Szczególna teoria względności/Teoria funkcji lagrangianu

Teoria funkcji lagrangianu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Przedstawimy tutaj teorię Lagrangianu, wektora pędu uogólnionego i funkcji hamiltonianu (i ich gęstości) oraz równania ruchu. Tutaj przedstawimy lagrangian, wektor pędu i funkcję hamiltonianu (i ich gęstości), równania ruchu dla ciał punktowych (i rozciągłych).

Układy fizyczne punktowe

Rozważać tutaj będziemy przypadek ciał punktowych o stałych masach spoczynkowych oznaczone ogólnie $m_{0}\;$.

Lagrangian

Będziemy tutaj pisać o lagrangianie.

Szczególna teoria względności (lagrangian relatywistyczny)

Napiszemy tu lagrangianu szczególnej teorii względności w wersji wektorowej, a później tensorowej.

Wersja wektorowa

Napiszmy wzór na lagrangian $L\;$ potrzebny do drugiej zasady Lagrange'a w wersji wektorowej (27.25), ale w wersji wektorowej dla układów odniesienia ogólnie nieprostokątnego, gdy masa relatywistyczna jest w polu elektrycznym i magnetycznym:

$L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.1)

Wersja tensorowa

Napiszmy lagrangian, korzystając z wersji wektorowej, doprowadzając do wersji tensorowej tego elementu, który jest potrzebny do drugiej zasady Lagrange'a tensorowej w postaci (27.31), do lagrangianu kinematycznego pisanego, wychodząc od lagrangianu wektorowego kinematycznego mechaniki Newtona dla prędkości dążących do zera w postaci (27.32), wtedy wykorzystując z definicji tensora prędkości teorii Newtona (20.9), wtedy z dokładnością do stałego składnika, dla tego przypadku, wychodząc od całkowitego lagranganu mechanki Newtona, czyli (28.4), wtedy na podstawie teorii transformacji (dla dowolnych prędkości) piszemy go:

$L=m_{0}{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +qv_{i}A^{i}=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp qcA^{0}u_{0}\mp qcu_{i}A^{i}=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp qcA^{\mu }u_{\mu }\Rightarrow L=\mp {{1} \over {2}}m_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp qcA^{\mu }u_{\mu }\;$

(28.2)

Widzimy, że lagrangian w wersji tensorowej (28.2) ogólnie różni się od jego wersji wektorowej (28.1), tylko dla prędkości dążącej do zera z dokładnością do stałego składnika są tożsame, a to wynika z tego, że drugą zasadę Lagrange'a wyprowadziliśmy z mechaniki Newtona, a nie szczególnej teorii względności, przy niezmienniczym lagrangianie przechodząc do dowolnych współrzędnych uogólnionych (krzywoliniowych).

Mechanika Newtona (przybliżenie nierelatywistyczne)

Stosując (19.12) (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), co na podstawie transformacji masy spoczynkowej do relatywistycznej (19.11) mamy tożsmość przybliżoną (19.13), wtedy mamy lagrangian w przybliżeniu nierelatywistycznym:

$L\simeq -m_{0}c^{2}\left(1-{{1} \over {2}}{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})=-m_{0}c^{2}+m_{0}{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.3)

Co na podstawie (28.3) z dokładnością do stałego składnika wychodzi:

$L=m_{0}{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\simeq m{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\;$

(28.4)

Otrzymaliśmy z lagrangianu relatywistycznego (28.1) lagrangian nierelatywistyczny (28.4).

Lagrangian, a pęd uogólniony

Będziemy tutaj pisali o lagrangianie i pędzie uogólnionym z niej wynikającym.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na uogólniony pęd (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.1) (wersja wektorowa lagrangianu) oraz $v^{2}=({\vec {v}},{\vec {v}})={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\;$ i $({\vec {a}},{\vec {b}})={\vec {a}}^{T}A{\vec {b}}$, czyli wzór na ten wektor pędu uogólnionego przedstawia się:

${\vec {p}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}={{\partial L} \over {\partial (A{\vec {v}})}}=m_{0}c^{2}{{\vec {v}} \over {c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}+q{\vec {A}}=m_{0}{{\vec {v}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q{\vec {A}}=m_{0}\gamma {\vec {v}}+q{\vec {A}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}\;$

(28.5)

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na uogólniony pęd (MT-8.2) w mechanice Newtona wiedząc, że zachodzi (28.1) oraz $v^{2}=({\vec {v}},{\vec {v}})={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\;$ i $({\vec {a}},{\vec {b}})={\vec {a}}^{T}A{\vec {b}}$, czyli wzór na ten wektor pędu uogólnionego przedstawia się stosując (19.13) (transformacja masy relatywistycznej z masy spoczynkowej), stąd:

${\vec {p}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}={{\partial L} \over {\partial (A{\vec {v}})}}=m_{0}{\vec {v}}+q{\vec {A}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}\;$

(28.6)

Hamiltonian, a energia całkowita (szczególna teoria względności) i mechaniczna (mechanika Newtona)

Bęziemy tutaj opisywali o hamiltonanie.

