Szczególna teoria względności/Tensory w czasoprzestrzeni

Tensory w czasoprzestrzeni

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przestrzeń jest opisana n współrzędnymi, która wraz ze współrzędną czasową tworzą n+1 współrzędnych, co w rezultacie otrzymujemy n+1 wymiarowy wektor.

Czterowektor wielkości tensorowych

Jest to tensor jednowskaźnikowy, w którym mamy współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne, np. dla tensora kontrawariantnego $T^{\mu }\;$ i kowariantnego $T_{\mu }\;$, mamy czterowektor kontrawariantny i kowariantny na podstawie definicji tensora metrycznego podwójnie kowariantnego dla czasoprzestrzeni prostokątnej $\eta _{\mu \nu }\;$ (16.5):

$T^{\mu }={\begin{bmatrix}T_{t}\\{\vec {T}}\end{bmatrix}}=[T_{t},T_{x},T_{y},T_{z}]^{T}\wedge T_{\mu }=T^{\nu }\eta _{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\pm T_{t}\\\mp {\vec {T}}\end{bmatrix}}=[\pm T_{t},\mp T_{x},\mp T_{y},\mp T_{z}]^{T}\;$

(20.1)

Tensor położenia w czasoprzestrzeni

Tensor położenia nazywamy zestaw współrzędnych tensora kontrawariantnego, w których pierwszą składową jest współrzędna czasowa, która jest iloczynem wartości prędkości światła i zwykłego czasu rzeczywistego. Dalsze trzy współrzędne N+1 wymiarowego tego wektora są to współrzędne przestrzenne, charakteryzujące położenie w przestrzeni.

Tensor położenia w czasoprzestrzeni nazywamy tensor kontrawariantny:

$x^{\mu }=\left[ct,x,y,z,...\right]^{T}={\begin{bmatrix}ct\\x^{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{bmatrix}}\;$

(20.2)

• gdzie pierwsza współrzędna $x^{0}=ct\;$ jest to współrzędna czasowa, a $x^{i}={\vec {r}}=\left[x,y,z,...\right]^{T}\;$ jest to położenie w przestrzeni zwykłej.

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x^μ (20.2) względem interwału czasoprzestrzennego:

$u^{\mu }={{dx^{\mu }} \over {ds}}\;$

(20.3)

• gdzie ds jest to różniczka interwału czasoprzestrzennego, którego kwadrat jest napisany w punkcie (16.1) (przestrzeń nieprostokątna) i (16.2) (przestrzeń prostokątna) dla szczególnej teorii względności i (16.12) dla mechaniki Newtona.

Szczególna teoria względności

Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (20.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla skończonego czasu jest zapisana wzorem (16.1):

$u^{0}={{dx^{0}} \over {ds}}={{cdt} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}=\gamma \;$

(20.4)

$u^{i}={{dx^{i}} \over {ds}}={{dx^{0}} \over {ds}}={{dx^{i}} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}={{v^{i}} \over {c}}\gamma \;$

(20.5)

Zbierając wnioski (20.4) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (20.5) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

$u^{\mu }={\begin{bmatrix}u^{0}\\u^{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u^{0}\\{\vec {u}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma \\{{\vec {v}} \over {c}}\gamma \end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}c\\{\vec {v}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}v^{\mu }\wedge v^{\mu }={\begin{bmatrix}c\\v^{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\{\vec {v}}\end{bmatrix}}\;$

(20.6)

Mechanika Newtona

Tensor prędkości w czasoprzestrzeni nazywamy pochodną zupełna tensora położenia x^μ (20.2) względem interwału czasoprzestrzennego, jest w takiej samej postaci jak w punkcie (20.3). Wyznaczmy część czasową i przestrzenna n+1 wymiarowego tensora prędkości (20.3) wykorzystując przy tym definicję różniczki interwału czasoprzestrzennego, który dla absolutnego czasu jest zapisana wzorem (16.12):

$u^{0}={{dx^{0}} \over {ds}}={{cdt} \over {cdt}}=1\;$

(20.7)

$u^{i}={{dx^{i}} \over {ds}}={{dx^{i}} \over {cdt}}={{v^{i}} \over {c}}\;$

(20.8)

Zbierając wnioski (20.7) (część czasowa n+1 wymiarowego tensora prędkości) i (20.8) (część przestrzenna tej samej wielkości), wtedy tensor prędkości możemy napisać:

$u^{\mu }={\begin{bmatrix}u^{0}\\u^{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u^{0}\\{\vec {u}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\{{\vec {v}} \over {c}}\end{bmatrix}}={{1} \over {c}}{\begin{bmatrix}c\\{\vec {v}}\end{bmatrix}}={{v^{\mu }} \over {c}}\wedge v^{\mu }={\begin{bmatrix}c\\v^{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\{\vec {v}}\end{bmatrix}}\;$

(20.9)

Patrząc na (20.9) wielkości $u^{\mu }\;$ i $v^{\mu }\;$ są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem prędkości, a ten drugi wielkością wskaźnikową prędkości.

Interwał czasoprzestrzenny

Będziamy tutaj badali własności interwału czasoprzestrzennego.

