Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca

Wprowadzenie do teorii wektorów Diraca

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Własności wektorów "bra" i "ket"

Zdefiniujmy nowe wielkości matematyczne w sposób: $|\cdot \rangle \;$ jako "ket", a $\langle \cdot |\;$ jako "bra".

Sprzężeniem hermitowskim wektora ket'a Diraca jest równy wektorowi bra nazywamy:

${|\cdot \rangle }^{+}=\langle \cdot |\;$

(21.1)

Zdefiniujmy ket jako wektor pionowy i podziałajmy na niego sprzężeniem hermitowskim, dostaniemy wektor bra:

$|a\rangle \rightarrow {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\;$

(21.2)

$\langle a|\equiv (|a\rangle )^{+}\rightarrow (a_{1}^{*},a_{2}^{*},\ldots ,a_{n}^{*})\;$

(21.3)

Iloczyn skalarny z definiowany przy pomocy wektorów "bra" (21.3) i "ket" (21.2), jest zdefiniowany za pomocą wektorów bra i ket:

$\langle a|b\rangle ={\begin{pmatrix}a_{1}^{*}&a_{2}^{*}&\cdots &a_{n}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\;$

(21.4)

Ponieważ wynik iloczynu skalarnego, może być liczbą zespoloną, a skalar można traktować jako macierz o wymiarze 1x1, a zatem z definicji iloczynu skalarnego (21.4) działanie sprzężenia hermitowskiego na ten obiekt jest sprzężeniem zespolonym piszemy według przepisu:

$(\langle a|b\rangle )^{+}=(\langle a|b\rangle )^{*}=\sum _{i}b_{i}^{*}a_{i}={\begin{pmatrix}b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\cdots &b_{n}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}=\langle b|a\rangle \;$

(21.5)

Gdy wektor bra jest równy po sprzężeniu hermitowskim wektorowi ket i po utworzeniu z nich iloczynu skalarnego wedle (21.5) i podziałaniu na niego sprzężeniem hermitowskim nie zmienia się wartość tego iloczynu.

$\langle a|a\rangle ^{+}=\langle a|a\rangle \;$

(21.6)

Więc iloczyn $\langle a|a\rangle \;$ na podstawie (21.6) i wcześniejszych przemyśleń jest opisany przez liczbę rzeczywistą, gdy ten iloczyn jest równy zero dla tego samego "a", dojdziemy do wniosku, że wektor $|a\rangle \;$ jest wektorem zerowym, a oto jego zapis.

$\langle a|a\rangle =0\Rightarrow a=0\;$

(21.7)

Również wynika dla niezerowych wektorów Diraca dla tego samego "a" na podstawie (21.5), że tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest równy wartości niezerowej.

$\langle a|a\rangle \geq 0\;$

(21.8)

Ponieważ mamy z naszych rozważań przestawionych w punkcie (21.8), to można policzyć długość wektora "ket" następująco:

$||a\rangle |={\sqrt {\langle a|a\rangle }}\;$

(21.9)

Jak widzimy, że długość naszego wektora ket dla ściśle określonego "a" jest liczbą rzeczywistą nieujemną.

Operatory w przestrzeni Hilberta

Transformacja jednego "ket'a" w drugi za pomocą operatora ${\hat {A}}\;$ może być przedstawiona liniowo:

${\hat {A}}|a\rangle =|b\rangle \;\;$

(21.10)

Również transformacja wektora "bra" w inny wektor "bra" przez operator ${\hat {B}}\;$ jest opisywany:

$\langle a|{\hat {B}}=\langle b|\;\;$

(21.11)

Operatory ${\hat {A}}\;$ i $B\;$ są to zwykle operatory tak zdefiniowane, by był spełniony warunek:

${\hat {A}}^{+}={\hat {B}}\;$

(21.12)

