Szczególna teoria względności/Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z teorii gęstości lagrangianu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Wyprowadzimy tutaj lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu z zasady wariacyjnej i inne wynikające z niej stąd wnioski.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu, a zasada wariacyjnaEdytuj

Na sam początek zdefiniujmy, co to jest przestrzeń ortonormalna, czyli jest to przestrzeń z układem wersorów ortogonalnych względem siebie z długościamy wersorów o module równym jeden. Określmy gęstość lagranianu w przestrzeni globalnie (lokalnie) płaskiej euklidesowym, który jest funkcją współrzędnych uogólnionych i pierwszych pochodnych cząstkowych względem współrzędnych przestrzennych Minkowskiego ogólnie nieprostokątnej zmiennej xμ, i jego miano jest takie J/mn, ale aby policzyć właściwy Lagrangian należy gęstość Lagrangianu przecałkować po całej przestrzeni zwykłej euklidesowej n-wymiarowej ortonormalnej, a całkę działania tego lagrangianu jeszcze po zmiennej , zapisaną wedle sposobu w układzie globalnie (lokalnie) płaskim euklidesowym:


(38.1)
  • gdzie:
jest to nieskończenie mała objetość w przestrzeni zwykłej n-wymiarowej euklideowej ortonormalnej. Równa z definicji tensora metrycznego Minkowkiego (16.4) niekończenie małej objętości w przestrzeni zwykłej czasoprzestrzeni Minkowkiego ortonormalnej z definicji zamiany zmiennych.
jest to różniczka współrzędnej czasowej liczona w metrach, która jest jako iloczyn prędkości światła i różniczki czasu znanej z codziennego życia, która jest mierzona w sekundach. Ta różniczka z definicji tensora metrycznego Minkowkiego jest taka sama w przestrzeni euklidesowej jak i Minkowkiego.
jest to nieskończenie małą objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej euklidesowej ortonormalnej. Równa z definicji tensora metrycznego Minkowkiego (16.4) niekończenie małej objętości w czasoprzestrzeni (n+1)-wymiarowej Minkowkiego ortonormalnej z definicji zamiany zmiennych.
to są współrzędne przestrzenne w układzie euklidesowym ortonormalnym liczone tylko w metrach.
to są współrzędne przestrzenne w układzie Minkowskiego liczone tylko w metrach.
jest to pochodna współrzędnej względem współrzędnej .

Transformacja pomiędzy wyznacznikiem macierzy iloczynu skalarnego (tutaj tensora metrycznego) przestrzeni Minkowskiego ogólnie nieprostokątnej, a macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowej ortonormalnej, przedstawiamy poniżej, co później biorąc wyznacznik obu jego stron, wtedy moduł macierzy transformacji jest równy modułowi pierwiastka z minus wyznacznika tenora metrycznego przestrzeni Minkowskiego:

(38.2)

Na podstawie (38.2) wzór na nieskończenie małą objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej układu euklidesowego ortonormalnego w zależności od nieskończenie małej objętości w układzie Minkowskiego ogólnie nieprostokątnym przedstawiamy:

(38.3)
  • jest to nieskończenie mała objętość w przestrzeni (n+1)-wymiarowej euklidesowej ortonormalnej.

W (38.3) na podstawie definicji tensora Minkowkiego układu ortonormalnego (16.4) według (38.3) dochodzimy do wniosku, że . Aby policzyć objetość w układzie euklidesowym ortonormalnym względem układu Minkowskiego ogólnie nieprostokątnego wykorzystajmy (38.3), więc:

(38.4)

Po powyższych przekształceniach wiedząc na oznaczenie w elementarnej infinitezymalnej objętości (38.3) w układzie euklidesowym, wtedy całkę działania (38.1) można przedstawić wychodząc od układu ortonormalnego euklidesowego przechodząc do układu Minkowskiego ogólnie nieprostokatnego wykorzystując (38.3):

(38.5)

W powyższym wzorze oznaczeniem qμ oznaczyliśmy współrzędne uogólnione, które opisują układ Minkowskiego zanurzony w euklideowym układzie współrzędnych. Napiszmy całkę działania funkcjonału (38.5) wiedząc, że dla układów globalnie (lokalnie) płaskich w przestrzeni Minkowkiego, nie eukliedowego, tensor metryczny ( tylko zależy od zmiennych ), , i są zmiennymi niezależnymi względem siebie, czyli:


(38.6)

Znając całkę działania (38.5) wychodzące z (38.1) możemy napisać równanie Eulera-Lagrange'a pamiętając o niezależności pewnych zmiennych względem siebie pamiętając o (38.6) jako wniosek z (38.5) piszemy:

(38.7)

Rozpiszmy teraz z definicji różniczki zupełnej pochodną cząstkową Lagrangianu względem współrzędnej kontrawariantnej qβ w przestrzeni Minkowskiego na wyrażenie zapisaną za pomocą pochodnej tego samego lagrangianu względem współrzędnej uogólnionej xμ i względem pochodnej wspomnianej współrzędnej względem współrzędnej uogólnionej qα, czyli xμ:

(38.8)

Z zasady wariacyjnej (38.7) można napisać tak by po przenoszeniu drugiego wyrazu na prawą stronę i odwracając stronami, po tej operacji dostajemy:

(38.9)

Podstawiamy równanie (38.9) do pierwszego wyrazu z prawej strony równania (38.8) i dokonując zwinięcia pewnych wyrazów, w której wystepują pod pochodną względem jakieś współrzędnej:

(38.10)

Wiemy jednak, z definicji delty Kroneckera możemy zapisać pochodną lagrangianu względem zmiennej qβ troszkę w innej postaci przy pomocy ostatnio wspomnianego obiektu.

