Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania tensora pędu

Lokalna zasada zachowania tensora pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Lokalna zasada zachowania tensora pędu - etap wstępny rozważań

Wzór na gęstość sił zewnętrznych działający na dany punkt ośrodka i stąd dodatkowa wynikająca różniczka siły działająca na dany punkt ośrodka z definicji tensora siły w przestrzeni zwykłej (20.35) (szczególna teoria względności) i (20.43) (mechanika Newtona) oraz lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego (36.23) są przedstawione według równania:

${T_{k}^{i\nu }}_{,\nu }={{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\Rightarrow F_{z}^{i}=\int _{V}{T_{k}^{i\nu }}_{,\nu }dV=\int _{V}{T_{k}^{i0}}_{,0}dV+\int _{V}{T_{k}^{ij}}_{,j}dV={{d} \over {dct}}\int _{V}T_{k}^{i0}dV+\int _{V}{T_{k}^{ij}}_{,j}dV\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dct}}\int _{V}T_{k}^{i0}dV=-\int _{V}{T_{k}^{ij}}_{,j}dV+F_{z}^{i}$

(37.1)

Strumień energii(masy)-pędu

Będziemy tutaj badać ten strumień energii(pędu) w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona.

Szczególna teoria względności

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twier. 20.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (26.1):

${{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}T_{k}^{i0}dV={{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left[\left(\rho cv^{\mu }+p\gamma ^{2}{{v^{\mu }} \over {c}}\right)\mp p\eta ^{\mu 0}\right]dV={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{\mu }\right)dV+{{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{\Bigg \{}{\Bigg [}p{\Bigg (}\gamma ^{2}{{v^{\mu }} \over {c}}+\;$
$\mp p\eta ^{\mu 0}{\Bigg )}{\Bigg ]}{\Bigg \}}dV={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{\mu }\right)dV+{{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left\{\left[p\left(\gamma ^{2}{{1} \over {\gamma }}u^{\mu }\mp \eta ^{\mu 0}\right)\right]\right\}dV={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\;$
$+{{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\left[\gamma u^{\mu }\int _{V}pdV\mp \eta ^{\mu 0}\int _{V}pdV\right]={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\lim _{V\rightarrow 0}{\Bigg [}{{d} \over {dct}}(\gamma u^{\mu })\int _{V}pdV+\gamma u^{\mu }\int _{V}p_{,0}dV\mp {{d} \over {dct}}\eta ^{\mu 0}\int _{V}pdV+\;$
$\mp \eta ^{\mu 0}\int _{V}p_{,0}dV{\Bigg ]}={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\lim _{V\rightarrow 0}{\bigg [}(\gamma u^{\mu })_{,\nu }\gamma ^{-1}u^{\nu }\int _{V}pdV+\gamma u^{\mu }\int _{V}p_{,0}dV\mp {\eta ^{\mu 0}}_{,\nu }u^{\nu }\gamma ^{-1}\int _{V}pdV+\;$
$\mp \eta ^{\mu 0}\int _{V}p_{,0}dV{\bigg ]}={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{\mu }\right)dV+\lim _{V\rightarrow 0}\left[(\gamma u^{\mu })_{;\nu }\gamma ^{-1}u^{\nu }\int _{V}pdV+\gamma u^{\mu }\int _{V}p_{,0}dV\mp {\eta ^{\mu 0}}_{;\nu }\gamma ^{-1}u^{\nu }\int _{V}pdV\mp \eta ^{\mu 0}\int _{V}p_{,0}dV\right]=\;$
$={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{\mu }\right)dV$

(37.2)

Mechanika Newtona

Policzmy wyrażenie matematyczne całkowe stosując twierdzenie (Twier. 20.1) licząc w układach globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości wyrażenie obierając całkowanie po takiej dowolnej objętości infinitezymalnej V, w której przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że ciśnienie nie zmienia się w danym czasie i przestrzeni według (26.1):

${{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}T_{k}^{i0}dV={{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho cv^{i}\mp p\eta ^{i0}\right)dV={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{i}\right)\mp {{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(p\eta ^{i0}\right)dV={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{i}\right)+\;$
$\mp {{d} \over {dct}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(p\eta ^{i0}\right)dV={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{i}\right)dV\mp \lim _{V\rightarrow 0}\left[{{d} \over {dct}}\eta ^{i0}\int _{V}pdV+\eta ^{i0}\int _{V}p_{,0}dV\right]={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{i}\right)dV+\;$
$\mp \lim _{V\rightarrow 0}\left({\eta ^{i0}}_{;\mu }u^{\mu }\int _{V}pdV-\eta ^{i0}\int _{V}p_{,0}dV\right)={{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{i}\right)dV$