Operator ${\hat {A}}\;$ jest operatorem sprzężonym po hermitowsku z operatorem ${\hat {B}}\;$. Według wzoru operatorowego (21.12) równanie (21.10) jest sprzężony do (21.11) po hermitowsku, czyli te oba wzory są do siebie równoważne. Policzmy, sprzężenie zwrotne iloczynu skalarnego podczas działania przez jakiś operator ${\hat {P}}\;$:

$(\langle a|{\hat {P}}|b\rangle )^{*}=(\langle a|{\hat {P}}|b\rangle )^{+}=\langle b|{\hat {P}}^{+}|a\rangle \;\;$

(21.13)

Jeszcze raz biorąc sprzężenie zwrotne wyrażenia (21.13), dojdziemy do początkowej postaci (przed sprzężeniem), którego przemyślenia przedstawimy później.

$\left\{(\langle a|{\hat {P}}|b\rangle )^{*}\right\}^{*}=\langle a|{\hat {P}}|b\rangle =\langle a|({\hat {P}}^{+})^{+}|b\rangle \;\;$

(21.14)

Ale wektory $|a\rangle \;$ i $|b\rangle \;$ zostały wybrane przypadkowo, zatem spełniony jest warunek, że podwójne sprzężenie hermowskie na dowolny operator ${\hat {P}}\;$ jest tym samym operatorem, tak jak by nie było sprzężenia.

$({\hat {P}}^{+})^{+}={\hat {P}}\;\;$

(21.15)

Rozważmy zapis i jego postać wedle przemyśleń:

$(|a\rangle \langle b|)|p\rangle =|a\rangle \langle b|p\rangle =\langle b|p\rangle |a\rangle \;\;$

(21.16)

Jeśli dodatkowo założymy, że $a=b\;$, to mamy:

$(|a\rangle \langle a|)|p\rangle =(\langle a|p\rangle )|a\rangle \;\;$

(21.17)

Wyrażenie (21.17) przedstawia rzut wektora $|p\rangle \;$ na wektor "ket" $|a\rangle ;\;$.

Policzmy jeszcze sprzężenie hermitowskie wektora:$(|a\rangle \langle b|)|p\rangle \;\;$:

$((|a\rangle \langle b|)|p\rangle )^{+}=\langle p|(|a\rangle \langle b|)^{+}\;\;$

(21.18)

Z drugiej strony z definicji sprzężenia hermitowskiego na wektory Diraca wedle ogólnego wzoru (21.1) możemy napisać, że:

$(|a\rangle \langle b|p\rangle )^{+}=\langle a|\langle p|b\rangle =\langle p|(|b\rangle \langle a\rangle )\;\;$

(21.19)

Z porównania wyprowadzeń (21.18) i (21.19) możemy napisać następującą tożsamość:

$(|a\rangle \langle b|)^{+}=|b\rangle \langle a|\;\;$

(21.20)

Zagadnienie własne operatorów hermitowskich

Lemat 1: Wartości własne operatorów hermitowskich są liczbami rzeczywistymi: Operator ${\hat {A}}\;$ jest operatorem hermitowskim, a więc zachodzą warunki:

$\langle a|{\hat {A}}|a\rangle =\langle a|{\hat {A}}a\rangle =a\langle a|a\rangle \;$

(21.21)

$\langle a|{\hat {A}}|a\rangle =\langle {\hat {A}}a|a\rangle ={\overline {a}}\langle a|a\rangle \;$

(21.22)

Przyrównujemy równanie (21.21) z (21.22), zatem mamy:

${\overline {a}}=a\;$

(21.23)

Co jest jedynie możliwe gdy $a\;$ jest rzeczywiste. Z własności, że operator ${\hat {A}}\;$ jest operatorem hermitowskim, wynika że jego wartości własne są rzeczywiste.

Lemat 2: Dwa kety należące do różnych wartości własnych są ortogonalne.