(38.11)

Równanie (38.10) możemy napisać po podstawieniu do niego udowodnionej tożsamości (38.11), wtedy otrzymujemy równanie wyłączając operator pochodnej cząstkowej względem xα, zatem:

(38.12)

Równanie (38.12) mnożymy przez ηβγ, otrzymujemy:

(38.13)

Udowodnijmy lokalną zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu (38.16) wychodząc z przedstawienia (38.13) pod nawiasem, zatem przekształcajmy pierwszy wyraz pod pochodną w (38.13) wiedząc, że tensor metryczny podwójnie kontrawariantny jest zapisany jako , otrzymujemy:


(38.14)

A więc na podstawie obliczeń na liczbach ogólnych tożsamość (38.17) podstawiamy do wzoru (38.13), wtedy:

(38.15)

Prawo (38.15) jest treścią wynikający z zasady najmniejszego działania.

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu ewentualnie z gęstością tensora siły zewnętrznejEdytuj

Dla tych układów na podstawie (38.15) tensor gęstości energii(masy)-pędu podwójnie kontrawariantny możemy przedstawić względem lagrangianu i tensora metrycznego Minkowskiego prostego i odwrotnego:

(38.16)

Wtedy lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych i we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) piszemy w postaci:

(38.17)
(38.18)

Zdefiniujmy gęstość lagrangianu i wynikający z tego tensor gęstości energii(masy)-pędu zastępując według:

(38.19)
(38.20)

Wtedy równanie (38.18) na podstawie (38.19) i (38.20) wiedząc jaka jest definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu przyjmuje postać we współrzędnych układów płaskich ogólnie nieprostokątnych:

(38.21)

Wtedy równanie (38.17) na podstawie (38.19) i (38.20) wiedząc jaka jest definicji tensora gęstości energii(masy)-pędu przyjmuje postać we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych):

(38.22)

Wtedy lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu w układach globalnie (lokalnie) płaskich jest kolejno w postaci we współrzędnych układu płaskiego ogólnie nieprostokątnego i krzywoliniowego (uogólnionego):

(38.23)
(38.24)

Widzimy, że kolejno wzory (38.23) i (38.24) są takie same jak (33.26) i (33.27) z dokładnością do nadkreśleń nad wielkościami tensorowymi, te wzory dla układów słabozakrzywionych uważanych za płaskie ogólnie nieprostokątne, płaskie krzywoliniowe i we współrzędnych uogólnionych udowadnia się wychodząc od układów globalnie (lokalnie) płaskich, po tej operacji te wzory przechodzą kolejno w (38.23) i (38.24).

Lokalna zachowawczość tensora gęstości energii(masy)-pędu wyrażona przez tensor gęstości energii(masy)-pędu masowy kinematycznyEdytuj

Przedstawmy gęstość lagrangianu w postaci sumy gęstości lagrangianu kinematycznego (40.1) i gęstości lagrangianu opisująca oddziaływania inne niż w członie odpowiedzialnej za oddziaływania od zewnątrz (prawa strona równości w (38.23)) w postaci:

(38.25)

gdzie przedstawiamy w zależności od gęstości spoczynkowej, ciśnienia i tensora prędkości wzorem (40.1) (gęstość lagrangianu kinematycznego). Napiszemy tensor gęstości energii(masy)-pędu (38.16), wtedy dowiemy się, że jest ona równa sumie tensorów gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego i jego odpowiednika odpowiedzialnego za oddziaływania, więc napiszmy wykorzystując (38.25):

(38.26)
  • gdzie wzór na tensor gęstości energii-pędu członu kinematycznego i tensor gęstości-pędu od członu odpowiedzialnej za oddziaływania przedstawiamy:
(38.27)
(38.28)

Weźmy pod uwagę wzór na lokalną zachowawczość tensora gęstości energii-pędu (38.23) wykorzystując wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu jako sumę dwóch członów (38.26), czyli (38.27) i (38.28), wtedy w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych:

(38.29)

W układach płaskich we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) w (38.30) zamiast przecinka jest średnik, tzn. piszemy to w postaci:

(38.30)

Na podstawie (38.30) wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania inne niż w członie odpowiedzialnej za oddziaływania od zewnątrz (prawa strona równości w (38.23)) jest równy w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych:

(38.31)

Wzór (38.31) w układach o współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) po transformacji do tego układu jest:


(38.32)

Wtedy mając wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły pochodzącej od oddziaływania (38.31) i wzór na lokalną zachowawczość energii-pędu w układach płaskich ogólnie nieprostokątnych (38.29), piszemy:

(38.33)

Wtedy mając wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły pochodzącej od oddziaływania (38.32) i wzór na lokalną zachowawczość energii-pędu w układach płaskich we współrzędnych krzywoliniowych (uogólnionych) (38.29), piszemy:

(38.34)

Gdzie ostatni wzór (38.34) jest zgodny ze formułą (38.23), gdzie wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu (człon kinematyczny) (38.27) przedstawiamy w zależności od gęstości lagrangianu kinematycznego (40.1), którego wielkość jest równa sumie gęstości wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania i gęstości wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania inne niż uwzględniono w członie na gęstość wielkości wskaźnikowej siły oddziaływania (38.31).