Szczególna teoria względności

Interwał czasoprzestrzenny definiujemy przy pomocy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4) i przy definicji n+1 wymiarowego wektora położenia (20.2), zatem wzór (16.1) jest wyrażony:

$ds^{2}=\pm \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\Rightarrow 1=\pm \eta _{\mu \nu }{{dx^{\mu }} \over {ds}}{{dx^{\nu }} \over {ds}}\;$

(20.10)

Jeśli wykorzystamy definicję n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.3), to końcową tożsamość wynikową (20.10) przepisujemy:

$1=\pm \eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }\;$

(20.11)

Co (20.11) i z własności tensorów metrycznych, a w szczególnym przypadku tensora metrycznego Minkowskiego η_ij, w którym to powyższe równanie jest z kolei równoważne równaniu:

$1=\pm u_{\nu }u^{\nu }\;$

(20.12)

Mechanika Newtona

Interwał czasoprzestrzenny wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego (16.6) w szczególnej teorii względności przy $||{\vec {v}}||<<c\;$, które spełnia mechanika Newtona, jest (16.12) znając definicję tensora prędkości (20.3) przepiszmy:

$ds=cdt\Rightarrow 1={{dct} \over {ds}}={{dx^{0}} \over {ds}}=u^{0}\Rightarrow u^{0}=1\wedge v^{0}=u^{0}c=c\Rightarrow v^{0}=c\;$

(20.13)

Na podstawie obliczeń (20.13) w mechanice Newtona część czasowa tensora prędkości jest równe jeden, a wielkość wskaźnikowa czasowa też jest równa prędkości światła $v^{0}=c\;$, co jest zgodne tez dla tej samej teorii ze wzorem (20.9).

Tensor pędu w czasoprzestrzeni

Tensorem pędu nazywamy wielkość zdefiniowana przy pomocy tensora prędkości (20.3), masy spoczynkowej badanego ciała m₀ i prędkości światła w próżni:

$p^{\mu }=m_{0}cu^{\mu }\;$

(20.14)

Szczególna teoria względności

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc² jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii relatywistycznej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

$p^{0}=m_{0}cu^{0}=m_{0}c\gamma =m_{0}\gamma c=mc={{mc^{2}} \over {c}}={{E_{r}} \over {c}}\;$

(20.15)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v[{Sup|i}}:

$p^{i}=m_{0}cu^{i}=m_{0}c{{v^{i}} \over {c}}\gamma =m_{0}\gamma v^{i}=mv^{i}\;$

(20.16)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (20.15), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (20.16), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

$p^{\mu }={\begin{bmatrix}{{E_{r}} \over {c}}\\{\vec {p}}\end{bmatrix}}\;$

(20.17)

Mechanika Newtona

Jeśli wykorzystamy formę przedstawiania n+1 wymiarowego tensora prędkości zapisanej w punkcie (20.6), wtedy jej cześć czasowa przy wykorzystaniu definicji energii relatywistycznej E=mc² jest zdefiniowana poniżej i jest ona równa energii spoczynkowej danego ciała E podzielonej przez prędkość fal elektromagnetycznych w próżni c.

$p^{0}=m_{0}cu^{0}=m_{0}c={{m_{0}c^{2}} \over {c}}={{E_{0}} \over {c}}\;$

(20.18)

I dalej wyznaczmy dla naszego tensora pędu części przestrzenne, tzn. dla i=x,y,z, ..., zatem wtedy dochodzimy do wniosku na podstawie obliczeń poniżej, że cześć przestrzenna tensora pędu jest to po prostu zwykły pęd relatywistyczny, czyli wielkość, która jest iloczynem masy relatywistycznej ciała i jego prędkości przestrzennej v[{Sup|i}}:

$p^{i}=m_{0}cu^{i}=m_{0}c{{v^{i}} \over {c}}=m_{0}v^{i}\;$

(20.19)

Pierwsza składowa n+1 wymiarowego wektora pędu jest energią spoczynkową ciała z dokładnością do odwrotności prędkości światła, czyli (20.18), i dalsze składowe są współrzędnymi zwykłego pędu relatywistycznego (20.19), zatem w takim przypadku tensor pędu w czasoprzestrzeni Minkowskiego definiujemy:

$p^{\mu }={\begin{bmatrix}{{E_{0}} \over {c}}\\{\vec {p}}\end{bmatrix}}\;$

(20.20)

Transformacja tensora pędu z jednego układu odniesienia do drugiego

Będziemy się tutaj zajmowali transformacją tensora pędu, wektora pędu i energii relatywistycznej w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (20.17), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.2) przyjmuje postać:

${p^{'}}^{\mu }={\begin{bmatrix}{{E_{r}^{'}} \over {c}}\\{\vec {p}}'\end{bmatrix}}={M^{\mu }}_{\nu }p^{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}A\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&M_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{{E_{r}} \over {c}}\\{\vec {p}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{{\gamma } \over {c}}E_{r}-\gamma {{\left({\vec {V}},{\vec {p}}\right)} \over {c}}\\-M_{p}{{\vec {V}} \over {c}}{{E_{r}} \over {c}}+M_{p}{\vec {p}}\end{bmatrix}}\;$

