Wikibooks

Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Linia 55:
Ze wzoru {{LinkWzór|31.18}} można przejść od wzoru {{linkWzór|31.19}} poprzez zastąpienie wyrażenia, który jest nawiasem Poissona jej odpowiednikiem kwantowym wedle zasady {{linkWzór|31.3}}.
Jeśli w mechanice kwantowej zachodzi relacja {{Formuła|<MATH>\hat{F}(p_iq_i)=\hat{q}_i\;</MATH>}}, to możemy napisać:
{{IndexWzór|<MATH>\delta \hat{q}_i=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,{{1}\over{2}}\sum_j\left(\hat{p}_j\delta \hat{q}_j-\hat{q}_j\delta \hat{p}_j\right)]=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\sum_j \hat{p}_jdq_j]+{{i}\over{\hbar}}[\hat{q}_i,\sum_j\hat{q}_j\delta \hat{p}_j]=-{{i}\over{\hbar}}\sum_j[\hat{q}_i,\hat{p_j}]\delta \hat{q}_j+{{i}\over{\hbar}}\sum_j[\hat{q}_i,\hat{q}_j]\delta \hat{p}_j=\;</MATH><BR><MATH>=
-{{i}\over{\hbar}}\sum_j i\hbar\delta_{ij}\delta \hat{q}_j=\;</MATH><BR><MATH>=\delta \hat{q}_i\;</MATH>|31.20}}
Na podstawie dowodu {{linkWzór|31.20}} udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość, według zasady {{linkWzór|31.18}} otrzymaliśmy czego się spodziewaliśmy.
 
Linia 81:
{{IndexWzór|<MATH>G_{\Pi}=-{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x\Phi\delta\Pi\;</MATH>|31.27}}
Zastępując funkcję &Phi; przez operator położenia {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}}, a &Pi; przez operator pędu {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>}}, otrzymujemy wzory na operatory {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Pi}\;</MATH>}}, których definicja jest przestawiona w postaci całkowania względem współrzędnych przestrzennych:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\Phi}={{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3 x\hat{\Pi}\delta\hat{\Phi}\;</MATH>|31.28}}|2={{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\Pi}=-{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3 x\hat{\Phi}\delta\hat{\Pi}\;</MATH>|31.29}}}}▼
{|width=100%|-
▲|{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\Phi}={{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3 x\hat{\Pi}\delta\hat{\Phi}\;</MATH>|31.28}}
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\Pi}=-{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3 x\hat{\Phi}\delta\hat{\Pi}\;</MATH>|31.29}}
|}
Mając operator Schwingera {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} możemy napisać, że wariacja operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}} jest równa wyrażeniu zbudowanej przy pomocy komutatora w sposób:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{F}=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}_{\Phi}]\;</MATH>|31.30}}
Linia 100 ⟶ 97:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\Phi}=-{{i\hbar}\over{2m_0 c^2}}\int d^3x[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Phi}(x_1,t)]\delta\hat{\Pi}(x_1,t)-{{i\hbar}\over{2m_0c^2}}\int d^3x[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)\;</MATH>|31.36}}
By tożsamość {{LinkWzór|31.36}} była spełniona, to powinny być spełnione tożsamości na operatorach "położenia", a podobnie zachodzi na operatorach "pędu":
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Phi}(x_1,t)]=0\;</MATH>|31.37}}|2={{IndexWzór|<MATH>[\hat{\Pi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]=0\;</MATH>|31.38}}}}▼
{|width=100%}|-
▲|{{IndexWzór|<MATH>[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Phi}(x_1,t)]=0\;</MATH>|31.37}}
|{{IndexWzór|<MATH>[\hat{\Pi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]=0\;</MATH>|31.38}}
|}
 
==Zasada wariacyjna, a pole Diraca==
Całkę działania w teorii wariacyjnej możemy zapisać dla mechaniki kwantowej Diraca, jeśli skorzystamy przy tym z definicji gęstości Lagrangianu, którego definicji jest podana w punkcie {{LinkWzór|26.43|Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a}} dla mechaniki kwantowej Diraca, naszą wspomnianą całkę działania przy pomocy tej ostatniej wielkości możemy przepisać w postaci:
Linia 127 ⟶ 120:
-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\partial_{\mu}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\hat{\alpha}\delta\psi-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left({{i\hbar c}\over{2}}\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\right)\delta\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\psi^{+}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left(i\hbar c\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\delta\psi\right)\;</MATH>|31.45}}
