Szczególna teoria względności/Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - szczególna teoria względności

Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - szczególna teoria względności

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Szczególna teoria względności (mechanika relatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj rozpatrywali szczególną teorię względności w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są z jednych argumentów, że układy globalnie płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające szczególną teorię względności

Będziemy tutaj rozpatrywali lagrangian dla układów punktowych (28.1) i gęstość lagrangianu dla układów rozciągłych (28.12) w elektromagnetostatyce lub (28.14) w elektromagmetodynamice, w wersji wektorowej oraz lagrangian dla układów punktowych (28.2) i gęstość lagrangianu dla układów rozciągłych (28.13), w wersji tensorowej. Będziemy tutaj rozpatrywali ruch przy macierzy iloczynu skalarnego $(g)=A\;$ przestrzeni zwykłej, dla przestrzeni ogólnie nieprostokątnej, ale nie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych) dla lagrangianu i gęstości lagrangianu, ale w wersji wektorowej, i również też będziemy opisywali te układu przy tensorze metrycznym Minkowskiego (16.4) dla układów ogólnie nieprostokątnych, ale nie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych) w przestrzeni zwykłej, dla lagrangianu i gęstości lagrangianu, w wersji tensorowej.

Wersja wektorowa

Będziemy tutaj badać układy dla wersji wektorowej, lagrangianu dla układów punktowych i gęstości lagrangianu dla układów rozciągłych.

Układy punktowe

Weźmy ciało punktowe, dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (28.1), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś, ale jedynek lub zer, w postaci:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(30.1)

Wstawmy jedynkę do równania (30.1) wynikającej z postaci definicji różniczki długości:

$dl^{2}=dx^{i}g_{ij}dx^{j}\Rightarrow 1=U^{i}g_{ij}U^{j}\;$

(30.2)

Wtedy lagrangian jest równy matematycznie (30.1) i on przyjmuje równoważną formę:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}{\dot {U}}^{i}g_{ij}U^{j}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(30.3)

Równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (30.1) i (30.3), dla obu lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia się według wzoru (29.5). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (30.3) względem wektora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (29.5), co:

${{\partial L} \over {\partial x^{i}}}={{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\;$

(30.4)

Policzmy pochodną lagrangianu (30.3) względem wektora prędkości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (29.5), wtedy:

${{\partial L} \over {\partial U^{i}}}={{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}U^{i}g_{ij}\;$

(30.5)

Zbierzmy nasze wyniki badań (30.5) i (30.4) (te obliczenia są dla lagrangianu (30.3), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (29.5)), wtedy:

${{d} \over {dl}}\left(-2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}U^{j}g_{ij}\right)+{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{\mu }}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(30.6)

Dla Lagrangianu (30.1) równanie Eulera-Lagrange'a (29.6), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (30.6) wynikająca z (30.3), jest w postaci:

${{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(30.7)

Wykorzystując równość (30.7) do (30.6) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

${{d} \over {dl}}\left(-2m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}U^{j}g_{ij}\right)=0\Rightarrow {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}U_{i}=\operatorname {const} \wedge {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}U^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}U_{j}U^{j}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}=\operatorname {const} \Rightarrow \;$
$\Rightarrow 1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}=\operatorname {const} \Rightarrow v=\operatorname {const}$

(30.8)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (30.8) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (30.8), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

$U^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{i}=vU^{i}=\operatorname {const} \cdot \operatorname {const} =\operatorname {const} \Rightarrow v^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow v^{\mu }=\operatorname {const} \Rightarrow u^{\mu }=\operatorname {const} \;$

(30.9)

Co (30.9) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli lagrangiany (30.1) i (30.3) są nie fizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach globalnie płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale $(s,s+ds)\;$, prędkość jest stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

Układy rozciągłe

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (28.1) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wzór na skrócenie długości (18.7), wykorzystając, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością ${\vec {v}}\;$, wtedy:

$S=c\int dLdt=\int \left(-\rho _{0m}c^{2}-A^{\mu }J_{\mu }+{\begin{cases}0&{\mbox{ (1)}}\\-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }&{\mbox{ (2)}}\end{cases}}\right)dVcdt=-\int \left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)dVcdt\Rightarrow \;$
$\Rightarrow S=\int {\mathcal {L}}dVcdt=\int {\sqrt {-\eta }}{\mathcal {L}}d^{n+1}x^{'}\Rightarrow {\mathcal {L}}=-\rho _{0m}c^{2}-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$

(30.10)

• gdzie:

$n\;$ - jest to wymiar przestrzeni zwykłej,

$\eta \;$ - wyznacznik tensora metrycznego Minkowskiego,

(1) - pole elektromagnetostatyczne, a (2) - pole elektromagnetodynamiczne.

