nlm}

(19.11)

Energia całkowita elektronu w polu magnetycznym z poprawką o energię związaną o spin elektronu, który ten elektron znajduje się w polu magnetycznym, o wyróżnionym kierunku jest napisana według równania (19.11) i zachowuje się:

E_{c}=E_{0}+{{e\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}m

(19.12)

Ale energia $E_{0}\;$ bez pola magnetycznego jest zdefiniowana w (8.161), zatem całkowita energia układu w polu magnetycznym jest zależna od głównej i magnetycznej liczby kwantowej przyjmującą z poprawką na moment magnetyczny elektronu poruszającego się po torze klasycznym po okręgu, który jest równoważny przepływowi prądu na tej orbicie, po której przebywa propagujący się elektron.

E_{c}=-{{m_{e}e^{4}} \over {8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}{{1} \over {n^{2}}}+{{e\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}m

(19.13)

Zmiana energii elektronu poruszającego się wokół jądra atomowego atomu wodoru w zależności od liczb kwantowych, tzn. kwantowej liczbie głównej "n" i magnetycznej liczbie magnetycznej "m", jest wyrysowana:

\Delta E=-{{m_{e}e^{4}} \over {8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({{1} \over {n_{2}^{2}}}-{{1} \over {n_{1}^{2}}}\right)+{{e\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}(m_{2}-m_{1})\Rightarrow {{hc} \over {\lambda }}={{m_{e}e^{4}} \over {8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({{1} \over {n_{1}^{2}}}-{{1} \over {n_{2}^{2}}}\right)+{{e\hbar B_{z}} \over {2m_{e}}}(m_{2}-m_{1})

(19.14)

Podczas przejść kwantowych dozwolone są przejścia dla $\Delta m=0\;$ lub $\Delta m=\pm 1$ , czyli dla takich liczb, dla których magnetyczna liczba kwantowa zmienia się o wartość o co najwyżej jeden.