Drugi wyraz w {{LinkWzór|31.45}} jest równy zero według równania Diraca w mechanice kwantowej relatywistycznej {{LinkWzór|26.35|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, to powiemy, że zachodzą związki na funkcje skalarne na funkcję "pędu" i "położenia":
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATh>G_{\psi}(\tau)={{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\psi^{+}\delta\psi\;</MATH>|31.46}}|2={{IndexWzór|<math>G_{\psi^{+}}(\tau)=-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1(\delta\psi^{+})\psi\;</MATH>|31.47}}}}▼
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATh>G_{\psi}(\tau)={{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\psi^{+}\delta\psi\;</MATH>|31.46}}
▲|{{IndexWzór|<math>G_{\psi^{+}}(\tau)=-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1(\delta\psi^{+})\psi\;</MATH>|31.47}}
|}
Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy &psi; operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}\;</MATH>}} a &psi;<sup>+</sup> operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}^+\;</MATH>}}, wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi^+}\;</MATH>}}, które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\psi}(\tau)={{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\hat{\psi}^{+}\delta\hat{\psi}\;</MATH>|31.48}}|2={{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\psi^{+}}(\tau)=-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1(\delta\hat{\psi}^+)\hat{\psi}\;</MATH>|31.49}}}}▼
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\psi}(\tau)={{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\hat{\psi}^{+}\delta\hat{\psi}\;</MATH>|31.48}}
▲|{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}_{\psi^{+}}(\tau)=-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1(\delta\hat{\psi}^+)\hat{\psi}\;</MATH>|31.49}}
|}
Napiszmy operator Schwingera w następującej postaci przy definicjach odpowiedników operatorowych do {{LinkWzór|31.48}} i {{LinkWzór|31.49}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{G}=\hat{G}_{\psi}+\hat{G}_{\psi^+}\;</MATH>|31.50}}
Linia 146 ⟶ 133:
\;</MATH>|31.52}}
We obliczeniach {{LinkWzór|31.52}} zauważamy, że zachodzą wnioski antykomutacyjne na operatorach "pędu" i "położenia", to przepisy tychże antykomutatorów są:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\}=\delta_{\alpha\beta}\delta^3(x-x_1)\;</MATH>|31.53|Obramuj}}|2={{IndexWzór|<MATH>\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}=0\;</MATH>|31.54|Obramuj}}}}▼
{|width=100%|-
▲|{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\}=\delta_{\alpha\beta}\delta^3(x-x_1)\;</MATH>|31.53|Obramuj}}
|{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}=0\;</MATH>|31.54|Obramuj}}
|}
Wtedy wyrażenie {{LinkWzór|31.52}} przy pomocy {{LinkWzór|31.53}} możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)=\int\left\{\hat{\psi}_{\alpha},\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}+\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)=\delta_{\alpha\beta}\delta\hat{\psi}_{\beta}+\int 0d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)=\delta\hat{\psi}(x,t)\;</MATH>|31.55}}
Linia 160 ⟶ 144:
==Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona==
Napiszmy rozwiązanie równania pola Kleina-Gordona i jego sprzężenie zespolone, przepisy ich są:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\Phi(x,t)=e^{i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t}\;</MATH>|31.58}}|2={{IndexWzór|<MATH>\Phi^{*}(x,t)=e^{-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t}\;</MATH>|31.59}}}}▼
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\Phi(x,t)=e^{i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t}\;</MATH>|31.58}}
▲|{{IndexWzór|<MATH>\Phi^{*}(x,t)=e^{-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t}\;</MATH>|31.59}}
|}
Wstawiamy równanie {{LinkWzór|31.58}} do równania pola Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} dla przestrzeni trójwymiarowej, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>-{{1}\over{c^2}}\omega^2+k^2=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\Rightarrow
Linia 169 ⟶ 150:
Założymy, że cząstka znajduje się w sześcianie o długości jakiegoś jednego bogu równym L.