Szczególna teoria względności

Napiszmy funkcję hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując wzór na pęd uogólniony (28.5) (wynikający z definicji lagrangianu w wersji wektorowej) i wzór na na lagrangian całkowity (28.1), ale w wersji wektorowej, wtedy:

$H=({\vec {v}},{\vec {p}})-L=({\vec {v}},m{\vec {v}}+q{\vec {A}})-\left(-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\right)={{m_{0}v^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q({\vec {v}},{\vec {A}})+m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}+q\varphi +\;$
$-q({\vec {v}},{\vec {A}})={{m_{0}v^{2}+m_{0}c^{2}-m_{0}v^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q\varphi ={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+q\varphi =m_{0}\gamma c^{2}+q\varphi =mc^{2}+q\varphi =E\;$

(28.7)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu $H\;$ jest równa energii całkowitej $E\;$ punktu materialnego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozmiszmy wzór na energię relatywistyczną w (28.7) dla prędkości wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni, zatem:

$E_{r}=mc^{2}={{m_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\simeq m_{0}c^{2}\left(1+{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)=m_{0}c^{2}+{{m_{0}v^{2}} \over {2}}=E_{0}+E_{k}\;$

(28.8)

Na podstawie (28.8) mamy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła w próźni energia relatywistyczna $E_{r}\;$ jest sumą energii spoczynkowej $E_{0}\;$ i energii kinetycznej $E_{k}\;$.

Mechanika Newtona

Napiszmy funkcję hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej, stosując wzór na pęd uogólniony (28.6), wtedy:

$H=({\vec {v}},{\vec {p}})-L=({\vec {v}},m{\vec {v}}+q{\vec {A}})-\left(m{{v^{2}} \over {2}}-q\varphi +q({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=mv^{2}+q({\vec {v}},{\vec {A}})-m{{v^{2}} \over {2}}+q\varphi -q({\vec {v}},{\vec {A}})={{mv^{2}} \over {2}}+q\varphi =E\;$

(28.9)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu $H\;$ jest równa energii mechanicznej $E\;$ punktu materialnego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Widzimy, że (28.7) w szczególnej teorii względności przechodzi z dokładnością do energii spoczynkowej $E_{0}\;$ w przybliżeniu do (28.9) na podstawie (28.8) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni.

Układy fizyczne rozciągłe

Rozważać tutaj będziemy przypadek ciał rozciągłych o gęstościach spoczynkowych oznaczone ogólnie $\rho _{0}\;$ zależącą od prędkości i położenia danej cząstki tych ciał w czasoprzestrzeni.

Gęstość lagrangianu

Będziemy tutaj pisać o gęstości lagrangianu.

Szczególna teoria względności (gęstość lagrangianu relatywistycznego)

Będziemy się tutaj zajmowali gęstością lagrangianu dla układów rozciągłych. Według tej teorii istnieją dwie wersje lagrangianu, tzn. wersji wektorowej i tensorowej.

Elektromagnetostatyka

Wyprowadzimy tutaj lagrangian szczególnej teorii względności w wersji wektorowej i tensorowej, jako:

Wersja wektorowa

Napiszmy wzór na lagrangian $L\;$ dla układów odniesienia ogólnie nieprostokątnego gdy masa relatywistyczna jest w polu elektrycznym i magnetycznym, wiedząc, że tensorowy potencjał jest równy:

$A^{\mu }=\left({{\varphi } \over {c}},{\vec {A}}\right)\wedge A_{\mu }=A^{\nu }\eta _{\nu \mu }=\left({{\varphi } \over {c}},-{\vec {A}}\right)\;$

(28.10)

według (EK-26.33), który jest zdefiniowany za pomocą potencjału elektrycznego skalarnego $\varphi \;$ (współrzędna czasowa potencjału tensorowego) i wektorowego magnetycznego ${\vec {A}}\;$ (współrzędna przestrzenna potencjału tensorowego), a także tensor prądu zdefiniowany za pomocą gęstości ładunku pomnożonej przez prędkość światła w próżni jako współrzędna czasowa i gęstości prądu jako współrzędna przestrzenna, która jest równa iloczynowi $\gamma \;$, gęstości spoczynkowej ładunku elektrycznego i jego prędkości, co to wszystko jest równe iloczynowi prędkości światła w próżni, gęstości spoczynkowej ładunku elektrycznego i jego tensora prędkości:

$J^{\mu }=\left(c\rho _{q},{\vec {J}}\right)=\left(c\rho _{q},\gamma \rho _{0q}{\vec {v}}\right)=c\rho _{0q}u^{\mu }\wedge J_{\mu }=J^{\nu }\eta _{\nu \mu }=\left(c\rho _{q},-{\vec {J}}\right)=\left(c\rho _{q},-\gamma \rho _{0q}{\vec {v}}\right)=c\rho _{0q}u_{\mu }\;$

(28.11)

czyli jest (EK-26.5) (pierwsze przedstawienie (28.11)) i (EK-26.6) (ostatnie przedstawienie (28.11)), wtedy stosując wzór na skrócenie długości (18.7), co:

$L=\int dL=\int {\mathfrak {L}}dV=\int \left(dm_{0}c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-dq\varphi +dq({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\int \left(\rho _{0m}c^{2}dV_{0}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}-dq\varphi +dq({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\;$
$=\int \left(-\rho _{0m}c^{2}-\rho _{q}\varphi +\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})\right)dV\Rightarrow {\mathfrak {L}}=-\rho _{0m}c^{2}\mp J^{\mu }A_{\mu }\;$

(28.12)

Wersja tensorowa

Wykorzystajmy tutaj lagrangian dla układów punktowych szczególnej teorii względności dla układów punktowych (28.2) i napiszmy jego gęstość dla układów rozciągłych w postaci:

$L=\int LdV=\int \left(\mp {{1} \over {2}}dm_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp dqcA^{\mu }u_{\mu }\right)=\int \left(\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}dV_{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp \rho _{0q}dV_{0}cA^{\mu }u_{\mu }\right)=\;$
$=\mp \int \left({{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }+\rho _{0q}\gamma cA^{\mu }u_{\mu }\right)dV\Rightarrow {\mathfrak {L}}=\mp {{1} \over {2}}\rho _{0m}\gamma c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp \rho _{0q}\gamma cA^{\mu }u_{\mu }\;$

(28.13)

Widzimy, że wzór na gęstość lagrangianu (28.13) dla wersji tensorowej różni się od jego wersji wektorowej (28.12), co do wyrazu kinematycznego i oddziaływań, one są tam inne, bo wersję tensorową wyprowadziliśmy z tego lagrangianu, ale w wersji Newtonowskiej, do układu o różnych współrzędnych uogólnionych (tensorowych) i korzystaliśmy z definicji tensora prędkości, ale dla mechaniki Newtona, by przejść do dowolnych prędkości na podstawie prawa transformacji w rachunku tensorowym.

Elektromagnetodynamika

Całkowita gęstość lagrangianu masowego, ale wersji wektorowej, jest sumą lagrangianu mechanicznego (28.12), ale w wersji wektorowej, i elektromagnetycznego dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{mech}+{\mathfrak {L}}_{em}=-\rho _{0}c^{2}\mp J^{\mu }A_{\mu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=\mp \rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp J^{\mu }A_{\mu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\;$

(28.14)

• gdzie definicja tensora elektromagnetycznego $F^{\mu \nu }\;$ w (28.14) według (EK-26.9) jest:

$F^{\mu \nu }=\pm {\begin{bmatrix}0&{{E_{x}} \over {c}}&{{E_{y}} \over {c}}&{{E_{z}} \over {c}}\\-{{E_{x}} \over {c}}&0&B_{z}&-B_{y}\\-{{E_{y}} \over {c}}&-B_{z}&0&B_{x}\\-{{E_{z}} \over {c}}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}\;$

(28.15)

Widzimy, że tutaj pojawił się dodatkowy człon $-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ w porównaniu z gęstością lagrangianu, ale w wersji wektorowej, w (28.12). Przecałkujmy obie strony gęstości lagrangianu (28.14) względem przestrzeni n-wymiarowej przestrzennej, co:

$L=\int {\mathfrak {L}}dV=\int \left(\mp \rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp J^{\mu }A_{\mu }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)dV=\int \left(\mp \rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp J^{\mu }A_{\mu }\right)dV-{{1} \over {4\mu _{0}}}\int F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }dV\;$

(28.16)

W polu elektromagnetostatycznym ostatni człon w (28.16) jest stały i można go pominąć, wtedy lagrangian tego pola z dokładnością do stałej przepisujemy:

$L=\int {\mathfrak {L}}dV=\int \left(\mp \rho _{0}c^{2}u^{\mu }u_{\mu }\mp J^{\mu }A_{\mu }\right)dV\;$

(28.17)

Na podstawie (28.17) (dla pola elektromagnetostatycznego) z (28.16) (dla pola elektromagnetodynamicznego) widzimy, że gęstość lagrangianu (28.14) przechodzi w (28.12).