(20.21)

Stąd wzór na transformację energii i pędu przybiera wynikającą z (20.21) postać:

$E_{r}^{'}=\gamma \left(E_{r}-({\vec {V}},{\vec {p}})\right)\;$

(20.22)

${\vec {p}}^{'}=M_{p}\left({\vec {p}}-{{\vec {V}} \over {c^{2}}}E_{r}\right)=M_{p}\left({\vec {p}}-m{\vec {V}}\right)\;$

(20.23)

Mamy już transformację wektora pędu według (20.23), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że ${\vec {p}}={\vec {p}}_{||}+{\vec {p}}_{\perp }\;$:

${\vec {p}}_{||}^{'}=\gamma C_{p}\left({\vec {p}}_{||}-m{\vec {V}}\right)\;$

(20.24)

${\vec {p}}_{\perp }^{'}=C_{p}{\vec {p}}_{\perp }\;$

(20.25)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych ${\vec {V}}\;$ wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

${{\vec {p}}_{\perp }^{'}}^{2}={{\vec {p}}^{'}}_{\perp }^{T}A^{'}{\vec {p}}_{\perp }^{'}={\vec {p}}_{\perp }^{T}C_{p}^{T}A^{'}C_{p}{\vec {p}}_{\perp }={\vec {p}}_{\perp }^{T}A{\vec {p}}_{\perp }={\vec {p}}_{\perp }^{2}\Rightarrow {{\vec {p}}_{\perp }^{'}}^{2}={\vec {p}}_{\perp }^{2}\Rightarrow |{\vec {p}}_{\perp }^{'}|=|{\vec {p}}_{\perp }|\;$

(20.26)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na transformację z jednego układu współrzędnych do drugiego tensora pędu (20.20), zatem transformacja z jednego układu odniesienia do drugiego wykorzystując macierz transformacji (11.15) przyjmuje postać:

${p^{'}}^{\mu }={\begin{bmatrix}{{E_{0}^{'}} \over {c}}\\{\vec {p}}'\end{bmatrix}}={M^{\mu }}_{\nu }p^{\nu }={\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&C_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{{E_{0}} \over {c}}\\{\vec {p}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{{E_{0}} \over {c}}\\-C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}{{E_{0}} \over {c}}+C_{p}{\vec {p}}\end{bmatrix}}\;$

(20.27)

Wzór na transformację energii spoczynkowej (masy spoczybkowej) i wektora pędu przybiera wynikającą z (20.27) postać:

$E_{0}^{'}=E_{0}\Rightarrow m_{0}^{'}=m_{0}\;$

(20.28)

${\vec {p}}^{'}=C_{p}\left({\vec {p}}-{{\vec {V}} \over {c^{2}}}E_{0}\right)=C_{p}\left({\vec {p}}-m_{0}{\vec {V}}\right)\;$

(20.29)

Na podstawie (20.28) masa spoczynkowa, a właściwiej masa, nie transformuje się przy przejściu z jednego układu do drugiego, a wektor pędu już tak. Mamy już transformację wektora pędu według (20.29), przestawmy wzory na składowe prostopadłe i równoległe wektora pędu do prędkości liniowej nowego układu odniesienia wiedząc, że ${\vec {p}}={\vec {p}}_{||}+{\vec {p}}_{\perp }\;$:

${\vec {p}}_{||}^{'}=C_{p}\left({\vec {p}}_{||}-m_{0}{\vec {V}}\right)\;$

(20.30)

${\vec {p}}_{\perp }^{'}=C_{p}{\vec {p}}_{\perp }\;$

(20.31)

Napiszmy wzór na kwadrat pędu prostopadłego względem linii poruszania się nowego układu współrzędnych ${\vec {V}}\;$ wykorzystując wzór na transformację macierzy iloczynu skalarnego (4.1):

${{\vec {p}}_{\perp }^{'}}^{2}={{\vec {p}}_{\perp }^{'}}^{T}A^{'}{\vec {p}}_{\perp }^{'}={\vec {p}}_{\perp }^{T}C_{p}^{T}A^{'}C_{p}{\vec {p}}_{\perp }={\vec {p}}_{\perp }^{T}A{\vec {p}}_{\perp }={\vec {p}}_{\perp }^{2}\Rightarrow {{\vec {p}}_{\perp }^{'}}^{2}={\vec {p}}_{\perp }^{2}\Rightarrow |{\vec {p}}_{\perp }^{'}|=|{\vec {p}}_{\perp }|\;$

(20.32)

Czyli pęd prostopadły do prędkości liniowej nowego układu odniesienia nie zmienia swojej wartości.

