Będziemy się tutaj zajmowali macierzą bazy w starym i nowym układzie odniesienia w teorii transformacji Lorentza i Galileusza.
Będziemy tutaj badać transformacje Lorenza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.
Napiszmy transformacje macierzy bazy z układu współrzędnych starego do nowego wiedząc, że zachodzi dla wersora czasowego
e
→
0
=
±
[
1
,
0
0
n
]
T
=
[
ξ
=
±
1
,
[
0
]
0
n
]
T
{\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\pm [1,0_{0n}]^{T}=[\xi =\pm 1,[0]_{0n}]^{T}\;}
, którego długość musi być równa jeden z definicji tensora Minkowskiego (16.4 ), i biorąc bazę w nowym układzie odniesienia
[
ζ
s
k
e
→
s
]
n
n
=
B
p
Z
{\displaystyle [{\zeta ^{s}}_{k}{\vec {e}}_{s}]_{nn}=B_{p}\mathrm {Z} \;}
, w którym będziemy oznaczać macierz przejścia przez
Z
=
[
ζ
s
k
]
{\displaystyle \mathrm {Z} =\left[{\zeta ^{s}}_{k}\right]\;}
, oraz wiedząc, że macierz bazy w przestrzeni absolutnej przedstawia się jako:
B
=
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}\;}
(17.1)
Z macierzą transformacji zdefiniowaną według (11.3 ) na podstawie (2.12 ) możemy napisać wzór w przestrzeni absolutnej, co z niego otrzymamy transformację macierzy bazy ze starego układu odniesienia do nowego:
B
n
′
X
′
=
B
X
⇒
B
n
′
M
X
=
B
X
⇒
B
n
′
M
=
B
⇒
B
n
′
=
B
M
−
1
⇒
B
n
′
=
B
M
′
{\displaystyle B_{n}^{'}X^{'}=BX\Rightarrow B_{n}^{'}MX=BX\Rightarrow B_{n}^{'}M=B\Rightarrow B_{n}^{'}=BM^{-1}\Rightarrow B_{n}^{'}=BM^{'}\;}
(17.2)
Na podstawie (17.1 ) widzimy, że istnieje dwa rodzaje baz
B
{\displaystyle B\;}
ze względu na wersor czasowy, w których każdy ten rodzaj odpowiada nieskończeniu wiele takich baz
B
{\displaystyle B\;}
, przy ściśle określonym
B
p
{\displaystyle B_{p}\;}
, napisane według (17.1 ).
Wykorzystując wzór (17.2 ) na transformacje bazy z jednego układu współrzędnych do drugiego i macierz bazy w starym układzie odniesienia (17.1 ), wtedy na podstawie tego możemy napisać:
B
n
′
=
B
M
′
=
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
M
′
=
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
[
γ
′
−
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
−
M
p
′
V
→
′
c
M
p
′
]
=
[
ξ
γ
′
−
ξ
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
−
i
B
p
Z
M
p
′
V
→
′
c
i
B
p
Z
M
p
′
]
{\displaystyle B_{n}^{'}=BM^{'}={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}M^{'}={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZM_{p}^{'}\end{bmatrix}}\;}
(17.3)
Na podstawie (17.3 ) przestrzeń (n-wymiarową przestrzeń bez wymiaru czasowego) w nowym układzie odniesienia nie znajduje się dokładnie w przestrzeni starego układu odniesienia.
Ale mamy w nowym układzie odniesienia
B
′
=
[
e
→
0
,
e
1
,
.
.
,
e
→
n
]
{\displaystyle B^{'}=[{\vec {e}}_{0},e_{1},..,{\vec {e}}_{n}]\;}
, które niech będą współrzędnymi bazy w układzie absolutnym o wersorach ortonormalnych. Przetransformujmy bazę absolutną starą w nową w taki sposób by wybrać nową bazę absolutną o wersorach ortonormalnych, wtedy:
B
a
′
=
B
a
T
−
1
⇒
I
=
B
b
′
T
B
a
′
=
T
−
T
B
a
T
B
a
T
−
1
=
T
−
T
I
T
−
1
=
T
−
T
T
−
1
⇒
T
−
T
T
−
1
=
I
⇒
(
T
T
T
)
−
1
=
I
⇒
T
T
T
=
I
⇒
{\displaystyle B_{a}^{'}=B_{a}T^{-1}\Rightarrow I={B_{b}^{'}}^{T}B_{a}^{'}=T^{-T}{B_{a}}^{T}B_{a}T^{-1}=T^{-T}IT^{-1}=T^{-T}T^{-1}\Rightarrow T^{-T}T^{-1}=I\Rightarrow (TT^{T})^{-1}=I\Rightarrow TT^{T}=I\Rightarrow \;}
⇒
T
T
=
T
−
1
⇒
T
T
T
=
I
{\displaystyle \Rightarrow T^{T}=T^{-1}\Rightarrow T^{T}T=I\;}
(17.4)
Napiszmy transformację bazy współrzędnych absolutnych starych w nowe wykorzystując tożsamości (4.17 ) pisząc transformacje do bazy absolutnej podobnej do (17.1 ) w sposób:
B
′
=
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
=
T
B
n
′
=
T
B
M
′
=
T
[
ξ
γ
′
−
ξ
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
−
i
B
p
Z
M
p
′
V
→
′
c
i
B
p
Z
M
p
′
]
⇒
[
c
00
c
0
x
c
x
0
C
]
⏟
T
−
1
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
=
{\displaystyle B^{'}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}=TB_{n}^{'}=TBM^{'}=T{\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow \underbrace {\begin{bmatrix}c_{00}&c_{0x}\\c_{x0}&C\end{bmatrix}} _{T^{-1}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}=\;}
=
[
ξ
γ
′
−
ξ
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
−
i
B
p
Z
M
p
′
V
→
′
c
i
B
p
Z
M
p
′
]
⇒
[
ξ
′
c
00
c
0
x
i
B
p
′
Z
′
ξ
′
c
x
0
C
i
B
p
′
Z
′
]
=
[
ξ
γ
′
−
ξ
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
−
i
B
p
Z
M
p
′
V
→
′
c
i
B
p
Z
M
p
′
]
⇒
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}\xi ^{'}c_{00}&c_{0x}iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\\\xi ^{'}c_{x0}&CiB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-iB_{p}\mathrm {Z} M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZM_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;}
⇒
T
−
1
=
[
ξ
′
−
1
ξ
γ
′
ξ
i
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
Z
′
−
1
B
p
′
−
1
−
ξ
′
−
1
i
γ
′
B
p
Z
C
p
′
V
′
→
c
B
p
Z
M
p
′
Z
′
−
1
B
p
′
−
1
]
=
[
ξ
′
−
1
ξ
γ
′
ξ
i
