Szczególna teoria względności/Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - mechanika Newtona

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Matematyczna, nie fizyczna, teoria najmniejszego działania - mechanika Newtona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Mechanika Newtona (nierelatywistyczna) dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

edytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali mechanikę Newtona w układach globalnie (lokalnie) płaskich, w nich prawa rządzące ruchem, a także uogólnimy pewne wielkości tej teorii dla układów słabozakrzywionych, gdzie tam wielkości zachodzą tylko w przybliżeniu, a nie dokładnie, a dla układów globalnie (lokalnie) płaskich zachodzą one dokładnie, co są z jednych argumentów, że układy globalnie płaskie nie istnieją fizycznie, ale istnieją matematycznie.

Przyśpieszenie jest skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w układach punktowych (rozciągłych), a ruch w układach globalnie (lokalnie) płaskich

edytuj

Będziemy tutaj rozważali, że jednak przyśpieszenie ciała punktowego (cząstki punktowej w układzie rozciągłym) jest jednak skutkiem zakrzywienia przestrzeni Galileusza w mechanice Newtona.

Układy punktowe i rozciągłe w układach spełniające mechanikę Newtona
edytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali układy punktowe w układach spełniające lagrangian dla układów punktowych (28.4) i gęstość lagrangianu dla układów rozciągłych (28.20). Będziemy tutaj opisywali te układu przy tensorze metrycznym dla układów ogólnie nieprostokątnych, ale nie we współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Układy punktowe
edytuj

Weźmy ciało punktowe dla którego lagrangian jest przedstawiony w punkcie (28.4), i go przepiszmy, pisząc je dokładnie nic nie dodając do tego lagrangianu jakiś jedynek, w postaci:

(31.1)

Wstawmy jedynkę do równania (31.1) w postaci definicji różniczki długości (30.2), wtedy lagrangian jest równy matematycznie (31.1) i on przyjmuje równoważną formę:

(31.2)

Napiszmy równanie Eulera-Lagrange'a, które jest słuszne jednocześnie dla (31.1) i (31.2), dla obu lagrangianów równanie Eulera-Lagrange'a nie jest równoważne, ale wynikające z rachunku wariacyjnego, przedstawia się w formie (29.8). Policzmy wyrażenie (pochodną cząstkową Lagrangianu (31.2) względem tensora położenia), które wykorzystamy w drugim wyrazie w (29.8), co:

(31.3)

Policzmy pochodną lagrangianu (31.2) względem wektora prędkości względem interwału długości, które wykorzystamy w pierwszym wyrazie w (29.8), wtedy:

(31.4)

Zbierzmy nasze wyniki badać (31.4) i (31.3) do równości (29.8) (te obliczenia są dla lagrangianu (31.2), które będziemy wprowadzać do równania Eulera-Lagrange'a (29.8)), wtedy:

(31.5)

Dla Lagrangianu (31.1) równanie Eulera-Lagrange'a (29.8), przybierającą inną formę dla układów globalnie (lokalnie) płaskich niż równość (31.5) wynikająca z (31.2), jest w postaci:

(31.6)

Wykorzystując równość (31.6) do (31.5) dostajemy tożsamość uwzględniając, że tensory metryczne są wielkościami matematycznymi globalnie (lokalnie) stałymi dla układów globalnie (lokalnie) płaskich, co:

(31.7)

A jeżeli wartość prędkości jest stała na podstawie końcowego wniosku (31.7) (ostatnia równość), wtedy według drugiego wyrazu (po wynikaniu) w (31.7), a w nim drugi element koniunkcji, co na tej podstawie dostajemy:

(31.8)

Co (31.8) zgadza się z wnioskiem (15.26), czyli langrangiany (31.1) i (31.2) są niefizyczne, ale matematyczne, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. W układach płaskich prędkość ciała cały czas jest stała, a w układach lokalnie płaskich w danym przedziale prędkość jest lokalnie stała, a w różnych przedziałach jest ogólnie inna.