Tensor siły w czasoprzestrzeni

N+1 wymiarowym wektorem siły nazywamy wielkość zdefiniowaną jako pochodną n+1 wymiarowego wektora pędu (20.14) względem linii światła, której różniczka jest zdefiniowana w punkcie (16.1) (lub (16.2)):

$K^{\mu }={{dp^{\mu }} \over {ds}}\;$

(20.33)

Szczególna teoria względności

Wyznaczmy elementy czasoprzestrzenne tensora siły (20.33) i jak przekonamy się później, że jest to wielkość proporcjonalna do relatywistycznej siły znanej z drugiej zasady dynamiki Einsteina (19.16):

$K^{i}={{dp^{i}} \over {cdt{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}={{dp^{i}} \over {dt}}{{\gamma } \over {c}}=F^{i}{{\gamma } \over {c}}\;$

(20.34)

Wedle wzoru (20.22) siła relatywistyczna jest proporcjonalna do części przestrzennej n+1 wymiarowego wektora siły:

${\vec {F}}={\vec {K}}{{c} \over {\gamma }}\Rightarrow {\vec {K}}={{\gamma } \over {c}}{\vec {F}}\;$

(20.35)

Jeśli wykorzystamy wzór wynikający z definicji interwału czasoprzestrzennego i tensora siły, czyli wzoru (20.11) i pomnożeniu tak otrzymanego wyrażenia przez (m₀c)² i po wykorzystaniu definicji n+1 wymiarowego wektora pędu (20.12), to:

$m_{0}^{2}c^{2}=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }\;$

(20.36)

Zróżniczkujmy obie strony równania (20.24) względem linii światła:

$0=\eta _{\mu \nu }\left({{dp^{\mu }} \over {ds}}p^{\nu }+p^{\mu }{{dp^{\nu }} \over {ds}}\right)\Rightarrow 0=\eta _{\mu \nu }{{dp^{\mu }} \over {ds}}p^{\nu }+\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{{dp^{\nu }} \over {ds}}\;$

(20.37)

Korzystać będziemy, że tensor Minkowskiego jest tensorem symetrycznym, który wynika z jego własności, a zatem równość (20.37) po zamianie miejscami wskaźników niemych według schematu μ→ν i ν→μ, wtedy po tak dokonanej zamianie i po podzieleniu tak otrzymanego równania przez dwa, wtedy dostajemy tożsamość fizyczną:

$0=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{{dp^{\nu }} \over {ds}}\Rightarrow 0=p_{\nu }{{dp^{\nu }} \over {ds}}\;$

(20.38)

Jeśli wykorzystamy definicję tensor siły (20.33) we wzorze (20.38), to:

$0=p_{\nu }K^{\nu }\;$

(20.39)

W równaniu (20.33) wydzielamy części przestrzenne (ν=1,2,3) od jej elementów czasowego (ν=0) oraz prowadząc kolejne przekształcenia wyznaczając część czasową tensora siły (20.33), właśnie ten element można zapisać:

$0=p_{0}K^{0}+p_{i}K^{i}\Rightarrow K^{0}=-{{p_{i}K^{i}} \over {p_{0}}}=-{{p_{i}F^{i}\gamma /c} \over {E_{r}/c}}=-{{-p^{i}a_{ij}F^{j}} \over {E_{r}}}\gamma ={{{\vec {p}}^{T}A{\vec {F}}} \over {E_{r}}}\gamma ={{\left({\vec {p}},{\vec {F}}\right)} \over {E_{r}}}\gamma \;$

(20.40)

Na samym końcu możemy wykorzystać wnioski (20.34) (część przestrzenna tensora siły) i (20.34) (część czasowa tensora siły), wtedy ten nasz tensor siły piszemy:

$K^{\mu }={\begin{bmatrix}{{\left({\vec {p}},{\vec {F}}\right)} \over {E_{r}}}\gamma \\{\vec {F}}{{\gamma } \over {c}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}{\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {F}}\right)\\{\vec {F}}\end{bmatrix}}={{\gamma } \over {c}}F^{\mu }\wedge F^{\mu }={\begin{bmatrix}\left({{\vec {v}} \over {c}},{\vec {F}}\right)\\{\vec {F}}\end{bmatrix}}\;$

(20.41)

Jeśli mamy układ K', który porusza się z prędkością ${\vec {V}}\;$ względem układu K, i dalej ponieważ tensor $K^{\mu }\;$ jest tensorem, to wtedy prawa fizyki są takie same we wszystkich układach odniesienia inercjalnych zgodnie z postulatem pierwszym szczególnej teorii względności. Wielkość wskaźnikowa siły $F^{\mu }\;$ w (20.41) nie jest tensorem, a $K^{\mu }\;$ jest tensorem. Jest w szczególnej teorii względności jest jak w (20.41), a w mechanice Newtona według (20.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (20.9) mamy:

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona według (20.33) na podstawie definicjni tensora prędkości (20.9), mamy:

$K^{\mu }={\begin{bmatrix}0\\{{1} \over {c}}{\vec {F}}\end{bmatrix}}={{1} \over {c}}{\begin{bmatrix}0\\{\vec {F}}\end{bmatrix}}={{1} \over {c}}F^{\mu }\wedge F^{\mu }={\begin{bmatrix}0\\{\vec {F}}\end{bmatrix}}\;$

(20.42)