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
Z
′
−
1
B
p
′
−
1
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
Z
′
T
B
p
′
T
−
ξ
′
−
1
i
γ
′
B
p
Z
C
p
′
V
′
→
c
B
p
Z
M
p
′
Z
′
−
1
B
p
′
−
1
]
=
{\displaystyle \Rightarrow T^{-1}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}B_{p}^{'-T}Z^{'-T}Z^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}=\;}
=
[
ξ
′
−
1
ξ
γ
′
ξ
i
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
A
′
−
1
Z
′
T
B
p
′
T
−
ξ
′
i
γ
′
B
p
Z
C
p
′
V
′
→
c
B
p
Z
M
p
′
Z
′
−
1
B
p
′
−
1
]
=
[
ξ
′
−
1
ξ
γ
′
ξ
i
γ
′
V
′
→
T
c
Z
′
T
B
p
′
T
−
ξ
′
−
1
i
γ
′
B
p
Z
C
p
′
V
′
→
c
B
p
Z
M
p
′
Z
′
−
1
B
p
′
−
1
]
⇒
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}A^{'-1}Z^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;}
⇒
T
−
1
=
[
ξ
′
−
1
ξ
γ
′
ξ
i
γ
′
V
′
→
T
c
Z
′
T
B
p
′
T
−
ξ
′
−
1
i
γ
′
B
p
Z
C
p
′
V
′
→
c
B
p
Z
M
p
′
Z
′
−
1
B
p
′
−
1
]
{\displaystyle \Rightarrow T^{-1}={\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}\xi \gamma ^{'}&\xi i\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{'T}B_{p}^{'T}\\-\xi ^{'-1}i\gamma ^{'}B_{p}\mathrm {Z} C_{p}^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}ZM_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}}
(17.5)
Napiszmy macierz na
T
{\displaystyle T\;}
na podstawie macierzy
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}\;}
(17.5 ) zamieniając skalary i macierze w wierszach i kolumnach w nim bez primów na primy i odwrotnie, co dalej będziemy przekształcać tą macierz wykorzystując (7.17 ):
T
=
[
ξ
′
ξ
−
1
γ
ξ
′
i
γ
V
→
T
c
Z
T
B
p
T
−
ξ
−
1
i
γ
B
p
′
Z
′
C
p
V
→
c
B
p
′
Z
′
M
p
Z
−
1
B
p
−
1
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
γ
′
−
ξ
′
i
γ
′
V
→
′
T
c
C
p
′
T
Z
T
B
p
T
ξ
−
1
i
γ
′
B
p
′
Z
′
V
′
→
c
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
M
p
′
T
Z
T
B
p
T
]
{\displaystyle T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma &\xi ^{'}i\gamma {{{\vec {V}}^{T}} \over {c}}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\-\xi ^{-1}i\gamma B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&B_{p}^{'}Z^{'}M_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-\xi ^{'}i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\;}
(17.6)
bo zachodzi tożsamość na podstawie twierdzeń (3.11 ), (3.12 ) i (4.1 ):
B
p
′
Z
′
M
p
Z
−
1
B
p
−
1
=
B
p
′
Z
′
C
p
(
P
|
|
γ
+
P
⊥
)
Z
−
1
B
p
−
1
=
B
p
′
Z
′
C
p
(
P
|
|
γ
+
P
⊥
)
C
p
−
1
C
p
Z
−
1
B
p
−
1
=
B
p
′
Z
′
(
P
|
|
′
γ
′
+
P
⊥
′
)
C
p
Z
−
1
B
p
−
1
=
{\displaystyle B'_{p}\mathrm {Z} ^{'}M_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}(P_{||}\gamma +P_{\perp })\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}C_{p}(P_{||}\gamma +P_{\perp })C_{p}^{-1}C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}=\;}
=
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
Z
′
T
B
′
T
B
p
′
Z
′
(
P
|
|
′
γ
′
+
P
⊥
′
)
C
p
Z
−
1
B
p
−
1
B
p
−
T
Z
−
T
Z
T
B
p
T
=
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
A
′
(
P
|
|
′
γ
′
+
P
⊥
′
)
C
p
A
−
1
Z
T
B
p
T
=
{\displaystyle =B_{p}^{'-T}Z^{'-T}Z^{'T}B^{'T}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}\mathrm {Z} ^{-1}B_{p}^{-1}B_{p}^{-T}\mathrm {Z} ^{-T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}A^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})C_{p}A^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=\;}
=
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
(
P
|
|
′
T
γ
′
+
P
⊥
′
T
)
A
′
C
p
A
−
1
Z
T
B
p
T
=
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
(
P
|
|
′
T
γ
′
+
P
⊥
′
T
)
C
p
−
T
A
A
−
1
Z
T
B
p
T
=
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
(
P
|
|
′
T
γ
′
+
P
⊥
′
T
)
C
p
′
T
Z
T
B
p
T
=
{\displaystyle =B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})A^{'}C_{p}A^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})C_{p}^{-T}AA^{-1}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'T}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'T})C_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}=\;}
=
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
(
P
|
|
′
γ
′
+
P
⊥
′
)
T
C
p
′
T
Z
T
B
p
T
=
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
M
p
′
T
Z
T
B
p
T
{\displaystyle =B_{p}^{'-T}Z^{'-T}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'})^{T}C_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}=B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}Z^{T}B_{p}^{T}}
Teraz sprawdźmy, czy macierz
T
{\displaystyle T\;}
(17.6 ) jest macierzą odwrotną do macierzy
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}\;}
(17.5 ) wykorzystując tożsamość (4.17 ), wtedy możemy napisać:
Stąd rzeczywiście macierz
T
{\displaystyle T\;}
(17.6 ) jest macierzą odwrotną do macierzy
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}\;}
(17.5 ) na podstawie dowodu (17.7 ). Ale można zauważyć na podstawie (17.5 ) i (17.6 ), że zachodzi:
T
T
=
T
−
1
{\displaystyle T^{T}=T^{-1}\;}
(17.8)
co na tej podstawie dowiedliśmy, że zachodzi (17.4 ).