Układy rozciągłe
edytuj

Będziemy tutaj rozważali układy rozciągłe materii. Ze wzoru (28.1) dla ciał punktowych przejdźmy do ośrodków rozciągłych wykorzystując wykorzystując, że na nieskończenie małym odcinku toru (definicja pochodnej prędkości) cząstka porusza się z prędkością , wtedy:


(31.9)
  • gdzie:
- jest to wymiar przestrzeni zwykłej,
- to jest wyznacznik tensora metrycznego podwójnie kowariantnego .

Wykorzystamy tożsamość wynikająca z definicji różniczki długości (30.2), wtedy równość (31.9) po rozpisaniu jedynki:

(31.10)

Równanie Eulera-Langrange'a przyjmuje postać dla Lagrangianu (31.9), przedstawia się w formie (29.14). Policzmy najpierw drugi wyraz w (29.14) wykorzystując (31.10), zatem:

(31.11)

Policzmy teraz w pierwszym wyrazie pod pochodną wyrażenie w (29.15) wykorzystując (31.10):

(31.12)

Wykorzystajmy policzone wyrażenia w punktach (31.11) i (31.12), co podstawmy je do równania (29.14):


(31.13)

Wykorzystajmy wzór (31.9) i podstawmy go do wzoru (29.8) (równanie Eulera-Lagrange'a), co następuje:

(31.14)

Wykorzystajmy równość (31.14) do równości otrzymanej (31.13), co:

(31.15)

A także zachodzi równość z definicji układu odniesienia globalnie (lokalnie) płaskiego globalnie (lokalnie) spoczynkowego, mamy:

(31.16)

Wniosek (31.16) zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. Ale , której jej wartość jest ogólnie inna w dowolnych różnych nieskończenie małych przedziałach w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale ta wartość jest taka sama. To zachodzi wiedząc, że jest spełniona zależność dla układów globalnie (lokalnie) płaskich globalnie (lokalnie) spoczynkowych według wspomnianej tożsamości, weźmy ten układ, w nich panuje dynamika Newtona, wtedy zachodzi w nim: , i z wniosków w niej mamy: , ale też wiadomo też tam (z (26.4) dla i ), co wynika z równania ciągłości dla gęstości masy spoczynkowej dla tego przypadku, zatem jest spełniona równość (31.16) z niezmienniczości czasu i gęstości masy spoczynkowej. W tych układach globalnie (lokalnie) płaskich zachodzi dla dowolnego , wtedy na podstawie (31.16): Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., mamy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Co Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zgadza się z wnioskiem Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli gęstości langrangianów Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. są niefizyczne dla układów globalnie (lokalnie) płaskich. Wniosek Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zachodzi dla nieskończenie małych przedziałów. W układach lokalnie płaskich, ale Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest o wartości ogólnie innej w dowolnych różnych przedziałach Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w przestrzeni Galileusza, a w tym samym przedziale jest o wartości takiej samej, a w układach płaskich Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest o wartości takiej samej dla dowolnego czasu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Wnioski Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zachodzą tylko dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości, czyli w którym zachodzi, że mamy stały wektor prędkości choćby lokalnie, więc dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a dla układów słabozakrzywionych już tak nie jest, tzn. ogólnie zachodzi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i nie zachodzi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., bo nie da się przejść z układu słabozakrzywionego do układu globalnie (lokalnie) płaskiego o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości za pomocą macierzy transformacji niebędącą funkcją uogólnioną.

Stałość tensora prędkości dla układów płaskich (lokalnie płaskich) dla układów punktowych (rozciągłych), a układy zakrzywione
edytuj