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji interwału długości (30.2), wtedy równość (30.10) po rozpisaniu jedynki:

${\mathcal {L}}=-\rho _{0m}U^{i}U^{j}g_{ij}c^{2}-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$

(30.11)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (30.10) przedstawia się w formie (29.10). Policzmy najpierw drugi wyraz w (29.10) wykorzystując (30.11), zatem:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{i}}}=-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}g_{ij}U^{i}U^{j}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=-\rho _{0m}{{\partial g_{ij}} \over {\partial x^{i}}}U^{i}U^{j}-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)$

(30.12)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (29.10) wykorzystując (30.11):

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial U^{i}}}=-\rho _{0m}c^{2}\left(g_{kj}{\delta ^{k}}_{i}U^{j}+\rho _{0m}c^{2}g_{jk}{\delta ^{k}}_{i}U^{j}\right)-{{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f\left(t,{\vec {r}},{\vec {v}}\right)\right)=-\rho _{0m}c^{2}\left(g_{ij}U^{j}+g_{ij}U^{j}\right)+\;$
$-{{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=-\rho _{0m}c^{2}\left(g_{ij}{\dot {x}}^{j}+g_{ji}U^{j}\right)-{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=-2\rho _{0m}c^{2}\left(g_{ij}U^{j}\right)+\;$
$-{{\partial } \over {\partial {\dot {x}}^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=-2\rho _{0m}c^{2}g_{ij}U^{j}-{{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)$

(30.13)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (30.12) i (30.13), co podstawmy je do równania (29.10):

${{d} \over {dl}}\left[2\rho _{0m}g_{ij}U^{j}c^{2}+{{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 2\eta _{ij}c^{2}{{d} \over {ds}}\left(\rho _{0m}U^{j}\right)+{{d} \over {ds}}\left[{{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\;$

(30.14)

Wykorzystajmy wzór (30.10) i podstawmy go do wzoru (29.10) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

${{d} \over {dl}}\left[{{\partial } \over {\partial U^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{i}}}\left(\rho _{0m}c^{2}+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\;$

(30.15)

Wykorzystajmy równość (30.15) do równości otrzymanej (30.14), co:

$2g_{ij}c^{2}{{d} \over {dl}}\left(\rho _{0m}U^{j}\right)=0\Rightarrow {{d} \over {dl}}\left(\rho _{0m}U^{j}\right)=0\Rightarrow \rho _{0m}{{dU^{j}} \over {ds}}+U^{j}{{d\rho _{0m}} \over {dl}}=0\;$

(30.16)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego względem długości $l\;$, mamy:

${{d} \over {dl}}\rho _{0m}={{\partial \rho _{0m}} \over {\partial {q}^{\alpha }}}{U}^{\alpha }+{{\partial \rho _{0m}} \over {\partial {U}^{\alpha }}}{\dot {U}}^{\alpha }=0\;$

(30.17)

• dla $q^{0}=l\;$.

Wniosek (30.17) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale $\rho _{0m}\;$, której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach $(l,l+dl)\;$ w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. Weźmy układ globalnie (lokalnie) płaski globalnie (lokalnie) spoczynkowy względem długości $l\;$, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: $U^{i}=0\;$ (wtedy $U^{i}U_{i}=0\neq 1\;$, zatem $dl=0\;$) i obierzmy z definicji nieoznaczności współrzędną zerową w postaci: $U^{0}={{dl} \over {dl}}={{0} \over {0}}=1$, i z wniosków w niej mamy: ${\dot {U}}^{\alpha }=0\;$, bo wiadomo, że tam ${{\partial \rho _{0m}} \over {\partial l}}=0\;$ (z (26.4) dla $\phi _{0}=\rho _{m0}\;$ i $q^{0}=l\;$), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (30.17) w układach względem siebie spoczywających dla gęstości masy spoczynkowej, zatem pochodna gęstości spoczynkowej względem interwału długości jest równa zero w dowolnych układach globalnie (lokalnie) płaskich, ale w tych układach $dl=0\;$, stąd $d\rho _{0m}=0\;$. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego $dx^{\mu }\;$, wtedy na podstawie (30.17):

$0=d\rho _{0m}={{\partial \rho _{0m}(x^{\mu },U^{\mu }(x^{\alpha }))} \over {\partial x^{\alpha }}}dx^{\mu }\Rightarrow {{\partial \rho _{0m}(x^{\mu },U^{\mu }(x^{\alpha }))} \over {\partial x^{\alpha }}}=0\;$

