Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami

Wyznaczmy elementy macierzowe operatora <MATH>A^{(S)}\;</MATH> Schrodingera względem funkcji falowych zależnych od czasu przedstawionym wzorem {{LinkWzór|22.13}}:

{{IndexWzór|<MATH>A^{(S)}_{mm}=\int \psi^{*}\hat{A}^{(S)}\psi_md\tau=\int \left(e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\phi_m\right)^{*}\hat{A}^{(S)}e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\phi_md\tau=

W powyższym wzorze wprowadzono oznaczenie, które nazwiemy operatorem Heisenberga <math>\hat{A}^{(H)}\;</MATH>:

{{IndexWzór|<MATH>\hat{A}^{(H)}=e^{{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}\hat{A}^{(S)}e^{-{{i\hat{H}}\over{\hbar}}t}</MATH>|22.16}}

{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_l^-\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.38}}

Zatem możemy wyrazić operator, który jest antykomutatorem działający na dany stan fermionowy, których składnikami jest operator kreacji i anihilacji, dowód ten przeprowadzamy dla k>l, ale wynik jest słuszny, że względu na wszystkie k i l różne od siebie, bo możemy w antykomutorze zamienić miejscami oba te opisywane w tym komutatorze operatory, w takim razie otrzymujemy postać:

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|22.36}} (dla k równego od l) i {{LinkWzór|22.39}} (dla k nierównego l) możemy napisać właściwość operatora kreeacji i anihilacji, który określamy wzorem:

{{IndexWzór|<MATH>\left\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l^-\right\}=\delta_{kl}\;</MATH>|22.40}}

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-,\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-]=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-=

\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=

Wobec obliczonego związku {{LinkWzór|22.58}} i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i l-tym stanie {{LinkWzór|22.27}}, operator <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> z operatorem liczby fermionów w danym stanie <MatH>\nu_k\;</MATH>, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa:

{{IndexWzór|<MATH>\hat{n}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>|22.59}}

{{indexWzór|<MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle =\hat{b}_k^-\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle =(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.78}}

Na podstawie wzoru napisanego w punkcie {{LinkWzór|22.77}} i {{LinkWzór|22.78}} możemy określić antykomutację operatora <MATH>_{\hat{b}^-_k}\;</MATH> z operatorem <math>_{\hat{b}_k^+}\;</math>:

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.79}} wynika tożsamość:

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]=1\;</MATH>|22.80}}

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.84a}}

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_l^+\hat{b}_k^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy, gdy l&ne;k, zatem na podstawie tego:

Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_k^+\hat{b}_k^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na k-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, zatem na podstawie tego:

{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-2...\rangle=\hat{b}_k^-\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow[\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k] =0</MATH>|22.85a}}