Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu

Lokalna zasada zachowania tensora pędu, z teorii gęstości lagrangianu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Lokalna zasada zachowania tensora pędu z tensorem pędu mechanicznym i oddziaływań

Wnioski wspólne w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Wzór na tensor gęstości energii-pędu przedstawiamy wzorem (41.16), który jest w prawie jak (42.8), tylko, że z gęstością wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej. Zróbmy definiując gęstość lagrangianu i z niego wynikający tensor gęstości energii-pędu zastępując według (41.19) i (41.20), wtedy prawo (42.8) przedstawia się:

${{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{o}^{\mu })=-{T^{\mu j}}_{,j}-{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{o}^{\mu })=-{T^{\mu j}}_{,j}-{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{o}^{\mu })=-{T^{\mu j}}_{,j}+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}$

(42.1)

• gdzie:

${\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }\;$ jest to gęstość pędu mechanicznego, który jest równy $\rho v^{\mu }\;$.

${\mathfrak {p}}_{o}^{\mu }\;$ jest to gęstość pędu związanego z oddziaływaniami.

Przedstawienie (42.1) wynika zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu (41.17), bo zachodzi (41.20) na podstawie (41.19) i (41.16), a to udowodnimy rachunkiem:

$\left(T^{\mu \nu }+T_{z}^{\mu \nu }\right)_{,\nu }=0\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{,\nu }=-{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }\Rightarrow {T^{\mu 0}}_{,0}=-{T^{\mu j}}_{,j}-{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }\;$

(42.2)

Ale po prawej stronie zachodzi $-{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\;$ na podstawie (41.21), a człon po jego lewej stronie (część kinematyczna) zachodzi według (37.2) (szczególna teoria względności) i (37.3) (mechanika Newtona) przy definicji $T^{\mu \nu }\;$ (część kinematyczna) w postaci (36.20) (szczególna teoria względności) i (36.21) (mechanika Newtona) (jeśli uwzględnić, że czas to współrzędna w mechanice Newtona o wartości absolutnej) wynikający z gęstości lagrangianu kinematycznego (43.1), a wzór (42.2) jest podobny do wzoru (37.1) (tutaj nie chodzi o tensory gęstości energii(masy)-pędu kinematyczne, tylko niekinematyczne) po scałkowaniu obustronnym przy wykorzystanej definicji na gęstość wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej (41.21), stąd prawo (42.1) (końcowy wzór) przy zerowych oddziaływaniach jest takie samo jak (37.12) przy definicji tensora gęstości energii-pędu (41.16) (jeśli tutaj jest to człon kinematyczny) i przy gęstości wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej uwzględniony w całkowitej tensorze gęstości energii(masy)-pędu jest takie samo jak prawo (42.8). Całkowa wersja prawa (42.1) jest w postaci:

$\int _{V}{{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{o}^{\mu })dV=-\int _{V}{T^{\mu j}}_{,j}dV+\int _{V}{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}dV\Rightarrow {{d} \over {dt}}\int _{V}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{o}^{\mu })dV=-\int _{S}T^{\mu j}dS_{j}+F_{z}^{\mu }\;$

(42.3)

Prawo (42.3) (końcowy wzór) jest takie samo jak (37.13) przy zerowym oddziaływaniach i przy zerowej sile zewnętrznej jest takie samo jak prawo (42.9).

Mechanika Newtona

Wzór na gęstość wektora siły od siły zewnętrznej (41.21) dla $\mu =i\;$ przy transformacjach Galileusza jest spełniony i jest w postaci:

$-{T_{z}^{i\nu }}_{,\nu }={{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\;$

(42.4)

Dla mechaniki Newtona prawo (42.1) jest również spełnione przy definicji tensora gęstości energii-pędu:

$T^{ij}=2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial a_{ij}}}-a^{ij}{\mathfrak {L}}\;$

(42.5)

A to prawo dla omawianej teorii dla $\mu =i\;$ w wersji różniczkowej (42.1) i całkowej (42.3) przepisując dla $\mu =i\;$ jest jako wersja różniczkowa:

${{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{i}+{\mathfrak {p}}_{o}^{i})-{T^{ij}}_{,j}+{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\;$

(42.6)

i jako wersja całkowa zapisana za pomocą całki objętościowej i powierzchniowej (gdzie całkowanie jest po powierzchni zamkniętej):

$\int _{V}{{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{i}+{\mathfrak {p}}_{o}^{i})dV=-\int _{V}{T^{ij}}_{,j}dV+\int _{V}{{dF_{z}^{i}} \over {dV}}dV\Rightarrow {{d} \over {dt}}\int _{V}({\mathfrak {p}}_{mech}^{i}+{\mathfrak {p}}_{o}^{i})dV=-\oint _{S}T^{ij}dS_{j}+F_{z}^{i}\;$

(42.7)

• gdzie:

${\mathfrak {p}}_{mech}^{i}\;$ jest to gęstość pędu mechanicznego, który jest równy $\rho v^{i}\;$.

${\mathfrak {p}}_{o}^{i}\;$ jest to gęstość pędu od oddziaływań.

Wnioski dla wzoru (42.6) dla $\mu =0\;$ są takie same jak dla (37.15) przy zerowych oddziaływaniach i siły zewnętrznej, zatem przy transfromacjach Galileusza prawa (42.1) (wersja różniczkowa) i (42.3) (wersja całkowa) przedstawiamy kolejno w postaci (42.6) i (42.7) dla $\mu =i\;$ przy definicji tensora gęstości masy-pędu (42.5). Widzmy, że prawa (42.6) i (42.7) są takie same jak (42.10) i (42.11) przy zerowej gęstości wektora siły zewnętrznej ${{dF_{z}^{i}} \over {dV}}\;$ i wektora siły $F_{z}^{i}\;$.

Lokalna zasada zachowania tensora pędu z tensorem pędu mechanicznym, oddziaływań i siły zewnętrznej

Wnioski wspólne w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona narazie bez dowodu przy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4):

${{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{\mu })dV=-\left(\mp 2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial \eta _{\mu j}}}\pm \eta ^{\mu j}{\mathfrak {L}}\right)_{,j}=-{T^{\mu j}}_{,j}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{\mu })=-{T^{\mu j}}_{,j}\;$

(42.8)

• gdzie:

${\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }\;$ - jest to gęstość pędu mechanicznego równą $\rho v^{\mu }\;$.

${\mathfrak {p}}_{oiz}^{\mu }\;$ - jest to gęstość pędu związanego z oddziaływaniami i siłą zewnętrzną równą sumie gęstości pędów od oddziaływań i siły zewnętrznej, czyli ${\mathfrak {p}}_{oiz}^{\mu }={\mathfrak {p}}_{o}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{z}^{\mu }\;$.

Widzimy, że wzór końcowy w (42.8) (postać różniczkowa) jest bardzo podobny do (37.12) przy zerowej sile zewnętrznej i oddziaływaniach, bo wtedy tensor gęstości energii(masy)-pędu przedstawiana według definicji (41.16) ((42.5) dla $\mu =i\;$), który otrzymujemy z gęstości lagrangianu kinematycznego (43.1) ((43.3) dla $\mu =i\;$) (gęstość lagrangianu oddziaływań i siłę zewnętrzną przyrównamy do zera, bo oddziaływań i siły zewnętrznej wtedy nie ma), z którego wychodzi po tym podstawieniu wzór na tensor gęstości energii(masy)-pędu w postaci (36.20) ((36.21) dla $\mu =i\;$), który jest taki sam jak tensor gęstości energii(masy)-pędu (43.4) ((43.6) dla $\mu =i\;$), który chcemy w tym przypadku wykorzystać. Ze wzoru (42.8) możemy otrzymać wersję całkową równania (42.8) w postaci:

$\int _{V}{{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{\mu })dV=-\int _{V}{T^{\mu j}}_{,j}dV\Rightarrow {{d} \over {dt}}\int _{V}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{\mu })dV=-\oint _{S}T^{\mu j}dS_{j}\;$

(42.9)

Otrzymany wzór (42.9) jest bardzo podobny do wzoru na wersję całkową strumienia energii(masy)-pędu (37.13) ((37.15)), gdy oodziaływań i siły zewnętrznej nie ma, wtedy gęstość pędu od tego jest równa zero.

