Szczególna teoria względności/Istnienie dowolnych ogólnie nieprostokątnych układów odniesienia

Istnienie dowolnych ogólnie nieprostokątnych układów odniesienia

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Układy globalnie (lokalnie) płaskie 2Układy słabozakrzywione

Będziemy tutaj udowodniali, że ciała w starym układzie odniesienia mogą się poruszać z dowolnie zmieniającą się prędkością, a w nowym układzie odniesienia jako ciała odniesienia poruszają się tak, że dowolne pochodne n-te wielkości wskaźnikowej położenia są równe zero, to zachodzi przy ${\vec {X}}_{u}^{'}\;$ równym zero. Też wykażemy, że istnieją ciała poruszające się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak ciało odsiesienia względem nowego układu współrzędnych.

Układy globalnie (lokalnie) płaskie

W nieskończenie małym przedziale czasu ciało odniesienia porusza się z prędkością średnią ${\vec {v}}\;$, na podstawie wiadomości z kinematyki, czyli spełniony jest wzór drugi w (6.2) dla tego przedziału. A stała tam z lewej w (6.2) tego wzoru w tym przedziale czasowym to jest położenie ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia lub stała (położenie) ciała poruszającego się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi jego jak ciało odniesienia. Weźmy wzór (6.2) i napiszmy je dla przedziału czasu $[t_{0},t_{1}]\;$, a drugie równania dla przedziału czasu $[t_{1},t_{2}]\;$, wtedy napiszmy te równania:

• Dla przedziału czasu $[t_{0},t_{1}]\;$:

$\operatorname {const} ={\vec {X}}_{u}^{'}(t_{0})=M_{p}(t_{0})({\vec {X}}_{u}(t_{1})-{\vec {X}}_{p0}(t_{0})-{\vec {V}}(t_{0})(t_{1}-t_{0}))\;$

(12.1)

• A także mamy drugie równanie dla przedziału czasu $[t_{1},t_{2}]\;$:

$\operatorname {const} ={\vec {X}}_{u}^{'}(t_{0})=M_{p}(t_{1})({\vec {X}}_{u}(t_{2})-{\vec {X}}_{p0}(t_{1})-{\vec {V}}(t_{1})(t_{2}-t_{1}))\;$

(12.2)

Równość (12.1) odejmujemy od równości (12.2), wtedy i w końcowym etapie zakładając, że oba te przedziały dążą do zera i mają taką samą długość, tzn. $(t_{2}-t_{1})=(t_{1}-t_{0})=h\rightarrow 0\;$, więc:

$0=M_{p}(t_{1})({\vec {X}}_{u}(t_{2})-{\vec {X}}_{p0}(t_{1})-{\vec {V}}(t_{1})(t_{2}-t_{1}))-M_{p}(t_{0})({\vec {X}}_{u}(t_{1})-{\vec {X}}_{p0}(t_{0})-{\vec {V}}(t_{0})(t_{1}-t_{0}))=\;$
$=M_{p}(t_{1})({\vec {X}}_{u}(t_{2})-{\vec {X}}_{p0}(t_{1})-{\vec {V}}(t_{1})(t_{2}-t_{1}))+M_{p}(t_{0})({\vec {X}}_{u}(t_{2})-{\vec {X}}_{p0}(t_{1})-{\vec {V}}(t_{1})(t_{2}-t_{1}))+\;$
$-M_{p}(t_{0})({\vec {X}}_{u}(t_{2})-{\vec {X}}_{p0}(t_{1})-{\vec {V}}(t_{1})(t_{2}-t_{1}))-M_{p}(t_{0})({\vec {X}}_{u}(t_{1})-{\vec {X}}_{p0}(t_{0})-{\vec {V}}(t_{0})(t_{1}-t_{0}))\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 0={{dM_{p}} \over {dt}}(t)({\vec {X}}_{u}(t+dt)-{\vec {X}}_{p0}(t)-{\vec {V}}(t)dt)+M(t)({\vec {V}}(t+dt)-{\vec {V}}(t)-{\vec {A}}(t)dt)\;$

(12.3)

Na podstawie (12.3) mamy:

$0={{dM_{p}} \over {dt}}(t)(d{\vec {X}}_{u}(t)-{\vec {V}}(t)dt)+M(t)(d{\vec {V}}(t)-{\vec {A}}(t)dt)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 0={1 \choose 1}{{dM_{p}} \over {dt}}(t)(d{\vec {X}}_{u}(t)-{\vec {V}}(t)dt)+{1 \choose 0}M(t)(d{\vec {V}}(t)-{\vec {A}}(t)dt)\;$

(12.4)

Wzór (12.4) jest prawdziwy na podstawie definicji ruchu z kinematyki. Zero z lewej w (12.4) jest pochodną położenia ciała odniesienia i ciał poruszających się z takimi n-tymi pochodnymi położenia jak ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia względem czasu w starym układzie odniesienia. Udowodniliśmy we wzorze (12.3), że prędkość ciała odniesienia w nowym układzie współrzędnym jest równa zero. Policzmy dowolną pochodną położenia ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia, zatem:

$0=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{{dM_{p}^{(i)}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(n-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{(n-i+1)}(t)dt\right)\;$

(12.5)

Zero z lewej strony w (12.5) to jest n-ta pochodna położenia ciała odniesienia w nowym układzie odniesienia względem czasu w starym układzie odniesienia. Wzór (12.5) możemy udowodnić na podstawie indukcji zupełnej i go udowadnia się w drugim kroku jak wzór (12.4). Dla n=1 wzór (12.5) zgadza się ze wzorem (12.4) (pierwsza linijka). Załóżmy, że wzór (12.5) jest spełniony dla przypadku n, wtedy różniczkując obie strony tego równania względem czasu tak jak się robi otrzymując wzór (12.4) (pierwszy wiersz):