Wielkości w (20.42), tzn.: $K^{\mu }\;$ i $F^{\mu }\;$ są tensorami, ten pierwszy nazwijmy tensorem siły, a ten drugi wielkością wskaźnikową siły. Widzmy, że współrzędne czasowe $F^{\mu }\;$ są zerowe, a współrzędne przestrzenne są za to niezerowe. Na podstawie przestrzeni Galileusza, mamy wzór na wektor tensora siły w zalezności od wektora wielkości wskaźnikowej siły:

${\vec {K}}={{1} \over {c}}{\vec {F}}\;$

(20.43)

Jeszcze raz o twierdzeniu o środku mas

Mając tensory położenia (20.2) i masy relatywistyczne możemy napisać wzór na położenie tensorowe środka mas:

$X^{\mu }={{\sum _{k}m_{k}x_{k}^{\mu }} \over {\sum _{k}m_{k}}}\;$

(20.44)

Gdzie $x_{k}^{\mu }\;$ to tensor położenia ciała o numerze $k\;$, a $X^{\mu }\;$ to położenie środka mas. N-tą pochodną względem dowolnej zmiennej $\lambda \;$ możemy napisać w postaci podobnej do (25.2),tzn:

$\left({X^{\mu }}\right)^{(n)}(\lambda )={{\sum _{k}m_{k}\cdot \left({x_{k}^{\mu }}\right)^{(n)}(\lambda )} \over {\sum _{k}m_{k}}}\;$

(20.45)

Wzór (20.45) podobnie się udowadnia jak wzór (25.2). A więc twierdzenie (20.45) zostało udowodnione. Wzory (20.44) i (20.45) są równoważne ze wzorami (25.1) i (25.2) dla $\mu =i\;$ i $\lambda =t\;$. Gdy we wzorze (20.44) mamy $m_{k}=m_{0k}\gamma \;$, gdzie w nim $m_{0k}\;$ to masa spoczynkowa elementu masowego o numerze $k\;$, a także $x^{0}=t\;$, to wtedy dostajemy:

$t\sum _{k}m_{k}=\sum _{k}m_{k}t\Rightarrow \sum _{k}m_{k}=\sum _{k}m_{k}\wedge M_{0}=\sum _{k}m_{0k}\wedge M=\sum _{k}m_{0k}\gamma _{k}\Rightarrow M_{0}\Gamma =M\Rightarrow M_{0}={{\sum _{k}m_{0k}\gamma _{k}} \over {\Gamma }}={{M} \over {\Gamma }}\;$

(20.46)

Widzimy, że według wzoru (20.46) masa środka mas jest równa sumie mas poszczególnych elementów masowych, stąd wzór (20.44) dla $\mu =0\;$ jest tożsamością. Stąd wzór (20.45) jest słuszny dla każdego $\mu \;$ dla $\lambda =t\;$. A masa spoczynkowa środka mas jest równa sumie mas relatywistycznych elementów masowych podzielonego przez $\Gamma \;$, które jest zdefiniowane wzorem (19.10)(tutaj wybieramy znak plus jak wcześniej w module pierwszym powiedzieliśmy) dla wartości prędkości środka mas ${\vec {V}}\;$. Przepiszmy wzór (20.45) dla $\mu =i\;$ i $\lambda =t\;$, $n=1\;$ i $m_{k}=m_{0k}\gamma _{k}\;$, co po przekształceniu go wykorzystując (20.46) i (20.6) oraz dzieląc obustronnie ten wzór przez $c\;$, wtedy:

${{V^{i}} \over {c}}M=\sum _{i}m_{i}{{v^{i}} \over {c}}\Rightarrow {{V^{i}} \over {c}}M_{0}\Gamma =\sum _{k}m_{0k}\gamma _{k}{{v_{k}^{i}} \over {c}}\Rightarrow U^{i}M_{0}=\sum _{k}m_{0k}u_{k}^{i}\;$

(20.47)

Stąd na podstawie (20.47) mamy twierdzenie dla tensora prędkości środka mas dla jej elementów przestrzennych. A ponieważ zachodzi ${{dx^{0}} \over {cdt}}={{cdt} \over {cdt}}=1\;$ i $u^{0}=\gamma {{dx^{0}} \over {cdt}}=\gamma \;$ według (20.6), to możemy napisać w prawej i lewej stronie (20.46) wykorzystując mnożenie przez jeden, tzn. tożsamości ${{dx_{k}^{0}} \over {cdt}}\;$ i ${{dX_{k}^{0}} \over {cdt}}\;$, a także wykorzystując definicję tensora prędkości dla jej elementów czasowych:

$U^{0}M_{0}=\sum _{k}m_{0k}u_{k}^{0}\;$

(20.48)

Łącząc wzory (20.47) i (20.48) ze sobą w jeden wzór dostajemy:

$U^{\mu }={{\sum _{i}m_{0i}u_{i}^{\mu }} \over {M_{0}}}\;$

(20.49)

Jest to wzór na tensor prędkości dla środka mas z którym on się porusza, w którym masa spoczynkowa środka mas $M_{0}\;$ jest zdefiniowana według (20.46).