Stąd udowodniliśmy, że twierdzenie (4.17 ) nie jest wcale sprzeczne ze stwierdzeniem według (17.4 ),
T
−
1
T
=
I
{\displaystyle T^{-1}T=I\;}
(bo dowód (17.7 )) i (17.8 ). Możemy również powiedzieć, że zachodzi:
η
′
=
[
1
0
0
−
A
′
]
=
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
T
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
=
M
′
T
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
T
T
T
T
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
M
′
=
{\displaystyle \eta ^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-A^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}\end{bmatrix}}=M^{'T}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}\mathrm {Z} \end{bmatrix}}^{T}T^{T}T{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}\mathrm {Z} \end{bmatrix}}M^{'}=\;}
=
M
′
T
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
T
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
M
′
=
M
′
T
[
1
0
0
−
A
]
M
′
=
M
′
T
η
M
′
⇒
η
′
=
M
′
T
η
M
′
{\displaystyle =M^{'T}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}\mathrm {Z} \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}\mathrm {Z} \end{bmatrix}}M^{'}=M^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-A\end{bmatrix}}M^{'}=M^{'T}\eta M^{'}\Rightarrow \eta ^{'}=M^{'T}\eta M^{'}\;}
(17.9)
Stwierdzenie (17.9 ) jest prawdziwe na podstawie (16.9 ).
Dla transformacji Galileusza bazy
B
p
{\displaystyle B_{p}\;}
do
B
p
′
{\displaystyle B_{p}^{'}\;}
, które również przyjmujemy w szczególnej teorii względności, mamy
B
p
′
Z
′
=
B
p
Z
C
p
′
⇒
B
p
−
1
B
p
′
Z
′
=
Z
C
p
′
⇒
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
Z
′
=
Z
C
p
′
{\displaystyle B_{p}^{'}Z^{'}=B_{p}ZC_{p}^{'}\Rightarrow B_{p}^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}=ZC_{p}^{'}\Rightarrow C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}=ZC_{p}^{'}\;}
, gdzie
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
{\displaystyle C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\;}
jest to macierz dla
Z
=
I
{\displaystyle Z=I\;}
i
Z
′
=
I
{\displaystyle Z^{'}=I\;}
, co stąd
B
p
′
Z
′
=
B
p
Z
C
p
′
⇒
B
p
′
Z
′
=
B
p
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
Z
′
⇒
B
p
′
=
B
p
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
{\displaystyle B_{p}^{'}Z^{'}=B_{p}ZC_{p}^{'}\Rightarrow B_{p}^{'}Z^{'}=B_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}\Rightarrow B_{p}^{'}=B_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\;}
, co stąd na tej podstawie otrzymujemy transformacje na wzór
B
p
′
{\displaystyle B_{p}^{'}\;}
(4.18 ), czyli wzór na transformacje Galileusza bazy z jednego układu odniesienia do drugiego dla bazy podstawowej
B
p
{\displaystyle B_{p}\;}
.
Dla
V
≪
c
{\displaystyle V\ll c\;}
mamy macierz transformacji
T
{\displaystyle T\;}
na podstawie wniosków:
T
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
0
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
C
p
′
T
Z
T
B
p
T
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
0
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
Z
′
T
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
T
B
p
T
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
0
B
p
′
−
T
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
T
B
p
T
]
=
{\displaystyle T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}\mathrm {Z} ^{'-T}\mathrm {Z} ^{'T}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}=\;}
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
0
B
p
′
−
T
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
T
B
p
T
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
0
B
p
′
−
T
B
p
′
T
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
0
I
]
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&B_{p}^{'-T}B_{p}^{'T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&I\end{bmatrix}}\;}
(17.10)
A także policzmy iloczyn macierzy
T
{\displaystyle T\;}
,
B
{\displaystyle B\;}
i
M
′
{\displaystyle M^{'}\;}
, czyli:
T
B
M
′
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
0
I
]
[
ξ
−
1
0
0
i
B
p
Z
C
p
′
]
=
[
ξ
′
0
0
i
B
p
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
Z
′
]
{\displaystyle TBM^{'}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{-1}&0\\0&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}\;}
(17.11)
Stąd na podstawie (17.5 ) mamy
i
B
p
′
Z
′
=
i
B
p
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
Z
′
⇒
B
p
′
=
B
p
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
{\displaystyle iB_{p}^{'}Z^{'}=iB_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}\Rightarrow B_{p}^{'}=B_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\;}
, czyli otrzymujemy taką samą transformację jak przy transformacji bazy Galileusza (4.18 ) jak powinno na pewno być.