(30.18)

Na podstawie (30.17) i (30.16), mamy:

$\rho _{0m}{{dU^{i}} \over {dl}}=0\Rightarrow {{dU^{i}} \over {dl}}=0\Rightarrow U^{i}=\operatorname {const} \Rightarrow U_{i}=\operatorname {const} \;$

(30.19)

Dla równych odcinków interwału długości dla (30.19), mamy $dx^{i}\;$ globalnie (lokalnie) stałe dążace do zera, stąd by wynikało $U^{i}=\operatorname {const} \;$ w twierdzeniu odwrotnym, a jeśli mamy równe odcinki interwału czasu $dt\;$, stąd wynika, że $v^{i}=\operatorname {const} \wedge v^{0}=c\;$, co na podstawie tego z definicji tensora prędkości $u^{\mu }\;$ (20.3), mamy:

$v^{\mu }=\operatorname {const} \Rightarrow u^{\mu }=\operatorname {const} \;$

(30.20)

Co (30.20) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli gęstości langrangianów (30.10) i (30.11) są nie fizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwsza gęstość lagrangianu jest fizyczna, a druga tylko matematyczna. Wniosek (30.20) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale $u^{\nu }\;$ jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach $(s,s+ds)\;$ w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach globalnie płaskich $u^{\mu }\;$ jest o wartości takiej samej dla dowolnego interwału czasoprzestrzennego $s\;$. Wnioski (30.17) i (30.18) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały tensor prędkości choćby lokalnie, więc dla (30.20), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi $d\rho _{0m}\neq 0\;$ i nie zachodzi (30.18), bo nie da się przejść do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

Wersja tensorowa

Będziemy tutaj badać układy dla wersji tensorowej, lagrangianu dla układów punktowych i gęstości lagrangianu dla układów rozciągłych.

Układy punktowe

Weźmy ciało punktowe, dla którego lagrangian wersja tensorowa jest przedstawiony w punkcie (28.2), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś, ale jedynek lub zer, w postaci:

$L=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp qcA^{\mu }u_{\mu }=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(30.21)

Wstawmy jedynkę do równania (30.21) wynikającej z postaci definicji jedynki wynikającej z definicji interwału czasoprzestrzennego (20.11), wtedy lagrangian jest równy matematycznie (30.21) i on przyjmuje równoważną formę:

$L={{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }u^{\nu }u_{\nu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\;$

(30.22)

Równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (30.21) i (30.22), dla obu lagrangianu równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia się według wzoru (29.6). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (30.22) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (29.6), co:

${{\partial L} \over {\partial x^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\;$

(30.23)

Policzmy pochodną lagrangianu (30.22) względem tensora prędkości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (29.6), wtedy:

${{\partial L} \over {\partial u^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial u^{\alpha }}}\left(2m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }u^{\nu }u_{\nu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=\mp m_{0}c^{2}u_{\alpha }+{{\partial } \over {\partial u^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)\;$

(30.24)

Zbierzmy nasze wyniki badań (30.24) i (30.23) (te obliczenia są dla lagrangianu (30.22), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (29.6)), wtedy:

${{d} \over {ds}}\left(\mp m_{0}c^{2}u_{\alpha }\right)+{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial u^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(30.25)

Dla Lagrangianu (30.21) równanie Eulera-Lagrange'a (29.6), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (30.25) wynikająca z (30.22), jest w postaci:

${{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial u^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+f({\vec {r}},{\vec {v}},t)\right)=0\;$

(30.26)

Wykorzystując równość (30.26) do (30.25) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

${{d} \over {ds}}\left(\mp m_{0}c^{2}u_{\alpha }\right)=0\Rightarrow u_{\alpha }=\operatorname {const} \wedge u^{\alpha }=\operatorname {const} \Rightarrow v^{\alpha }=\operatorname {const}$

(30.27)

Co (30.27) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli lagrangiany (30.21) i (30.22) są nie fizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach globalnie płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale $(s,s+ds)\;$, prędkość jest stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

Układy rozciągłe

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (28.13) dla ciał rozciągłych, wtedy:

$S=c\int dLdt=\int \left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp \rho _{0q}\gamma cA^{\mu }u_{\mu }\right)dVcdt\Rightarrow \;$
$\Rightarrow S=\int {\mathcal {L}}dVcdt=\int {\sqrt {-\eta }}{\mathcal {L}}d^{n+1}x^{'}\Rightarrow {\mathcal {L}}=\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$

(30.28)

• gdzie $n\;$ - jest to wymiar przestrzeni zwykłej.

