Szczególna teoria względności/Własności czasoprzestrzeni

Własności czasoprzestrzeni

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Tutaj zajmować się będziemy wnioskami wynikającymi z własności czasoprzestrzeni.

Dylatacja czasu

Zakładamy, że prędkość nowego układu współrzędnych jest stała i wynosi ${\vec {V}}\;$, zatem zakładając, że czas początkowy, który liczymy w starym i nowym układzie współrzędnych tak by był równy zero, zatem na podstawie (14.5) jest napisane:

$\Delta t'={{\Delta t-{{({\vec {V}},\Delta {\vec {x}})} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.1)

Połóżmy sobie w nowym układzie odniesienia, że mamy spoczywający sobie zegar, czyli w tym przypadku jest na pewno $\Delta {\vec {x}}=0\;$, zatem w takiej sytuacji różnica pomiędzy dwoma zdarzeniami zwana czasem własnym wynosi: Δt=τ₀, oraz czas w starym układzie współrzędnych jest dany przez wzór Δ t'=τ, a zatem na podstawie (18.1) możemy powiedzieć:

$\tau =\Delta t^{'}={{\overbrace {\Delta t} ^{\tau _{0}}-{{({\vec {V}},\overbrace {\Delta {\vec {x}}} ^{0})} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}={{\tau _{0}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.2)

A zatem dylatacja czasu wedle dyskusji (18.2), której to przepisujemy jego końcowy wynik poniżej, który wyraża się jako transformacja czasu τ, w układzie w którym obserwator porusza się z prędkością u względem układu spoczywającego τ₀, w którym dany obserwator spoczywa.

$\tau ={{\tau _{0}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.3)

A więc czas się wydłuża w układzie K' względem ciała spoczywającego w układzie K. Gdy prędkość ciała jest równa prędkości światła, to przy skończonym czasie τ w nowym układzie współrzędnych poruszających się V=c, wtedy jego czas własny wynosi zero, zatem w tym przypadku w nim wcale nie ma upływu czasu.

Skrócenie długości

Zakładając, że prędkość układu jest stała. Ciało w układzie K spoczywa. Będziemy wykorzystywać wzór (14.2). Niech mamy pręt, który jest pod pewnym kątem względem prędkości nowego układu współrzędnych względem nowego ${\vec {V}}\;$, napiszmy wektor, który jest równoległy do tego pręta $\Delta x\;$ o wartości, którego jest to długość tego pręta, wtedy po rozłożeniu tego wektora na składową równoległą do prędkości nowego układu współrzędnych ${\vec {V}}\;$ względem starego, wtedy otrzymujemy wektor $\Delta {\vec {x}}_{||}\;$, który ma długość $l_{0}\;$:

$\Delta {\vec {x}}_{||}^{'}=C_{p}{{\Delta {\vec {x}}_{||}-{\vec {V}}\Delta t} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}=C_{p}{{\Delta {\vec {x}}_{||}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\Rightarrow |\Delta {\vec {x}}_{||}^{'}|^{2}=(\Delta {\vec {x}}_{||}^{'},\Delta {\vec {x}}_{||}^{'})={{\Delta {\vec {x}}_{||}^{T}C_{p}^{T}A^{'}C_{p}\Delta {\vec {x}}_{||}} \over {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}={{\Delta {\vec {x}}_{||}^{T}A\Delta {\vec {x}}_{||}} \over {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}={{|\Delta {\vec {x}}_{||}|^{2}} \over {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow |\Delta {\vec {x}}_{||}^{'}|={{|\Delta {\vec {x}}_{||}|} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}={{l_{0}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}$

(18.4)

Ponieważ długość $\Delta x_{||}\;$ liczymy w tym samym czasie a wiec ona jest równa długości własnej l₀ w układzie K, w którym ciało spoczywa, podobnie liczmy też ten wektor ale w nowym układzie współrzędnych. Liczona różnica $|\Delta {\vec {x}}_{||}^{'}|\;$ odpowiada różnicy czasów w K', tzn. $\Delta t^{'}\;$, wiedząc że w starym układzie odniesienia mamy Δ t=0, zatem według wzoru (14.4) różnica czasów pomiędzy dwoma końcami pręta poruszającego się w nowym układzie odniesienia:

$\Delta t'={{-{{({\vec {V}},\Delta {\vec {x}}_{||})} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}={{-{{Vl_{0}} \over {c^{2}}}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.5)

Długość l, który jest długością składowej wektora równoległego do ${\vec {V}}\;$. Jego prawy koniec znajduje się w przeszłości o różnicę czasu Δ t, zatem do długości (18.4) musimy dodać do niego wielkość V'Δ t', tak aby prawy i lewy koniec naszego rozważanego pręta były liczone w tym samym czasach w obydwu jego końcach. Układ K jest dla niego układem własnym nieporuszających się, a K' jest układem poruszającym się z prędkością o wartości V'=V jak udowodniono w (7.18).