Warunkami brzegowymi dla naszego przypadku są to przepisy zapisane jako:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\Phi(0,y,z,t)=\Phi(L,y,z,t)\;</MATH>|31.61}}|2={{IndexWzór|<MATH>\Phi(x,0,z,t)=\Phi(x,L,z,t)\;</MATH>|31.62}}|3={{IndexWzór|<MATH>\Phi(x,y,0,t)=\Phi(x,y,L,t)\;</MATH>|31.63}}}}
<div style="display:flex;flex-direction:row;">
<div style="width:100%">{{IndexWzór|<MATH>\Phi(0,y,z,t)=\Phi(L,y,z,t)\;</MATH>|31.61}}</div>
<div style="width:100%">{{IndexWzór|<MATH>\Phi(x,0,z,t)=\Phi(x,L,z,t)\;</MATH>|31.62}}</div>
<div style="width:100%">{{IndexWzór|<MATH>\Phi(x,y,0,t)=\Phi(x,y,L,t)\;</MATH>|31.63}}</div>
</div>
Wszystkie te trzy warunki tzn. {{LinkWzór|31.61}}, {{LinkWzór|31.62}} oraz {{LinkWzór|31.63}} sprowadzają się do jednego równania dla współrzędnej j-tej wektora położenia dla j=1,2,3:
{{IndexWzór|<MATH>e^0=e^{ik_jL}\Rightarrow 0=k_jL-2\pi n_j\Rightarrow k_j={{2\pi}\over{L}}n_j\;</MATH>|31.64}}
Wektor falowy, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|31.64}}, możemy przestawić w postaci ogólnego wzoru przy pomocy trójki liczb całkowitych podanej też w tej linijce:
{{FlexRow|1={{IndexWzór|<MATH>\vec{k}={{2\pi}\over{L}}[n_1,n_2,n_3]\;</MATH>|31.65}}|2={{IndexWzór|<MATH>n_j=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...\;</MATH>|31.66}}}}▼
{|width=100%|-
▲|{{IndexWzór|<MATH>\vec{k}={{2\pi}\over{L}}[n_1,n_2,n_3]\;</MATH>|31.65}}
|{{IndexWzór|<MATH>n_j=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,...\;</MATH>|31.66}}
|}
Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, możemy napisać w bazie na funkcjach {{Formuła|<MATH>\Phi(\vec r,t)\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.71}}, {{Formuła|<MATH>\Phi^{*}(\vec r,t)\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.72}}, przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MATH>\Phi(\vec{r},t)=\sum_k\left({{\hbar\omega_k L^3}\over{m_0c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}\left(b_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)+b_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.67}}
Linia 208 ⟶ 182:
Wyrażenie {{LinkWzór|31.74}}, które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie {{LinkWzór|31.75}}, do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne {{linkWzór|31.32}}, {{linkWzór|31.37}} i {{linkWzór|31.38}}, by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_{k^'}]=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}^'\exp(i(\vec{k}'-\vec{k})\vec{r})[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=\;</MATH><BR><MATH>=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\int \int d^3\vec{r}d^3\vec r^'\exp(i(\vec{k}'-\vec{k})\vec{r})i{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\int d^3\vec{r}\exp (i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)L^3\delta_{k^{'}k}\;</MATH>|31.76}}
Gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że mamy {{Formuła|<MATH>k\neq k^'\;</MATH>}}, to otrzymujemy tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^+_{k^'}]=0\;</MATH>|31.77}}
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Zasada_wariacyjna_Schwingera”