Szczególna teoria względności/Teoria funkcji lagrangianu

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Teoria funkcji lagrangianu

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przedstawimy tutaj teorię Lagrangianu, wektora pędu uogólnionego i funkcji hamiltonianu (i ich gęstości) oraz równania ruchu. Tutaj przedstawimy lagrangian, wektor pędu i funkcję hamiltonianu (i ich gęstości), równania ruchu dla ciał punktowych (i rozciągłych).

Układy fizyczne punktowe

edytuj

Rozważać tutaj będziemy przypadek ciał punktowych o stałych masach spoczynkowych oznaczone ogólnie .

Lagrangian

edytuj

Będziemy tutaj pisać o lagrangianie.

Szczególna teoria względności (lagrangian relatywistyczny)

edytuj

Napiszemy tu lagrangianu szczególnej teorii względności w wersji wektorowej, a później tensorowej.

Wersja wektorowa
edytuj

Napiszmy wzór na lagrangian potrzebny do drugiej zasady Lagrange'a w wersji wektorowej (27.25), ale w wersji wektorowej dla układów odniesienia ogólnie nieprostokątnego, gdy masa relatywistyczna jest w polu elektrycznym i magnetycznym:

(28.1)
Wersja tensorowa
edytuj

Napiszmy lagrangian, korzystając z wersji wektorowej, doprowadzając do wersji tensorowej tego elementu, który jest potrzebny do drugiej zasady Lagrange'a tensorowej w postaci (27.31), do lagrangianu kinematycznego pisanego, wychodząc od lagrangianu wektorowego kinematycznego mechaniki Newtona dla prędkości dążących do zera w postaci (27.32), wtedy wykorzystując z definicji tensora prędkości teorii Newtona (20.9), wtedy z dokładnością do stałego składnika, dla tego przypadku, wychodząc od całkowitego lagranganu mechanki Newtona, czyli (28.4), wtedy na podstawie teorii transformacji (dla dowolnych prędkości) piszemy go:

(28.2)

Widzimy, że lagrangian w wersji tensorowej (28.2) ogólnie różni się od jego wersji wektorowej (28.1), tylko dla prędkości dążącej do zera z dokładnością do stałego składnika są tożsame, a to wynika z tego, że drugą zasadę Lagrange'a wyprowadziliśmy z mechaniki Newtona, a nie szczególnej teorii względności, przy niezmienniczym lagrangianie przechodząc do dowolnych współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Mechanika Newtona (przybliżenie nierelatywistyczne)

edytuj

Stosując (19.12) (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), co na podstawie transformacji masy spoczynkowej do relatywistycznej (19.11) mamy tożsmość przybliżoną (19.13), wtedy mamy lagrangian w przybliżeniu nierelatywistycznym:

(28.3)

Co na podstawie (28.3) z dokładnością do stałego składnika wychodzi:

(28.4)

Otrzymaliśmy z lagrangianu relatywistycznego (28.1) lagrangian nierelatywistyczny (28.4).

Lagrangian, a pęd uogólniony

edytuj

Będziemy tutaj pisali o lagrangianie i pędzie uogólnionym z niej wynikającym.

Szczególna teoria względności

edytuj

Napiszmy wzór na uogólniony pęd (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.1) (wersja wektorowa lagrangianu) oraz i , czyli wzór na ten wektor pędu uogólnionego przedstawia się:

(28.5)

Mechanika Newtona

edytuj

Napiszmy wzór na uogólniony pęd (MT-8.2) w mechanice Newtona wiedząc, że zachodzi (28.1) oraz i , czyli wzór na ten wektor pędu uogólnionego przedstawia się stosując (19.13) (transformacja masy relatywistycznej z masy spoczynkowej), stąd:

(28.6)

Hamiltonian, a energia całkowita (szczególna teoria względności) i mechaniczna (mechanika Newtona)

edytuj

Bęziemy tutaj opisywali o hamiltonanie.