Tensor siły dla środka mas

Metryka dla środka mas tak samo się definiuje i ma takie same właściwości jak metryka (20.10) dla poszczególnych punktów masowych. Wykorzystując twierdzenie (25.1) o środku mas układu cząstek, to wzory (20.33) i (20.41) są również spełnione dla środka mas, bo te wzory są również formułowane dla definicji siły (25.9) ogólnie dla środka mas układów cząstek, a (25.9) udowodniliśmy wychodząc z (19.16). Stąd wzór na tensor siły dla poruszającego środka masy i wzory na tensory sił dla elementów masowych są formalnie jednakowe.

Twierdzenie dodawania i odejmowania wyrazów równych zero do równania i wyrażenia matematycznego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości i słabozakrzywionych (zakrzywionych)

A oto bardzo ważne twierdzenie matematyczne potrzebne do udowadniania fizyki (mechaniki Newtona i szczególnej teorii względności) słuszne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych), które będziemy stosować.

Twierdzenie pomijania wyrazów tensorowych i skalarów w układach globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych (zakrzywionych) (Twier.  20.1)
W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli wyraz jest dokładnie równy zero z właściwości tego układu, i wymnożenie tych elementów przez macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ (popatrz na definicję macierzy transformacji (15.31) w przypadku układów słabozakrzywionych) w przypadku przejścia do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), jeżeli w tych układach daje też dokładnie lub w przybliżeniu zero na podstawie teorii funkcji uogólnionych lub zwykłych funkcji, to ten wyraz w równaniu można dodać z albo usunąć w równaniu i wyrażeniu matematycznym. Skalary w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, jeżeli są równe zero, to automatycznie w innych dowolnych układach współrzędnych (słabozakrzywionych, czy zakrzywionych), też są równe zero, a więc je pomijamy. Można dodawać i odejmować tylko te wyrazy skalarne, tensorowe, wskaźnikowe i wskaźnikowo-tensorowe w wyrażeniu i równaniu, które w każdym układzie współrzędnych mają zerową wartość, a w wielkościach tensorowych, wskaźnikowych i wskaźnikowo-tensorowych należy wyraz ogólnić w układach globalnie (lokalnie) płaskich, by potem przejść do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych), we współrzędnych krzywoliniowych lub uogólnionych zamieniając przecinek na średnik, bo tam symbole Christoffela w układach globalnie (lokalnie) płaskich są równe zero.

• 1. A oto przykład funkcji, która w układzie globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równa zero:

$u^{\mu }{{\partial \rho _{0}\gamma } \over {\partial s}}=0$

(20.50)

W układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (20.50) jest równa zero ze względu globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej (26.5) i globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (21.6). Przejdźmy do układów słabozakrzywionych, tzn. wymnażamy przez macierz transformcji (15.31):

${{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }u^{\mu }{{\partial \rho _{0}\gamma } \over {\partial s}}={\overline {u}}^{\nu }{{\partial \rho _{0}\gamma } \over {\partial s}}=0\;$

(20.51)

Wyraz w (20.51) jest równy zero ze względu, że wyraz ${{\partial \rho _{0}\gamma } \over {\partial s}}=0\;$ w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest równy zero.

• 2. A oto przykład funkcji tensorowej słuszne dla układów co najwyżej zakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układzie globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

$u^{i}{{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{i}}}=0\Rightarrow \lim _{V\rightarrow 0}\int u^{i}{{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{i}}}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int \left((u^{i}u^{\mu })_{,i}-u^{\mu }{u^{i}}_{,i}\right)dV=\lim _{S\rightarrow 0}\int u^{i}u^{\mu }dS_{i}-\lim _{V\rightarrow 0}\int u^{\mu }{u^{i}}_{,i}dV=\;$
$=u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\oint _{S}u^{i}dS_{i}-u^{\mu }\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{u^{i}}_{,i}dV=u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\oint _{S}u^{i}dS_{i}-u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\oint _{S}u^{i}dS_{i}=0\;$

(20.52)

A więc przejście od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości wyrażenia (20.52) do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) daje nam jego wartość zero.

• 3. A oto przykład całki słuszne dla układów co najwyżej słabozakrzywionych, ale najpierw udowodnijmy jego wartość w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości:

$\lim _{S\rightarrow 0}\oint _{S}(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{j}dS_{j}=0\Rightarrow \lim _{V\rightarrow }\int _{V}\left((\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u_{j}\right)_{,j}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{\Big (}(\rho _{0}c^{2}+p)_{,j}u^{\mu }u^{j}+(\rho _{0}c^{2}+p){u^{\mu }}_{,j}u^{j}+\;$
$+(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }{u^{j}}_{,j}{\Big )}dV=u^{\mu }\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{d} \over {ds}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)dV+(\rho _{0}c^{2}+p)\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{u^{\mu }}_{,j}u^{j}dV+(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{u^{j}}_{,j}dV=\;$
$=u^{\mu }\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{d} \over {ds}}\left(\rho _{0}c^{2}+p\right)dV+(\rho _{0}c^{2}+p)\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{u^{\mu }}_{,j}u^{j}dV+(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\oint _{S}u^{j}dS_{j}=0\;$

(20.53)

Pierwszy wyraz ostatniej równości jest równy zero dzięki niezależności gęstości spoczynkowej (26.5) i niezależności ciśnienia (26.2) względem interwału czasoprzestrzennego w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Drugi wyraz w (20.53) jest równy zero na podstawie przykładu (20.52). Całka powierzchniowa (trzeci wyraz) jest dokładnie równa zero niezależnie jak by na to patrzeć w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości według (21.6). A więc przejście całki (20.53) od układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych (zakrzywionych) na podstawie powyższego twierdzenia też daje nam wartość tej całki zero.