${\hat {A}}|a'\rangle =a'|a'\rangle \;$

(21.24)

${\hat {A}}|a''\rangle a''=|a''\rangle \;$

(21.25)

Weźmy teraz iloczyny skalarne dwóch wektorów, mamy:

$\langle a''|{\hat {A}}|a'\rangle =a'\langle a''|a'\rangle \;$

(21.26)

$\langle a''|{\hat {A}}|a'\rangle =\langle {\hat {A}}a'',a'\rangle =a''\langle a''|a'\rangle \;$

(21.27)

Gdy równanie (21.26) odejmiemy od równości (21.27), to otrzymamy równanie wynikowe różnych jego wartości własnych operatora ${\hat {A}}\;$, tzn. $a^{'}\;$ i $a^{''}\;$, tak by zachodziło $a^{'}\neq a^{''}\;$, co wspomnieliśmy w tym zdaniu:

$0=(a'-a'')\langle a'|a''\rangle \;$

(21.28)

Ponieważ $a'\neq a''\;$, to mamy:$\langle a'|a''\rangle =0\;$, czyli wektory własne operatorów hermitowskich dla dwóch różnych wartości własnych są do siebie prostopadłe.

Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretnej

W bazie dyskretnej iloczyn skalarny między wektorami bazy jest przedstawiony wedle wzoru:

$\langle a_{i}|a_{j}\rangle =\delta _{ij}\;$

(21.29)

Widzimy, że wedle zapisu (21.29) wektory rozważanej bazy są ortonornalne. Weźmy dowolny ket $|p\rangle \;$ i rozłóżmy go w ketach bazy $|a_{i}\rangle \;$ pisząc go przy pomocy współczynników liniowych rozwinięcia $c_{i}\;$:

$|p\rangle =\sum _{i=1}c_{i}|a_{i}\rangle \;$

(21.30)

W celu wyznaczenia współczynników, mnożymy obie strony równania (21.30) przez wektor $\langle a_{k}|\;$ i wykorzystując warunek ortonormalności wedle (21.29) dla dwóch dowolnych wektorów bazy dyskretnej i z własności delty Kroneckera dla sum, można otrzymać wzór na owe współczynniki:

$\langle a_{k}|p\rangle =\sum _{i}c_{i}\langle a_{k}|a_{i}\rangle =\sum _{i}c_{i}\delta _{ik}=c_{k}\;$

(21.31)

I już mamy wyznaczone owe współczynniki, a zatem równanie (21.30)(rozkład dowolnego keta w bazie dyskretnej) na podstawie (21.31)(współczynniki $c_{i}\;$) przyjmuje postać:

$|p\rangle =\sum _{i}\langle a_{i}|p\rangle |a_{i}\rangle =\left\{\sum _{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\right\}|p\rangle \;$

(21.32)

Z równania (21.32) (ostatnia równość) dostajemy, że operator jedynkowy jest w postaci:

${\hat {I}}=\sum _{i=1}^{r}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\;$

(21.33)

Dochodzimy więc do wniosku, że (21.33) jest operatorem jednostkowym. Udowodnijmy, że kwadrat owego operatora jest tym samym wektorem, wykorzystując przy tym warunek ortonormalizacji:

$I^{2}=\left(\sum _{i=1}^{r}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{r}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\right)\left(\sum _{j=1}^{r}|a_{j}\rangle \langle a_{j}|\right)=\sum _{ij=1}^{r}|a_{i}\rangle \langle a_{i}||a_{j}\rangle \langle a_{j}|=\sum _{ij=1}^{r}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|a_{j}\rangle \langle a_{j}|=\sum _{ij=1}^{r}\delta _{ij}|a_{i}\rangle \langle a_{j}|=\;$
$=\sum _{i=1}^{r}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|={\hat {I}}\;$

(21.34)

Zatem udowodniliśmy, co chcieliśmy.