Mechanika Newtona (przybliżenie nierelatywistyczne)

Do gęstości lagrangianu (28.12) zastosujmy przybliżenie nierelatywistyczne, tzn.: $v\ll c\;$ (dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni), stosując (19.12), co wiedząc, że tensorowy potencjał jest równy (28.10), który jest zdefiniowany za pomocą potencjału elektrycznego skalarnego $\varphi \;$ (z dokładnością do odwrotności prędkości światła w próżni to część czasowa tensora potencjału tensorowego) i wektorowego magnetycznego ${\vec {A}}\;$ (część przestrzenna potencjału tensorowego), a także tensor prądu (28.11), w którym $\gamma \simeq 1\;$, wiedząc, że:

$dV=dV_{0}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}\simeq dV_{0}\left(1-{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)\simeq dV_{0}\Rightarrow dV\simeq dV_{0}\;$

(28.18)

wtedy na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej) w układach, gdzie cząstki materii poruszają się z prędkościami o wiele mniejszymi od prędkości światła w próżni, i warunku na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11) dla obu sygnatur (sygnatura dodatnia znak u góry, a sygnatura ujemna u dołu):

$L=\int {\mathfrak {L}}dV\simeq \int \left(-dm_{0}c^{2}\left(1-{{1} \over {2}}{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)-dq\varphi +dq({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\int \left(-dm_{0}c^{2}+dm_{0}{{v^{2}} \over {2}}-dq\varphi +dq({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\;$
$=\int \left(-\rho _{0m}c^{2}+{{\rho _{m}v^{2}} \over {2}}-\rho _{q}\varphi +\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})\right)dV=\int \left(-\rho _{0m}c^{2}+\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}\mp J^{\mu }A_{\nu }\right)dV=-M_{0}c^{2}+\int \left(\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}\mp J^{\mu }A_{\nu }\right)dV\;$

(28.19)

Co na podstawie (19.13) (niezmienniczość masy) i (28.18) (niezmienniczość objętości) z dokładnością do stałego składnika $-M_{0}c^{2}\;$ (gdzie $M_{0}\;$ to stała masa całego układu) w lagrangianie (28.19), wtedy gęstość lagrangianu wychodzi:

${\mathfrak {L}}=\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}-\rho _{q}\varphi +\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})=\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}-J^{\mu }A_{\nu }\simeq \rho _{m}{{v^{2}} \over {2}}\mp J^{\mu }A_{\mu }\;$

(28.20)

Otrzymaliśmy z gęstości lagrangianu relatywistycznego (28.19) gęstość lagrangianu nierelatywistycznego (28.20).

Gęstość lagrangianu, a gęstość pędu uogólnionego

Będziemy tutaj pisali o gęstości lagrangianu i gęstości pędu uogólnionego z niej wynikającym.

Szczególna teoria względności

Napiszmy wzór na uogólnioną gęstość pędu (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.12) (wzór na gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej) oraz $v^{2}=({\vec {v}},{\vec {v}})={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\;$ i $({\vec {a}},{\vec {b}})={\vec {a}}^{T}A{\vec {b}}$, czyli wzór na tą gęstość wektora pędu uogólnionego przedstawia się:

${\vec {\mathfrak {p}}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}={{1} \over {dV}}{{\partial {\mathfrak {L}}dV} \over {\partial (A{\vec {v}})}}={{dm_{0}} \over {dV}}c^{2}{{\vec {v}} \over {c^{2}{\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}={{{{dm_{0}} \over {dV}}{\vec {v}}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}={{dm_{0}} \over {dV}}\gamma {\vec {v}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}={{dm} \over {dV}}{\vec {v}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}=\;$
$=\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}}\;$

(28.21)

Mechanika Newtona

Napiszmy wzór na uogólnioną gęstość pędu (MT-8.2) w szczególnej teorii względności wiedząc, że zachodzi (28.19) oraz $v^{2}=({\vec {v}},{\vec {v}})={\vec {v}}^{T}A{\vec {v}}\;$ i $({\vec {a}},{\vec {b}})={\vec {a}}^{T}A{\vec {b}}$, stąd na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej), a także warunku na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), zatem wzór na tą gęstość wektora pędu uogólnionego przedstawia się:

${\vec {\mathfrak {p}}}={{\partial {\mathfrak {L}}} \over {\partial {\vec {v}}^{+}}}={{1} \over {dV}}{{\partial {\mathfrak {L}}dV} \over {\partial (A{\vec {v}})}}={{dm_{0}} \over {dV}}{\vec {v}}+{{dq} \over {dV}}{\vec {A}}=\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}}\;$

(28.22)

Gęstość hamiltonianu, a gęstość energii całkowitej (szczególna teoria względności) i mechanicznej (mechanika Newtona)

Bęziemy tutaj opisywali o gęstości hamiltonanu.

Szczególna teoria względności

Będziemy tutaj pisali gęstość hamiltonianu dla pola elektromagnetostatycznego i elektrodynamicznego w elektromagnetyzmie.

Elektromagnetostatyka

Napiszmy funkcję gęstości hamiltonianu z definicji, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4) pamiętając, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny stosując wzór na gęstość pędu uogólnionego (28.21), ale wynikającej z gęstości lagrangianu wektorowego, i wzór na gęstość lagrangianu, ale podanej w wersji wektorowej, w (28.12), wtedy:

${\mathfrak {H}}=({\vec {v}},{\vec {\mathfrak {p}}})-{\mathfrak {L}}=({\vec {v}},\rho _{m}{\vec {v}}+\rho _{q}{\vec {A}})-\left(\mp \rho _{0m}c^{2}u^{\mu }u_{\nu }\mp J^{\mu }A_{\nu }\right)=\rho _{m}{\vec {v}}^{2}+\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})-\left(\mp \rho _{m}v^{\mu }v_{\mu }-\rho _{q}\varphi +\rho _{q}({\vec {v}},{\vec {A}})\right)=\;$
$=\rho _{m}c^{2}+\rho _{q}\varphi ={\mathfrak {E}}\;$

(28.23)

Doszliśmy do wniosku, że funkcja gęstości hamiltonianu ${\mathfrak {H}}\;$ jest równa gęstości energii całkowitej ${\mathfrak {E}}\;$ w danym punkcie ciała rozciągłego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Rozmiszmy wzór na gęstość energii relatywistycznej w (28.23) wiedząc, że zachodzi (28.18) dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni, czyli stosując (19.12) (przybliżenie) i warunek na prędkość cząstki materii w stosunku do prędkości światła w próżni (16.11), zatem:

${\mathfrak {E}}_{r}=\rho _{m}c^{2}={{1} \over {dV}}{{dm_{0}c^{2}} \over {\sqrt {1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}}}}\simeq {{dm_{0}} \over {dV}}c^{2}\left(1+{{v^{2}} \over {2c^{2}}}\right)={{dm_{0}} \over {dV}}c^{2}+{{{{dm_{0}} \over {dV}}v^{2}} \over {2}}\simeq \rho _{0m}c^{2}+\rho _{0m}{{v^{2}} \over {2}}\simeq \rho _{m}c^{2}+\rho _{m}{{v^{2}} \over {2}}={\mathfrak {E}}_{0}+{\mathfrak {E}}_{k}\;$

(28.24)

Na podstawie (28.24) mamy, że dla małych prędkości w porównaniu z prędkością światła w próżni gęstość energii relatywistycznej ${\mathfrak {E}}_{r}\;$ jest sumą gęstości energii spoczynkowej ${\mathfrak {E}}_{0}\;$ i gęstości energii kinetycznej ${\mathfrak {E}}_{k}\;$.

Elektromagnetodynamika

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej, w (28.14) i gęstość pędu (28.5), też wychodząca z tej samej gęstości lagrangianu, zatem:

${\mathfrak {H}}=v_{i}{\mathfrak {p}}^{i}-{\mathfrak {L}}=\rho v^{i}v^{i}+{\mathfrak {q}}A^{i}v^{i}+\left(\pm \rho v^{\mu }v_{\mu }\pm J^{\mu }A_{\mu }+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)=\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi +{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\mathfrak {H}}=\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi +{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

(28.25)

Hamiltonian (28.25) jest to hamiltonian w elektromagnetodynamice. Przecałkujmy obie strony równania (28.25), licząc hamiltonian, wtedy:

$H=\int {\mathfrak {H}}dV=\int \left(\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi +{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)dV=\int (\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi )dV+{{1} \over {4\mu _{0}}}\int F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }dV\;$