Mechanika Newtona

Przepiszmy wzór (42.8) (dla $\mu =i\;$) w postaci różniczkowej, który również jest słuszny w mechanice Newtona, przy definicji tensora metrycznego Minkowskiego (16.4), gdzie $A=[a_{ij}]\;$, który jest macierzą iloczynu skalarnego przestrzeni zwykłej, w postaci:

${{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{i}+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{i})=-\left(2{{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial a_{ij}}}-a^{ij}{\mathfrak {L}}\right)_{,j}=-{T^{ij}}_{,j}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{i}+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{i})=-{T^{ij}}_{,j}\;$

(42.10)

• gdzie:

${\mathfrak {p}}_{mech}^{i}\;$ - jest to gęstość pędu mechanicznego równą $\rho v^{i}\;$.

${\mathfrak {p}}_{oiz}^{i}\;$ - jest to gęstość pędu związanego z oddziaływaniami i siłą zewnętrzną równą sumie gęstości pędów od oddziaływań i siły zewnętrznej, czyli ${\mathfrak {p}}_{oiz}^{i}={\mathfrak {p}}_{o}^{i}+{\mathfrak {p}}_{z}^{i}\;$.

Widzimy, że wzór (42.10) jest uderzejąco podobny do (37.14) dla $\mu =i\;$ przy zerowej sile zewnętrznej i oddziaływań, wtedy od nich gstości pędów są równe zero. Napiszmy postać całkową równości (42.10) przepisując wzór (42.9) dla $\mu =i\;$, czyli:

$\int _{V}{{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{i}+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{i})dV=-\int _{V}{T^{ij}}_{,j}dV\Rightarrow {{d} \over {dt}}\int _{V}({\mathfrak {p}}_{mech}^{i}+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{i})dV=-\oint _{S}T^{ij}dS_{j}\;$

(42.11)

Wzór (42.11) jest taki sam jak wzór na wersję całkową na strumień masy-pędu (37.15).

Lokalna zasada zachowania tensora pędu z tensorem pędu mechanicznym

Wnioski wspólne w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona

Przedstawmy różniczkową wersję prawa (42.1) słuszną w szczególnej teorii względności i mechanice Newtona oraz dodajmy człon odpowiedzialny za oddziaływania w drugim równaniu wynikającym z pierwszego w (42.12) wydzieloną z tensora gęstości energii(masy)-pędu i połączoną z tensorem pędu odpowiedzialną za oddziałania znając definicję tensora gęstości pędu odpowiedzialnego za oddziaływania, stąd:

${{\partial } \over {\partial t}}({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{o}^{\mu })=-{T^{\mu j}}_{,j}+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\rho v^{\mu }=-{T_{k}^{\mu j}}_{,j}-{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(42.12)

Wzór (42.12), w którym wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły odpowiedzialnej za oddziaływania inne niż w członie odpowiedzialnej za oddziaływania od zewnątrz (prawa strona równości w (42.1)) jest równy formule (41.31), wtedy to prawo przedstawiamy:

${{\partial } \over {\partial t}}\rho v^{\mu }=-{T_{k}^{\mu j}}_{,j}+{{dF_{o}^{\mu }} \over {dV}}+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\rho v^{\mu }=-{T_{k}^{\mu j}}_{,j}+{{dF_{oiz}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(42.13)

Prawo (42.13) możemy przedstawić w postaci całkowej w postaci:

$\int _{V}{{\partial } \over {\partial t}}\rho v^{\mu }dV=-\int _{V}{T_{k}^{\mu j}}_{,j}dV+\int _{V}{{dF_{oiz}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{d} \over {dt}}\int _{V}\rho v^{\mu }=-\oint T_{k}^{\mu j}dS_{j}+F_{oiz}^{\mu }\;$

(42.14)

Wzory (42.13) i (42.14) są takie same jak kolejno wzory (37.12) i (37.13), a więc są spełnione.