Szczególna teoria względności

edytuj

Napiszmy funkcję hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując wzór na pęd uogólniony (28.5) (wynikający z definicji lagrangianu w wersji wektorowej) i wzór na na lagrangian całkowity (28.1), ale w wersji wektorowej, wtedy:


(28.7)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu jest równa energii całkowitej punktu materialnego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozmiszmy wzór na energię relatywistyczną w (28.7) dla prędkości wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni, zatem:

(28.8)

Na podstawie (28.8) mamy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła w próźni energia relatywistyczna jest sumą energii spoczynkowej i energii kinetycznej .

Mechanika Newtona

edytuj

Napiszmy funkcję hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej, stosując wzór na pęd uogólniony (28.6), wtedy:

(28.9)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu jest równa energii mechanicznej punktu materialnego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Widzimy, że (28.7) w szczególnej teorii względności przechodzi z dokładnością do energii spoczynkowej w przybliżeniu do (28.9) na podstawie (28.8) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni.

Układy fizyczne rozciągłe

edytuj

Rozważać tutaj będziemy przypadek ciał rozciągłych o gęstościach spoczynkowych oznaczone ogólnie zależącą od prędkości i położenia danej cząstki tych ciał w czasoprzestrzeni.

Gęstość lagrangianu

edytuj

Będziemy tutaj pisać o gęstości lagrangianu.

Szczególna teoria względności (gęstość lagrangianu relatywistycznego)

edytuj

Będziemy się tutaj zajmowali gęstością lagrangianu dla układów rozciągłych. Według tej teorii istnieją dwie wersje lagrangianu, tzn. wersji wektorowej i tensorowej.

Elektromagnetostatyka
edytuj

Wyprowadzimy tutaj lagrangian szczególnej teorii względności w wersji wektorowej i tensorowej, jako:

Wersja wektorowa
edytuj

Napiszmy wzór na lagrangian dla układów odniesienia ogólnie nieprostokątnego gdy masa relatywistyczna jest w polu elektrycznym i magnetycznym, wiedząc, że tensorowy potencjał jest równy:

(28.10)

według (EK-26.33), który jest zdefiniowany za pomocą potencjału elektrycznego skalarnego (współrzędna czasowa potencjału tensorowego) i wektorowego magnetycznego (współrzędna przestrzenna potencjału tensorowego), a także tensor prądu zdefiniowany za pomocą gęstości ładunku pomnożonej przez prędkość światła w próżni jako współrzędna czasowa i gęstości prądu jako współrzędna przestrzenna, która jest równa iloczynowi , gęstości spoczynkowej ładunku elektrycznego i jego prędkości, co to wszystko jest równe iloczynowi prędkości światła w próżni, gęstości spoczynkowej ładunku elektrycznego i jego tensora prędkości:

(28.11)

czyli jest (EK-26.5) (pierwsze przedstawienie (28.11)) i (EK-26.6) (ostatnie przedstawienie (28.11)), wtedy stosując wzór na skrócenie długości (18.7), co:


(28.12)
Wersja tensorowa
edytuj

Wykorzystajmy tutaj lagrangian dla układów punktowych szczególnej teorii względności dla układów punktowych (28.2) i napiszmy jego gęstość dla układów rozciągłych w postaci:


(28.13)

Widzimy, że wzór na gęstość lagrangianu (28.13) dla wersji tensorowej różni się od jego wersji wektorowej (28.12), co do wyrazu kinematycznego i oddziaływań, one są tam inne, bo wersję tensorową wyprowadziliśmy z tego lagrangianu, ale w wersji Newtonowskiej, do układu o różnych współrzędnych uogólnionych (tensorowych) i korzystaliśmy z definicji tensora prędkości, ale dla mechaniki Newtona, by przejść do dowolnych prędkości na podstawie prawa transformacji w rachunku tensorowym.