Napiszmy (17.5 ) wykorzystując własności macierzy:
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
=
T
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
M
′
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
[
ξ
′
0
0
Z
′
]
⏟
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
=
T
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
0
0
Z
]
⏟
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
M
′
⇒
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}M^{'}\Rightarrow \underbrace {{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&Z^{'}\end{bmatrix}}} _{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}=T\underbrace {{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}} _{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}M^{'}\Rightarrow \;}
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
T
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
0
0
Z
]
[
γ
′
−
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
−
M
p
′
V
→
′
c
M
p
′
]
[
ξ
′
0
0
Z
′
]
−
1
⇒
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&Z^{'}\end{bmatrix}}^{-1}\Rightarrow \;}
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
T
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
0
0
Z
]
[
γ
′
−
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
−
M
p
′
V
→
′
c
M
p
′
]
[
ξ
′
−
1
0
0
Z
′
−
1
]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-\gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-M_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&M_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;}
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
T
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
γ
′
−
ξ
γ
′
V
′
→
T
c
A
′
−
Z
M
p
′
V
→
′
c
Z
M
p
′
]
[
ξ
′
−
1
0
0
Z
′
−
1
]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V^{'}}}^{T}} \over {c}}A^{'}\\-ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&ZM_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;}
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
T
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
ξ
′
−
1
γ
′
−
ξ
γ
′
V
→
′
T
c
A
′
Z
′
−
1
−
Z
M
p
′
V
→
′
c
ξ
′
−
1
Z
M
p
′
Z
′
−
1
]
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}\gamma ^{'}&-\xi \gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}A^{'}Z^{'-1}\\-ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}\xi ^{'-1}&ZM_{p}^{'}Z^{'-1}\end{bmatrix}}}
(17.12)
Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy
B
{\displaystyle B\;}
(17.1 ) dla
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
i
Z
=
I
{\displaystyle Z=I\;}
, czyli:
V
→
′
T
c
A
′
Z
′
−
1
=
V
→
′
T
c
Z
′
T
A
Z
′
=
I
′
Z
′
Z
′
−
1
=
ξ
′
V
→
′
T
Z
=
I
ξ
=
1
c
A
Z
′
=
I
′
=
ξ
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
=
1
′
T
c
A
Z
′
=
I
′
{\displaystyle {{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}A^{'}Z^{'-1}={{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}Z^{'T}A_{Z^{'}=I}^{'}Z^{'}Z^{'-1}=\xi ^{'}{{{{\vec {V}}^{'T}}_{Z=I\xi =1}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}=\xi ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi =1}^{'T}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}\;}
(17.13)
Z
M
p
′
V
→
′
c
=
Z
C
p
′
(
P
|
|
′
γ
′
+
P
⊥
)
V
→
′
c
=
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
Z
′
(
P
|
|
′
γ
′
+
P
⊥
′
)
Z
′
−
1
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
ξ
′
=
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
(
Z
′
P
|
|
′
Z
′
−
1
γ
′
+
Z
′
P
⊥
′
Z
′
−
1
)
⋅
{\displaystyle ZM_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=ZC_{p}^{'}(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }){{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}\left(P_{||}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp }^{'}\right)Z^{'-1}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}\xi ^{'}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\left(Z^{'}P_{||}^{'}Z^{'-1}\gamma ^{'}+Z^{'}P_{\perp }^{'}Z^{'-1}\right)\cdot \;}
⋅
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
ξ
′
=
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
ξ
′
(
P
|
|
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
γ
′
+
P
⊥
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
)
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
=
ξ
′
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
V
′
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
c
=
ξ
′
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
V
′
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
c
{\displaystyle \cdot {{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}\xi ^{'}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\xi ^{'}\left(P_{||Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}\right){{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}=\xi ^{'}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}=\xi ^{'}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}\;}
(17.14)
Z
M
p
′
Z
′
−
1
=
Z
C
p
′
(
P
|
|
′
γ
+
P
⊥
′
)
Z
′
−
1
=
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
Z
′
(
P
|
|
′
γ
+
P
⊥
′
)
Z
′
−
1
=
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
(
Z
′
P
|
|
′
Z
′
−
1
γ
′
+
Z
′
P
⊥
′
Z
′
−
1
)
=
{\displaystyle ZM_{p}^{'}Z^{'-1}=ZC_{p}^{'}(P_{||}^{'}\gamma +P_{\perp }^{'})Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}(P_{||}^{'}\gamma +P_{\perp }^{'})Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\left(Z^{'}P_{||}^{'}Z^{'-1}\gamma ^{'}+Z^{'}P_{\perp }^{'}Z^{'-1}\right)=\;}
=
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
(
P
|
|
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
γ
′
+
P
⊥
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
)
=
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
{\displaystyle =C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}(P_{||Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}\gamma ^{'}+P_{\perp Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'})=M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}}
(17.15)
Na podstawie obliczeń (17.13 ), (17.14 ) i (17.15 ) dla (17.12 ) dostajemy:
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
T
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
ξ
′
−
1
γ
′
−
ξ
ξ
′
γ
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
A
Z
′
=
I
′
−
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}\gamma ^{'}&-\xi \xi ^{'}\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}\\-M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}\;}
(17.16)
A teraz policzmy macierz transformacji
T
{\displaystyle T\;}
(17.6 ), zatem:
T
=
[
ξ
′
ξ
−
1
γ
′
−
ξ
′
i
γ
′
V
→
′
T
c
C
p
′
T
Z
T
B
p
T
ξ
−
1
i
γ
′
B
p
′
Z
′
V
′
→
c
B
p
′
−
T
Z
′
−
T
M
p
′
T
Z
T
B
p
T
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
γ
′
−
i
ξ
′
2
γ
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
T
c
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
T
B
p
T
ξ
−
1
ξ
′
i
γ
′
B
p
′
V
′
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
c
B
p
′
−
T
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