(37.3)

Dalsze obliczenia wspólne dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona

Na podstawie policzonego wyrażenia (37.2) i (37.3) oraz napisanej równości (37.1) dostajemy wzór na zmianę pędu w ininitezymalnej objętości $V\;$ względem czasu $t\;$, czyli:

${{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{i}\right)=-\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{T_{k}^{ij}}_{,j}dV+F_{z}^{i}\;$

(37.4)

Jeżeli przyjmiemy, że w (37.4) $F_{z}^{i}=\int _{V}{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}dV\;$, gdzie ${{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\;$ jest to wektor gęstości i-tej współrzędnej siły działającej na daną infinitezymalną obiętość ośrodka, co na tej podstawie wzór (37.4) przyjmuje postać:

${{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(\rho v^{i}\right)dV=-\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{T_{k}^{ij}}_{,j}dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}dV\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}(\rho v^{i})=-{T_{k}^{ij}}_{,j}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\;$

(37.5)

Wzór ostateczny (37.5) jest równaniem ruchu opisujący zmianę i-tej współrzędnej gęstości pędu względem czasu. Dla przypadku $\mu =0\;$ mamy wzór na zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) w danym punkcie wyprowadzając go w taki sposób jak równanie (37.5), ale zamiast $i\;$ jest $0\;$, a zamiast $v^{i}\;$ jest $c\;$, wtedy:

${{d} \over {dt}}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\rho cdV=-\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{T_{k}^{0j}}_{,j}dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{dF_{z}^{0}} \over {dV}}dV\Rightarrow \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{\partial } \over {\partial t}}\left(\rho c\right)dV=-\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{T_{k}^{0j}}_{,j}dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{{dF_{z}^{0}} \over {dV}}dV\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left(\rho c\right)=-{T_{k}^{0j}}_{,j}+{{dF_{z}^{0}} \over {dV}}\;$

(37.6)

Wzór ostateczny (37.6) jest równaniem ruchu opisujący zmianę zerowej współrzędnej wartości gęstości pędu względem czasu, czyli zmianę gęstości energii relatywistycznej (masy) wynikającej ze wzoru (20.15), tzn.: ${\mathcal {p}}^{0}=\rho c={{\rho c^{2}} \over {c}}={{{\mathcal {E}}_{r}} \over {c}}\;$. Łącząc wzory (37.5) i (37.6), wtedy dostajemy z definicji gęstości siły niezrównoważonej:

${{\partial } \over {\partial t}}\left(\rho v^{\mu }\right)=-{T_{k}^{\mu j}}_{,j}+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(37.7)

A wzór (37.7) przepisujemy w formie całkowej całkując obie strony wersji różniczkowej tego równania i przenosząc pochodną czastkową przed całkę zamieniając ją na pochodną zupełną z definicji pochodnej, wtedy:

${{d} \over {dt}}\left(\int _{V}\rho v^{\mu }dV\right)=-\oint T_{k}^{\mu j}dS_{j}+F_{z}^{\mu }\;$

(37.8)

Wzór (37.8) przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem czasu i ona jest równa zmianie pędu spowodowanego przez siłę zewnętrzną $F_{z}^{\mu }\;$ i pędowi jaka wpłynęła do układu. Wzory (37.7) i (37.8) możemy je napisasć w innej postaci korzystając z definicji interwału czasoprzestrzennego w zalezności od prędkości i różniczki czasu w formie (16.6), wtedy:

${{\partial } \over {\partial s}}\left(\rho v^{\mu }\right)=-{{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu j}}_{,j}+{{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(37.9)

${{d} \over {ds}}\left(\int _{V}\rho v^{\mu }dV\right)=-\oint {{\gamma } \over {c}}T_{k}^{\mu j}dS_{j}+K_{z}^{\mu }\;$

(37.10)

Dla mechaniki Newtona w (37.10) wielkość $\gamma \;$ jest równa jeden, tzn.: $\gamma =1\;$.