Elektromagnetodynamika
edytuj

Całkowita gęstość lagrangianu masowego, ale wersji wektorowej, jest sumą lagrangianu mechanicznego (28.12), ale w wersji wektorowej, i elektromagnetycznego dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):

(28.14)
  • gdzie definicja tensora elektromagnetycznego w (28.14) według (EK-26.9) jest:
(28.15)

Widzimy, że tutaj pojawił się dodatkowy człon w porównaniu z gęstością lagrangianu, ale w wersji wektorowej, w (28.12). Przecałkujmy obie strony gęstości lagrangianu (28.14) względem przestrzeni n-wymiarowej przestrzennej, co:

(28.16)

W polu elektromagnetostatycznym ostatni człon w (28.16) jest stały i można go pominąć, wtedy lagrangian tego pola z dokładnością do stałej przepisujemy:

(28.17)

Na podstawie (28.17) (dla pola elektromagnetostatycznego) z (28.16) (dla pola elektromagnetodynamicznego) widzimy, że gęstość lagrangianu (28.14) przechodzi w (28.12).

Mechanika Newtona (przybliżenie nierelatywistyczne)

edytuj

Do gęstości lagrangianu (28.12) zastosujmy przybliżenie nierelatywistyczne, tzn.: (dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni), stosując (19.12), co wiedząc, że tensorowy potencjał jest równy (28.10), który jest zdefiniowany za pomocą potencjału elektrycznego skalarnego (z dokładnością do odwrotności prędkości światła w próżni to część czasowa tensora potencjału tensorowego) i wektorowego magnetycznego (część przestrzenna potencjału tensorowego), a także tensor prądu (28.11), w którym , wiedząc, że:

(28.18)

wtedy na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej) w układach, gdzie cząstki materii poruszają się z prędkościami o wiele mniejszymi od prędkości światła w próżni, i warunku na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11) dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):


(28.19)

Co na podstawie (19.13) (niezmienniczość masy) i (28.18) (niezmienniczość objętości) z dokładnością do stałego składnika (gdzie to stała masa całego układu) w lagrangianie (28.19), wtedy gęstość lagrangianu wychodzi:

(28.20)

Otrzymaliśmy z gęstości lagrangianu relatywistycznego (28.19) gęstość lagrangianu nierelatywistycznego (28.20).

Gęstość lagrangianu, a gęstość pędu uogólnionego

edytuj

Będziemy tutaj pisali o gęstości lagrangianu i gęstości pędu uogólnionego z niej wynikającym.

Szczególna teoria względności

edytuj

Napiszmy wzór na uogólnioną gęstość pędu (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.12) (wzór na gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej) oraz i , czyli wzór na tą gęstość wektora pędu uogólnionego przedstawia się:


(28.21)

Mechanika Newtona

edytuj

Napiszmy wzór na uogólnioną gęstość pędu (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.19) oraz i , stąd na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej), a także warunku na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), zatem wzór na tą gęstość wektora pędu uogólnionego przedstawia się:

(28.22)

Gęstość hamiltonianu, a gęstość energii całkowitej (szczególna teoria względności) i mechanicznej (mechanika Newtona)

edytuj

Bęziemy tutaj opisywali o gęstości hamiltonanu.

Szczególna teoria względności

edytuj

Będziemy tutaj pisali gęstość hamiltonianu dla pola elektromagnetostatycznego i elektrodynamicznego w elektromagnetyzmie.

Elektromagnetostatyka
edytuj

Napiszmy funkcję gęstości hamiltonianu z definicji, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4) pamiętając, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując wzór na gęstość pędu uogólnionego (28.21), ale wynikającej z gęstości lagrangianu wektorowego, i wzór na gęstość lagrangianu, ale podanej w wersji wektorowej, w (28.12), wtedy:


(28.23)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja gęstości hamiltonianu jest równa gęstości energii całkowitej w danym punkcie ciała rozciągłego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozmiszmy wzór na gęstość energii relatywistycznej w (28.23) wiedząc, że zachodzi (28.18) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni, czyli stosując (19.12) (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), zatem:

(28.24)

Na podstawie (28.24) mamy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła w próżni gęstość energii relatywistycznej jest sumą gęstości energii spoczynkowej i gęstości energii kinetycznej .