B
p
T
]
{\displaystyle T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-\xi ^{'}i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}C_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}\mathrm {Z} ^{'}{{\vec {V^{'}}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}Z^{'-T}M_{p}^{'T}\mathrm {Z} ^{T}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-i\xi ^{'2}\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}\xi ^{'}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^{'}=I}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\;}
(17.17)
a także policzmy dla
Z
=
I
{\displaystyle Z=I\;}
,
Z
′
=
I
{\displaystyle Z^{'}=I\;}
,
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
i
ξ
′
=
1
{\displaystyle \xi ^{'}=1\;}
, co:
T
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
=
[
γ
′
−
i
γ
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
T
c
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
T
B
p
T
i
γ
′
B
p
′
V
′
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
c
B
p
′
−
T
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
B
p
T
]
{\displaystyle T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}={\begin{bmatrix}\gamma ^{'}&-i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\\i\gamma ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^{'}=I}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\;}
(17.18)
A teraz policzmy (17.16 ) podstawiając za
T
{\displaystyle T\;}
macierz (17.17 ), wiedząc, że zachodzi
ξ
=
ξ
−
1
=
±
1
{\displaystyle \xi =\xi ^{-1}=\pm 1\;}
i
ξ
′
=
ξ
′
−
1
=
±
1
{\displaystyle \xi ^{'}=\xi ^{'-1}=\pm 1\;}
z definicji wersora czasowego, bo jego długość ma być równa jeden, czyli:
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
γ
′
−
i
γ
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
T
c
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
T
B
p
T
ξ
−
1
ξ
′
i
γ
′
B
p
′
V
′
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
c
B
p
′
−
T
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
B
p
T
]
[
1
0
0
i
B
p
]
⋅
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\\\xi ^{-1}\xi ^{'}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V^{'}}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^{'}=I}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}\cdot \;}
⋅
[
ξ
ξ
′
−
1
γ
′
−
ξ
ξ
′
γ
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
T
c
A
Z
′
=
I
′
−
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
γ
′
−
i
γ
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
T
c
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
T
B
p
T
ξ
′
ξ
−
1
i
γ
′
B
p
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
T
c
B
p
′
−
T
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
B
p
T
]
⋅
{\displaystyle \cdot {\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}\gamma ^{'}&-\xi \xi ^{'}\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}\\-M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}\gamma ^{'}&-i\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'T}B_{p}^{T}\\\xi ^{'}\xi ^{-1}i\gamma ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}&B_{p}^{'-T}M_{pZ=IZ^{'}=I}B_{p}^{T}\end{bmatrix}}\cdot \;}
⋅
[
ξ
ξ
′
−
1
γ
′
−
ξ
ξ
′
γ
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
T
c
A
Z
′
=
I
′
−
i
B
p
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
i
B
p
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
]
=
T
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
[
1
0
0
i
B
p
]
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
⇒
{\displaystyle \cdot {\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}\gamma ^{'}&-\xi \xi ^{'}\gamma ^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'T}} \over {c}}A_{Z^{'}=I}^{'}\\-iB_{p}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&iB_{p}M_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}=T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}\Rightarrow \;}
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
T
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
[
1
0
0
i
B
p
]
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}}
(17.19)
Równość (17.19 ) zachodzi na podstawie (17.12 ), bo to przejście da się tylko udowodnić przy założeniu, że jest spełniona zależność (4.18 ), co kończy dowód zależności
B
p
′
=
B
p
C
p
−
1
{\displaystyle B_{p}^{'}=B_{p}C_{p}^{-1}\;}
.
Policzmy transformację macierzy
η
Z
=
I
{\displaystyle \eta _{Z=I}\;}
do
η
Z
′
=
I
′
{\displaystyle \eta _{\mathrm {Z} ^{'}=I}^{'}\;}
, wiedząc, że ogólnie dla macierzy transformacji
T
{\displaystyle T\;}
zachodzi związek (17.4 ):
η
Z
′
=
I
′
=
[
1
0
0
−
A
Z
′
=
I
′
]
=
[
1
0
0
i
B
p
′
]
T
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
T
[
1
0
0
i
B
p
]
T
T
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
T
T
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
⋅
{\displaystyle \eta _{Z^{'}=I}^{'}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-A_{Z^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}^{T}T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{T}T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}\cdot \;}
⋅
[
1
0
0
i
B
p
]
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
=
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
T
[
1
0
0
i
B
p
]
T
[
1
0
0
i
B
p
]
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
=
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
T
[
1
0
0
−
A
Z
=
I
]
⋅
{\displaystyle \cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-A_{Z=I}\end{bmatrix}}\cdot \;}
⋅
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
=
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
T
η
Z
=
I
M
p
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
⇒
η
Z
′
=
I
′
=
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
T
η
Z
=
I
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
{\displaystyle \cdot M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}\eta _{Z=I}M_{pZ=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}\Rightarrow \eta _{Z^{'}=I}^{'}=M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'T}\eta _{Z=I}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}\;}
(17.20)
Dla transformacji bazy
B
{\displaystyle B\;}
(17.1 ) w inną bazę podobną do niego według (17.5 ) tensor metryczny transformuje się według (17.9 ), a w bazie
B
{\displaystyle B\;}
(17.1 ) w podobną do niego w bazę dla
Z
=
I
{\displaystyle Z=I\;}
,
Z
′
=
I
{\displaystyle Z^{'}=I\;}
,
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
i
ξ
′
=
1
{\displaystyle \xi ^{'}=1\;}
tensor metryczny transformuje się według (17.20 ).
Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci:
B
=
[
i
ξ
0
0
B
p
Z
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}i\xi &0\\0&B_{p}Z\end{bmatrix}}\;}
(17.21)
Gdzie
ξ
=
±
1
{\displaystyle \xi =\pm 1\;}
i
Z
=
1
{\displaystyle Z=1\;}
jest dowolne.
Transformacja z bazy (17.1 ) ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie przedstawienia transformacji przedstawia się według wzoru (17.5 ).