Ale zachodzi na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (układy punktowe) i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (układy rozciągłe) zgadzająca się z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (ogólny wniosek): Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Jeśli zachodzi Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to możemy napisać dla dowolnego ruchu w przestrzeni Galileusza spełniającego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (układy punktowe) i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (układy rozciągłe) dla dowolnego nieskończenie małego przesunięcia względem interwału czasoprzestrzennego, tzn. dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dowolnego, bo według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (ogólny wniosek), Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (układy punktowe) i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (układy rozciągłe) ta stała w nich jest dowolnej wartości w układach co najwyżej lokalnie: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Co się zgadza z wnioskiem Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. o globalnie (lokalnie) stałym wektorze prędkości. Co stąd zachodzi też Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., a także Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., co na tej podstawie mamy, że przestrzeń Galileusza jest zakrzywiona, a nie płaska, co stąd wynika, że przestrzeń Galileusza jest w ewentualnym przypadku słabozakrzywiona, co dotyczy też szczególnej teorii względności. Czyli w układach płaskich ciała poruszają się z prędkością stałą niezależną od czasu, a w układach lokalnie płaskich w nieskończenie małym przedziale czasu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. też ze stałą prędkością, ale tak już nie jest w układach słabozakrzywionych, wtedy tam panuje szczególna teoria względności dla układów słabozakrzywionych, zatem za przyśpieszenie ciała odpowiedzialne jest zakrzywienie czasoprzestrzeni, wtedy równanie ruchu dla tego przypadku, zastępując we ostatnim wniosku w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (lub Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) przecinek średnikiem i zamieniając Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (te zmienne są dla układów globalnie (lokalnie) płaskich) na Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (te zmienne są dla układów zakrzywionych), czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do zakrzywionych zakładamy, że macierz transformacji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. może być funkcją uogólnioną, tak następuje podczas transformacji z przecinka na średnik, wtedy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Jeżeli zakrzywienie jest słabe, wtedy wielkość wskaźnikowa siły coś w rodzaju tensora siły jest tak naprawdę w przybliżeniu tensorem, bo Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., co wtedy spełniona jest cała dynamika Newtona według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.. Stąd dynamika Newtona jest teorią tylko przybliżoną opisującą przyrodę (układy w przybliżeniu płaskie, czyli układy słabozakrzywione, bo Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) dla małych prędkości, a symbole Christoffera są w przybliżeniu tam tensorami, czyli mechanika Newtona jest spełniona dla układów słabozakrzywionych (dynamika), a według niej układy globalnie (lokalnie) płaskie nie istnieją, ale istnieją matematycznie, bo macierz transformacji Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wtedy jest funkcją uogólnioną i wtedy symbole Christoffera są równe zero, a istnieją w ogólnej teorii względności, bo wtedy symbole Christoffera nie są tensorami.

Wnioski końcowe

edytuj

Będziemy tutaj rozpatrywali dalsze wnioski z mechaniki Newtona.

Dla jakich przyśpieszeń tensora prędkości jest spełniona mechaniki Newtona i pewne tożsamości przybliżone w układach słabozakrzywionych
edytuj

Do obliczeń tutaj będziemy wykorzystywać tożsamość przybliżoną dla układów słabozakrzywionych Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości nie jest funkcją uogólnioną
edytuj

Wykorzystując Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i tensorowość prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości do układów słabozakrzywionych wiedząc, że pochodne cząstkowe tensora transformacji są w przybliżeniu równe zero: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Stąd mechanika Newtona jest spełniona dla małych przyśpieszeń . Policzmy wyrażenie tensorowe wykorzystując spełnioną w układach globalnie (lokalnie) płaskich tożsamość tensorową Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przechodząc z nich do układów słabozakrzywionych: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Policzmy wyrażenie tensorowe dla układów słabozakrzywionych przechodząc z układów globalnie (lokalnie) płaskich: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Widzimy, że w układach słabozakrzywionych (dla których jest spełniona mechanika Newtona ) pochodne cząstkowe tensora prędkości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i tensora metrycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem tensora położenia w przestrzeni Galileusza są równe w przybliżeniu zero, a nie dokładnie .

Gdy macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem płaskich (lokalnie płaskim) o stałym tensorze prędkości (lokalnie stałym wektorze prędkości) jest funkcją uogólnioną
edytuj

Jeżeli macierz transformacji pomiędzy układem słabozakrzywionym a układem globalnie (lokalnie) płaskim o globalnie (lokalnie) stałym tensorze prędkości jest funkcją uogólnioną, to Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. już nie zachodzą i te wyliczane wielkości w układach słabozakrzywionych mogą być dowolne, ale transformacje w mechanice Newtona z układów globalnie (lokalnie) płaskich do słabozakrzywionych są funkcjami uogólnionymi, więc te związki już ogólnie nie zachodzą dla tego ostatniego układu.