Reprezentacja dowolnego keta w bazie ciągłej

W bazie ciągłej iloczyn skalarny między wektorami bazy jest zdefiniowany wedle:

$\langle a(k)|a(k^{'})\rangle =\delta (k-k^{'})\;$

(21.35)

Weźmy dowolny ket $|p\rangle \;$ i rozłóżmy go w ketach bazy $|a(k)\rangle \;$ (ciągłej) w sposób:

$|p\rangle =\int c(k)|a(k)\rangle \;$

(21.36)

Teraz mnożymy obie strony równania (21.36) przez wektor $\langle a(k)|\;$, w celu wyznaczenia współczynników $c(k^{'})\;$ i wykorzystując warunek ortogonalności (21.35) oraz z własności delty Diraca dla całek, zaem można otrzymać owe współczynniki:

$\langle a(k^{'})|p\rangle =\int c(k)\langle a(k^{'})|a(k)\rangle dk=\int c(k)\delta (k^{'}-k)dk=c(k^{'})\;$

(21.37)

A zatem równanie (21.36) (rozkładu dowolnego keta w bazie ciągłej) na podstawie (21.37) (mając już współczynniki) przyjmuje takową postać:

$|p\rangle =\int \langle a(k)|p\rangle |a(k)\rangle dk=\left\{\int |a(k)\rangle \langle a(k)|dk\right\}|p\rangle \;$

(21.38)

Z równania (21.38) (ostatnia równość) dostajemy operator jedynkowy:

${\hat {I}}=\int |a(k)\rangle \langle a(k)|dk\;$

(21.39)

Dochodzimy więc do wniosku, że (21.39) jest operatorem jednostkowym. Udowodnijmy, że kwadrat owego operatora jest tym samym operatorem, wykorzystując przy tym warunek ortogonalizacji (21.35):

${\hat {I}}^{2}=\left(\int |a(k)\rangle \langle a(k)|dk\right)^{2}=\left(\int |a(k)\rangle \langle a(k)|dk\right)\left(\int |a(k^{'})\rangle \langle a(k^{'})|dk^{'}\right)=\int \int |a(k)\rangle \langle a(k)||a(k^{'})\rangle \langle a(k^{'})|dkdk^{'}=\;$
$=\int \int |a(k)\rangle \langle a(k)|a(k^{'})\rangle \langle a(k^{'})|dkdk^{'}=\int \int \delta (k-k^{'})|a(k)\rangle \langle a(k^{'})|dkdk^{'}=\int |a(k)\rangle \langle a(k)|dk={\hat {I}}\;$

(21.40)

Reprezentacja dowolnego keta w bazie dyskretno-ciągłej

Wiedząc, że funkcje falowe dyskretne i ciągłem są do siebie ortogonalne, wtedy pisać możemy wzory: (21.29) i (21.35), co na podstawie tego możemy napisać na wzór na wielkość średniego pędu, a później z niego otrzymać schemat na macierz jednostkową, jako suma prawych stron równości (21.32) i (21.38), (bez operatora pędu), co w skrócie zapisujemy formułę na nią:

$I=\sum _{i=1}^{r}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|+\int |a(k)\rangle \langle a(k)|dk\;$

(21.41)

Oczywiste jest, że kwadraty lewej i prawej stronie równości (21.41) są równe równością bez nich, co podobnie się udowadnia dla osobnych przypadków (dyskretnego albo ciągłego) w postaci (21.34) i (21.40), co widać po prawych ich stronach, oczywiste jest, że ich lewa strona jest dokładnie równa jedności.

Wektory i wartości własne w widmie dyskretnym

Napiszmy równanie własne w widmie wektorów bazy dyskretnej w postaci:

${\hat {A}}|a_{i}\rangle =a_{i}|a_{i}\rangle \;$

(21.42)

• gdzie $a_{i}\;$ są to wartości własne operatora ${\hat {A}}\;$ przy wektorach własnych $|a_{i}\rangle \;$.

