Szczególna teoria względności/Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona

Twierdzenie o środku mas w dynamice Einsteina-Newtona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Twierdzenie o środku mas 1.1Prędkość i przyśpieszenie, środka układu mas 1.2Pęd środka układu mas 1.3Siła środka układu mas

Twierdzenie o środku mas

Jeżeli mamy masy relatywistyczne (19.11) poszczególnych poruszających się cząstek o masach $m_{i}\;$ i ich położeniach ${\vec {r}}_{i}\;$ to możemy policzyć ich środek mas ${\vec {R}}\;$, zatem:

${\vec {R}}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}} \over {m_{i}}}\Rightarrow \sum _{i}m_{i}{\vec {R}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\;$

(25.1)

Zakładamy, że zachodzi dla n-tej pochodnej położenia środka mas względem czasu:

${\vec {R}}^{(n)}={{\sum m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n)}} \over {\sum _{i}m_{i}}}\Rightarrow \sum _{i}m_{i}{\vec {R}}^{(n)}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n)}\;$

(25.2)

Do udowodnienia powyższego wzoru wykorzystajmy zasadę indukcji matematycznej, a więc dla n=0 wzór (25.2) przechodzi w wzór (25.1), która jest definicją położenia środka mas. Udowodnijmy twierdzenie (25.2) ale dla n+1. Zróżniczkujmy obie strony równości końcowej (25.2) względem czasu $t\;$, wtedy:

$\sum _{i}m_{i}^{(1)}R^{(n)}+\sum _{i}m_{i}{\vec {R}}^{(n+1)}=\sum _{i}m_{i}^{(1)}{\vec {r}}_{i}^{(n)}+\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n+1)}\;$

(25.3)

We wzorze (25.3) po przegrupowaniu i przenoszeniu w nim wyrazów mamy:

$\sum _{i}m_{i}^{(1)}{\vec {R}}^{(n)}-\sum _{i}m_{i}^{(1)}r_{i}^{(n)}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n+1)}-\sum _{i}m_{i}{\vec {R}}^{(n+1)}=C\;$

(25.4)

W (25.4) lewa strona jest pisana w zmiennych n-tych pochodnych położeń punktów materialnych oraz pierwszych pochodnych mas względem czasu, a prawa w zmiennych (n+1)-tych pochodnych położeń punktów materialnych i mas punktów materialnych, a więc obie strony tej równości są przedstawione w różnych zmiennych, stąd są równe stałej. Ale gdy ${\vec {r}}_{i}^{(n)}=0\;$, to wtedy mamy ${\vec {R}}^{(n)}=0\;$ na podstawie (25.2), stąd ta stała w (25.4) jest równa zero, a więc na podstawie tego punktu dostajemy:

$0=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n+1)}-\sum _{i}m_{i}{\vec {R}}^{(n+1)}\Rightarrow {\vec {R}}^{(n+1)}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{(n+1)}} \over {\sum m_{i}}}\;$

(25.5)

Stąd twierdzenie (25.2) na mocy zasady indukcji matematycznej jest spełnione.

Prędkość i przyśpieszenie, środka układu mas

Z (25.2) mamy wzór na prędkość i przyśpieszenie środka mas:

${\vec {V}}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}} \over {\sum _{i}m_{i}}}\;$

(25.6)

${\vec {A}}={{\sum _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}} \over {\sum _{i}m_{i}}}\;$

(25.7)

Pęd środka układu mas

Jeżeli wykorzystamy definicję pędu (19.15), to wtedy ten środek mas ma pęd wykorzystując wzór na prędkość środka mas (25.6), co dalej możemy zauważyć, że pęd środka masy jest sumą pędów poszczególnych elementów masowych, na podstawie tego, że założyliśmy, że masa relatywistyczna środka masy jest sumą mas relatywistycznych poszczególnych tych elementów:

${\vec {P}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\;$

(25.8)

Siła środka układu mas

Zatem środek mas ma położenie (25.1), prędkość (25.6), przyśpieszenie (25.7) i n-tą pochodną $R\;$ (25.2) względem czasu $t\;$. Jeżeli wzór (25.8) zróżniczkujemy względem czasu to otrzymujemy:

${\vec {F}}={{d{\vec {P}}} \over {dt}}={{d} \over {dt}}\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}{{d{\vec {p}}_{i}} \over {dt}}=\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\;$

(25.9)

Zatem na środek mas działa siła równa sumie sił działające na poszczególne masy.