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji interwału czasoprzetrzennego (20.12), wtedy równość (30.28) po rozpisaniu jedynki:

${\mathcal {L}}={{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }u^{\nu }u_{\nu }+f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\;$

(30.29)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (30.28) przedstawia się w formie (29.11). Policzmy najpierw drugi wyraz w (29.11) wykorzystując (30.29), zatem:

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial x^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)$

(30.30)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (29.11) wykorzystując (30.29):

${{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial u^{\alpha }}}=\mp \rho _{0m}\gamma c^{2}u_{\alpha }+{{\partial } \over {\partial u^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)$

(30.31)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (30.30) i (30.31), co podstawmy je do równania (29.11):

${{d} \over {ds}}\left(\mp \rho _{0m}\gamma c^{2}u_{\alpha }\right)+{{d} \over {ds}}{{\partial } \over {\partial u^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\;$

(30.32)

Wykorzystajmy wzór (30.28) i podstawmy go do wzoru (29.11) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

${{d} \over {ds}}\left[{{\partial } \over {\partial u^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)\right]-{{\partial } \over {\partial x^{\alpha }}}\left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }-f(t,{\vec {r}},{\vec {v}})\right)=0\;$

(30.33)

Wykorzystajmy równość (30.33) do równości otrzymanej (30.32), co:

${{d} \over {ds}}\left(\mp \rho _{0m}\gamma c^{2}u_{\alpha }\right)=0\Rightarrow \rho _{0m}{{du_{\alpha }} \over {ds}}+u_{\alpha }{{d\rho _{0m}} \over {dl}}=0\;$

(30.34)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego względem długości, mamy:

${{d} \over {ds}}\rho _{0m}={{\partial \rho _{0m}} \over {\partial {q}^{\alpha }}}{u}^{\alpha }+{{\partial \rho _{0m}} \over {\partial {u}^{\alpha }}}{\dot {u}}^{\alpha }=0\;$

(30.35)

Wniosek (30.35) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale $\rho _{0m}\;$, której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach $(s,s+ds)\;$ w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych względem długości według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: $u^{i}=0\;$, $u^{0}=1$ i z wniosków w niej mamy: ${\dot {u}}^{\alpha }=0\;$, ale też wiadomo też tam ${{\partial \rho _{0m}} \over {\partial ct}}=0\;$ (z (26.4) dla $\phi _{0}=\rho _{m0}\;$ i $q^{0}=ct\;$), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (30.35) w układach względem siebie spoczywających dla gęstości masy spoczynkowej, zatem pochodna gęstości spoczynkowej względem interwału długości jest równa zero w dowolnych układach globalnie (lokalnie) płaskich. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego $dx^{\mu }\;$, wtedy na podstawie (30.35):

$0=d\rho _{0m}={{\partial \rho _{0m}(x^{\mu },u^{\mu }(x^{\alpha }))} \over {\partial x^{\alpha }}}dx^{\mu }\Rightarrow {{\partial \rho _{0m}(x^{\mu },u^{\mu }(x^{\alpha }))} \over {\partial x^{\alpha }}}=0\;$

(30.36)

Na podstawie (30.35) i (30.34), mamy:

$\rho _{0m}{{du^{\alpha }} \over {ds}}=0\Rightarrow {{du^{\alpha }} \over {ds}}=0\Rightarrow u^{\alpha }=\operatorname {const} \Rightarrow u_{\alpha }=\operatorname {const} \;$

(30.37)

Co (30.37) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli gęstości langrangianów (30.28) i (30.29) są nie fizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, a dla układów słabozakrzywionych ten pierwsza gęstość lagrangianu jest fizyczna, a druga tylko matematyczna. Wniosek (30.37) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale $u^{\nu }\;$ jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach $(s,s+ds)\;$ w czasoprzestrzeni, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach globalnie płaskich $u^{\mu }\;$ jest o wartości takiej samej dla dowolnego interwału czasoprzestrzennego $s\;$. Wnioski (30.35) i (30.36) zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały tensor prędkości choćby lokalnie, więc dla (30.37), a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi $d\rho _{0m}\neq 0\;$ i nie zachodzi (30.36), bo nie da się przejść do układu słabozakrzywionego od układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywione

Ale zachodzi na podstawie (30.9) (układy punktowe) i (30.20) (układy rozciągłe), w wersji wektorowej lagrangianu i gęstości lagrangianu oraz (30.27) (układy punktowe) i (30.37) (układy rozciągłe), w wersji tensorowej lagrangianu i gęstości lagrangianu, zgadzające się z (15.26) (ogólny wniosek):

