Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 158:
*2.A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}=0\Rightarrow\lim_{V\rightarrow 0}\int u^i{{\partial u^{\mu}}\over{\partial x^{i}}}dV=\lim_{V\rightarrow 0}\int\left((u^iu^{\mu})_{,i}-u^{\mu}{u^{i}}_{,i}\right)dV=\lim_{S\rightarrow 0}\int u^iu^{\mu}dS_i-\lim_{V\rightarrow 0}\int u^{\mu}{u^i}_{,i}dV=\;</MATH><BR><MATH>=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{V\rightarrow 0}\int_V {u^i}_{,i}dV=u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i-u^{\mu}\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S u^idS_i=0\;</MATH>|Ld2}}
A więc od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości na podstawie {{LinkWzór|W.9da|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} przejście do układów słabozakrzywionych daje nam zero, bo pochodna tensora tensora prędkości jest równa w przybliżeniu jego pochodnej cząstkowej, a to wynika, że przestrzenie słabozakrzywione są prawie płaskie na podstawie własności {{linkWzór|P3c1|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}} w równaniu geodezyjnym {{linkWzór|P2|Szczególna teoria względności/Wstęp do szczególnej teorii względności}}, i dlatego w {{LinkWzór|Ld2}} tensor prędkości można przenieść przed całką powierzchniową, czy objętościową, stąd więc dla infinitezymalnych prostopadłościanów na ściankach i w jego wnętrznu tensor prędkości jest wszędzie w przybliżeniu taki sam.
*3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:
{{IndexWzór|<MATH>\lim_{S\rightarrow 0}\oint_S(\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u^jdS_j=0\Rightarrow \lim_{V\rightarrow}\int_V\left((\rho_0 c^2+p)u^{\mu}u_j\right)_{,j}dV=
| |||