Szczególna teoria względności/Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona

Szczególna teoria względności
Szczególna teoria względności
Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Twierdzenie o środku masEdytuj

Jeżeli mamy masy relatywistyczne (19.11) poszczególnych poruszających się cząstek o masach i ich położeniach to możemy policzyć ich środek mas , zatem:

(25.1)

Zakładamy, że zachodzi dla n-tej pochodnej położenia środka mas względem czasu:

(25.2)

Do udowodnienia powyższego wzoru wykorzystajmy zasadę indukcji matematycznej, a więc dla n=0 wzór (25.2) przechodzi w wzór (25.1), która jest definicją położenia środka mas. Udowodnijmy twierdzenie (25.2) ale dla n+1. Zróżniczkujmy obie strony równości końcowej (25.2) względem czasu , wtedy:

(25.3)

We wzorze (25.3) po przegrupowaniu i przenoszeniu w nim wyrazów mamy:

(25.4)

W (25.4) lewa strona jest pisana w zmiennych n-tych pochodnych położeń punktów materialnych oraz pierwszych pochodnych mas względem czasu, a prawa w zmiennych (n+1)-tych pochodnych położeń punktów materialnych i mas punktów materialnych, a więc obie strony tej równości są przedstawione w różnych zmiennych, stąd są równe stałej. Ale gdy , to wtedy mamy na podstawie (25.2), stąd ta stała w (25.4) jest równa zero, a więc na podstawie tego punktu dostajemy:

(25.5)

Stąd twierdzenie (25.2) na mocy zasady indukcji matematycznej jest spełnione.

Prędkość i przyśpieszenie, środka układu masEdytuj

Z (25.2) mamy wzór na prędkość i przyśpieszenie środka mas:

(25.6)
(25.7)

Pęd środka układu masEdytuj

Jeżeli wykorzystamy definicję pędu (19.15), to wtedy ten środek mas ma pęd wykorzystując wzór na prędkość środka mas (25.6), co dalej możemy zauważyć, że pęd środka masy jest sumą pędów poszczególnych elementów masowych, na podstawie tego, że założyliśmy, że masa relatywistyczna środka masy jest sumą mas relatywistycznych poszczególnych tych elementów:

(25.8)

Siła środka układu masEdytuj

Zatem środek mas ma położenie (25.1), prędkość (25.6), przyśpieszenie (25.7) i n-tą pochodną (25.2) względem czasu . Jeżeli wzór (25.8) zróżniczkujemy względem czasu to otrzymujemy:

(25.9)

Zatem na środek mas działa siła równa sumie sił działające na poszczególne masy.