$d{\dot {x}}^{\mu }=0\;$

(30.38)

Jeśli zachodzi (30.38), to możemy napisać dla dowolnego ruchu w czasoprzestrzeni dla naszych przypadków, tzn.: układu punktowego i rozciągłęgo dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla $dx^{\nu }\;$ dowolnego, bo według (15.26) (ogólny wniosek), i (30.9) i (30.27) (układy punktowe) oraz (30.20) i (30.37) (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie:

$0=d{\dot {x}}^{\mu }={{\partial {\dot {x}}^{\mu }} \over {\partial x^{\nu }}}dx^{\nu }={{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }dx^{\nu }\Rightarrow {{\dot {x}}^{\mu }}_{,\nu }=0\;$

(30.39)

Co się zgadza z wnioskiem (21.13) o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości. Co stąd zachodzi też (30.9), (30.20), (30.27) i (30.37) na podstawie (21.13) i (30.38), a także (30.39), co na tej podstawie mamy, że czasoprzestrzeń jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że czasoprzestrzeń jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od interwału czasoprzestrzennego, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale interwału czasoprzestrzennego $(s,s+ds)\;$ też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach słabozakrzywionych, wtedy tam panuje szczególna teoria względności dla przestrzeni słabozakrzywionych, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w (30.39) (lub (21.13)) przecinek średnikiem i zamieniając ${\dot {x}}^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na $q^{\mu }\;$ (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do słabozakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy otrzymujemy wzór w notacji einsteinowskiej (21.15) dla $\mu =0,1,2,3,...,n\;$, gdzie $n\;$ to wymiar przestrzeni zwykłej w czasoprzesztrzeni, czyli:

${{\dot {q}}^{\mu }}_{;\nu }=0\Rightarrow {\ddot {q}}^{\mu }+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\dot {q}}^{\alpha }{\dot {q}}^{\beta }=0\;$

(30.40)

Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo (21.24), co wtedy spełniona jest cała dynamika Einsteina według (30.40). Stąd dynamika Einsteina (szczególna teoria względności) jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo (22.7)) dla prędkości $v\leqslant c\;$, a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli szczególna teoria względności jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji ${{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\;$ (15.33), wtedy jest funkcją uogólnioną przy przejściu z układów globalnie (lokalnie) płaskich, i wtedy symbole Christoffera są nie równe wtedy zero, a istnieją fizycznie układy lokalnie płaskie w ogólnej teorii względności, które tak naprawdę są układami słabozakrzywionymi szczególnej teorii względności, wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcowe

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski ze szczególnej teorii względności.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona szczególna teoria względności i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionych

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych (22.7) i (22.8).

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnioną

Wykorzystując (30.39) i tensorowość prędkości (22.1), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero:

${{d{\overline {u}}^{\mu }} \over {ds}}={{d\left({\dot {x}}^{\nu }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }\right)} \over {ds}}={\dot {x}}^{\nu }{{d} \over {ds}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }+{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{d{\dot {x}}^{\nu }} \over {ds}}\simeq {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{d{\dot {x}}^{\nu }} \over {ds}}=0\;$

(30.41)

Stąd szczególna teoria względności jest spełniona dla małych przyśpieszeń. Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową (21.6) przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych:

${{\overline {u}}^{\mu }}_{,\nu }=\left({{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }u^{\alpha }\right)_{,\beta }{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }\simeq {u^{\alpha }}_{,\beta }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }=0\cdot {{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\alpha }{{\Lambda }^{\beta }}_{\nu }=0\;$

(30.42)

Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich:

${{\partial {\overline {\eta }}^{\mu \nu }} \over {\partial x^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial {\overline {x}}^{\xi }}}\left(\eta ^{\omega \gamma }{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\omega }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\gamma }\right){{\Lambda }^{\xi }}_{\alpha }\simeq {{\partial \eta ^{\omega \gamma }} \over {\partial {\overline {x}}^{\xi }}}{{\overline {\Lambda }}^{\mu }}_{\omega }{{\overline {\Lambda }}^{\nu }}_{\gamma }{{\Lambda }^{\xi }}_{\alpha }=0\;$

(30.43)

Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona szczególna teoria względności) pochodne cząstkowe tensora prędkości (30.42) i tensora metrycznego (30.43) względem tensora położenia w czasoprzestrzeni są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie.

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną, to (30.41), (30.42) i (30.43) już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w szczególnej teorii względności z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.