Pomnóżmy macierz bazy
B
{\displaystyle B\;}
starego i nowego układu odniesienia, tzn. (17.1 ) przez jednostkę urojoną
i
{\displaystyle i\;}
we wzorze transformacyjnym tej bazy (17.5 ), znając macierz
M
′
{\displaystyle M^{'}\;}
i
T
′
{\displaystyle T^{'}\;}
, które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz
T
{\displaystyle T\;}
, wtedy zastąpmy w naszym równaniu według
Z
→
−
Z
{\displaystyle Z\rightarrow -Z\;}
, a tam minus weźmy pod macierze
B
p
{\displaystyle B_{p}\;}
i
B
p
′
{\displaystyle B_{p}^{'}\;}
, wtedy otrzymamy transformację bazy (17.21 ) o takiej samej macierzy
T
{\displaystyle T\;}
jak dla sygnatury dodatniej, tzn. (17.6 ). Napiszmy transformację tensora metrycznego ze starego układu odniesienia do nowego przy dowolnym
Z
{\displaystyle Z\;}
i
Z
′
{\displaystyle Z^{'}\;}
i
ξ
=
±
1
{\displaystyle \xi =\pm 1\;}
, zatem:
(
η
′
)
=
[
i
ξ
0
0
B
p
Z
]
T
[
i
ξ
0
0
B
p
Z
]
=
M
′
T
B
T
T
T
T
B
M
′
=
M
′
T
B
T
B
M
′
=
M
′
T
[
−
1
0
0
A
]
M
′
=
M
′
T
(
η
)
M
′
⇒
(
η
′
)
=
M
′
T
(
η
)
M
′
{\displaystyle (\eta ^{'})={\begin{bmatrix}i\xi &0\\0&B_{p}Z\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}i\xi &0\\0&B_{p}Z\end{bmatrix}}={M^{'}}^{T}B^{T}T^{T}TBM^{'}={M^{'}}^{T}B^{T}BM^{'}={M^{'}}^{T}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&A\end{bmatrix}}{M^{'}}={M^{'}}^{T}(\eta )M^{'}\Rightarrow (\eta ^{'})={M^{'}}^{T}(\eta )M^{'}\;}
(17.22)
Weźmy
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
i
Z
=
I
{\displaystyle Z=I\;}
, wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest o postaci:
B
ξ
=
1
,
Z
=
I
=
[
i
0
0
B
p
]
{\displaystyle B_{\xi =1,Z=I}={\begin{bmatrix}i&0\\0&B_{p}\end{bmatrix}}\;}
(17.23)
W takim razie transformacja bazy starego układu współrzędnych do nowego układu przedstawia się:
B
ξ
′
=
1
,
Z
′
=
I
′
=
T
ξ
=
1
,
Z
=
1
B
ξ
=
1
,
Z
=
I
M
ξ
=
1
,
Z
=
1
′
{\displaystyle B_{\xi ^{'}=1,Z^{'}=I}^{'}=T_{\xi =1,Z=1}B_{\xi =1,Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}\;}
(17.24)
Wtedy transformacja tensora metrycznego jest:
(
η
′
)
Z
′
=
I
=
[
i
0
0
B
p
]
T
[
i
0
0
B
p
]
=
{\displaystyle (\eta ^{'})_{Z^{'}=I}={\begin{bmatrix}i&0\\0&B_{p}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}i&0\\0&B_{p}\end{bmatrix}}=\;}
⇒
M
′
ξ
,
Z
=
1
T
B
ξ
=
1
,
Z
=
I
T
T
ξ
=
1
,
Z
=
1
T
T
ξ
=
1
,
Z
=
1
B
ξ
=
1
,
Z
=
I
M
ξ
=
1
,
Z
=
1
′
=
M
′
ξ
=
1
,
Z
=
1
T
B
ξ
=
1
,
Z
=
I
T
B
ξ
=
1
,
Z
=
I
M
ξ
=
1
,
Z
=
1
′
=
{\displaystyle \Rightarrow {M^{'}}_{\xi ,Z=1}^{T}B_{\xi =1,Z=I}^{T}T_{\xi =1,Z=1}^{T}T_{\xi =1,Z=1}B_{\xi =1,Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}={M^{'}}_{\xi =1,Z=1}^{T}B_{\xi =1,Z=I}^{T}B_{\xi =1,Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}=\;}
=
M
′
ξ
=
1
,
Z
=
1
T
[
−
1
0
0
A
Z
=
1
,
ξ
=
1
]
M
′
ξ
=
1
,
Z
=
1
=
M
′
ξ
=
1
,
Z
=
1
T
(
η
)
Z
=
I
M
ξ
=
1
,
Z
=
1
′
⇒
(
η
′
)
Z
′
=
I
=
M
′
ξ
=
1
,
Z
=
1
T
(
η
)
Z
=
I
M
ξ
=
1
,
Z
=
1
′
{\displaystyle ={M^{'}}_{\xi =1,Z=1}^{T}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&A_{Z=1,\xi =1}\end{bmatrix}}{M^{'}}_{\xi =1,Z=1}={M^{'}}_{\xi =1,Z=1}^{T}(\eta )_{Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}\Rightarrow (\eta ^{'})_{Z^{'}=I}={M^{'}}_{\xi =1,Z=1}^{T}(\eta )_{Z=I}M_{\xi =1,Z=1}^{'}\;}
(17.25)
Czyli w (17.25 ) udowodniliśmy transformację tensora metrycznego Minkowskiego w sygnaturze ujemnej.
Będziemy tutaj badać transformacje Galileusza dla sygnatury dodatniej i ujemnej.
Weźmy sobie bazę taką samą jak w szczególnej teorii względności (17.1 ), wtedy jest spełnione (17.2 ). Weźmy Galileuszowską macierz transformacji
M
′
{\displaystyle M^{'}\;}
(11.17 ), wtedy możemy zapisać:
B
n
′
=
B
M
′
=
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
[
1
0
−
C
p
′
V
→
′
c
C
p
′
]
=
[
ξ
0
−
i
B
p
Z
C
p
′
V
→
′
c
i
B
p
Z
C
p
′
]
{\displaystyle B_{n}^{'}=BM^{'}={\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi &0\\-iB_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}\;}
(17.26)
Weźmy inną bazę absolutną, której współrzędne przetransformujemy macierzą
T
{\displaystyle T\;}
, wtedy możemy powiedzieć:
B
′
=
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
=
T
B
n
′
=
T
B
M
′
=
T
[
ξ
0
−
i
B
p
Z
C
p
′
V
→
′
c
i
B
p
Z
C
p
′
]
⇒
[
c
00
c
0
x
c
x
0
C
]
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
=
{\displaystyle B^{'}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}=TB_{n}^{'}=TBM^{'}=T{\begin{bmatrix}\xi &0\\-iB_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}c_{00}&c_{0x}\\c_{x0}&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}=\;}
=
[
ξ
0
−
i
B
p
Z
C
p
′
V
→
′
c
i
B
p
Z
C
p
′
]
⇒
[
ξ
′
c
00
c
0
x
i
B
p
′
Z
′
ξ
′
c
x
0
i
C
B
p
′
Z
′
]
=
[
ξ
0
−
i
B
p
Z
C
p
′
V
→
′
c
i
B
p
Z
C
p
′
]
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}\xi &0\\-iB_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}\xi ^{'}c_{00}&c_{0x}iB_{p}^{'}Z^{'}\\\xi ^{'}c_{x0}&iCB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi &0\\-iB_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&iB_{p}ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}}
(17.27)
Wtedy macierz bazy
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}\;}
na podstawie obliczeń macierzowych (17.27 ) piszemy wynikającą z tego na podstawie tożsamości transformacji bazy przestrzennej (4.18 ):
T
−
1
=
[
ξ
ξ
′
−
1
0
−
i
ξ
′
−
1
B
p
Z
C
p
′
V
→
′
c
B
p
Z
C
p
′
Z
′
−
1
B
p
′
−
1
]
=
[
ξ
ξ
′
−
1
0
i
ξ
′
−
1
B
p
Z
V
→
c
I
]