Mechanika Newtona

Wzór na gęstość wektora siły od oddziaływania (41.31) dla $\mu =i\;$ przy transformacjach Galileusza jest spełniony i jest w postaci:

$-{T_{o}^{i\nu }}_{,\nu }={{dF_{o}^{i}} \over {dV}}\;$

(42.15)

A wersja różniczkowa i całkowa prawa na strumień masy-pędu koleino (42.13) i (42.14) dla naszej klasy transformacji w mechanice Newtona są:

${{\partial } \over {\partial t}}\rho v^{i}=-{T_{k}^{ij}}_{,j}+{{dF_{oiz}^{i}} \over {dV}}\;$

(42.16)

${{d} \over {dt}}\int _{V}\rho v^{i}=-\oint T_{k}^{ij}dS_{j}+F_{oiz}^{i}\;$

(42.17)

Wzory (42.16) i (42.17) są takie same jak kolejno wzory (37.14) i (37.15), czyli kolejno formuły (42.10) i (42.11) oraz (42.6) i (42.7), a także wzory z nich wynikające są spełnione, bo udowadnia się je podobnie jak (42.8) i (42.9) oraz (42.1) i (42.3) według poprzednich dwóch rozdziałów.

Lokalna zasada zachowania tensora pędu - z przejściem pomiędzy jego równaniami, równoważność równań

Lokalna zasada zachowania tensora pędu sumy pędu mechanicznego, od oddziaływań i tensora siły zewnętrznej

Kolejno formuły (42.8) i (42.9) oraz (42.1) i (42.3), a także wzory z nich wynikające są spełnione, bo przecież zachodzi wzór na gęstość wielkości wskaźnikowej siły zewnętrznej (41.21) i odpowiedzialnej za oddziaływania (41.31), wtedy z:

$T^{\mu \nu }=T_{k}^{\mu \nu }+T_{o}^{\mu \nu }+T_{z}^{\mu \nu }\;$

(42.18)

.

Wykorzystując (42.18) i (42.14), mamy:

${{\partial } \over {\partial t}}{\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }=-{T_{k}^{\mu j}}_{,j}-{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }-{T_{z}^{\mu \nu }}_{,\nu }\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left[{\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{{1} \over {c}}\left({T_{o}^{\mu 0}}+{T_{z}^{\mu 0}}\right)\right]=-{T^{\mu j}}_{,j}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{oiz}^{\mu }\right)=-{T^{\mu j}}_{,j}\;$

(42.19)

Wersja całkowa wzoru (42.19) jest przedstawiona w (42.9), a jego dowód z (42.19) jest oczywisty. A więc podtwierdza to naszą tezę o prawdziwości równań (42.8) i (42.9).

Lokalna zasada zachowania tensora pędu sumy pędu mechanicznego i od oddziaływań

Inaczej pisząc tensor gęstości energii(masy)-pędu $T^{\mu \nu }\;$ niż w (42.18), wtedy:

$T^{\mu \nu }=T_{k}^{\mu \nu }+T_{o}^{\mu \nu }\;$

(42.20)

Wykorzystując (42.20) i (42.14) oraz wzór na wielkość wskaźnikową siły odpowiedzialnej za oddziaływania (41.31), mamy:

${{\partial } \over {\partial t}}{\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }=-{T_{k}^{\mu j}}_{,j}-{T_{o}^{\mu \nu }}_{,\nu }+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{{1} \over {c}}{T_{o}^{\mu 0}}\right)=-{T^{\mu j}}_{,j}+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left({\mathfrak {p}}_{mech}^{\mu }+{\mathfrak {p}}_{o}^{\mu }\right)=-{T^{\mu j}}_{,j}+{{dF_{z}^{\mu }} \over {dV}}\;$

(42.21)

Wersja całkowa wzoru (42.21) jest przedstawiona w (42.3), a jego dowód z (42.21) jest oczywisty. A więc podtwierdza to naszą tezę o prawdziwości równań (42.1) i (42.3).