$l=\left|\Delta {\vec {x}}_{||}^{'}\right|-V^{'}\left|\Delta t^{'}\right|={{l_{0}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}-V{{{Vl_{0}} \over {c^{2}}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}=l_{0}{{\left({\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\right)^{2}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}=l_{0}{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$

(18.6)

Możemy przepisać wynik z punktu (18.6), wtedy długość danej składowej równoległej do ${\vec {V}}\;$ w układzie, w którym pręt porusza się z prędkością V jest równa $l\;$, a jest ona wyrażona w zależności od długości $l_{0}\;$ w układzie w którym pręt spoczywa:

$l=l_{0}{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}\;$

(18.7)

Stąd wychodzi, że ciało spoczywające w układzie spoczynkowym K ma największą długość, w innych układach różnych niż K długość układu jest mniejsza, czyli zawsze zachodzi l<l₀.

Transformacja częstotliwości fali elektromagnetycznej dla względnej prędkości źródła i odbiornika

Będziemy tutaj rozpatrywać, gdy odbiornik spoczywa i źródło się porusza, a także gdy odbiornik jest w ruchu, a źródło spoczywa.

Odbiornik spoczywa, a źródło się porusza

Załóżmy, że mamy oś OX, w którym źródło fali elektromagnetycznej (układ K'), porusza się zgodnie z kierunkiem wzrostu osi OX. Odbiornik fali elektromagnetycznej znajduje się w punkcje x₁, czyli dla naszego przypadku, gdy fala zostanie wysłana odwrotnie do kierunku ruchu nadajnika z pewnym maksimum (zakładamy, że źródło oddala się od odbiornika i odbiornik znajduje się przed źródłem), to ona dojdzie w czasie t₁.

$x_{1}=x_{0}-ct_{1}\;$

(18.8)

Po czasie T'₀ względem naszego układu , źródło fali elektromagnetycznej ponownie wysyła np. maksimum drań, zatem on dopłynie do odbiornika w czasie t₂.

$x_{1}=x_{0}+VT'_{0}-c(t_{2}-T_{0}^{'})\;$

(18.9)

Przyrównując oba wzory na x₁, czyli w tym przypadku (18.8) i (18.9), i wiedząc, że mamy T=t₂-t₁, w takim przypadku można powiedzieć:

$x_{0}-ct_{1}=x_{0}+VT'_{0}-c(t_{2}-T'_{0})\Rightarrow -cT+cT'_{0}+VT'_{0}=0\Rightarrow T=T'_{0}\left(1+{{V} \over {c}}\right)\;$

(18.10)

Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu (18.3) i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym nadajnika T₀ (w układzie, w którym nadajnik spoczywa), i w starym układzie odniesienia (w układzie, w której nadajnik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T'₀, to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się:

$T'_{0}={{T_{0}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.11)

Idąc dalej podstawiając (18.11) do końcowego wynikowego wzoru (18.10), bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia T^'₀ i względem nowego T₀, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik T₀ i odbieranych przez odbiornik T:

$T=T_{0}{{1+{{V} \over {c}}} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}=T_{0}{{\left({\sqrt {1+{{V} \over {c}}}}\right)^{2}} \over {{\sqrt {1-{{V} \over {c}}}}{\sqrt {1+{{V} \over {c}}}}}}=T_{0}{\sqrt {{1+{{V} \over {c}}} \over {1-{{V} \over {c}}}}}\;$

(18.12)

Wiedząc, że częstość fali jest wyrażona wzorem $\nu ={{1} \over {T}}\;$, czyli jest odwrotnością okresu drań fali elektromagnetycznego w próżni, to wtedy transformacja częstości fali odbieranej w zależności częstości wysyłanej jest napisana:

$\nu =\nu _{0}{\sqrt {{1-{{V} \over {c}}} \over {1+{{V} \over {c}}}}}\;$

(18.13)

Możemy wyrazić długość fali λ przez częstość w sposób $\lambda ={{c} \over {\nu }}\;$, czyli jest to odwrotność częstości fali elektromagnetycznego pomnożonej przez prędkość światła c, a długość fali transformuje się:

$\lambda =\lambda _{0}{\sqrt {{1+{{V} \over {c}}} \over {1-{{V} \over {c}}}}}\;$

(18.14)

Przy założeniach, że jeśli V>0, to wtedy źródło oddala się od odbiornika, oraz gdy V<0, to źródło przybliża się do odbiornika. Gdy prędkość źródła znajduje się pod kątem α względem linii odbiornik i źródło, co on znajduje się daleko od odbiornika, to wtedy on oddala się od niego z prędkością (tzn. składowa równoległa prędkości źródła do linii łączący odbiornik ze źródłem):