{\displaystyle T^{-1}={\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\-i\xi ^{'-1}B_{p}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&B_{p}ZC_{p}^{'}Z^{'-1}B_{p}^{'-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\i\xi ^{'-1}B_{p}Z{{\vec {V}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}\;}
(17.28)
Na podstawie analogii do macierzy
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}\;}
napiszmy macierz odwrotną do niego
T
{\displaystyle T\;}
zastępując wielkości primowane wielkościami bez primów i odwrotnie, dostajemy wzór na macierz
T
{\displaystyle T\;}
:
T
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
I
]
{\displaystyle T={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}}
(17.29)
Policzmy czy rzeczywiście macierz
T
{\displaystyle T\;}
(17.29 ) jest macierzą odwrotną do macierzy
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}\;}
(17.28 ), tzn. czy właściwie obraliśmy tą macierz, wykorzystajmy wtedy wzór na transformacje bazy przestrzennej Galileusza (4.18 ):
T
T
−
1
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
I
]
[
ξ
ξ
′
−
1
0
i
ξ
′
−
1
B
p
Z
V
→
c
I
]
=
[
1
0
i
ξ
′
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
+
i
ξ
′
−
1
B
p
Z
Z
−
1
B
p
−
1
B
p
′
Z
′
C
p
V
→
c
I
]
=
[
1
0
0
I
]
=
I
⇒
{\displaystyle TT^{-1}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\i\xi ^{'-1}B_{p}Z{{\vec {V}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\i\xi ^{'-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}+i\xi ^{'-1}B_{p}ZZ^{-1}B_{p}^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}C_{p}{{\vec {V}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}}=I\Rightarrow \;}
⇒
T
T
−
1
=
I
{\displaystyle \Rightarrow TT^{-1}=I\;}
(17.30)
Zatem macierz
T
{\displaystyle T\;}
jest macierzą odwrotną do macierzy
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}\;}
jak przypuszczaliśmy.
Napiszmy jaki wyjdzie wynik z wyrażenia macierzowego dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, zakładając, że
ξ
=
±
1
{\displaystyle \xi =\pm 1\;}
i
ξ
′
=
±
1
{\displaystyle \xi ^{'}=\pm 1\;}
, wtedy:
T
T
T
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
I
]
[
ξ
′
ξ
−
1
i
ξ
−
1
V
→
′
T
c
Z
′
T
B
p
′
T
0
I
]
≃
[
1
0
0
I
]
=
I
{\displaystyle TT^{T}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&i\xi ^{-1}{{{\vec {V}}^{'T}} \over {c}}Z^{'T}B_{p}^{'T}\\0&I\end{bmatrix}}\simeq {\begin{bmatrix}1&0\\0&I\end{bmatrix}}=I}
(17.31)
Dla teorii transformacji Galileusza iloczyn macierzy
T
{\displaystyle T\;}
(17.29 ) przez jego macierz transponowaną daje nam macierz w przybliżeniu jedynkową, czyli baza absolutna w nowym i starym układzie odniesienia jest w przybliżeniu ogólnie ortonormalna.
Napiszmy tożsamość macierzową, którą przepiszemy jako transformację bazy
n
+
1
{\displaystyle n+1\;}
wymiarowej ze starego układu współrzędnych do nowego, to wtedy tożsamość:
[
ξ
′
0
0
i
B
p
′
Z
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
I
]
[
ξ
0
0
i
B
p
Z
]
[
1
0
−
C
p
′
V
→
′
c
C
p
′
]
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
[
ξ
′
0
0
Z
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
I
]
⋅
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&iB_{p}^{'}Z^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&iB_{p}Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'}&0\\0&Z^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}\cdot \;}
⋅
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
0
0
Z
]
[
1
0
−
C
p
′
V
→
′
c
C
p
′
]
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
I
]
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
0
0
Z
]
[
1
0
−
C
p
′
V
→
′
c
C
p
′
]
⋅
{\displaystyle \cdot {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\0&Z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-C_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&C_{p}^{'}\end{bmatrix}}\cdot \;}
⋅
[
ξ
′
−
1
0
0
Z
′
−
1
]
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
I
]
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
0
−
Z
C
p
′
V
→
′
c
Z
C
p
′
]
[
ξ
′
−
1
0
0
Z
′
−
1
]
⇒
{\displaystyle \cdot {\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi &0\\-ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&ZC_{p}^{'}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi ^{'-1}&0\\0&Z^{'-1}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;}
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
−
1
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
I
]
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
ξ
′
−
1
0
−
ξ
′
−
1
Z
C
p
′
V
→
′
c
Z
C
p
′
Z
′
−
1
]
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{-1}B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\-\xi ^{'-1}ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}&ZC_{p}^{'}Z^{'-1}\end{bmatrix}}}
(17.32)
Przeprowadźmy małe obliczenia wiedząc jak się zmieniają się wersory w bazie podobnej wchodząc do bazy
B
{\displaystyle B\;}
(17.1 ) dla
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
i
Z
=
I
{\displaystyle Z=I\;}
wykorzystując
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
Z
′
=
Z
C
p
′
{\displaystyle C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}Z^{'}=ZC_{p}^{'}\;}
wynikającego z
B
p
′
=
B
p
C
p
′
{\displaystyle B_{p}^{'}=B_{p}C_{p}^{'}\;}
wyprowadzona w poprzednim rozdziale, czyli:
Z
C
p
′
V
→
′
c
=
ξ
′
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
V
→
Z
=
I
ξ
=
1
′
c
{\displaystyle ZC_{p}^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=\xi ^{'}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z=I\xi =1}^{'}} \over {c}}}