Wektory własne w równaniu własnym (21.42) spełniają warunek ortonormalności (21.29). Przedstawmy teraz bardziej ogólnie elementy macierzowe operatora ${\hat {A}}\;$ w sposób:

$A_{ij}=\langle a_{i}|{\hat {A}}|a_{j}\rangle =a_{j}\langle a_{i}|a_{j}\rangle =a_{j}\delta _{ij}\;$

(21.43)

A zatem z definicji elementów macierzowych w (21.43) elementy macierzowe operatora ${\hat {A}}\;$ piszemy:

$A_{ij}=\delta _{ij}a_{j}\;$

(21.44)

Czyli na podstawie tożsamości (21.44) macierz elementów macierzowych operatora ${\hat {A}}\;$, czyli $[A_{ij}]\;$ jest macierzą diagonalna. Zobaczmy, gdy na jakiś element macierzowy podziałamy sprzężeniem hermitowskim i zbadajmy jakie z niego wychodzą wnioski:

$A_{ij}^{*}=(\langle a_{i}|{\hat {A}}|a_{j}\rangle )^{+}=\langle a_{j}|{\hat {A}}|a_{i}\rangle =A_{ji}\;$

(21.45)

Według (21.45) dostaniemy, że te elementy są elementami rzeczywistymi macierzy diagonalnej $[A_{ij}]\;$, bo zachodzi (21.44).

$A_{ij}^{*}=A_{ji}\;$

(21.46)

Wektory i wartości własne w widmie ciągłym

Dla widma k ciągłego równanie własne możemy przestawić w zależnosci od ciągłego parametru:

${\hat {A}}|a(k)\rangle =a(k)|a(k)\rangle \;$

(21.47)

Wektory własne operatora ${\hat {A}}\;$ we wzorze (21.47) spełniają warunek ortonormalności (21.35), jeśli je unormujemy i one są wektorami ciągłymi, które opisuje ciągły parametr k.

Wprowadzenie do transformacji unitarnej

Niech punktem wyjścia będzie n-wymiarowa baza dyskretna przestrzeni Hilberta, określona przez wektory własne pewnego operatora hermitowskiego:

${\hat {A}}|a_{i}\rangle =a_{i}|a_{i}\rangle \;$ dla $i=1,2,3,4,\ldots \;$

(21.48)

Dokonajmy transformacji liniowej wektorów bazy tak, by otrzymać nowe wektory bazy:

$|a_{i}\rangle ^{T}\equiv {\hat {U}}|a_{i}\rangle =\sum _{j}c_{ij}|a_{j}\rangle \;$

(21.49)

Obierzmy tak operator $A^{T}\;$, tak by miał takie same wartości własne, co operator $A\;$ (21.48) w nowej bazie według (21.49):

$A^{T}|a_{i}\rangle ^{T}=a_{i}|a_{i}\rangle ^{T}\;$

(21.50)

W równaniu (21.50) podstwiamy w prawej i lewej jego stronie wyrażenia odpowiedzialne za nową bazę opisanej przy pomocy jego odpowiednika starego według (21.49):

${\hat {A}}^{T}U|a_{i}\rangle =a_{i}{\hat {U}}|a_{i}\rangle \;$

(21.51)

Mnożymy obustronnie wzór (21.51) przez operator ${\hat {U}}^{-1}\;$ (odwrotność operatora ${\hat {U}}\;$), otrzymujemy:

${\hat {U}}^{-1}{\hat {A}}^{T}{\hat {U}}|a_{i}\rangle =a_{i}|a_{i}\rangle \;$

(21.52)

Prawą stronę równania (21.52) zastępujemy przez lewą stronę równania (21.48), otrzymujemy:

${\hat {U}}^{-1}{\hat {A}}^{T}{\hat {U}}|a_{i}\rangle ={\hat {A}}|a_{i}\rangle \;$

(21.53)

Z równania (21.53) wynika, że możemy napisać wynikającą transformację operatora hermitowskiego ${\hat {A}}\;$, tak by posiadał te same wartości własne, niezależne w jakiej bazie ją opisujemy:

${\hat {A}}={\hat {U}}^{-1}{\hat {A}}^{T}{\hat {U}}\;$

(21.54)

Lub nawet po przekształceniu wyznaczając operator ${\hat {A}}\;$ zapisanej w nowej bazie, którego transformacja jest dokonana wedle wzoru (21.49) transformujących operatorem ${\hat {U}}\;$ wektory bazy $|a_{i}\rangle \;$ w inne wektory bazy, tak by ten nasz operator miał te same wartości własne, po prostu aby się one nie zmieniały.