$V^{'}=V\cos \alpha ;\;$

(18.15)

a dalej do wzoru na okres drgań (18.10) stosujemy wzór (18.15) i później tożsamość na dylatacje czasu (18.11), tzn. na wydłużenie czasu $T_{0}\;$ na czas $T_{0}^{'}\;$, wtedy mamy:

$T=T_{0}{{1+{{V} \over {c}}\cos \alpha } \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.16)

Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali, wtedy:

$\nu =\nu _{0}{{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}} \over {1+{{V} \over {c}}\cos \alpha }}\;$

(18.17)

$\lambda =\lambda _{0}{{1+{{V} \over {c}}\cos \alpha } \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.18)

Odbiornik się porusza, a źródło spoczywa

Załóżmy, że odbiornik oddala się od źródła i zakładamy, że odbiornik znajduje się za źródłem, wtedy równanie na położenie odbiornika w chwili $t_{1}\;$ przedstawia się wzorem na $x_{1}\;$, tzn. początkowe położenie źródła jest $x_{0}\;$, a po czasie $t_{1}\;$ po jakim doszła do odbiornika fala elektromagnetyczna jest położeniem $x_{1}\;$, tzn. zachodzi:

$x_{1}=x_{0}+ct_{1}\;$

(18.19)

a równanie na położenie odbiornika w chwili $t_{2}\;$ piszemy wzorem poniżej, przy czym zachodzi $T^{'}=t_{2}-t_{1}\;$ dla spoczywającego źródła, który jest źródłem wysyłających fal elektromagnetycznych, co wtedy:

$x_{1}+VT^{'}=x_{0}+c(t_{2}-T_{0})\;$

(18.20)

Podstawiając wzór (18.19) do (18.20), co na tej podstawie otrzymujemy:

$x_{0}+ct_{1}+VT^{'}=x_{0}+c(t_{2}-T_{0})\Rightarrow c(t_{2}-t_{1})-VT^{'}-cT_{0}=0\Rightarrow cT^{'}-VT^{'}-cT_{0}=0\Rightarrow T_{0}=T^{'}\left(1-{{V} \over {c}}\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow T^{'}=T_{0}{{1} \over {1-{{V} \over {c}}}}\;$

(18.21)

Teraz uwzględnimy wzór na dylatację czasu (18.3) i określmy, że czas własny wysyłania poszczególnych np. maksimów w fali elektromagnetycznej w układzie własnym odbiornika T (w układzie, w którym odbiornik spoczywa) i w starym układzie odniesienia (w układzie, w którym odbiornik porusza się z prędkością V), któremu odpowiada czas T', to wtedy transformacja między tymi czasami wyraża się:

$T^{'}={{T} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.22)

Idąc dalej podstawiając (18.22) do końcowego wynikowego wzoru (18.21), bo w tym wzorze czasy są liczone względem starego układu odniesienia T^' i względem nowego T, wtedy po dokonaniu tego naszego podstawienia otrzymamy wzór na okres fali wysyłanych przez nadajnik T₀ i odbieranych przez odbiornik T:

${{T} \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}=T_{0}{{1} \over {1-{{V} \over {c}}}}\Rightarrow {{T} \over {{\sqrt {1-{{V} \over {c}}}}{\sqrt {1+{{V} \over {c}}}}}}=T_{0}{{1} \over {\left({\sqrt {1-{{V} \over {c}}}}\right)^{2}}}\Rightarrow T=T_{0}{\sqrt {{1+{{V} \over {c}}} \over {1-{{V} \over {c}}}}}\;$

(18.23)

A dalsze wzory wynikające z (18.23) na długość i częstość fali dla naszego rozważanego przypadku są takie same jak w punktach (18.13) i (18.14). A te wzory są spełnione dla przypadku $V>0\;$, gdy odbiornik oddala się od źródła, a $V<0\;$, gdy jest odwrotnie. Gdy odbiornik znajduje się daleko od źródła i on oddala się z prędkością od niej o wartości (tzn. składowa równoległa prędkości odbiornika do linii łączący odbiornik ze źródłem):

$V^{'}=V\cos \alpha \;$

(18.24)

Wzór (18.24) stosujemy do wzoru (18.21) na okres drgań i dalej tożsamość na dylatację czasu (18.22) wydłużenia czasu spoczynkowego $T\;$ na czas $T^{'}\;$, wtedy otrzymujemy:

$T=T_{0}{{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}} \over {1-{{V} \over {c}}\cos \alpha }}\;$

(18.25)

Napiszmy dalsze zależności na częstość i długość fali elektromagnetycznej:

$\nu =\nu _{0}{{1-{{V} \over {c}}\cos \alpha } \over {\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}}}\;$

(18.26)

$\lambda =\lambda _{0}{{\sqrt {1-{{V^{2}} \over {c^{2}}}}} \over {1-{{V} \over {c}}\cos \alpha }}\;$

(18.27)