Elektromagnetodynamika
edytuj

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej, w (28.14) i gęstość pędu (28.5), też wychodząca z tej samej gęstości lagrangianu, zatem:


(28.25)

Hamiltonian (28.25) jest to hamiltonian w elektromagnetodynamice. Przecałkujmy obie strony równania (28.25), licząc hamiltonian, wtedy:

(28.26)

Dla pola elektromagnetostatycznego ostatni człon we wzorze (28.26) jest stały, zatem wzór na hamiltonian z dokładnością do stałej piszemy

(28.27)

Zatem wzór (28.27) (dla pola elektromagnetostatycznego) z (28.26) (dla pola elektromagnetodynamicznego) przechodzi w gęstość hamiltonianu (28.23). Widzimy, że hamiltonian dla pola elektromagnetostatycznego jest jednocześnie energią mechaniczną, już tak nie jest w elektromagnetodynamice, wtedy dochodzi energia pola elektromagnetycznego.

Mechanika Newtona

edytuj

Napiszmy funkcję gęstości hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej) stosując wzór na gęstość pędu uogólnionego (28.22), wtedy:

(28.28)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu jest równa gęstości energii mechanicznej w danym punkcie ciała rozciągłego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Widzimy, że (28.23) w szczególnej teorii względności przechodzi z dokładnością do gęstości energii spoczynkowej w przybliżeniu do (28.28) na podstawie (28.24) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni.

Równanie ruchu dla układów ogólnie nieprostokątnych dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

edytuj

Będziemy tutaj wyprowadzać równania ruchu ciał (cząstek materii) w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich z teorii lagrangianu (gęstości lagrangianu).

Wersja wektorowa

edytuj

Będziemy tutaj wyprowadząc wersję wektorową szczególnej teorii względności.

Układy punktowe

edytuj

Nierelatywistyczny (relatywistyczny) lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasz opisywany Lagrangian wyrażamy przez wzór (28.1) (szczególna teoria względności, ale w wersji wektorowej) i (28.4)) (mechanika Newtona). W formalizmie Lagranga'e współrzędne prędkości i położenia są niezależne. Znając już Lagrangian wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony według (28.5) (szczególna teoria względności) i (28.6) (mechanika Newtona) równy:

(28.29)

W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z dynamiki nierelatywistycznej (relawilistycznej), dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami z mechaniki Newtona (szczególnej teorii względności):

(28.30)

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu (28.1) do wzoru Eulera-Lagrange'a (28.30), to dostajemy, że: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Z korzystamy z definicji różniczki zupełnej funkcji wektorowej i wyrazimy ją przez pochodne cząstkowe i różniczki zupełne, a na koniec wyznaczymy pochodną zupełną wielkości potencjału wektorowego względem czasu przez zwykłe pochodne cząstkowe względem współrzędnych w układzie trójwymiarowym kartezjańskim i względem czasu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Obliczenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na podstawie udowodnionej tożsamości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wyrażając potencjał wektorowy magnetyczny przy pomocy pochodnych cząstkowych, co nam później będzie potrzebne, możemy przedstawić: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., ale tym razem dla układów prostokątnych, to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity εijk i symboli Kroneckera δij, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W obliczeniach zakładaliśmy, że Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. to są zmienne niezależne. Dla układów prostokątnych tożsamość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest udowodniona, ale na podstawie transformacji ten wzór okazuje się również słuszny dla układów ogólnie nieprostokątnych. Przy obliczeniach Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przyjmuje postać: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności:

Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

Wyrażenie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (definicji natężenia pola elektrycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i to wszystko wzięte z minusem) i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (definicji indukcji pola magnetycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.) przyjmuje postać: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki relawilistycznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem Lagrangian Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest poprawnym Lagrangianem dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c.