(17.33)
Z
C
p
′
Z
′
−
1
=
C
p
Z
=
1
Z
′
=
I
Z
′
Z
′
−
1
=
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
{\displaystyle ZC_{p}^{'}Z^{'-1}=C_{pZ=1Z^{'}=I}Z^{'}Z^{'-1}=C_{pZ=IZ^{'}=I}}
(17.34)
B
p
′
Z
′
V
→
′
c
=
ξ
′
B
p
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
{\displaystyle B_{p}^{'}Z^{'}{{{\vec {V}}^{'}} \over {c}}=\xi ^{'}B_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}\;}
(17.35)
Macierz
T
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
{\displaystyle T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}\;}
przedstawia się:
T
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
=
[
1
0
i
B
p
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
I
]
{\displaystyle T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}={\begin{bmatrix}1&0\\iB_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}\;}
(17.36)
Dokończy obliczenia z punktu (17.32 ) wyznaczając wzór na transformacje bazy z bazy w starym układzie współrzędnych dla
Z
=
1
{\displaystyle Z=1\;}
i
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
na bazę w nowym układzie współrzędnych dla
Z
′
=
I
{\displaystyle Z^{'}=I\;}
i
ξ
′
=
1
{\displaystyle \xi ^{'}=1\;}
, zatem:
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
′
ξ
−
1
B
p
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
I
]
[
1
0
0
i
B
p
]
[
ξ
ξ
′
−
1
0
−
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
V
→
Z
=
I
ξ
=
1
′
c
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
]
⇒
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{'}\xi ^{-1}B_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\-C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z=I\xi =1}^{'}} \over {c}}&C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow }
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
[
ξ
′
ξ
−
1
0
i
ξ
′
ξ
−
1
B
p
′
V
→
Z
′
=
I
ξ
′
=
1
′
c
I
]
[
ξ
ξ
′
−
1
0
−
i
B
p
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
V
→
Z
=
I
ξ
=
1
′
c
i
B
p
C
p
Z
=
I
Z
′
=
I
′
]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\xi ^{'}\xi ^{-1}&0\\i\xi ^{'}\xi ^{-1}B_{p}^{'}{{{\vec {V}}_{Z^{'}=I\xi ^{'}=1}^{'}} \over {c}}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi \xi ^{'-1}&0\\-iB_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}{{{\vec {V}}_{Z=I\xi =1}^{'}} \over {c}}&iB_{p}C_{pZ=IZ^{'}=I}^{'}\end{bmatrix}}\Rightarrow \;}
⇒
[
1
0
0
i
B
p
′
]
=
T
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
[
1
0
0
i
B
p
]
M
Z
=
I
Z
′
=
I
ξ
=
1
ξ
′
=
1
′
{\displaystyle \Rightarrow {\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}^{'}\end{bmatrix}}=T_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}{\begin{bmatrix}1&0\\0&iB_{p}\end{bmatrix}}M_{Z=IZ^{'}=I\xi =1\xi ^{'}=1}^{'}}
(17.37)
Transformacja bazy
n
+
1
{\displaystyle n+1\;}
wielowymiarowej w teorii transformacji Galileusza, czyli dla prędkości o wiele mniejszych od prędkości światła, przedstawia się w formie (17.37 ) i ona jest podobna bardzo do wzoru (17.27 ), tylko tutaj dokładnie nie da się wyznaczyć transformacji tensora metrycznego (16.4 ), jak w punkcie (17.20 ), opisująca przestrzenie
n
+
1
{\displaystyle n+1\;}
wymiarowe.
Weźmy bazę o sygnaturze ujemnej w postaci (17.21 ) w transformacji Galileusza, w którym
ξ
{\displaystyle \xi \;}
i
Z
{\displaystyle Z\;}
są dowolne.
Transformacja z bazy (17.1 ) ze starego układu odniesienia do nowego przedstawia się wzorem dla sygnatury dodatniej na podstawie transformacji przedstawia się według wzoru (17.27 ).
Pomnóżmy macierz bazy
B
{\displaystyle B\;}
starego i nowego układu odniesienia, tzn. (17.1 ) przez jednostkę urojoną
i
{\displaystyle i\;}
we wzorze transformacyjnym tej bazy (17.27 ) znając macierz
M
′
{\displaystyle M^{'}\;}
i
T
′
{\displaystyle T^{'}\;}
, które są takie same jak dla sygnatury dodatniej, wtedy wychodzi nam macierz
T
{\displaystyle T\;}
, wtedy zastąpmy w naszym równaniu według
Z
→
−
Z
{\displaystyle Z\rightarrow -Z\;}
, a tam minus weźmy pod macierze
B
p
{\displaystyle B_{p}\;}
i
B
p
′
{\displaystyle B_{p}^{'}\;}
, wtedy otrzymamy transformację bazy (17.21 ) o takiej samej macierzy
T
{\displaystyle T\;}
, jak dla sygnatury dodatniej, tzn. (17.29 ).
Weźmy
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
i
Z
=
I
{\displaystyle Z=I\;}
, wtedy macierz bazy starego i nowego układu współrzędnych jest napisana formułą (17.23 ).
W takim razie transformacja jest dla bazy starego i nowego układu odniesienia napisana dla tego przypadku wzorem (17.24 ).
Dlaczego czas nie może płynąć do tyłu
edytuj
Według tego modułu, gdy
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
, to czas płynie do przodu, a gdy
ξ
=
−
1
{\displaystyle \xi =-1\;}
, to czas płynie do tyłu, lub odwrotnie, w szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona, na podstawie przedstawienia ogólnej bazy czasoprzestrzennej (17.1 ), to świat według tych dwóch przypadków wygląda tak samo, jak by czas płynął tylko w jednym kierunku, bo przypadek
ξ
=
−
1
{\displaystyle \xi =-1\;}
można przetransformować na
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
, lub odwrotnie. Stąd wniosek, rzucona filiżanka od kawy, która się potłukła, to taki proces nie może zajść w kierunku odwrotnym, czyli ona nie może się złożyć, a więc czas płynie tylko w jednym kierunku, w kierunku dodatnich czasów, gdy założymy, że zachodzi
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1\;}
, lub w kierunku ujemnych czasów, gdy mamy
ξ
=
−
1
{\displaystyle \xi =-1\;}
.