Szczególna teoria względności/Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu

Lokalna zasada zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Lokalne prawo zachowania energii(masy)-pędu (wyprowadzenie z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu) kinematycznego

Tutaj wyprowadzimy lokalne prawo zachowania energii(masy)-pędu z lokalnej zachowawczości tensora gęstości energii(masy)-pędu kinematycznego.

Szczególna teoria względności

Na podstawie (37.7) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (40.14) według globalnie (lokalnie) stałego tensora prędkości (21.6) i globalnie (lokalnie) stałego ciśnienia (26.1) stosując twierdzenie (Twier. 20.1) licząc po objętości nieskończenie małej $V\;$, wtedy:

$\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(-{T_{k}^{\mu j}}_{,j}+f_{z}^{\mu }\right)dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(-\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{i}\right)_{,i}dV-\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(pu^{\mu }u^{i}\right)_{,i}dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(p^{,\mu }+f_{z}^{\mu }\right)dV=\;$
$=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(-\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{i}\right)_{,i}dV-\lim _{S\rightarrow 0}\int _{S}pu^{i}u^{\mu }dS_{i}+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(p^{,\mu }+f_{z}^{\mu }\right)dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(-\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{i}\right)_{,i}dV-u^{\mu }\lim _{S\rightarrow 0}\int _{S}pu^{i}dS_{i}+\;$
$+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(p^{,\mu }+f_{z}^{\mu }\right)dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(-\rho _{0}c^{2}u^{\mu }u^{i}\right)_{,i}dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(p^{,\mu }+f_{z}^{\mu }\right)dV\Rightarrow {j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow {{\gamma } \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV}}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{1} \over {c}}{j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dK^{\mu }} \over {dV_{0}}}\;$

(38.1)

Otrzymaliśmy wzór w (38.1) na lokalne prawo zachowania energii-pędu (40.14) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Mechanika Newtona

Na podstawie (37.7) w układach globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości (40.29) na podstawie globalnego (lokalnego) stałego tensora prędkości (21.7) i globalnego (lokalnego) stałego ciśnienia (26.1) stosując twierdzenie (Twier. 20.1) licząc po infinitezymalnej objętości $V\;$ zachodzi:

$\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(-{T_{k}^{\mu j}}_{,j}+f_{z}^{\mu }\right)dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(-\rho _{0}v^{\mu }v^{i}\right)_{,i}dV+\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\left(p^{,\mu }+f_{z}^{\mu }\right)dV\Rightarrow {j^{\mu \nu }}_{;\nu }={{dF^{\mu }} \over {dV}}\;$

(38.2)

Otrzymaliśmy wzór w (38.2) na lokalne prawo zachowania masy-pędu (40.29) dla układów globalnie (lokalnie) płaskich o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości.

Rozwinięcie członu odpowiedzialnego za prąd płynu

Policzmy wyrażenie w całce objętościowej, w której całkowanie przeprowadzamy na takiej dowolnej infinitezymalnej powierzchni $S\;$ i w niej zawartej objętości $V\;$, w których przestrzeń jest globalnie (lokalnie) płaska o globalnie (lokalnie) stałym tensorze (wektorze) prędkości, wiedząc, że na niej współrzędne prędkości, ciśnienie i gęstość masy spoczynkowej nie zmieniają się w czasie i przestrzeni według kolejno (21.6), (26.1) i (26.5) stosując (Twier. 20.1), stąd obliczenia przeprowadzimy w dwóch przypadkach dla szczególnej teorii względności i mechaniki Newtona:

Szczególna teoria względności

Weźmy tensor gęstości energii-pędu kinematyczny (36.20), wtedy policzmy całkę objętościową po nieskończenie małej objętości pochodnej tensora gęstości energii-pędu kinematycznego względem jednego ze wskaźników po współrzędnych przestrzennych:

$\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{T_{k}^{ij}}_{,j}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}((\rho _{0}c^{2}+p)u^{i}u^{j}\mp \eta ^{ij}p)_{,j}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}(\rho _{0}c^{2}+p)u^{i}u^{j})_{,j}dV\mp \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}p^{,i}dV=\;$
$=\lim _{S\rightarrow 0}\oint _{S}(\rho _{0}c^{2}+p)u^{i}u_{j}dS^{j}\mp \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}p^{,i}dV=\mp \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}p^{,i}dV+u^{i}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}(\rho _{0}c^{2}+p)u^{j}dS_{j}=\mp \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}p^{,i}dV\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {T_{k}^{ij}}_{,j}=\mp p^{,i}\;$

(38.3)

A teraz inne wyrażenie liczmy podobnie jak (38.3), tylko, że zamiast $i\;$ jest $0\;$:

${T_{k}^{0j}}_{,j}=\mp p^{,0}\;$

(38.4)

Mechanika Newtona

Weźmy tensor gęstości energii-pędu kinematyczny (36.21), wtedy policzmy całkę pbjętościową po nieskończenie małej objętości pochodnej tensora gęstości masy-pędu kinematycznego względem jednego ze wskaźników po współrzędnych przestrzennych:

$\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}{T_{k}^{ij}}_{,j}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}(\rho _{0}c^{2}u^{i}u^{j}\mp \eta ^{ij}p)_{,j}dV=\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}(\rho _{0}c^{2}u^{i}u^{j})_{,j}dV\mp \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}p^{,i}dV=\;$
$=\lim _{S\rightarrow 0}\oint _{S}\rho _{0}c^{2}u^{i}u_{j}dS^{j}\mp \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}p^{,i}dV=\mp \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}p^{,i}dV+u^{i}\lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}\rho _{0}c^{2}u^{j}dS_{j}=\mp \lim _{V\rightarrow 0}\int _{V}p^{,i}dV\Rightarrow {T_{k}^{ij}}_{,j}=\mp p^{,i}\;$

(38.5)

A teraz inne wyrażenie liczmy podobnie jak (38.3), tylko, że zamiast $i\;$ jest $0\;$:

${T_{k}^{0j}}_{,j}=\mp p^{,0}\;$

(38.6)