Gęstość tensora (wielkości wskaźnikowej) siły w przypadku relatywistycznego (szczególna teoria względności) i nierelatywistycznego (mechanika Newtona) ruchu płynu i punktów

Będziemy tutaj rozpatrywali relatywistyczny ruch cząstek płynu i punktów (ciał).

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu relatywistycznego według szczególnej teorii względności.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość tensora siły, której różniczka tensora siły działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonego tensora siły jest w postaci (20.33), piszemy wychodząc z różniczki tensora siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej tensora prędkości cząstki płynu względem interwału czasoprzestrzennego i korzystając z definicji skrócenia długości (18.7) (przechodząc z infinitezymalnej różniczki objętości spoczynkowej do objętości relatywistycznej) i definicji gęstości masy spoczynkowej, możemy powiedzieć:

$dK^{\mu }=dm_{0}c{{du^{\mu }} \over {ds}}=\rho _{0}cdV_{0}{{du^{\mu }} \over {ds}}=\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {ds}}dV\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}=\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {ds}}\;$

(20.54)

Wzór na gęstość tensora siły jest w postaci (20.54). Korzystając z definicji gęstości tensora siły ${{dK^{\mu }} \over {dV}}$ według wzoru (20.54) przejdziemy z niej do gęstości wielkości wskaźnikowej siły ${{dF^{\mu }} \over {dV}}$ na podstawie (20.41):

${{dK^{\mu }} \over {dV}}=\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {ds}}\Rightarrow {{dF^{\mu }} \over {dV}}=\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {dt}}\;$

(20.55)

Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (20.55), jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, parametru γ i pochodnej zupełnej tensora prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Mając wzór na wielkość gęstości tensora siły według punktu (20.54) przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując w nim globalną (lokalną) stałość tensora prędkości (21.6) i globalną (lokalną) stałość gęstości spoczynkowej masy (26.5) oraz twierdzenie (Twier. 20.1), jako:

$\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{dK^{\mu }} \over {dV}}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {ds}}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho _{0}c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{i}}}+\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial t}}{{dt} \over {ds}}\right)dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{\Bigg (}\rho _{0}c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{i}}}+\;$
$+\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial t}}{{\gamma } \over {c}}{\Bigg )}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho _{0}c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{i}}}+\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial s}}\right)dV=\rho _{0}c\gamma \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}u^{i}{{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{i}}}dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{\partial } \over {\partial s}}\rho v^{\mu }dV+\;$
$-cu^{\mu }\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{\partial \rho _{0}\gamma } \over {\partial s}}dV=\rho _{0}c\gamma \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left[\left(u^{i}u^{\mu }\right)_{,i}-u^{\mu }{u^{i}}_{,i}\right]dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{\partial } \over {\partial s}}\rho v^{\mu }dV-cu^{\mu }\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{\partial \rho _{0}\gamma } \over {\partial s}}dV=\;$
$=\rho _{0}c\gamma u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\int _{S}u^{i}dS_{i}-\rho _{0}c\gamma u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\int _{S}u^{i}dS_{i}+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{\partial } \over {\partial s}}\rho v^{\mu }dV-cu^{\mu }\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{\partial \rho _{0}\gamma } \over {\partial s}}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{\partial } \over {\partial s}}\rho v^{\mu }dV\Rightarrow \;$
${{dK^{\mu }} \over {dV}}={{\partial } \over {\partial s}}\rho v^{\mu }\;$

(20.56)

Wzór na gęstość tensora siły (20.56) zapisujemy jako pochodna cząstkowa iloczynu gęstości relatywistycznej masy i wielkości wskaźnikowej prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Napiszmy drugą postać tego wzoru patrząc co jest po czwartej równości w (20.56), mamy:

$\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{dK^{\mu }} \over {dV}}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho _{0}c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{i}}}+\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial s}}\right)dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\rho _{0}c\gamma u^{i}{{\partial u^{\mu }} \over {\partial x^{i}}}dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial s}}dV=\;$
$=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial s}}dV\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}=\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial s}}\;$

(20.57)

Wzór na gęstość tensora siły (20.57) jest iloczynem gęstości spoczynkowej masy, prędkości światła, γ i pochodnej cząstkowej tensora prędkości względem interwału czasoprzestrzennego. Na podstawie sobie różnych postaci jednego wzoru dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości (20.56) i (20.57) piszemy ich odpowiedniki gęstości wielkości wskaźnikowej siły patrząc na równość (20.41), wtedy