${\hat {A}}^{T}={\hat {U}}{\hat {A}}{\hat {U}}^{-1}\;$

(21.55)

Transformacja jest taka, że zachowuje sumę i iloczyn przetransformowanych wektorów. Tzn. jeśli ${\hat {A}}={\hat {A}}_{1}+{\hat {A}}_{2}\;$, to zachodzi według (21.55):

${\hat {A}}^{T}={\hat {U}}({\hat {A}}_{1}+{\hat {A}}_{2}){\hat {U}}^{-1}={\hat {U}}{\hat {A}}_{1}{\hat {U}}^{-1}+{\hat {U}}{\hat {A}}_{2}{\hat {U}}^{-1}={\hat {A}}_{1}^{T}+{\hat {A}}_{2}^{T}\;$

(21.56)

Nawet dla iloczynu dwóch operatorów ${\hat {B}}={\hat {B}}_{1}{\hat {B}}_{2}\;$ transformacja zachowuje również iloczyn:

${\hat {B}}^{T}={\hat {U}}{\hat {B}}_{1}{\hat {B}}_{2}{\hat {U}}^{-1}={\hat {U}}{\hat {B}}_{1}{\hat {U}}^{-1}{\hat {U}}{\hat {B}}_{2}{\hat {U}}^{-1}={\hat {B}}_{1}^{T}{\hat {B}}_{2}^{T}\;$

(21.57)

Wyniku operacji unitarnych wymaga się by transformowany operator hermitowski był nadal operatorem hermitowskim, tzn. musi zachodzić przed i po transformacji operatorem ${\hat {U}}\;$ na wektory bazy, dla której mamy przyporządkowany operator ${\hat {A}}\;$ przed transformacją lub w nowej bazie operator ${\hat {A}}^{T}\;$ po transformacji, tak by one miały te same wartości własne. W naszych rozważaniach skorzystamy z transformacji operatora ${\hat {A}}\;$ z jednej bazy dyskretnej do drugiej wedle wzoru operatorowego (21.55):

${\hat {A}}^{+}={\hat {A}}\;$

(21.58)

$({\hat {A}}^{T})^{+}={\hat {A}}^{T}\;$

(21.59)

$({\hat {U}}{\hat {A}}{\hat {U}}^{-1})^{+}={\hat {U}}{\hat {A}}{\hat {U}}^{-1}\;$

(21.60)

$({\hat {U}}^{-1})^{+}{\hat {A}}{\hat {U}}^{+}={\hat {U}}{\hat {A}}{\hat {U}}^{-1}\;$

(21.61)

Równanie (21.54) po podstawieniu (21.55), wtedy będzie można wywnioskować dalsze wywody:

${\hat {U}}^{-1}({\hat {U}}^{-1})^{+}{\hat {A}}{\hat {U}}^{+}{\hat {U}}={\hat {A}}\;$

(21.62)

Równość (21.62) zachodzi, gdy mamy:

${\hat {U}}^{+}{\hat {U}}={\hat {1}}\Rightarrow {\hat {U}}^{-1}({\hat {U}}^{+})^{-1}=1\;$

(21.63)

${\hat {U}}^{+}{\hat {U}}=-{\hat {1}}\Rightarrow {\hat {U}}^{-1}({\hat {U}}^{+})^{-1}=-1\;$

(21.64)

Transformacja spełniająca warunek (21.63) nazywamy transformacją unitarną, a gdy spełnia warunek (21.64) nazywamy transformacją antyunitarną.