(28.26)

Dla pola elektromagnetostatycznego ostatni człon we wzorze (28.26) jest stały, zatem wzór na hamiltonian z dokładnością do stałej piszemy

$H=\int {\mathfrak {H}}dV=\int \left(\rho c^{2}+{\mathfrak {q}}\varphi \right)dV$

(28.27)

Zatem wzór (28.27) (dla pola elektromagnetostatycznego) z (28.26) (dla pola elektromagnetodynamicznego) przechodzi w gęstość hamiltonianu (28.23). Widzimy, że hamiltonian dla pola elektromagnetostatycznego jest jednocześnie energią mechaniczną, już tak nie jest w elektromagnetodynamice, wtedy dochodzi energia pola elektromagnetycznego.

Mechanika Newtona

Napiszmy funkcję gęstości hamiltonianu z definicji wiedząc, że układ odniesienia jest ogólnie nieprostokątny na podstawie (28.18) (transformacja infitezymalnej objętości z objętości spoczynkowej) i (19.13) (transformacja masy z masy spoczynkowej) stosując wzór na gęstość pędu uogólnionego (28.22), wtedy: Doszliśmy do wniosku, że funkcja hamiltonianu jest równa gęstości energii mechanicznej w danym punkcie ciała rozciągłego w obecności pola elektrycznego i magnetycznego. Widzimy, że w szczególnej teorii względności przechodzi z dokładnością do gęstości energii spoczynkowej w przybliżeniu do na podstawie dla prędkości o wiele mniejszych niż prędkość światła w próżni.

Równanie ruchu dla układów ogólnie nieprostokątnych dla układów słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich

Będziemy tutaj wyprowadzać równania ruchu ciał (cząstek materii) w układach słabozakrzywionych i globalnie (lokalnie) płaskich z teorii lagrangianu (gęstości lagrangianu).

Wersja wektorowa

Będziemy tutaj wyprowadząc wersję wektorową szczególnej teorii względności.

Układy punktowe

Nierelatywistyczny (relatywistyczny) lagrangian cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasz opisywany Lagrangian wyrażamy przez wzór (szczególna teoria względności, ale w wersji wektorowej) i ) (mechanika Newtona). W formalizmie Lagranga'e współrzędne prędkości i położenia są niezależne. Znając już Lagrangian wyznaczmy jaki cząstka posiada pęd uogólniony według (szczególna teoria względności) i (mechanika Newtona) równy: W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z dynamiki nierelatywistycznej (relawilistycznej), dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie ruchu cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami z mechaniki Newtona (szczególnej teorii względności): Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu do wzoru Eulera-Lagrange'a , to dostajemy, że: Z korzystamy z definicji różniczki zupełnej funkcji wektorowej i wyrazimy ją przez pochodne cząstkowe i różniczki zupełne, a na koniec wyznaczymy pochodną zupełną wielkości potencjału wektorowego względem czasu przez zwykłe pochodne cząstkowe względem współrzędnych w układzie trójwymiarowym kartezjańskim i względem czasu: Obliczenia na podstawie udowodnionej tożsamości wyrażając potencjał wektorowy magnetyczny przy pomocy pochodnych cząstkowych, co nam później będzie potrzebne, możemy przedstawić: Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇: Co teraz następnym krokiem jest udowodnienie , ale tym razem dla układów prostokątnych, to musimy wykorzystać definicję symboli Leviego-Civity ε_ijk i symboli Kroneckera δ_ij, mając te definicje, i wiedząc, że iloczyn dwóch symboli Leviego-Civity, jak można udowodnić, że jest to kombinacją symboli Kroneckera, wtedy: W obliczeniach zakładaliśmy, że i to są zmienne niezależne. Dla układów prostokątnych tożsamość na podstawie jest udowodniona, ale na podstawie transformacji ten wzór okazuje się również słuszny dla układów ogólnie nieprostokątnych. Przy obliczeniach założono, że współrzędne prędkości i położenia są to zmienne niezależne, zatem przyjmuje postać: Ponieważ mamy z elektrodynamiki klasycznej definicję natężenia pola elektrycznego (poprzez potencjał skalarny i wektorowy) i indukcji pola magnetycznego (poprzez potencjał wektorowy), zatem przedstawiając wzorami te zależności:

Wyrażenie na podstawie (definicji natężenia pola elektrycznego w zależności od sumy gradientu potencjału elektrycznego i zmiany w czasie w danym punkcie wektorowego potencjału magnetycznego i to wszystko wzięte z minusem) i (definicji indukcji pola magnetycznego jako rotacji wektorowego potencjału pola magnetycznego ) przyjmuje postać: W otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki relawilistycznej, dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem Lagrangian jest poprawnym Lagrangianem dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c.