${{dK^{\mu }} \over {dV}}={{\partial } \over {\partial s}}\left(\rho v^{\mu }\right)\wedge {{dK^{\mu }} \over {dV}}=\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial s}}\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}={{\gamma } \over {c}}{{\partial } \over {\partial t}}\left(\rho v^{\mu }\right)\wedge {{dK^{\mu }} \over {dV}}={{\gamma } \over {c}}\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial t}}\Rightarrow {{dF^{\mu }} \over {dV}}={{\partial } \over {\partial t}}\left(\rho v^{\mu }\right)\wedge \;$
$\wedge {{dF^{\mu }} \over {dV}}=\rho _{0}c\gamma {{\partial u^{\mu }} \over {\partial t}}\;$

(20.58)

Wzory na gęstość tensora siły (20.56) i (20.57) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (20.54) oraz wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły (20.58) są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi (20.55) na mocy twierdzenia (Twier. 20.1) w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru (20.55), a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wzór na wielkość wskaźnikową siły według (19.16), a więc:

${{dF^{\mu }} \over {dV}}=\rho _{0}c\gamma {{du^{\mu }} \over {dt}}\;$

(20.59)

Napiszmy z definicji delty Diraca:

$\rho _{0}\gamma dV={{dm_{0}} \over {dV}}dV=m_{0}\delta ^{n}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})dV\;$

(20.60)

• gdzie n to wymiar przetrzeni zwykłej.

Na podstawie (20.59) i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości:

$F^{\mu }=\int _{V}{{dF^{\mu }} \over {dV}}dV=m_{0}\int _{V}\delta ^{n}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})c{{du^{\mu }} \over {dt}}dV\Rightarrow F^{\mu }=m_{0}c{{du^{\mu }} \over {dt}}\Rightarrow F^{\mu }={{dp^{\mu }} \over {dt}}\Rightarrow {\vec {F}}={{d{\vec {p}}} \over {dt}}\;$

(20.61)

Stąd wzór (20.59) dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (20.61) (końcowy wzór), czyli w (19.16). Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabokrzywionych na tensor siły jest w postaci (20.33), a dla rozciągłych wzór na gęstość tensora siły przedstawia się w formie (20.54) (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.

Mechanika Newtona

Będziemy tutaj rozważać prawa ruchu układu nierelatywistycznego według mechaniki Newtona.

Układy słabozakrzywione i globalnie (lokalnie) płaskie

Spróbujmy wyprowadzić wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły, której różniczka wektora działa na dany punkt ośrodka i jej odpowiednik dla skończonej wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci (MT-1.32), piszemy wychodząc z różniczki wielkości wskaźnikowej siły będąca iloczynem różniczki masy spoczynkowej i pochodnej zupełnej wielkości wskaźnikowej prędkości cząstki płynu względem czasu absolutnego, korzystając przy tym, że nie ma żadnego skrócenia długości (a więc transformacji infinitezymalnej objętości z różniczki objętości spoczynkowej), i definicji gęstości masy spoczynkowej (ogólnie gęstości masy), możemy powiedzieć: Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest w postaci , jest ona iloczynem gęstości spoczynkowej i pochodnej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu t.

Układ globalnie (lokalnie) płaski o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości

Mając wzór na wielkość gęstości wskaźnikowej siły według punktu przestawmy go w innej postaci dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości stosując zachodzącą globalną (lokalną) stałość tensora prędkości i globalną (lokalną) stałość gęstości masy spoczynkowej oraz twierdzenie , jako: Wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły jest pochodną iloczynu gęstości masy i wielkości wskaźnikowej prędkości. Dalej patrząc co jest po drugiej równości w , mamy: Wzór jest iloczynem gęstości masy i pochodnej cząstkowej wielkości wskaźnikowej prędkości względem czasu absolutnego. Wzory na gęstość wielkości wskaźnikowej siły i są równoważne co najwyżej w przybliżeniu wzorowi na mocy twierdzenia w układach globalnie (lokalnie) płaskich, a te twierdzenia są słuszne również w układach słabozakrzywionych na mocy twierdzenia o transformacji wielkości tensorowych.

Prawa dynamiki dla układów punktowych wynikające z praw dla układów rozciągłych dla przestrzeni słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Drugie prawo dynamiki w postaci wskaźnikowej dla układów rozciągłych dla układów słabozakrzywionych jest napisana według wzoru , a dla układów punktowych wyprowadzamy z tego wzoru wyprowadzając wzór na wielkość wskaźnikową siły według , a więc: Napiszmy z definicji delty Diraca:

• gdzie n to wymiar przestrzeni zwykłej.

Na podstawie i z definicji delty Diraca dla układów punktowych wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły podczas jego operacji całkowania względem objętości: Stąd wzór dla układów rozciągłych przechodzi dla układów punktowych w wzór (końcowy wzór), czyli w . Zatem wzór dla układów punktowych dla układów słabozakrzywionych na wielkość wskaźnikową siły jest w postaci , a dla rozciągłych wzór na gęstość wielkości wskaźnikową siły przedstawia się w formie (drugi wzór w implikacji), i to wszystko dla układów słabozakrzywionych.