Strumień energii(masy)-pędu w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona w układach o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem czasu opisujące przestrzeń zwykłą

W układach globalnie (lokalnie) płaskich wzór na strumień energii(masy)-pędu możemy napisać (37.7), napiszmy go w układach o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem interwału czasoprzestrzennego $s\;$ opisujące przestrzeń zwykłą (wtedy macierz transformacji jest (21.20)), wiedząc, że w układach szczególnej teorii względności i mechanice Newtona mamy (37.9), wtedy:

${{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }{{\partial } \over {\partial s}}\left(\rho v^{\mu }\right)=-{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }{{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu r}}_{,s}{\delta ^{s}}_{r}+{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }{{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial s}}\left(\rho {\overline {v}}^{\alpha }\right)=-{{\overline {\Lambda }}^{\alpha }}_{\mu }{{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu r}}_{,s}{\Lambda ^{s}}_{p}{{\overline {\Lambda }}^{p}}_{r}+{{d{\overline {K}}_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial s}}\left({\overline {\rho }}{\overline {v}}^{\alpha }\right)={{\overline {\gamma }} \over {\overline {c}}}{{\overline {T}}_{k}^{\alpha p}}_{;p}+{{d{\overline {K}}_{z}^{\mu }} \over {d{\overline {V}}}}\;$

(37.11)

Zatem pisząc bez nadkreśleń wzór dla układów o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) niezmiennych względem interwału czasoprzestrzennego o postaci podobnej do (21.19) opisujące przestrzeń zwykłą na podstawie (37.11) spełnione w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona, mamy:

${{\partial } \over {\partial s}}\left(\rho v^{\mu }\right)=-{{\gamma } \over {c}}{T_{k}^{\mu j}}_{;j}+{{dK_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(37.12)

Napiszmy jaka jest interpretacja wzoru (37.12), napiszmy całkę objętościową obu stron tego równania, zatem:

$\int {{\partial } \over {\partial s}}\left(\rho v^{\mu }\right)dV=-\oint {{\gamma } \over {c}}T_{k}^{\mu j}dS_{j}+K_{z}^{\mu }\Rightarrow {{d} \over {ds}}\int \rho v^{\mu }dV=-\oint {{\gamma } \over {c}}T_{k}^{\mu j}dS_{j}+K_{z}^{\mu }\;$

(37.13)

Wzór przedstawia zmianę pędu danej objętości płynu względem interwału czasoprzestrzennego, a ona jest równa zmianie pędu spowodowanego przez tensor siły zewnętrznej $K_{z}^{\mu }\;$ i pędowi, która wpłynęła do tej objętości ograniczonej powierzchnią zamkniętą przez tą powierzchnię, w jednostce interwału czasoprzestrzennego.

Równość (37.13) otrzymujemy po podziale objętości zamkniętej powierzchnią $S\;$ na nieskończenie wiele infinitezymalnych prostopadłościanów, wtedy otrzymamy to równanie dla nich i po złączeniu równań w nich w jedno równanie otrzymujemy tą równość.

Szczególna teoria względności

W szczególnej teorii względności prawa (37.12) (wersja różniczkowa) i (37.13) (wersja całkowa) przy definicji tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (36.20) przy klasie transformacji Lorentza są spełnione.

Mechanika Newtona

W mechanice Newtona prawa (37.7) (wersja różniczkowa) i (37.8) (wersja całkowa) są spełnione dla $\mu =i\;$ przy definicji tensora gęstości masy-pędu kinematycznego (36.21) przy klasie transformacji Galileusza:

${{\partial } \over {\partial t}}\left(\rho v^{i}\right)=-{T_{k}^{ij}}_{,j}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\;$

(37.14)

${{d} \over {dt}}\int \rho v^{i}dV=-\oint T_{k}^{ij}dS_{j}+F_{z}^{i}\;$

(37.15)

Prawa (37.12) (wersja różniczkowa) i (37.13) (wersja całkowa) dla $\mu =0\;$ w mechanice Newtona przechodząc z układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układu o zmiennych krzywoliniowych (uogólnionych) opisujące przestrzeń zwykłą przy klasie macierzy transformacji Galileusza, które są funkcjami uogólnionymi, są dokładnie tożsamościowo spełnione (tzn. prawa i lewa strona są równe zero), czyli w prawach w (37.14) i (37.15) je tylko piszemy dla $\mu =i\;$. Przepiszmy wzór (37.12) dla $\mu =i\;$ wiedząc, że dla $\mu =0\;$ prawa i lewa jego strona są tożsamościowo równe zero, w takim razie:

${{\partial } \over {\partial t}}\left(\rho v^{i}\right)=-{T_{k}^{ij}}_{;j}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\;$

(37.16)