Układy rozciągłe

edytuj

Nierelatywistyczna (relatywistyczna) gęstość lagrangianu cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasza opisywana gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej, wyrażamy przez wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w elektromagnetostatyce i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w elektromagnetodynamice, czyli dla obu tych przypadków w szczególnej teorii względności z uwzględnieniem pola elektromagnetostatycznego lub elektromagnetodynamicznego, i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., czyli mechanika Newtona z uwzględnieniem pola elektromagnetostatycznego. W formalizmie Lagrange'a współrzędne prędkości, położenia oraz potencjału tensorowego elektrycznego i ich pochodnych cząstkowych względem tensora prędkości są niezależne. Znając już gęstość lagrangianu wyznaczmy jaką cząstka posiada gęstość pędu uogólnionego według Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (szczególna teoria względności) i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. (mechanika Newtona) równą: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z dynamiki relatywistycznej (nierelatywistycznej), dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie na siłę (gęstość siły) działające na cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami ruchu z szczególnej teorii względności (mechaniki Newtona): Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

Szczególna teoria względności
edytuj

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu gęstości lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do wzoru Eulera-Lagrange'a Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to dostajemy, że: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇, tzn.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., stąd na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Weźmy teraz definicje na natężenie pola elektrycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i indukcję pola magnetycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. znane z elektrodynamiki klasycznej: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. tak zapiszemy, żeby po lewej stronie były wyrazy przyszłego równaia ruchu, a po prawej wyrazy przyszłego cechowania: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A ponieważ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim z globalną (lokalną) stałością wszystkich zmiennych w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. mamy, że prawa strona jest równa zeru, wtedy stąd wynikające cechowanie wynikający z równań Eulera-Langrange'a zapisujemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Na podstawie równości zapisaną w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przedstawia się w formie: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równaniem ruchu w szczególnej teorii względności z wykorzystaniem elektrodynamiki klasycznej.

Mechanika Newtona
edytuj

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu gęstości lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. do wzoru Eulera-Lagrange'a Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., to dostajemy, że: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇, tzn.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., stąd na podstawie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Weźmy teraz definicje na natężenie pola elektrycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i indukcję pola magnetycznego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. znane z elektrodynamiki klasycznej: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Równość Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w takiej stronie zapiszmy, żeby po lewej stronie były wyrazy przyszłego równania ruchu, a po prawej stronie cechowania, wtedy po przenoszeniu: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. A ponieważ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim z globalną (lokalną) stałością wszystkich zmiennych w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. mamy, że obie strony są równe zero, wtedy cechowanie wynikające z równań Eulera-Langrange'a zapisujemy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Na podstawie cechowania zapisaną w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wzór na równanie ruchu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przedstawia się w formie: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równaniem ruchu w mechanice Newtona z wykorzystaniem elektrodynamiki klasycznej.

Wersja tensorowa

edytuj

Wyznaczać tutaj będziemy wersję tensorową równań wynikających z teorii lagrangianu i wyjdą równania ruchu kolejno dla układów punktowych i rozciągłych szczególnej teorii względności.

Układy punktowe

edytuj

Wyznaczmy wyrażenie matematyczne jako pochodną lagrangianu tensorowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem tensora prędkości o dolnym wskaźniku tesora prędkości, by otrzymać wyrażenie z definicji tenmsora wyrażenie o górnych wskaźnikach: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyznaczmy jego pochodną względem interwału czasoprzestrzennego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wynikającej z teorii lagrangianu w pierwszym wyrazie równości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., by otrzymać ostatecznie wyrażenie o górnych wskaźnikach: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wuyznaczmy drugi wyraz równania Eulera Lagrange'a wersji tensorowej, by wyznaczyć można byłoby przetrzenną i czasową siłę w równaniach ruchu, a więc liczmy pochodną tego samego lagrangianu względem tensora położenia: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Połączmy obliczenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w jedno równanie według równania na drugą zasadę lagrange'a szczególnej teorii względności bez uogólnionego tensora siły: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyznaczmy wyraz siedzący po prawej stronie równości dla wskaźnika równego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., by wyznaczyć przestrzenne elementy tensora siły, w takim razie dla układów ortogonalnych napiszmy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Policzmy teraz Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla wskaźnika równego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., by wyznaczyć czasową współrzędną tensora siły, i korzystając, że iloczyn Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest prostopadły do wektora siły, tutaj bdziemy korzystać z definicji potecjału tensorowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., weźmy: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Na podstawie obliczeń w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. formuła Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przyjmuje postać (końcowa równość), łącząc te dwa pierwsze w równanie Lagrange'a o wartości zerowej uogólnionego tensora siły zewnętrznej, wtedy po prawej stronie otrzymamy tensor siły dla oddziaływania elektromagnetycznego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • Wyrażenie po prawej stronie wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest to nic innego jak tensor siły od oddziaływania elektromagnetycznego zdefiniowana z definicji tensora siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Końcowy wynik w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wskazuje, że z teorii lagrangianowej z drugiej zasady Lagrange'a wychodzą dokładnie równania ruchu szczególnej teorii względności dla układów punktowych.