Układy rozciągłe

Nierelatywistyczna (relatywistyczna) gęstość lagrangianu cząstki w polu elektromagnetycznym jest opisany jako funkcja prędkości cząstki, wektorowego i skalarnego potencjału magnetycznego oraz za pomocą wartości ładunku cząstki, czyli q, czyli nasza opisywana gęstość lagrangianu, ale w wersji wektorowej, wyrażamy przez wzór w elektromagnetostatyce i w elektromagnetodynamice, czyli dla obu tych przypadków w szczególnej teorii względności z uwzględnieniem pola elektromagnetostatycznego lub elektromagnetodynamicznego, i , czyli mechanika Newtona z uwzględnieniem pola elektromagnetostatycznego. W formalizmie Lagrange'a współrzędne prędkości, położenia oraz potencjału tensorowego elektrycznego i ich pochodnych cząstkowych względem tensora prędkości są niezależne. Znając już gęstość lagrangianu wyznaczmy jaką cząstka posiada gęstość pędu uogólnionego według (szczególna teoria względności) i (mechanika Newtona) równą: W powyższym wzorze pęd uogólniony jest równy pędowi klasycznemu cząstki znanej z dynamiki relatywistycznej (nierelatywistycznej), dla układów globalnie (lokalnie) płaskich i słabozakrzywionych, z poprawką o potencjał wektorowy pomnożonej o ładunek cząstki. Ze wzoru Eulera-Lagrange otrzymamy równanie na siłę (gęstość siły) działające na cząstki znane z elektrodynamiki klasycznej połączone z równaniami ruchu z szczególnej teorii względności (mechaniki Newtona):

Szczególna teoria względności

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu gęstości lagrangianu do wzoru Eulera-Lagrange'a , to dostajemy, że: Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇, tzn.: , stąd na podstawie : Weźmy teraz definicje na natężenie pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego znane z elektrodynamiki klasycznej: Równość tak zapiszemy, żeby po lewej stronie były wyrazy przyszłego równaia ruchu, a po prawej wyrazy przyszłego cechowania: A ponieważ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim z globalną (lokalną) stałością wszystkich zmiennych w mamy, że prawa strona jest równa zeru, wtedy stąd wynikające cechowanie wynikający z równań Eulera-Langrange'a zapisujemy: Na podstawie równości zapisaną w wzór przedstawia się w formie: Wzór jest równaniem ruchu w szczególnej teorii względności z wykorzystaniem elektrodynamiki klasycznej.

Mechanika Newtona

Sformułujmy równania ruchu pojedynczej cząstki w polu elektromagnetycznym po podstawieniu gęstości lagrangianu do wzoru Eulera-Lagrange'a , to dostajemy, że: Aby wyznaczyć dokładne równania ruchu musimy skorzystać z tożsamości dla układów ogólnie nieprostokątnych, które jest wyrażone przez potencjał wektorowy, wektor prędkości i przez operator ∇, tzn.: , stąd na podstawie : Weźmy teraz definicje na natężenie pola elektrycznego i indukcję pola magnetycznego znane z elektrodynamiki klasycznej: Równość w takiej stronie zapiszmy, żeby po lewej stronie były wyrazy przyszłego równania ruchu, a po prawej stronie cechowania, wtedy po przenoszeniu: A ponieważ w układzie globalnie (lokalnie) płaskim z globalną (lokalną) stałością wszystkich zmiennych w mamy, że obie strony są równe zero, wtedy cechowanie wynikające z równań Eulera-Langrange'a zapisujemy: Na podstawie cechowania zapisaną w wzór na równanie ruchu przedstawia się w formie: Wzór jest równaniem ruchu w mechanice Newtona z wykorzystaniem elektrodynamiki klasycznej.

Wersja tensorowa

Wyznaczać tutaj będziemy wersję tensorową równań wynikających z teorii lagrangianu i wyjdą równania ruchu kolejno dla układów punktowych i rozciągłych szczególnej teorii względności.

