Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami

Policzmy antykomutator operatora składający się z operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> i operatora <mATH>\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l\;</MATH> tak że zachodzi <Math>k\neq l\;</Math>, bo dla <MATH>k=l\;</MATH> dowód jest trywialny i taki komutator jest równy zero, korzystając przy tym z własności operatorów kreacji i anihilacji wedle tożsamości {{LinkWzór|22.40}}, określający związek na operatorach kreacji i anihilacji, i związku opisanego na operatorach kreacji, czyli wzoru {{LinkWzór|22.50}}, zatem:

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-,\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-]=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-=

Wobec obliczonego związku {{LinkWzór|22.58}} i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i l-tym stanie {{LinkWzór|22.27}}, operator <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> z operatorem liczby fermionów w danym stanie <MatH>\nu_k\;</MATH>, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa:

{{IndexWzór|<MATH>\hat{n}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>|22.59}}

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]=1\;</MATH>|22.80}}

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_l^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatora kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, gdy k&ne;l, wtedy:

Na podstawie wniosków końcowych przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.80}} i {{LinkWzór|22.81}} dla dowolności "k" i "l" można zapisać właściwość:

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]=\delta_{kl}\;</MATH>|22.82}}