Układy rozciągłe

edytuj

Wyznaczmy wyrażenie matematyczne jako pochodną gęstości lagrangianu tensorowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. względem tensora prędkości o dolnym wskaźniku tesora prędkości, by otrzymać wyrażenie z definicji tenmsora wyrażenie o górnych wskaźnikach: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyznaczmy jego pochodną względem interwału czasoprzestrzennego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wynikającej z teorii lagrangianu w pierwszym wyrazie równości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., by otrzymać ostatecznie wyrażenie o górnych wskaźnikach: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wuyznaczmy drugi wyraz równania Eulera Lagrange'a wersji tensorowej, by wyznaczyć można byłoby przetrzenną i czasową siłę w równaniach ruchu, a więc liczmy pochodną tego samego lagrangianu względem tensora położenia: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Połączmy obliczenia Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. w jedno równanie według równania na drugą zasadę Lagrange'a szczególnej teorii względności bez uogólnionego tensora siły: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Pomnóżmy równanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przez Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., zatem: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Napiszmy wyrazy przyszłego prawa ruchu po jego lewej stronie, a wyrazy cechowania po prawej stronie, w równości tensorowej Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dochodzimy do wniosku: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • W prawej stronie równości Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. pochodne mogą być równe zero, stąd obie strony naszego równania w takim przypadku są równe zero.

Napiszmy cechowanie wychodząc z Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. zerując prawą stronę równości w formule Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., aby wyszły poprawne później równania ruchu dla układu rozciągłego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • Cechowanie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dla wersji tensorowej gęstości lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., dla Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest równoważne cechowaniu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla wersji wektorowej gęstości lagrangianu Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., co można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.

Napiszmy wzór Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. na podstawie cechowania Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., co sprowadza się do równości różniczkowej: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Wyznaczmy wyraz siedzący po prawej stronie równości dla wskaźnika równego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., by wyznaczyć przestrzenne elementy tensora siły, w takim razie dla układów ortogonalnych napiszmy, wykorzystując tutaj obliczenia w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Policzmy teraz Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. dla wskaźnika równego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., by wyznaczyć czasową współrzędną tensora siły, i korzystając, że iloczyn Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest prostopadły do wektora siły, tutaj bdziemy korzystać z definicji potecjału tensorowego Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów., weźmy, wykorzystując tutaj obliczenia w Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. Na podstawie obliczeń w punkcie Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. i Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. formuła Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. przyjmuje postać (końcowa równość), łącząc te dwa pierwsze w równanie Lagrange'a o wartości zerowej uogólnionego tensora siły zewnętrznej, wtedy po prawej stronie otrzymamy tensor siły dla oddziaływania elektromagnetycznego: Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów.

  • Wyrażenie po prawej stronie wzoru Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. jest to nic innego jak gęstość tensora siły od oddziaływania elektromagnetycznego zdefiniowana z definicji tensora siły Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów..

Końcowy wynik Upłynął czas przewidziany do wykonywania skryptów. wskazuje, że z teorii lagrangianowej z drugiej zasady Lagrange'a wychodzą dokładnie równania ruchu szczególnej teorii względności dla układów punktowych.