$0=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{{d^{i+1}M_{p}} \over {dt^{i+1}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(n-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{(n-i+1)}(t)dt\right)+\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i+1)}(t)dt\right)$

(12.6)

W pierwszym równaniu w (12.6) weźmy podstawienie: $i^{'}=i+1\;$, wtedy:

$0=\sum _{i=1}^{n+1}{n \choose {i-1}}{{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-(i+1))}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-(i))}(t)dt\right)+\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i+1)}(t)dt\right)=\;$
$={{d^{n+1}M_{p}} \over {dt^{n+1}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(0)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{(1)}(t)dt\right)+\sum _{i=1}^{n}{n \choose {i-1}}{{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i+1)}(t)dt\right)+\;$
$+\sum _{i=1}^{n}{n \choose i}{{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i+1)}(t)dt\right)+{{d^{0}M_{p}} \over {dt^{0}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(n+1)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)+1)}(t)dt\right)=\;$
$={{d^{n+1}M_{p}} \over {dt^{n+1}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(0)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{(1)}(t)dt\right)+\sum _{i=1}^{n}\left({n \choose {i-1}}+{n \choose {i}}\right){{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i+1)}(t)dt\right)+\;$
$+{{d^{0}M_{p}} \over {dt^{0}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(n+1)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)+1)}(t)dt\right)={{d^{n+1}M_{p}} \over {dt^{n+1}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(0)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{(1)}(t)dt\right)+\;$
$+\sum _{i=1}^{n}{n+1 \choose i}{{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i+1)}(t)dt\right)+{{d^{0}M_{p}} \over {dt^{0}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(n+1)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)+1)}(t)dt\right)=\;$
$=\sum _{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}{{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i+1)}(t)dt\right)\Rightarrow 0=\sum _{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}{{d^{i}M_{p}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{((n+1)-i+1)}(t)dt\right)$

(12.7)

Na podstawie (12.4) (z definicji istnienia układów poruszających się ze stałą prędkością nawet w infinitezymalnym przedziale, nie tylko w skończonym (wtedy układy inercjalne) lub istnienia ciał poruszających się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia), jeśli z (12.5) (tożsamość dla $n\;$ większe od zera) wynika (12.7) (tożsamość dla $n+1\;$) to udowodniliśmy na podstawie zasady indukcji tożsamość (12.5) (dla dowolnych $n\;$ większych od zera). Na podstawie definicji ruchu z kinematyki wzór (12.5) jest zawsze prawdziwy, zatem ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia ma prędkość, przyśpieszenia i n-tą pochodną (n dowolne większe od zera) równe zero, czyli to ciało odniesienia lub ciało poruszające się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak ciało odniesienia, w tym układzie odniesienia, wcale się nie porusza, a względem starego układu odniesienia porusza się dowolnie.

Układy słabozakrzywione

Weźmy udowodnioną równość (12.5) i pomnóżmy go obustronnie przez macierz transformacji, która transformuje z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, tzn. (10.1), co wstawmy do tego równania jedynkę w postaci $I={\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}\;$, przy okazji będziemy wykorzystywali przybliżone równości dla układów słabozakrzywionych, tzn. (22.7) (mechanika Einsteina) i (22.9) (mechanika Newtona), co:

$0=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{{dM_{p}^{(i)}} \over {dt^{i}}}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(n-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{(n-i+1)}(t)dt\right)\Rightarrow 0=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{\overline {\Lambda }}_{p}^{'}{{dM_{p}^{(i)}} \over {dt^{i}}}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}{\overline {\Lambda }}_{p}\left(d{\vec {X}}_{u}^{(n-i)}(t)-{\vec {X}}_{u}^{(n-i+1)}(t)dt\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow 0=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{{d\left({\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\right)^{(i)}} \over {d{\overline {t}}^{i}}}\left(d\left({\overline {\Lambda }}_{p}{\vec {X}}_{u}\right)^{(n-i)}({\overline {t}})-\left(\Lambda _{p}{\vec {X}}_{u}\right)^{(n-i+1)}({\overline {t}})d{\overline {t}}\right)\;$

(12.8)

W (12.8) wykorzystujemy ${\overline {M}}_{p}={\overline {\Lambda }}_{p}^{'}M_{p}{\overline {\Lambda }}_{p}^{-1}\;$ wynikający z transformacji macierzy transformacji z układu globalnie (lokalnie) płaskiego do słabozakrzywionego, tzn. z (11.7) (szczególna teoria względności) i (11.20) (mechanika Newtona, wtedy zachodzi $M_{p}=C_{p}\;$), mamy:

$0=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}{{d{\overline {M}}_{p}^{(i)}} \over {d{\overline {t}}^{i}}}\left(d{\vec {\overline {X}}}_{u}^{(n-i)}({\overline {t}})-{\vec {\overline {X}}}_{u}^{(n-i+1)}({\overline {t}})d{\overline {t}}\right)\;$

(12.9)

Na podstawie definicji ruchu z kinematyki wzór (12.9) jest zawsze prawdziwy, zatem ciało odniesienia w nowym układzie odniesienia słabozakrzywionym ma prędkość, przyśpieszenia i n-tą pochodną (n dowolne większe od zera) równe zero, czyli to ciało odniesienia lub ciało poruszające się z takimi n-tymi (n>0) pochodnymi położenia jak ciało odniesienia, w tym układzie odniesienia, wcale się nie porusza, a względem starego układu odniesienia też słabozakrzywionego porusza się dowolnie.