Układy punktowe

Wyznaczmy wyrażenie matematyczne jako pochodną lagrangianu tensorowego względem tensora prędkości o dolnym wskaźniku tesora prędkości, by otrzymać wyrażenie z definicji tenmsora wyrażenie o górnych wskaźnikach: Wyznaczmy jego pochodną względem interwału czasoprzestrzennego wynikającej z teorii lagrangianu w pierwszym wyrazie równości , by otrzymać ostatecznie wyrażenie o górnych wskaźnikach: Wuyznaczmy drugi wyraz równania Eulera Lagrange'a wersji tensorowej, by wyznaczyć można byłoby przetrzenną i czasową siłę w równaniach ruchu, a więc liczmy pochodną tego samego lagrangianu względem tensora położenia: Połączmy obliczenia z w jedno równanie według równania na drugą zasadę lagrange'a szczególnej teorii względności bez uogólnionego tensora siły: Wyznaczmy wyraz siedzący po prawej stronie równości dla wskaźnika równego , by wyznaczyć przestrzenne elementy tensora siły, w takim razie dla układów ortogonalnych napiszmy: Policzmy teraz dla wskaźnika równego , by wyznaczyć czasową współrzędną tensora siły, i korzystając, że iloczyn jest prostopadły do wektora siły, tutaj bdziemy korzystać z definicji potecjału tensorowego , weźmy: Na podstawie obliczeń w punkcie i formuła przyjmuje postać (końcowa równość), łącząc te dwa pierwsze w równanie Lagrange'a o wartości zerowej uogólnionego tensora siły zewnętrznej, wtedy po prawej stronie otrzymamy tensor siły dla oddziaływania elektromagnetycznego:

• Wyrażenie po prawej stronie wzoru jest to nic innego jak tensor siły od oddziaływania elektromagnetycznego zdefiniowana z definicji tensora siły .

Końcowy wynik w wskazuje, że z teorii lagrangianowej z drugiej zasady Lagrange'a wychodzą dokładnie równania ruchu szczególnej teorii względności dla układów punktowych.

Układy rozciągłe

Wyznaczmy wyrażenie matematyczne jako pochodną gęstości lagrangianu tensorowego względem tensora prędkości o dolnym wskaźniku tesora prędkości, by otrzymać wyrażenie z definicji tenmsora wyrażenie o górnych wskaźnikach: Wyznaczmy jego pochodną względem interwału czasoprzestrzennego wynikającej z teorii lagrangianu w pierwszym wyrazie równości , by otrzymać ostatecznie wyrażenie o górnych wskaźnikach: Wuyznaczmy drugi wyraz równania Eulera Lagrange'a wersji tensorowej, by wyznaczyć można byłoby przetrzenną i czasową siłę w równaniach ruchu, a więc liczmy pochodną tego samego lagrangianu względem tensora położenia: Połączmy obliczenia z w jedno równanie według równania na drugą zasadę Lagrange'a szczególnej teorii względności bez uogólnionego tensora siły: Pomnóżmy równanie przez , zatem: Napiszmy wyrazy przyszłego prawa ruchu po jego lewej stronie, a wyrazy cechowania po prawej stronie, w równości tensorowej , dochodzimy do wniosku:

• W prawej stronie równości pochodne mogą być równe zero, stąd obie strony naszego równania w takim przypadku są równe zero.

Napiszmy cechowanie wychodząc z zerując prawą stronę równości w formule , aby wyszły poprawne później równania ruchu dla układu rozciągłego:

• Cechowanie , dla wersji tensorowej gęstości lagrangianu , dla jest równoważne cechowaniu dla wersji wektorowej gęstości lagrangianu , co można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem.

Napiszmy wzór na podstawie cechowania , co sprowadza się do równości różniczkowej: Wyznaczmy wyraz siedzący po prawej stronie równości dla wskaźnika równego , by wyznaczyć przestrzenne elementy tensora siły, w takim razie dla układów ortogonalnych napiszmy, wykorzystując tutaj obliczenia w : Policzmy teraz dla wskaźnika równego , by wyznaczyć czasową współrzędną tensora siły, i korzystając, że iloczyn jest prostopadły do wektora siły, tutaj bdziemy korzystać z definicji potecjału tensorowego , weźmy, wykorzystując tutaj obliczenia w : Na podstawie obliczeń w punkcie i formuła przyjmuje postać (końcowa równość), łącząc te dwa pierwsze w równanie Lagrange'a o wartości zerowej uogólnionego tensora siły zewnętrznej, wtedy po prawej stronie otrzymamy tensor siły dla oddziaływania elektromagnetycznego:

• Wyrażenie po prawej stronie wzoru jest to nic innego jak gęstość tensora siły od oddziaływania elektromagnetycznego zdefiniowana z definicji tensora siły .

Końcowy wynik wskazuje, że z teorii lagrangianowej z drugiej zasady Lagrange'a wychodzą dokładnie równania ruchu szczególnej teorii względności dla układów punktowych.